Cours de physique générale

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1 0 mas 009 cous de la semaine # 04a Bienvenue au Cous de physique généale Physique II pou étudiants de pemièe année en section de mathématiques Pof. Geoges Meylan Laboatoie d astophysique Site web du laboatoie et du cous : EPFL - GM

2 Tavail de la foce de pesanteu W = Le tavail ne dépend que des coodonnées z des points et ; il ne dépend pas de la tajectoie suivie ente ces deu points Le tavail de la foce de pesanteu est nul le long d une tajectoie femée quelconque : On écit : # F " d = # $mg e ˆ z " d = $mg # dz = $mg z $ z = mgz $ mgz W "" = (ou d une foce constante) ( ) $ mg # d + $ mg # d = W +W = 0 # mg " d = 0 EPFL - GM O z tajectoie B y tajectoie A d m F=mg

3 Tavail de la foce de appel d un essot W = # F " d = # $k d [ ] = = $ k k $ k F= k k O m Tavail de la foce de gavitation W = # F " d = # $ GmM ˆ e " d 3 d + GmM = [ GmM ] = $ GmM Le tavail ne dépend que des points de dépat et d aivée # F " d = 0 Tee EPFL - GM 3 M F tajectoie d m

4 Foce consevative : Foces consevatives foce F() dont le tavail ne dépend que des points de dépat et d aivée (quels que soient ces points), et non de la tajectoie ente les deu pts. Popiétés : Les 5 popositions suivantes sont équivalentes c c c c La foce F = F ( ) est consevative # F " d = 0, $ coube femée " une fonction V( ) telle que $ F # d = %[ V( ) % V( )], &, " une fonction V( ) (potentiel) telle que F ( ) = # $ V( ), % Le champ de foce F est iotationnel c'est - à - die " # F ( ) = 0, $ On dit que la foce F déive du potentiel V Abus de langage: «potentiel» = énegie potentielle Notions d'analyse vectoielle : Nabla : " " $ #/#' = #/#y & ) " %#/#z( Gadient : gad V( ) = " V( ) Rotationnel : ot F ( ) = " * F ( ) EPFL - GM 4

5 Enegie potentielle potentiel dont une foce consevative déive = énegie potentielle du point matéiel soumis à cette foce L énegie potentielle est définie à une constante abitaie pès Elle epésente le tavail que la foce doit founi pou amene le point matéiel à une position de éféence abitaie : position de éféence V = F " d # position du point matéiel Eemple de foce : Enegie potentielle associée : Ressot : F = "k V = k +C Pesanteu : F = mg = "mgˆ e z V = mgz +C Gavitation : F = "( GMm/ ) e ˆ V = "GMm/ +C Centale : F = F() e ˆ V = " # F(')d' +C 0 Fottement : F = "f(v) v ˆ aucune (foce non consevative) EPFL - GM 5

6 Théoème de l énegie Point matéiel soumis à : " des foces consevatives F k = "gad V k ( ) " des foces non consevatives de ésultante Enegie mécanique : E(, v ) = K( v ) +V( ) = m v + Ente les points et, on a : K " K = W = V( ) " V( NC ) +W si seules des foces consevatives tavaillent : EPFL - GM 6 " k F NC V k ( ) " E # E = W NC $ de dt = PNC = F NC % v La vaiation (déivée) de l énegie mécanique est égale au tavail (à la puissance) des foces non-consevatives E = constante Démo : Obites gavitationnelles () # 08 Consevation de l énegie mécanique Théoème de l énegie

7 Connus : Cylinde oscillant su plan incliné Masse m du cylinde Rayon R du cylinde Constante k du essot Coefficient de fottement µ s Angle α (tg α > µ s ) Fil et poulie sans masses Conditions initiales (t=0) : =0, v=0 Fil tendu et T =0 Question : Pouquoi le cylinde finit-il pa s aête définitivement? Démo : Plan incliné (équilibe de fottement) # 63 EPFL - GM 7 α v mg N α T F fot T essot fié E = mv + I" +mg(# sin$) + k f = position finale (équilibe) k f = mg sin$ % f = (mg/k) sin$ &E = E f # E t =0 = mg(# f sin$) + k f = # k f ( ) # 0 = tavail des foces non consevatives (fottements su l ae du cylinde et de la poulie, amotissement du essot, )

8 Yoyo énegie potentielle se tansfome, los de la descente, en énegie cinétique de tanslation et de otation. Le contaie se poduit los de la montée z R G mg v G fil F A Equations du mouvement : M G = dl G /dt " RF = I G # = mr (a G /R) m g + F = m Conditions initiales (à t=0) : Solution : " F = ma % G & a G " F = mg $ ma G ' " v G = a G t # $ z = a t G v G = 0 et z = 0 Démo : Yoyo # 38 " a G = 3 g % v G = a G z = 4 3 gz Le poids est consevatif et F ne tavaille pas le poblème peut ête ésolu pa la consevation de l énegie : K * = I G" = ( mr )(v/r) = mv 4 G K = mv G +K * = 3 mv 4 G E = 3 mv 4 G # mgz = E 0 = 0 $ v G = 4 3 gz EPFL - GM 8

