Transformation de Laplace. Chapitre 6 ANALYSE TRANSITOIRE PAR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE. Objectifs

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1 Chapitre 6 ANALYSE TRANSITOIRE PAR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE Objectif coaître la traformatio de Laplace de foctio de bae; coaître et exploiter le propriété de la traformatio de Laplace; être capable de trouver le pôle d ue foctio aii que le réidu aocié à ce pôle; obteir la répoe de le domaie temporelle par traformatio de Laplace ivere; avoir faire la coverio d u circuit électrique da le domaie de Laplace a ou avec coditio iitiale; coaître le différete foctio de réeau (immitace et de trafert) et être capable de le obteir à partir d u circuit électrique; retrouver la foctio de trafert da le domaie de Laplace uiat u paramètre d u circuit électrique à ue excitatio; récupérer ue foctio de réeau de circuit électrique avec u ou de ampli-op; 2/5 Traformatio de Laplace 3/5

2 Pierre Simo Laplace-Greier /5 Traformatio de Laplace DOMAINE DU TEMPS DOMAINE DE LAPLACE Circuit électrique T. de Laplace Circuit traformé Loi et théorème Loi et théorème Sytème d équatio différetielle Sytème d équatio algébrique Réolutio Réolutio Répoe T. de Laplace ivere Répoe da le domaie de fréquece 5/5 Traformatio de Laplace Défiitio t ( f ( t) e dt [ f t) ] = L Exemple Traformée d u échelo Traformée d ue expoetielle Traformée d u coiu L[ u( t) ] = [ e u( t) ] L at = a [ coωt u( t) ] 2 2 L = ω 6 2

3 Traformatio de Laplace Tralatio de l axe du temp Si: a F ( ) = L[ f (t )] L[ f (t a )] = e F( ) [ A u( t )] L = Tralatio de l axe de fréquece Si: ( ) L[ f (t )] [ ] F = L e at f (t ) = F( a ) [ ] = L iωt u(t) A [ Au(t 2) ]?? L = ω 2 ω 2 L e 5t iωt u(t) =?? 7 Traformatio de Laplace uuelle Hoag Le-Huy, Circuit électrique, 24 8 Traformatio de Laplace Si: F ( ) = L[ f (t )] Traformatio de dérivée d L dt f ( t ) = F( ) f ( ) L f (t ) dt = [ F( ) y( )] d itégrale Traformatio t Avec y( ) = f ( t ) dt 9/5 3

4 Propriété de la Traformatio de Laplace Hoag Le-Huy, Circuit électrique, 24 /5 Théorème de la valeur iitiale et la valeur fiale La valeur iitiale d ue foctio f(t) et doée par: lim f (t) = lim [ F() ] t La valeur fiale d ue foctio f(t) et doée par: lim f (t) = lim t [ F() ] Exemple i(t ) = 2t [ 2 e ] u(t ) /5 Traformatio de Laplace ivere 2/5 4

5 Traformatio de Laplace ivere f ( t ) = L j 2π ( σ j ) [ F( )] = ( σ j ) F( ) e t d Exemple : F() = 2 e3 Exemple 2: F() = Exemple 3: F() = ( ) /5 Décompoitio d ue foctio ratioelle F() e ue omme de fractio partielle m < I() et V() apparaiet toujour ou la forme de fractio ratioelle: F( ) m P( ) bm b = = Q( ) a a m m... b b... a a Le racie de l équatio Q() = ot appelée le pôle de F() Q( ) = a ( p )( p )( p )...( p ) 2 3 Réel imple p, p 2, p 3,, p ot le pôle Complexe cojugué imple Multiple 4/5 Décompoitio d ue foctio ratioelle F() e ue omme de fractio partielle Ca : pôle réel imple P( ) K K2 K3 K F( ) = =... Q( ) p p p p 2 3 terme direct (m ) K() K j ( p j ) F( ) = p j = Réidu de F() Exemple 3 F() = F() = 2 2 5/5 5

6 Décompoitio d ue foctio ratioelle F() e ue omme de fractio partielle Ca 2: pôle complexe imple Si p et u pôle complexe imple de F(), alor p 2 = p * et aui u pôle imple de F(). p = a jb et p 2 = a jb P( ) P( ) F( ) = = Q( ) Q ( )( a jb )( a jb ) K K* F( ) = autre terme ( p ) ( p *) K K * ( ) = autre terme ( a jb ) ( a jb) F K = ( p ) F( ) K = ( a jb ) = p F( ) =a jb 6/5 Décompoitio d ue foctio ratioelle F() e ue omme de fractio partielle Ca 2: pôle complexe imple Exemple F() = ( 2) 2 6 ( ) K F() = ( 2) K 2 3 j ( ) * K 2 ( 3 j) K = 5 K 2 = 5 2 j 5 2 = K 2 * = 5 2 j 5 2 7/5 Traformatio de Laplace ivere Hoag Le-Huy, Circuit électrique, 24 8/5 6

