MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV

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1 LEGTHP Sint Nicols STAV Promotion 8 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV Fiches de cours S. FLOQUET Septemre 9

2 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 SOMMAIRE STAV PARTIE : RESUMES DE COURS Équtions de droites Grphes des onctions usuelles Le second degré Suites numériques Trigonométrie Dérivtion Limites Primitives Fonction logrithme népérien Fonction eponentielle Clcul intégrl Proilités

3 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 ÉQUATIONS DE DROITES STAV r r. On se plce dns un pln muni d un repère ( O; i, j ) Soit les points A et B de coordonnées respectives : A ( ; y ) et B ( ; ) A A y. B B éqution réduite : les équtions crtésienne des droites non prllèles à l e des ordonnées peuvent s écrire sous l orme réduite : y m + p. m est le coeicient directeur ou l pente de l droite. yb ya Le coeicient directeur de l droite (AB) est m. B A p est l ordonnée à l origine de l droite (ordonnée du point d intersection de l droite vec l e des ordonnées) prllélisme : deu droites prllèles ont le même coeicient directeur. Méthodes ) Déterminer une éqution de droite de coeicient directeur m et pssnt pr A : y m p + est une éqution réduite de l droite D. On remplce m, et y pr le coeicient directeur donné et les coordonnées du point A. On détermine p. m et ( ;5) E : 3 A. Alors : y m + p p p. D où D : y 3 +. A A ) Déterminer une éqution de droite d ordonnée à l origine p et pssnt pr A : y m p + est une éqution réduite de l droite D. On remplce p, et y pr l ordonnée à l origine donnée et les coordonnées du point A. On détermine m. p et A( ;5). Alors : ( ) E : 3 3 ya ma + p 5 m + m. D où D : y +. 3) Déterminer une éqution de droite pssnt pr A et B : Méthode : On clcule m puis on remplce et y pr les coordonnées de A pour trouver p. E : A ( ;3) et B ( 3; 4) yb ya m. On ensuite : 3 5 B A ( ). une éqution réduite de l droite (AB) est y m + p ya ma + p 3 ( ) + p p 3. D où D : y

4 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Méthode : On otient un système en remplçnt dns l éqution réduite de l droite, et y pr les coordonnées de A et de B. E : A ( ;3) et B ( 3; 4). une éqution réduite de l droite (AB) est y m + p.on lors : 7 p 3 + m p 3 + ya ma + p 3 m + p p 3 + m p 3 + m 5 7 yb mb + p 4 3m + p p 4 3m 3 + m 4 3m m 7 5 m 5 4) Déterminer une éqution de l droite pssnt pr A et perpendiculire à D droite d éqution y m +p : Soit y m + p une éqution réduite de. Pr le rppel, on sit que m m m. Ce qui m permet de trouver m, et on trouve p en remplçnt et y pr les coordonnées de A. E : Soit A ( ;3) et l droite D : y + 3. On pose y m + p une éqution réduite de l droite perpendiculire à D et pssnt pr A. On sit que m ( ) soit ya m A + p p ya m A p 3 ( ) 5. D où : : y + 5. m. Pr suite, 5) Déterminer une éqution de droite prllèle à une droite donnée et pssnt pr un point A. Deu droites prllèles ont même coeicient directeur. Une ois déterminer l pente de l droite, on otient l ordonnée à l origine en utilisnt le ). A et D : y + 3. Alors si on note l droite prllèle à D pssnt pr A, pour coeicient directeur -. une éqution réduite de est de l orme y + p. Comme A, on y + p p 5. D où : y +. A E : ( ;5) A 4