9 L énegie mécanique : intégale pemièe Si E = mv +V( ) est une constante, alos, pa déivation : 0 = d ( dt mv +V( )) = m d ( v " v ) + dv( ) dt dt = ma " v $ + #V( ) d # dt + #V( ) dy #y dt + #V( ) dz' & ) % #z dt ( = ma " v +gadv( ) " v = ma * F v + F = ma ( ) " On dit que l énegie mécanique, si elle est consevée, est une intégale pemièe des équations du mouvement De manièe généale les constantes du mouvement constituent des intégales pemièes Les lois de consevation donnent des équations difféentielles faisant appaaîte les déivées pemièes des vaiables définissant la position (plutôt que les déivées secondes comme dans la ème loi de Newton) EPFL - GM 9

10 Mouvement ectiligne sous l action d une foce consevative Au lieu de cheche la position (t) comme solution de F = ma, utilisons l intégale pemièe donnée pa la consevation de l énegie mécanique : E = m +V() " = E # V() m ( ) " dt = Pa intégation : t = t " dt' = Eemple : V() = mg t = d' E/m " g' = # ) $ % " g 0 0 " d' E # V(') = t() 0 puis il suffit d invese pou touve (t)! d E # V() EPFL - GM 0 m ( ) & E/m " g' ' ( 0 = g m ( ) ( E/m " g 0 " E/m " g) * = 0 + (E/m " g 0 ) t " gt Eemple : V() = k / t = m d' k E/k " ' = m ) k acsin # % k $ E ' &, # ( * + '-. / 0t = acsin% k 0 $ E & ( " ' 0 0 / = E/k sin( 0t + 0 )

11 Mouvement ectiligne dans un potentiel Situation considéée : Point matéiel se déplaçant su un ae et soumis à une foce consevative F = dv()/d potentiel F fonction V() position EPFL - GM

12 Mouvement ectiligne dans un potentiel Image (pou mieu compende) : Bille soumise à son poids et containte à se déplace (sans fottement) su un elief donné pa z() = V()/mg Dans ce cas V() = mgz est l énegie potentielle de cette bille dans le champ de pesanteu! z N F tot teain mg EPFL - GM

13 Mouvement ectiligne dans un potentiel : discussion qualitative énegie V() K=0 et donc v=0 en ce point K et v maimales en ce point E K V() E = K+V() = énegie mécanique constante (indép. de ), déteminée pa les conditions initiales F ves la F ves la doite gauche F =0 F =0 F =0 position F ves la gauche Foce F = déivée de V() = pente de la coube F = 0 au etemums de la fonction V() EPFL - GM 3

14 Mouvement ectiligne dans un potentiel : discussion quantitative Condition : K = E " V() # 0 $ E # V() E 5 E 4 E 3 E E les positions telles que V() > E sont inaccessibles énegie V() position Cas paticulies : Si E = E : = constante; = point d équilibe (F=0, v=0) Si E = E : oscillations ente et 3 ;, 3 : points d aêt (v=0) Si E = E 3 : deu plages en pemises, sépaées pa une «baièe de potentiel» (infanchissable en mécanique classique) Si E = E 4 : position d équilibe instable en = 4 (F=0, v=0) Si E = E 5 : > 5 ; le point matéiel pat à l infini EPFL - GM 4

15 Saut à l élastique Conditions initiales (début du saut) : = 0, v = 0 Chute libe (élastique détendu) : 0 < < L = longueu de l élastique au epos Chute «assistée» (élastique tendu) : > L énegie Enegie potentielle (pesanteu +élastique) : $ V() = % "mg si < L &"mg + k( " L) si # L 0 L Point de dépat Point où l élastique se tend L E = 0 V() Point le plus bas de la tajectoie (v=0) Point où la vitesse est maimale EPFL - GM 5

16 Mouvement sous l action d une foce centale Si le potentiel ne dépend que de la distance à l oigine, V = V(), alos on a une foce centale : F = "gad V() = " dv Foce centale mouvement plan on utilise les coodonnées polaies et θ dans ce plan Enegie mécanique : On définit le potentiel effectif V eff () : d e ˆ ca # = # # i # = i i L = m " = constante ( ) E = m v +V() = m e ˆ + " e ˆ 4 " + 43 " +V() = m + L m +V() E = m +Veff () où V eff () = L m +V() epession similaie au cas du mouvement ectiligne ( ) EPFL - GM 6

17 énegie Potentiel cental énegie mécanique E L /(m ) = «potentiel centifuge» Démo : Obites gavitationnelles () # Eemples : Potentiel gavifique : V gavitation () = " GmM Potentiel de Yukawa (inteaction nucléaie ente deu nucléons) V Yukawa () = " C ep(" /a) a fm = 0 5 m epésente la «potée» des foces nucléaies min V() = énegie potentielle V eff () = énegie potentielle effective = distance au cente (unité abitaie) Remaque : Les lois de consevation de L et E ne pemettent pas au point matéiel de s appoche top pès du cente de foce ( > min ) EPFL - GM 7

18 énegie Potentiel cental Démo : Obites gavitationnelles () # Cas d un potentiel gavifique : énegie mécanique E les mouvements de Keple min = distance au cente (unité abitaie) - Mouvement ciculaie d une planète ( = constante), état d énegie minimale pou un moment cinétique donné - Mouvement elliptique d une planète ( vaie ente un min et un ma), l énegie mécanique est négative, système lié - Mouvement hypebolique d une comète ( vaie ente un min et l infini), l énegie mécanique est positive, système non lié EPFL - GM 8