7 Traformatio de Laplace ivere de fractio partielle Exemple F() = 2 2 (Réultat diapo 5) Exemple 2 5 F() = ( 2) 5 2 f (t) = ( 2e t e 2t ) u(t) π j ( 3 j) 5 j 2 ( 3 j) (Réultat diapo 7) f (t) = ( 5 e 2t 5 e 3t cot 5e 3t it) u(t) e3t co(t 3 4 π) 9/5 Décompoitio d ue foctio ratioelle F() e ue omme de fractio partielle Ca 2: pôle complexe imple Exemple upplémetaire 4 F () = ( ) 3 ( ) 4( ) F 2 () = ( ) 4 ( ) 4e 5 F 3 () = ( ) 3 ( ) F 4 () = ( ) =.2 2( 3) F 5 () = ( ) ( ) f k (t) =?. j.3. j.3 2 j 2 j 2/5 Théorème de la valeur iitiale et la valeur fiale La valeur iitiale d ue foctio f(t) peut aui être trouvée à partir de réidu: lim t Exemple f (t) = lim F() = i K i 4 V() = = v(t) = [2et 2e 3t ]u(t) v() = 2 2 = ; K i = 2 2 = 4 V() = = v(t) = [6e3t 2e t ]u(t) v() = 6 2 = 4; K i = 6 2 = 4 2/5 7

8 Décompoitio d ue foctio ratioelle F() e ue omme de fractio partielle Ca 3: pôle multiple Lorque = p i et ue racie d ordre r de Q() F() = P() Q() = P() Q () ( p i ) r K F() = i K i 2 p i p i K ij autre terme ( ) 2 ( p i ) j ( p i ) r d r j K ij = ( p (r j)! d r j i ) r F() =pi j =, 2,, r Ca particulier du pôle double (r = 2) K i = d d ( p i )2 F() =pi K ir K i 2 = ( p i ) 2 F() =pi 22/5 Décompoitio d ue foctio ratioelle F() e ue omme de fractio partielle Ca 3: pôle multiple Exemple F() = ( 2) 2 F() = ( 2) K =! d ( 2 2 ) d =2 = 2 (2 2) 2 =2 = 3 Exemple 2 4 F() = ( 2 2 ) ( 2) 4 F() = ( ) () 2 23/5 Traformatio de Laplace ivere L - A A ( a) ( )! eat t u(t) * A ( a jb) A ( a jb) avec: A = A e jϕ A * = A e jϕ L - réidu au pôle ajb 2 A ( )! eat t co(bt ϕ) u(t) 24/5 8

9 Traformatio de Laplace ivere Hoag Le-Huy, Circuit électrique, 24 25/5 Traformatio de Laplace ivere de fractio partielle Exemple F() = 3 4 ( 2) (Réultat diapo 23) f (t) = ( 3 4t e 2t 3e 2t ) u(t) Exemple 2 4 F() = ( ) (Réultat diapo 23) f (t) = 4( t e t e t e 2t ) u(t) 26/5 Aalye de circuit da l epace de Laplace 27/5 9

10 Aalye de circuit da l epace de Laplace Traformatio de ource 28/5 Aalye de circuit da l epace de Laplace Traformatio de réitace 29/5 Aalye de circuit da l epace de Laplace Traformatio de codeateur Teio aux bore du codeateur 3/5

11 Aalye de circuit da l epace de Laplace Traformatio d iductace Courat da l iductace 3/5 Impédace et admittace da l epace de Laplace Impédace Admittace V( ) Z( ) = I( ) Coditio Y ( ) = Z( ) iitiale = Élémet Z() Y() R R /R L L /L C /C C Le calcul da le domaie de e fot comme pour le circuit réitif da l epace temp. 32/5 Impédace vue da l epace de Laplace Exemple Exemple 2 Z() = R L C = R L 2 LC Z() = R C (R 2 L) R = R C R 2 L 33/5

12 Méthode d aalye par la T. de Laplace Étape : Traformer le circuit du domaie temp ver le domaie de. Étape 2: Établir le équatio d équilibre e utiliat le méthode habituelle. Le équatio obteue ot de équatio algébrique. Étape 3: Réoudre le équatio d équilibre da le domaie de et détermier la répoe déirée. Étape 4: Effectuer la traformée de Laplace ivere de la répoe e, pour obteir la répoe da le domaie temporel. 34/5 Foctio de réeau La répoe y(t) et reliée à l excitatio x(t) par: m d y dy d x dx... a a y = bm... b m dt dt dt dt a T. Laplace Y( ) = b x [ bm ] m... b b [ a... a a ] Y ( ) = H( )X( ) X( ) Excitatio X() Foctio de réeau H() Répoe Y() 35/5 Foctio de réeau Foctio immitace Impédace Admittace I ( ) V ( ) - H( ) Foctio de trafert Impédace, Admittace, Gai e teio, Gai e courat V ( ) - I ( ) H( ) I 2 ( ) V 2 ( ) - 36/5 2

