Modélisation et Optimisation d un ensemble convertisseur-machine. Application aux systèmes d entrainement à haute vitesse.

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1 Modélisation t Optimisation d un nsmbl convrtissur-machin. Application aux systèms d ntrainmnt à haut vitss. Xavir Jannot To cit this vrsion: Xavir Jannot. Modélisation t Optimisation d un nsmbl convrtissur-machin. Application aux systèms d ntrainmnt à haut vitss.. Enrgi élctriqu. Supélc, 010. Français. <tl v1> HAL Id: tl https://tl.archivs-ouvrts.fr/tl v1 Submittd on 14 Fb 011 (v1), last rvisd Jan 013 (v) HAL is a multi-disciplinary opn accss archiv for th dposit and dissmination of scintific rsarch documnts, whthr thy ar publishd or not. Th documnts may com from taching and rsarch institutions in Franc or abroad, or from public or privat rsarch cntrs. L archiv ouvrt pluridisciplinair HAL, st dstiné au dépôt t à la diffusion d documnts scintifiqus d nivau rchrch, publiés ou non, émanant ds établissmnts d nsignmnt t d rchrch français ou étrangrs, ds laboratoirs publics ou privés.

2 N d ordr : TH THÈSE DE DOCTORAT SPÉCIALITÉ : PHYSIQUE Écol Doctoral «Scincs t Tchnologis d l Information ds Télécommunications t ds Systèms» Présnté par : Xavir JANNOT Sujt : MODÉLISATION ET OPTIMISATION D UN ENSEMBLE CONVERTISSEUR-MACHINE Application aux systèms d ntraînmnt à haut vitss Soutnu l décmbr 010 dvant ls mmbrs du jury : Mm Aff LEBOUC GElab Présidnt M. Pascal BROCHET LEP Rapportur Mm Julitt SOULARD KTH Royal Institu of Tchnology Rapportur M. Mirca RADULESCU Univrsitata Thnicã Cluj-Napoca Examinatur M. Adl RAZEK LGEP Examinatur M. Danil SADARNAC Supélc Dirctur d thès M. Jacqus SAINT-MICHEL Moturs Lroy-Somr Examinatur M. Jan-Claud VANNIER Supélc Co-ncadrant

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4 Point n'st bsoin d'spérr pour ntrprndr ni d réussir pour prsévérr. Guillaum l Taciturn Il faut commncr. Inconnu 3