5 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 GRAPHES DES FONCTIONS USUELLES STAV Fonction ine Soit une onction ine déinie pr ( ) Son domine de déinition est D. + On ppelle coeicient directeur et ordonnée à l origine. L coure représenttive de est l droite d éqution y +. > < est strictement croissnte sur est constnte sur est strictement décroissnte sur Remrque : si lors on dit que est linéire et s coure représenttive psse pr O. Fonction crré. Soit l onction déinie pr ( ) Son domine de déinition est D. Pour tout réel : ( ) ( ) ( ) ; donc est pire. L coure représenttive de est une prole de sommet l origine. - + y o Fonction cue. Soit l onction déinie pr ( ) 3 Son domine de déinition est D. 3 3 Pour tout réel, ( ) ( ) ( ) ; donc est impire y o 5

6 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Fonction inverse Soit l onction déinie pr ( ) D * ; ; Son domine de déinition est ] [ ] [ Pour tout réel non nul, ( ) ( ) ; donc est impire. L coure représenttive de est une hyperole de centre de symétrie l origine. y - - o y Fonction rcine crré Soit l onction déinie pr ( ) * Son domine de déinition est [ ; [ D + o Fonction vleur solue, si Soit l onction déinie pr ( ), si Son domine de déinition est D. Pour tout réel : ( ) ( ) ; donc est pire. y - + o 6

7 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE Soit une onction polynôme du second degré déinie sur pr : () + + c vec, et c des réels quelconques. Forme cnonique de : soit un réel, on : 4c ( ) + + c + 4c et ( ) Tout dépend donc du signe de 4c. Tleu récpitulti : Discriminn t 4c Rcines de solutions de () > < solutions réelles + et solution doule réelle ctoristion ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Ps de solution + Ps de ctoristion - > Signe de () () < - - Signe de () + 7

8 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES STAV Crctéristion pr une reltion de récurrence Crctéristion pr une ormule eplicite Reltion entre deu termes (n et p entiers) S somme de N termes consécutis Cs prticuliers N un entier, q Suite rithmétique de rison r n u u r n+ n + n u u n r Suite géométrique de rison q u + q u n + u n n q u p ( ) u u + n p r moyenne S des termes N etremes N ( + ) N N n n p un u p q N premier q S terme q (si q ) + q + q q N N q q TRIGONOMETRIE cos sin tn 5π 6 3π 4 π 3 π π 3 π 4 π 6 π -π o π/6 ou -π/6 7π/6 ou -5π/6 7π/4 ou -π/4 5π/4 ou -3π/4 5π/3 ou -π/3 4π/3 ou -π/3 3π/ ou -π/ π 8

9 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Cosinus : Soit l onction déinie sur pr ( ) cos ( ) Propriétés : Pour tout réel : cos L onction cosinus est pire. FONCTIONS COSINUS ET SINUS L onction cosinus est de période π. On l étudie sur un intervlle de longueur π, comme [ π ; π ] L prité de nous permet de l étudier sur l intervlle [ ;π ]. L onction cosinus est dérivle sur et pour tout réel : ( ) sin. Tleu de vrition de cos : Coure de cos sur [ ;π ] π/ π cos -. Coure de cos sur (otenue pr symétrie pr rpport à l e des ordonnées puis pr trnsltion de vecteur kπ ( k )). Sinus Soit l onction déinie sur pr ( ) sin ( ) Propriétés : Pour tout réel : sin L onction sinus est impire. L onction sinus est de période π. On l étudie sur un intervlle de longueur π, comme [ π ; π ] L prité de nous permet de l étudier sur l intervlle [ ;π ]. L onction sinus est dérivle sur et pour tout réel : ( ) cos. Tleu de vrition de sin : C oure de sin sur [ ;π ]. π/ π sin. Coure de sur (otenue pr symétrie pr rpport à l origine puis pr trnsltion de vecteur kπ ( k )). 9

