Le calcul des variations stochastique

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1 Le calcul de varao ochaque 3. Dfféreao ur le epace de Sobolev gééralé So C ([, ]) l epace de foco réelle coue ur [, ] elle que (). Mu de la ore ufore up ( ) [, ] c epace e u epace de Baach do le dual M ([, ]) de eure avec ge ur [, ], u de la ore up f ( ) d ( ) ([, ]). f * peu êre defé à l epace Défo 3. L epace C ([, ]) e appelé epace de Weer, parce qu o peu codérer chaque raecore W(, ) du proceu de Weer coe u élée de C ([, ]). A, o peu defer W (, ) avec la valeur () au ep d u élée C ([, ]) : W(, ) ( ). De ce faço, le proceu de Weer deve l epace C ([, ]) a lo de probablé P deve la eure défe ur le eeble cyldré de par ({ ; ( ) F,..., ( ) F }) P[ W F,..., W F ] (,, x) (, x, x) (, x, x ) dx dx, F où F F R, (, x, y) ( ) exp( x y ); ; x, y R. O appelle la eure la eure de Weer ur.

2 Défo 3. So L ([, ]) l epace de foco déere, défe ur l ervalle [, ] de carré égrable par rappor à la eure de Lebegue. So F : R ue varable aléaore, g L ([, ]) ( ) g( ) d. (3.) La dérvée drecoelle de F da la dreco au po e alor la varable aléaore DF défe par ce quaé exe. d DF ( ) [ F( )], (3.) d Rearquo qu o codère eulee la dérvée da de dreco du ype (3.). L epace de élée qu peuve êre écr ou la fore (.) pour ue foco g L ([, ]) e appelée epace de Caero-Mar. O le oe H. Défo 3.3 Suppoo qu ue varable aléaore F : R ad ue dérvée drecoelle da oue le dreco H da le e for où la le exe da D F( ) : l [ F( ) F( )] (3.3) L ( ). Suppoo de plu, qu l exe ue foco (, x) L ([, ] ) elle que O d alor que F e dfféreable o poe O appelle D F( ) (, ) g( ) d. (3.4) D ( ) : (, ). (3.5) F D ( ) ([, ] ) la dérvée de F o oe, F L oue le varable aléaore dfféreable. D l eeble de Exeple 3.4 So F( ) f ( ) dw f ( ) d( ), avec f ( ) L ([, ]). Alor, pour ( ) g( ) d, o a

3 F( ) f ( ) d( ) d ( ) f ( ) d( ) f ( ) g( ) d par coéque [ F( ) F( )] f ( ) g( ) d pour ou. D aprè la défo 3.3, F D, pour ou da [, ] ou da, D ( ) f ( ). (3.6) F E parculer, o cho f ( ) [, ]( ), alor F( ) [, ]( ) dw W(, ) o obe doc W [, ] D (, ) ( ). (3.7) Noo P la falle de varable aléaore F : R de la fore F ( ) (,..., ), où ( x,..., x) a x e u polyôe aux varable x,..., x f () dw pour ue foco déere f L ([, ]). De elle varable aléaore o appelée de polyôe de Weer. P e dee da le lee uva : L ( ) o a Lee 3.5 So F( ) (,..., ) P. Alor, F D, D F( ) (,..., ) f ( ). (3.8) x Preuve : Noo (, ) le ebre dro de l égalé (3.8). Coe, l e facle à vor que up E[ W ], pour ou N N, [, ] N [ F( ) F( )] [ ( f, g),..., ( f, g) (,..., )] x (,..., ) D ( ) da L ( ) quad. 3

4 Doc F ad ue dérvée drecoelle da la dreco au e for (3.6) plque que D F( ) (, ) g( ) d. Iroduo ue ore ur D,. So pour oue varable aléaore F da D, la ore défe par F F D F. (3.9), L ( ) L ([, ] ) Malheureuee, o e a pa l epace D, e feré pour ce ore. Pour éver le dffculé o ravalle alor ur u epace légèree dffére. Défo 3.6 O oe D, la ferure de la falle P par rappor à la ore., A D, e foré de oue le varable aléaore F L ( ) elle qu l exe F P vérfa F F da L ( ) quad (3.) ( F ) coverge da L ([, ] ) D (3.) Il e be ûr ea de défr la dérvée d ue varable aléaore da D, par D F : l D F. Pour pouvor le fare, l fau cepeda aurer que ce relao déf la dérvée de faço uque. E d aure o, G dége ue aure ue qu coverge ver F, ece qu o a écearee l DF l D G? E codéra la dfférece H F G, le héorèe uva répod affravee à ce queo. 4