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6 REMERCIEMENTS J tins à rmrcir n prmir liu M. J.-C. VANNIER, dirctur du départmnt d Élctrotchniqu t d Systèms d Énrgi d Supélc, pour m avoir accuilli au sin d son départmnt t dans l cadr d l union d laboratoirs SPEE LABS t pour son implication dans la rchrch d un sujt d rchrch qui s st avéré êtr un passion. Ctt thès n aurait pas u liu sans l concours d la société Moturs Lroy-Somr qui a proposé t financé c sujt d étud. C fut un très grand plaisir d avoir pu travaillr dans c contxt d échang industril t scintifiqu d très grand qualité t avc baucoup d librté dans l xploration d différnts vois. J suis donc xtrêmmnt rconnaissant à MM. F. PELTIER, C. PETIT, C. PLASSE, J. SAINT-MICHEL, C. ANDRIEUX t M. TIENTCHEU. C st égalmnt avc baucoup d nthousiasm qu j ls rjoins à l issu d ctt thès avc la volonté d continur à apprndr d lurs grands xpérincs. J tins à xprimr tout ma gratitud à M. D. SADARNAC, mon dirctur d thès, ainsi qu à MM. M. GABSI (SATIE ENS Cachan), C. MARCHAND (LGEP) t J.-C. VANNIER, ms ncadrants, pour lur disponibilité t pour ls réponss t consils qu ils ont su m apportr lors d nos discussions tout au long d cs annés d travail. Ils m ont donné l goût t la passion ds machins élctriqus ainsi qu la riguur dans l travail. J souhait égalmnt associr à c travail ls nsignants d Supélc MM. P. DESSANTE t P. LEFRANC pour ls multipls échangs fructuux d fichirs, d idés t d points d vu. J vux maintnant fair part d tout ma rconnaissanc aux mmbrs d mon jury d thès t particulièrmnt à Mm A. LEBOUC (GELAB) pour m avoir fait l honnur d l présidr. Qu Mm J. SOULARD (KTH) t M. P. BROCHET (LEP) trouvnt ici ms plus vifs rmrcimnts pour l intérêt qu ils ont porté à c travail n accptant la lourd tâch d n êtr ls rapporturs. Ainsi qu MM. M.M. RADULESCU (UNIVERSITATEA TEHNICÃ CLUJ- NAPOCA) t A. RAZEK (LGEP) pour m avoir fait l plaisir d xaminr ctt thès. Il st tmps maintnant d rmrcir cux qui font parti ds «à côtés» du doctorat mais qui ont un contribution instimabl d part l ouvrtur scintifiqu t ls momnts d détnt qu ils m ont apportés. J vux rmrcir tout particulièrmnt Pirr qui a d abord été mon collègu d burau puis mon ami pndant cs trois annés. Nous avons partagé nsmbl d très nombruss idés t progrssé dans notr construction intllctull ainsi qu dans notr pratiqu d la pêch sportiv! J dois xprimr à rconnaissanc à Amir qui m a mis l pid à l étrir n c qui concrn l nsignmnt t pour m avoir transmis un part d ss grands qualités pédagogiqus. J rmrci tous ms camarads doctorants : Ang, Dlphin, Maialn, Natali, Soukayna, Wilfrid, Hrmann, Migul, Adl, Jing, Christoph, Mathiu, Nicolas, Haitham, Christoph, Nam, Gilbrt t Bnjamin (qui rprnd l flambau) pour ls discussions agréabls lors d nos pauss café. J conclus ct xrcic difficil n rmrciant ma famill t ma compagn, Sandra, pour m avoir ncouragé à fair ctt thès tant qu j étais dans la continuité d ma formation initial ; pour m avoir supporté (dans plusiurs ds sns d c trm) touts cs annés.

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8 TABLE DES MATIERES INTRODUCTION GENERALE 11 PARTIE I ÉTAT DE L ART SUR LA CONCEPTION, SUR LA MODELISATION ET SUR LES SYSTEMES D ENTRAINEMENT A HAUTE VITESSE 17 I. INTRODUCTION 18 II. CONCEPTION DE SYSTEMES 19 II.A. UNE DEFINITION DE LA CONCEPTION 19 II.B. APPROCHE SCIENCE DES SYSTEMES : LES INTERACTIONS ENTRE ELEMENTS 4 II.C. LA CONCEPTION PAR OPTIMISATION DE SYSTEMES 31 III. LA MODELISATION DES ELEMENTS DU SYSTEME 33 III.A. LES TYPES DE MODELES 33 III.B. EXEMPLES DE COUPLAGES DE MODELES ET DE METHODES D OPTIMISATION 35 IV. LA PROBLEMATIQUE DE LA HAUTE VITESSE 39 IV.A. COTE MACHINE 39 IV.B. COTE ONDULEUR 53 V. NOTRE APPROCHE, NOTRE APPLICATION 58 PARTIE II MODELISATION ANALYTIQUE MULTIPHYSIQUE 61 I. MODELISATION ANALYTIQUE GLOBALE DU SYSTEME 6 II. MODELISATION ELECTROMAGNETIQUE DE LA MACHINE 64 II.A. INTRODUCTION 64 II.B. EXPRESSIONS DES GRANDEURS ELECTROMAGNETIQUES 66 II.C. VALIDATION DES PARAMETRES ELECTROMAGNETIQUES PAR SIMULATION EF 78 II.D. CONCLUSION SUR LA MODELISATION ELECTROMAGNETIQUE 84 III. MODELISATION ELECTRIQUE 85 III.A. RESOLUTION HARMONIQUE DES COURANTS 85 III.B. VERIFICATION PAR COMPARAISON A UNE SIMULATION TEMPORELLE 95 III.C. VERIFICATION PAR COMPARAISON A DES SIMULATIONS PAR ELEMENTS FINIS 98 III.D. VERIFICATION PAR COMPARAISON A UNE MESURE EXPERIMENTALE 10 III.E. CONCLUSION SUR L APPROCHE DE RESOLUTION HARMONIQUE 104 IV. EXPRESSION DU COUPLE ELECTROMAGNETIQUE 105 IV.A. EXPRESSION ANALYTIQUE DU COUPLE ELECTROMAGNETIQUE 105 IV.B. VERIFICATION PAR ELEMENTS FINIS 110 IV.C. CONCLUSION SUR LE CALCUL DU COUPLE 118 V. MODELISATION DES PERTES DU SYSTEME 119 V.A. PERTES DANS LES ONDULEURS 119 V.B. PERTES PAR EFFET JOULE 13 V.C. PERTES FER 17 V.D. PERTES DANS LES AIMANTS 138 V.E. PERTES AERODYNAMIQUES 148 V.F. CONCLUSION SUR LA MODELISATION DES PERTES DU SYSTEME 150 VI. MODELISATION THERMIQUE 15