10 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 DÉRIVATION STAV Nomre dérivé en : Soit une onction déinie sur I une prtie de et un réel de I. On dit que est dérivle en lorsque le tu d ccroissement de en dmet une limite inie en, c est à dire si l ( + h) ( ) limite lim eiste et est inie. Cette limite s ppelle nomre dérivé de en, et on l note ( ). h h Interpréttion grphique Si est dérivle en lors ( ) est le coeicient directeur de l tngente à l coure représenttive de u point A( ; ()). Une éqution de T l tngente à l coure de en est : y ( )( ) + ( ) Fonction dérivée : Soit une onction déinie sur I. Si est dérivle en tout point de I lors on dit que est dérivle sur I. Dérivées des onctions usuelles : Opértions sur les onctions dérivées : Vritions d une onction et etrem Théorème : Soit une onction dérivle sur un intervlle I. Si l dérivée est nulle sur I, lors est constnte sur I. Si est strictement positive sur I, lors est strictement croissnte sur I. Si est strictement négtive sur I, lors est strictement décroissnte sur I. Théorème : Soit une onction dérivle sur un intervlle I ouvert et est réel de I. ) Si dmet un etremum locl en, lors (). ) dmet un etremum locl en si et seulement si l dérivée s nnule en en chngent de signe.

11 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV LIMITES Déinitions, eemples et interpréttion grphique Soit un réel et une onction non nécessirement déinie en. Limite inie en Le réel l est limite de en si, qund se rpproche u plus près de, () se rpproche u plus près de l. Nottion : () l. (lire «limite de () égle l qund tend vers») Propriété : Si est déinie en et si une limite l en, lors l (). On peut déinir l limite à droite de en : si () se rpproche u plus près de l lorsque se rpproche u plus près de pr vleurs supérieurs. On note () l ou () l. On déinit de l même çon l limite à guche de en qui se note () () l. Remrque : Si () () l lors () l Limite ininie en On dit que pour limite en si () devient très grnd lorsque prend des vleurs suismment proches de. Nottion : (). On dit que pour limite - en si () devient très petit lorsque prend des vleurs suismment proches de. Nottion : lim ( ) Interpréttion grphique : Lorsque lim ( ) ou lim ( ), on dit que l coure représenttive de l onction dmet une symptote verticle d éqution. Fonctions de réérences u voisinge de : lim > ; lim < ; lim > ; lim lim > < Limite inie à l inini L onction pour limite l en si l on peut rendre () ussi proche de l que l on veut du moment que prend des vleurs positives suismment grndes. Nottion : () l. Interpréttion grphique : Lorsque () l., on dit que l coure représenttive de l onction dmet une symptote horizontle d éqution y l. Fonctions de réérences u voisinge de et de - : lim lim ; lim ; lim ; lim ; lim ( n ) n ; lim ( n ) n Limite ininie à l inini On dit que pour limite en lorsque l on peut rendre () ussi grnd que l on veut du moment que prend des vleurs positives suismment grndes.. Nottion : lim ( )

12 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV On dit que pour limite en lorsque l on peut rendre () ussi grnd que l on veut du moment que prend des vleurs négtives suismment petites.. Nottion : lim ( ) Remrque : on peut déinir de l même mnière lim ( ) et lim ( ) onctions de réérence u voisinge de + et de - ; lim ; ; lim ; lim lim n ( n ) ; n n lim si n est pir ; lim si n est impir. Limites des onctions de ses. Fonction identique : - Fonction crrée : Fonction cue : Fonction rcine : Fonction inverse : ( + ) ( - ) - Fonction crré inverse : Opértion sur les limites Soit et g deu onctions, l et l sont deu réels, k est un réel non nul. On considère les limites de et g en, pouvnt être un nomre réel, ou -. Somme de deu onctions () l l l - - g() l (() + g()) l + l - - F.I. F.I. Produit d une onction pr un réel k < k > () l - - k () k l - - Si () lors k () vec le signe de k