13 Foctio de réeau Hoag Le-Huy, Circuit électrique, 24 Foctio de réeau Immitace Foctio de trafert H() Z () = V () I () Y () = I () V () Z 2 () = V 2 () I () Y 2 () = I 2 () V () A v2 () = V 2 () V () A i2 () = I 2 () I () 37/5 Traformatio de circuit: Ex 2 V a / V x 3 maille, 2 teio odale: V a et V x.5 V x () = (4π) 2 38/5 Traformatio de circuit: Ex 2 3e t u(t) V 2H 4Ω.5F V L J I 2u(t) A Ω Courat circulatoire V L = 2(J I ) = 2J 4 avec J = 4 3 Superpoitio de ource V L = = V L2 = /5 3

14 Traformatio de circuit: Ex 3 V a V R V a / C V a L = I L () = V a L V () = 25 v (t)=25u(t) V R= Ω va i L C=2 uf L=2 mh 5 V a () = v a (t) = 2(.5)e 25t co 595t π 2 u(t) V i L (t) =.25u(t).272e 25t co( 595t 2.74)u(t) A 4/5 Utiliatio de Matlab 4/5 Exemple d applicatio: Ex Trouver i(t) et v c (t) quad v c () = V et i() = A v (t) = 5u(t) v i 3 Ω H ½ F V C - i(t ) = 5( e e t 2t v ( t ) = 5( 3 2e c ) u(t ) t e 2t ) u( t ) 42/5 4

15 Exemple d applicatio: Ex 2 Trouver la foctio de trafert H() = V ()/V (). Pui détermier v o (t) quad v (t) = u(t). R =. W, R 2 =.5 W, C = F, C 2 =3 F, R 3 = W. R C 2 v (t) R 2 v a C R 3 - i = 4 v a - v (t) ( 3 4 ) ( ) = H 2 v (t ) =.49t.84t [ e 2.27e ] u(t ) 43/5 Foctio de trafert d u filtre actif: Ex 3 Détermier la foctio de trafert H()=V o ()/V () du circuit uivat i o uppoe l ampli-op idéal. v (t) - R ch v (t) R H( ) = R RC Idépedat de R ch car ampli-op uppoé idéal. 44/5 Foctio de trafert d u filtre actif: Ex 3 Il agit d u filtre actif du premier ordre pae ba e régime iuoïdal permaet (RSP) O remplace par jω. 2 log (H( jω )) db H( R jω ) = avec ωc = R ω j ωc RC fréquece de coupure 45/5 5

16 Répoe à ue excitatio iuoïdale: Ex 4 Utilier la traformatio de Laplace pour détermier la teio V (t) = Ω = 9 Ω 2π=628.3 Ω v (t) = 2.45 e 948t.68 e 5.3t 2(3.874) co(2πt.8) u(t) 9 Ω v (t) = e.t co(296t.562) 3.7 co(2πt 2.7) u(t) 46/5 Circuit iitialemet excité: Ex 5 Utilier la traformatio de Laplace pour détermier le courat i (t) j.48.2 e I () = 6.67 j e j j47.9 i (t) = 2.42 e 6.67t co( 47.9t.48) u(t) 47/5 Produit de covolutio Excitatio X() H() Répoe Y() Y() = H()X() le calcul de y(t) peut e faire de 2 faço: { } y(t) = h(t) x(t) = h(τ )x(t τ )dτ y(t) = L H()X() t Produit calaire da l epace de Laplace Produit de covolutio da l epace temp 48/5 6

17 Tet par covolutio 5e 2t u(t) a) RC=/3 H() = 3 pôle -2, -3 3 h(t) = 3e3t u(t) réidu 5, -5 t v c (t) = 5e 2τ u(τ ) 3e 3(tτ ) u(t τ )dτ = 5e 3t t e τ dτ = 5e 3t (e t )u(t) = (5e 2t 5e 3t )u(t) b) RC=/2 t v c (t) = 5e 2τ u(τ ) 2e 2(tτ ) u(t τ )dτ = e 2t t dτ = te 2t u(t) pôle double -2 K, =, K,2 = 49/5 Pour e avoir plu Circuit électrique, Hoag Le-Huy, Le pree de l uiverité Laval, 24. Itroductio to electric circuit, Dorf R.C., Svoboda J.A., Wiley. The aalyi ad deig of liear circuit, Thoma R.E., Roa A.J., Wiley. 5/5 7