9 VI.A. MODELISATION THERMIQUE PAR APPROCHE NODALE 15 VI.B. MODELE THERMIQUE DE L ONDULEUR EN REGIME PERMANENT 153 VI.C. MODELE THERMIQUE DE LA MACHINE EN REGIME PERMANENT 154 VI.D. CONCLUSION SUR LA MODELISATION THERMIQUE 164 VII. MODELISATION MECANIQUE DU ROTOR 166 VII.A. CONTRAINTES MECANIQUES DANS LE MOYEU 166 VII.B. CONTRAINTE MECANIQUE SUR L ARBRE 170 VII.C. CALCUL DES DEFORMATIONS STATIQUES ET DYNAMIQUES 171 VII.D. CONCLUSION SUR LA MODELISATION MECANIQUE 17 VIII. MODELISATION TECHNICO-ECONOMIQUE 173 VIII.A. COUT DE LA MACHINE 173 VIII.B. COUT DE L ONDULEUR 174 VIII.C. CONCLUSION SUR LA MODELISATION DU COUT DU SYSTEME 175 IX. CONCLUSION SUR LA MODELISATION ANALYTIQUE DU SYSTEME 176 PARTIE III MISE EN ŒUVRE DE LA DEMARCHE DE CONCEPTION PAR OPTIMISATION ET APPLICATION 177 I. INTRODUCTION : COUPLAGE DE LA MODELISATION MULTIPHYSIQUE A UNE APPROCHE DE CONCEPTION PAR OPTIMISATION 178 II. MISE EN ŒUVRE DE LA DEMARCHE DE CONCEPTION PAR OPTIMISATION 179 II.A. PRESENTATION DE L APPROCHE SEQUENTIELLE 179 II.B. DESCRIPTION DE LA METHODE D OPTIMISATION : L ALGORITHME GENETIQUE 18 II.C. OPTIMISATION MULTI-OBJECTIFS : FRONT DE PARETO 185 II.D. DIFFICULTES DANS L APPROCHE SEQUENTIELLE 187 II.E. CONCLUSION SUR LA MISE EN ŒUVRE DE L APPROCHE DE CONCEPTION OPTIMALE SEQUENTIELLE 187 III. APPLICATION A LA CONCEPTION DE SYSTEMES D ENTRAINEMENT 188 III.A. UN EXEMPLE DE DEMARCHE DE CONCEPTION TYPE «INGENIEUR» 188 III.B. PREMIERE APPLICATION 189 III.C. DEUXIEME APPLICATION 03 IV. CONCLUSION SUR L APPLICATION DE LA METHODOLOGIE A LA CONCEPTION 11 CONCLUSION GENERALE 13 ANNEXES 19 I. CALCUL DES INDUCTANCES DE FUITES 0 II. RESOLUTION HARMONIQUE DES EQUATIONS ELECTRIQUES DE PARK III. EXPRESSION DES DERIVEES DES FLUX INTERVENANT DANS LE CALCUL DU COUPLE 5 IV. CARACTERISATION D UNE MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS EN SURFACE 8 V. RESULTATS DE LA MODELISATION ELECTROMAGNETIQUE PAR ELEMENTS FINIS 3 V.A. CALCUL DU MODELE ELECTROMAGNETIQUE POUR LA PREMIERE APPLICATION 3 V.B. CALCUL DU MODELE ELECTROMAGNETIQUE POUR LA DEUXIEME APPLICATION36 8