13 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Produit de deu onctions () l l > l < l > l < - g() l - l > l < l > l < (() g()) l l () g() (() g()) - - F.I. F.I. F.I. F.I. Quotient de deu onctions () l l l l - ± g() l + - ± l l ± + - () vec le signe de l vec le signe de - l vec le signe de l vec le signe de l F.I. - F.I. F.I. correspond à une orme indéterminée. Dire qu une limite est indéterminée ne signiie ps qu il n y ps de limite, mis seulement qu ucune règle générle ne peut être étlie. Les qutre principu cs d indétermintion sont : -. PRIMITIVES Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de que l on noter I. Une onction F déinie sur I est une primitive de sur I si et seulement si F est dérivle sur I et pour tout de I, F ( ) ( ). Remrque : On n ps l unicité des primitives. F et G sont deu primitives de, et on peut en trouver dvntge. Propriétés Théorème : Si F est une primitive de sur un intervlle I de., lors toute utre primitive G de sut I est de l orme : Pour tout de I, G ( ) F ( ) + k, k Théorème : Soit une onction dmettnt des primitives sur i un intervlle de. Soit y. Les réels et y sont ppelés conditions initiles. Opértions sur les primitives Théorème 3 : Soit F une primitive de et G primitive de g sur I. Alors F + G est une primitive de + g sur I λf est une primitive de λ sur I (λ ). Tleu des primitives Il eiste une unique primitive F sut I telle que F ( ) I et y. 3

14 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Déinition FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Soit l onction déinie pr ( ). Sur l intervlle ] [ ;, dmet des primitives. De plus il eiste une unique primitive F de sur ] ; [ qui vériie ( ) Cette primitive est l onction logrithme népérien. Et se note ln. Conséquences :. L onction ln est déinie sur ] ; [.. Elle est dérivle sur ] ; [ et ( ln ) 3. ln. Propriétés ondmentles et conséquences Pour tous réels et dns ] ; [, et tout entier relti n, on : F. ln ( ) ln + ln ln ln ln ln ln Étude de l onction logrithme népérien Pour tout >, ( ln ) >. Donc l onction ln est strictement croissnte sur ] ; [. Conséquences : ~ Pour tous réels et tels que < <, on : ln < ln. ln < ; ln ln > ; Limites : n ln ( ) nln ln ( ) ~ ] [ ] [ ~ pour tous réels et strictement positis, ( ln ln ) ( ) ( ) lim ( ln ) ln > lim ln Tleu de vritions et coure : ln + + ln ( ) -. lim > lim ln L coure représenttive de l onction ln dmet l e des ordonnées comme symptote verticle. L tngente en à l coure pour éqution y. Dérivée logrithmique Soit u une onction déinie et dérivle sur un intervlle I telle que, pour tout I, ( ) u >. Alors l onction déinie sur I pr u ( ) tout de I, ( ) ( ln u ( ) ) ou encore ( ln u ) u ( ) ln ln u est dérivle sur I comme composée de onctions dérivles et pour u u Appliction à l recherche de primitive : Soit une onction déinie et continue sur I de l orme u. Alors une primitive de sur I est : u ( ) ln ( ) F u + k, k 4

15 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV FONCTION EXPONENTIELLE Déinition et propriétés Position du Prolème : L onction eponentielle (de se e ) ssocie à tout réel son ntécédent pr l onction y ; tel que ln y y ep. ln.pour tout, il eiste un unique réel ] [ Conséquences immédites : ep > Pour tout, ( ) Correspondnces Logrithme - Eponentielle : ;. On pose ( ) Pour tout et pour tout y ] [, ln y y ep ( ) Pour tout, ln ( ep ( ) ) Pour tout ] ; [, ep ( ln ) Cs prticuliers : En prticulrisnt et y Propriétés Algériques : Pour tous réels et, En prticulrisnt, il vient ( ), il vient ln e ep ( ) et y e ln ep. e. ( + ) ( ) ( ) ep ( ) ep ( ) ep ( ) ep ep ep Nottion e. Pour tout, ep ( ) e ep ep ( ) ( ) Pour tous réels et y, et tout entier relti n, + e e e e e e y y e y e e ( e ) n y e n Remrque : on peut réécrire les ormules de correspondnce logrithme - eponentielle y ;, ln y y e Pour tout et pour tout ] [ Pour tout, ln ( e ) Étude de l onction eponentielle Pour tout ] ; ln [, e L onction eponentielle est déinie et dérivle sur, et :pour tout réel, ( e ) Limites u ornes : lim e et lim e e Propriété : lim Tleu de vrition : Tngentes prticulières à l coure : e - + ep + + ep Tngente à l coure u point d scisse ( ) T : y + Tngente à l coure u point d scisse ( T ) : y e 5