5 héorèe 3.7 Suppoo qu ue ue ( H) d élée de P vérfe le propréé H da L ( ) quad (3.) Alor, ( ) ([, ] ) D H coverge da L quad. (3.3) l D H. La déorao e baée ur la propoo uvae : Propoo 3.8 (Forule d égrao par pare) Soe F D,, D, ( ) g( ) d, avec g L ([, ]). Alor, E[ DF ] E F g( ) dw E[ F D ]. (3.4) Preuve : D aprè le héorèe de Graov, E[ F( ) ( )] E F( ) ( ) exp g( ) dw g ( ) d Par coéque, E[ D F( ) ( w)] E l [ F( ) F( )] ( ) E l [ F( ) ( ) F( ) ( )]. E F g dw g d w l ( )[ ( )exp ( ) ( ) ( )] d E F g dw g d d ( ) [ ( )exp ( ) ( ) ] E[ F( ) ( ) g( ) dw ] E[ F( ) D ( )]. Preuve du héorèe 3.7 : La propoo 3.8 plque que E[ D H ] E[ H g( ) dw ] E[ H D ] quad pour ou P. 5

6 Coe ( DH ) coverge da L ( ) que P e dee da L ( ), DH da L ( ) quad. Coe cec e vra pour oue dreco de la fore g() d, o a D H da L ([, ] ). Cec ou per d éocer la défo uvae : Défo 3.9 So F D,, c e-à-dre el qu l exe ue ue ( F) d élée de P vérfa F F da L ( ) ( D F ) e coverge da L ([, ] ). Alor o appelle dérvée de Mallav de F la varable aléaore défe par D F l D F. (3.5) La dérvée drecoelle de F da la dreco e doée par pour ou g ( ) d, avec D F g L ([, ]). D F g( ) d, Rearque 3. O dpoe aea de deux défo a pror dfféree de la dérvée d ue varable aléaore : ) La dérvée D F de F D, doée par la défo 3.3. ) La dérvée de Mallav DF de F D, doée par la défo 3.9. Le réula uva ore cepeda que ce deux dérvée coïcde, F D D,,. Lee 3. So F D, D,. Suppoo qu l exe ue ue ( F) d élée de P vérfa Alor, F F da L ( ) ( D F ) e coverge da L ([, ] ). 6

7 Doc DF l D F. (3.6) D F D F pour F D D. (3.7),, Preuve : Le hypohèe du lee aure que DF coverge da L ( ) pour ou ( ) g( ) d, avec g L ([, ]). La propoo 3.8 plque alor que E[( D F D F) ] E[( F F) g( ) dw ] E[( F F) D ] pour ou P. Doc, D F D F da L ( ) ce qu plque (3.6). Rearque 3. Rearquo que la défo de l epace D, plque que F D pour, F F da L ( ) ( DF ) e coverge da L ([, ] ), alor F D, D F l D F. Coe oue varable aléaore F da décopoo e chao de Weer L ( ) peu êre repréeé par a ˆ ( ) ( ) avec ([, ] ), F I f f L l e aurel de e deader o peu exprer la dérvée de Mallav de F e foco de ce décopoo. Codéro d abord u ca parculer. Lee 3.3 So F( ) I ( f ) pour quelque ˆ ([, ] ) f L. Alor, F D, D F( ) I ( f (, )), (3.8) où la oao I ( (, )) f veu dre qu o codère l égrale d Iô de deo par rappor aux preère varable,..., de f (,...,, ). Preuve : Codéro d abord le ca parculer où f L ([, ]).e où f f pour ue foco 7

8 Alor, f (,..., ) f ( ) f ( ) pour (,..., ) [, ]. I( f) f h ( ), (3.9) f où f () dw h e le polyôe de Here d ordre. Par coéque, f() D I( f) f h ( ). f f Rappelo qu ue propréé de bae de polyôe de Here e que Cela plque que h( x) h ( x). (3.) ( ) D I( f ) f h ( ) f ( ) I ( f ) f ( ) I ( f(, )). f Pu, uppoo que f e de la fore f ˆ ˆ ˆ avec (3.) ˆ ˆ ˆ où ˆ dége le produ eeur yéré { } ue bae orhoorale de L ([, ]). Alor, où I ( f ) h ( ) h ( ), (3.) () dw. Cela plque à ouveau (3.8). Le réula gééral u alor du fa que chaque ˆ ([, ] ) f L peu êre approchée da de foco du ype (3.). L ([, ] ) par de cobao léare Lee 3.4 Noo P l eeble de polyôe de Weer de la fore p ( e ( ) dw,..., e ( ) dw ), où p( x,..., x) e u polyôe à varable { e,..., e } ue bae orhoorale doée de L ([, ]). Alor, P e dee da P pour la ore., 8