10 NOMENCLATURE 39 REFERENCES 47 9

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12 INTRODUCTION GENERALE

13 Introduction général I. Introduction Général L apparition d circuits élctroniqus d puissanc fiabls cs drnièrs décnnis a prmis d élargir l domain ds possibilités ds systèms d convrsion élctromécaniqu. La mis n commun d cs convrtissurs statiqus avc ls machins d convrsion élctromécaniqu a fait apparaitr ds phénomèns t ds comportmnts qui jusqu là étaint pu considérés. Il pouvait s agir ntr autrs d augmntation ds prts, d pollution élctromagnétiqu t sonor, d ondulations d coupl ou ncor d diminution d la duré d vi du systèm. Il xist donc ds phénomèns proprs au systèm, t non aux composants pris séparémnt, qui nécssitnt un approch d concption plus élaboré t qui contribunt à l émrgnc d un nouvll disciplin d l ingéniri : la scinc ds systèms. Dans c cadr, nous nous somms intérssés à la manièr d concvoir un systèm d ntraînmnt n y intégrant ls intractions ntr ss constituants dès ls prmièrs étaps du procssus d concption. Ls ntraînmnts qu nous considérons plus n détail dans c manuscrit auront la particularité d fonctionnr à vitss élvé. C travail a été réalisé n partnariat avc la société Moturs Lroy-Somr qui s intrss au dévloppmnt d comprssurs cntrifugs à haut vitss. Un systèm d ntraînmnt st généralmnt constitué d un convrtissur statiqu qui alimnt un machin élctriqu. Il s agit bin d un systèm dans l sns où il st composé d plusiurs élémnts (un convrtissur statiqu t un convrtissur élctromécaniqu). Dès lors qu on souhait concvoir un nsmbl ondulur-machin, qull qu soit sa vitss d fonctionnmnt, il st judiciux d considérr l systèm dans sa totalité. Cla st d autant plus nécssair si on désir obtnir un systèm globalmnt optimal. Si ls élémnts du systèm sont conçus séparémnt d manièr optimal, puis réunis, l systèm complt n st pas nécssairmnt optimal ; il put êtr qualifié d sous-optimal. Concvoir un systèm nécssit d connaîtr son fonctionnmnt. Ainsi la prmièr étap du procssus d concption consist à analysr l systèm, puis nsuit à l modélisr. La phas d modélisation a pour objt d n décrir mathématiqumnt l comportmnt physiqu. Dans l approch «systèm» qui doit êtr dévloppé, la modélisation doit portr sur l comportmnt ds élémnts du systèm mais égalmnt, t au mêm nivau, sur lurs intractions. Lorsqu il s agit d concvoir un composant l concptur doit idntifir ls champs d la physiqu qu il st prtinnt d considérr. D la mêm manièr, lors d la concption d un systèm, l concptur doit modélisr ls intractions significativs ntr ls différnts élémnts. Ainsi la délimitation ds domains d la physiqu t ds intractions à considérr font appl à l xpérinc t au savoir fair du concptur. Pour illustrr c propos, nous pouvons donnr un prmir xmpl d intraction. Lorsqu la machin st alimnté par un ondulur piloté n modulation d largur d impulsions, la fréqunc d découpag doit alors êtr choisi avc précaution. Un fréqunc d découpag trop élvé conduirait à un échauffmnt xcssif ds smiconducturs d l alimntation. D un autr côté, un faibl fréqunc d découpag induirait ds forms d onds d courant distordus qui pourraint dégradr ls prformancs d la machin élctriqu. La fréqunc d découpag constitu donc un paramètr d concption d prmir ordr pour l systèm complt. C prmir constat montr bin ls intractions qui puvnt xistr au sin du systèm ondulur-machin ainsi qu l importanc d considérr tous ls élémnts du systèm lors d 1