16 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Représenttion grphique : y e y e y + y y ln o Dérivée et primitives de onction comportnt une eponentielle u. Dérivée de e Propriété : Soit u une onction dérivle sur un intervlle I. L onction u u e u e. : ( ) u e est dérivle sur l intervlle I et on. Primitive de u e u Propriété : Soit u une onction dérivle sur un intervlle I. L onction u l intervlle I de l orme e + k u u dmet des primitives sur e 6

17 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 CALCUL INTÉGRAL STAV Dns ce chpitre on désigne pr une onction dérivle sur un intervlle I et F une primitive de sur I. ) Déinition On ppelle intégrle de, de à, le nomre F ( ) F ( ) ( ) ( ) ( ) F F d. Remrques :. On écrit ( ) d F ( ) F ( ) F ( ) et s ppellent les ornes de l intégrle. ( ). On d F ( ) F ( ) ) Interpréttion géométrique uur r uuur r On ppelle unité d ire l ire du rectngle OIJK où OI i et OJ j. indépendnt de l primitive choisie que l on note J K I - o Unité d ire On se plce dns le cs où est une onction positive sur I. Le domine pln limité pr : - L e des scisses - L coure représenttive de - Les droites d éqution et pour ire (en unités d ire), ( ) Conséquence : ( ) d d.. 3) Propriétés Propriété : Soient et deu réels de I. ( ) d ( ) d Propriété : Reltion de Chsles Soit une onction dérivle sur un intervlle I et, et c trois réels de I. c ( ) ( ) + ( ) d d d. c Propriété 3 : Linérité de l intégrle Soient et g deu onctions dérivles sur un intervlle I et, deu réels de I. Soit k un réel non nul. ) ( ) + ( ) ( ( ) + ( ) ) d g d g d. ) ( ) ( ) k d k d 7

18 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 PROBABILITÉS STAV Voculire et déinitions On rélise une epérience ou épreuve qui ournit des résultts que l on ppelle éventulités ou possiilités. L ensemle des éventulités est désigné pr Ω et ppelé univers des possiles. Un événement est une prtie de l univers Ω. Tout événement à élément est ppelé événement élémentire. Événements prticuliers : événement impossile : événement certin : Ω Opértions sur les événements : Soit A un événement, on note A l événement contrire de A, constitué des éléments de Ω qui n pprtiennent ps à A. Soit A et B deu événements de Ω. On peut en déinir l union et l intersection : «A ou B est rélisé» A B «A et B est rélisé» A B Si A B on dit que A et B sont disjoints ou incomptiles. Proilité ) Déinition On déinit insi une ppliction P qui à tout événement A ssocie s proilité, on réel de l intervlle [ ; ], noté P(A), et qui vériie les propriétés suivntes :. l somme de toutes les proilités des événements élémentires vut. si A et B sont incomptiles, lors P(A B) P(A) + P(B) P Ω 3. ( ) ) Propriétés Soit A un événement, A son événement contrire. P( A) P( A). Soit A et B deu événements : P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 3) Clcul prtique Dns le cs ÉQUIPROBABLE où tous les événements élémentires ont l même proilité de événement A, on : crd( A) nomre de cs vorles P( A) crd( Ω ) nomre de cs possiles crd( Ω ), pour tout Proilités conditionnelles Soit P une proilité et A un événement de proilité non nulle. Soit B un événement quelconque. Alors : P ( A B ) PA ( B ) P ( B A). P A Si PA ( B ) P ( B ) Si PA ( B ) P ( B ) Si P ( B ) P ( B ) A ( ) >, on dit que A est vorle à l rélistion de B. <, on dit que A est dévorle à l rélistion de B., on dit que A est sns inluence sur l rélistion de B. Propriété : Soit A et B deu événements de proilité non nulle. On : P A B P B P A P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A Événements indépendnts : B Théorème : Deu événements A et B sont indépendnts si et seulement si P ( A B) P ( B) P ( A). 8