9 Preuve : S q : p( f( ) dw,..., f( ) dw ) ue E eff, da ( ) q P, o peu approcher q par la ( ) q p f e e dw f e e dw q da. : ( (, ),..., (, ) ) L ( ) p p D q ( f, e ) e ( ) f ( ) L ([, ] ) quad. ( ) x x héorèe 3.5 So Da ce ca, ( ) ( ). Alor,, F I f L F D eulee! f. (3.3) L ([, ] ) D F I ( f (, )). (3.4) Preuve : So la ue ( F) défe par F I ( f(, )). Alor, F D, F F da L ( ). De plu,, le lee 3.3 plque que D F D F I ( f (, )) L ([, ] ) L ([, ] ) [{ ( (, ))} ] ( )! f(, ) d L ([, ] ) E I f d! f. L ([, ] ) (3.5) Doc, ou l hypohèe (3.3), ( DF ) coverge da L ([, ] ) par coéquece, F D, 9

10 D F l D F I ( f (, )). Récproquee, F D,, alor l exe de polyôe p ( x,..., x ) de degré de,..., coe da (3.) el que o poe F p (,..., ) a h ( ),..., ; F P, F F da (pour quelque,..., L ( ) D F D F da a R ), alor L ([, ] ) quad. E applqua la relao (3.), o obe l exece de foco ˆ ([, ] f L ); elle que ( ) Coe F F da L ( ), o a ( ) ( ). F I f ( ) L ([, ] ) L ( )! f f F F quad. ( ) A, pour ou, f f quad. Cela plque que pour ou, L ([, ] ) f ( ) f quad. (3.6) L ([, ] ) L ([, ] ) De êe, puque D F D F da le lee de Faou plque que L ([, ] ), u calcul lare qu e (3.5) ( )! f l! L ([, ] ) f L ([, ] ) l! f l DF DF L L ([, ] ) ( ) ([, ] ), L ([, ] ) où o a poé f pour. Doc, la relao (3.3) e vérfée, ce qu ere ( ) la preuve. Défo 3.6 Ue foco F : R e de régulére elle e de la fore F( ) f(,..., ),

11 pour u cera eer, où f C ( R ) e ue foco à croace oupolyôale f () dw pour ue foco déere oe S l eeble de foco régulère. f L ([, ]). O Défo 3.7 Pour F S, o oe F ( ) le e-groupe d Ore-Uhlebec déf par F F e e u du (3.7) ( ) ( ) ( ). Propoo 3.8 ) F S F S ) F P F P 3) F, G S F( ) G( ) ( d) F( ) G( ) ( d) 4) F ( F) 5) F I ( f ) F e I ( f ) 6) F F p p L ( ) L ( ) Défo 3.9 e-groupe, déf par O appelle opéraeur d Ore-Uhlebec le gééraeur L du d LF( ) F ( ). (3.8) d So doae de défo e Do( L) { F L ( ) / I ( f ) }. L ([, ] ) Propoo 3. F I ( f ) LF I ( f )

12 L opéraeur d Ore-Uhlebec ou per de défr le epace de Sobolev gééralé. Défo 3. So F u polyôe de Weer. Alor, pour ou p rcee upéreur à ou réel, o rodu la ore F I L F (3.9) ( ),, p p où pour ou F I ( f ) da P, ( ) I L F ( ) I( f) P. O déf le epace de Sobolev gééralé par, p,. p D P (3.3) Propoo 3. ) p D, p L ( ), p ) D, p D, p p p (eco copace) 3) * D, p D, q, avec. p q Défo 3.3 So D l epace déf par D D p,. p, D e alor u epace vecorel oré copl. De plu, o a le réula uva : Propoo 3.4 Soe F D p, G D q,. Alor, FGD r,, où = +. r p q E parculer, D e ue algèbre l applcao D D D e coue. ( F, G) F G