14 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin sa concption. Ls intrdépndancs évoqués ci-avant puvnt êtr d autant plus marqués qu la fréqunc d découpag st proch d la fréqunc du fondamntal. Or il s trouv qu ls systèms d ntraînmnt d très fort puissanc ou à vitss élvé sont dans ctt situation. En raison ds particularités d l application visé, il smbl alors nécssair d adoptr un approch «systèm» afin d concvoir c typ d ntraînmnt. Ls systèms d ntraînmnt élctriqus à haut vitss sont intérssants car ils prmttnt d améliorr crtains prformancs ds procédés dans lsquls ils sont intégrés. Lur utilisation put prmttr d augmntr la puissanc massiqu donc l amélioration d la compacité ou ncor d accroîtr l rndmnt d la chaîn d convrsion. Par xmpl, un comprssur cntrifug fonctionn d autant miux qu il tourn vit t il st possibl d diminur l tmps d cycl d un machin outil t d n augmntr sa précision n élvant sa vitss d rotation. L domain d fonctionnmnt d c typ d ntraînmnt génèr ds contraints particulièrs sur l convrtissur t sur la machin. D c fait, la concption d un tl systèm présnt un crtain nombr d difficultés. Ainsi, un vitss d rotation élvé put impliqur ds tnsions t fréquncs importants. Cci conduit à dux dévloppmnts. Ds nivaux d tnsions élvés amènnt à s intrrogr sur l choix d la topologi du convrtissur d alimntation la plus adapté à cs nivaux d tnsions. Au-dlà d la qustion structurll sur l alimntation s pos la réflxion sur ss aspcts fonctionnls. Comm il l a été écrit précédmmnt, à haut vitss, la fréqunc d découpag d l ondulur put êtr proch d cll du fondamntal. C mod d fonctionnmnt s éloign d clui idéalisé, dans lqul ls forms d onds d courant n sont plus strictmnt contrôlés, t présnt ds conséquncs sur ls harmoniqus d coupl, sur ls prts ainsi qu sur ls échauffmnts dans l systèm. Il faut alors étudir plus n détail l fonctionnmnt du systèm, c qui put conduir à pilotr l ondulur n modulation d largur d impulsions ou n plin ond. En plus ds particularités d la haut vitss sur l fonctionnmnt du systèm, il y a égalmnt ds contraints inhabitulls qui s xrcnt sur ls composants du systèm. La machin élctriqu st l liu d prts aérodynamiqus importants t d contraints thrmiqus t mécaniqus marqués. L ondulur pour sa part fonctionn à ds nivaux d fréquncs élvés qui s traduisnt par ds prts importants, notammnt n commutation, qui conduisnt ls pucs smi-conductrics à travaillr à lur limit thrmiqu. Ls considérations évoqués à propos d la machin t d l ondulur nécssitnt d caractérisr l systèm à l aid d un modélisation multiphysiqu. Cci afin d concvoir ds systèms d ntraînmnt qui vérifint ls prformancs dmandés t qui soint pérnns thrmiqumnt t mécaniqumnt. La modélisation multiphysiqu du systèm prmt d passr à la suit du procssus d concption où il faut établir ls caractéristiqus du systèm qui vont prmttr d attindr ls prformancs désirés. Il st alors souvnt souhaité qu la concption d un systèm s fass au miux suivant ds objctifs d coût, d mass, d prformancs La quantité d matièr alors nécssair t suffisant à la réalisation ds prformancs doit êtr mployé. Ctt nécssité d concvoir au plus just impliqu l utilisation d modèls rlativmnt précis t d méthods d concption par optimisation. Finalmnt, la problématiqu initialmnt posé nous conduit à adoptr un approch systèm, basé sur un modélisation multiphysiqu, t à utilisr ds procédés d dimnsionnmnt par optimisation. Ctt démarch d concption n st pas propr aux ntraînmnts à vitss élvé, ll st applicabl dès lors qu il s agit d la concption d un systèm. Simplmnt, l domain d la haut vitss, où ls couplags sont particulièrmnt 13