19 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Dénomrements Soit E un ensemle ini de n éléments. Arrngements, permuttions Un p - rrngement est une liste ordonnée sns répétition de p éléments de E. n n n... n p + Le nomre de p rrngements de E est : ( ) ( ) ( ) Une permuttion de E est une liste ordonnée sns répétition de tous les éléments de E. C est un n - rrngement. Il y en : n ( n ) ( n ) Fctorielle n n n n... 3 n! n n n... 3 Le nomre ( ) ( ) se note n! et se lit ctorielle n. ( ) ( ) Pr convention on pose! Cominisons Une p - cominison d éléments de E est une liste non ordonnée et sns répétition de p éléments de E, c est à dire un ensemle de p éléments de E. Attention! l ordre des éléments d une cominison n ucune importnce. Nomre de p - cominisons On l ppelle coeicient inomil. On le note n p, (ncienne nottion C p n ) et n p n! p! n p! Vleurs prticulières : Pour tout entier n ; n ; n n ; n n, n p n n p, Formule : Pour tout n et tout p vériint p n, on : Tleu récpitulti : Déinition eemples Type de tirge Liste ordonnée vec répétition de p éléments de E Liste ordonnée sns répétition de p élément de E Liste ordonnée sns répétition de tous les éléments de E - code à qutre chires de l crte ncire - lncer 3 ois un dé Tiercé dns l ordre - Liste d rrivée de tous les prticipnts d une course - pln de clsse. Tirge successi vec remise Tirge successi sns remise Tirge successi sns remise Eemples E {,,3,4,5,6} p 3 (,3,) ; (4,4,5) (,,3) (3,,) (,3,5,6,4,) dénomrements p n n n... n p + ( ) ( ) 6! n! n n... ( ) liste sns ordre et sns répétition de p élément de E, - tiercé dns le désordre - tirge du loto Tirge simultné {,4,6} ; {5,,3} 6 6! 3 3! ( 6 3 )! n n! p p! ( n p )! 9

20 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 STAV Vriles létoires : Une vrile létoire à vleurs réelles, que l on noter X, est une onction qui, à chque résultt d une epérience, ssocie un nomre réel. L ensemle des proilités pour que X prennent les vleurs, réel quelconque, notées P(X ), constitue l loi de proilité de X. Les proilités pour que l vrile létoire X prenne des vleurs inérieures à, réel quelconque, notées P( X ), déinissent l onction de réprtition de X. L espérnce mthémtique d une vrile létoire X prennt n vleurs i de proilité P(X i ) p i est : Loi inomile : ( ) E X n i p i i On ppelle épreuve de Bernoulli de prmètre p toute épreuve létoire n ynt que deu issues possiles dont les proilités respectives sont p et p q. Les deu issues sont ppelées succès et échec. Une epérience létoire constituée pr l répétition de n épreuves de Bernoulli, indépendntes les unes des utres, de même prmètre p est un schém de Bernoulli de prmètres n et p. L vrile létoire X qui, à chque résultt d un schém de Bernoulli de prmètre n et p, ssocie le nomre de succès suit une loi inomile de prmètres n et p notée B (n, p). Soit X une vrile létoire suivnt une loi inomile de prmètres n et p. On note k le nomre de succès otenus lors d un schém de Bernoulli ( k est un entier compris entre et n). L loi de proilité de X est donnée pr : n P X k p p k k ( ) ( ) n k