15 Introduction général marqués, justifi davantag la nécssité d un tll approch pour obtnir d bons résultats au nivau systémiqu. Objctifs d ctt thès La concption d systèms ainsi qu la modélisation ds intractions ntr lurs différnts composants constitunt un vrrou scintifiqu important qu il st proposé d lvr n parti dans c mémoir. L objctif d ctt thès st alors d proposr un démarch d concption optimal d un systèm d ntraînmnt à haut vitss basé sur un modélisation multiphysiqu ds composants d ct nsmbl t sur un dscription fin d lurs intractions. L cœur d la modélisation ds intractions qu nous proposons résid dans l modèl élctriqu du systèm car c st l couplag principal ntr l ondulur t la machin. Clui-ci prmt d détrminr, n régim prmannt, la form d ond ds courants dans la machin à partir d la form d ond ds tnsions délivrés par l ondulur. Ctt approch présnt un dgré d précision supplémntair par rapport aux modèls classiqus qui n considèrnt qu ls fondamntaux ds forms d onds ds grandurs élctriqus. Il st nsuit possibl d détrminr l influnc d cs grandurs élctriqus sur la qualité du coupl t sur ls prts dans l systèm. Ls modèls stimant lsdits grandurs sront dévloppés d manièr à êtr suffisammnt précis pour caractérisr avc sns ls intrdépndancs ntr ls composants du systèm t pour apportr ds élémnts d répons à ds qustions tlls qu : Ls prts du systèm doivnt-lls êtr rportés dans l ondulur (fréqunc d découpag élvé) ou dans la machin (fréqunc d découpag faibl)? Et quls sont ls impacts sur ls ondulations d coupl, l rndmnt ou ncor l coût du systèm? En raison du fonctionnmnt à haut vitss, nous dévlopprons un modélisation multiphysiqu d l ondulur t d la machin. Cs modèls sont nécssairs car il y a ds précautions à prndr lors du dimnsionnmnt d un machin rapid ; précautions qui n sont pas toujours nécssairs lors d la concption d machins plus convntionnlls. Un d nos objctifs st ainsi d établir ds modèls, pour crtains couplés : élctromagnétiqu, thrmiqu, mécaniqu ou ncor tchnico-économiqu. Dans l objctif d concvoir par optimisation, un contraint d modélisation st d dévloppr ds modèls analytiqus légrs qui s intègrnt aisémnt dans un procédur d concption itérativ sans pénalisr ls tmps d calcul. Ls modèls analytiqus, dévloppés sur la bas d hypothèss simplificatrics, n conduiront probablmnt pas à la solution réllmnt optimal. Ainsi, dans l idé d réduir ls écarts ntr la réalité t la modélisation, ds outils plus précis sont mployés dans un scond phas d la concption. L nsmbl du procssus d concption par optimisation n dux étaps st dit «hybrid» t fait appl succssivmnt à ds modèls analytiqus puis à un combinaison d modèls analytiqus t par élémnts finis. La méthod élaboré sra alors appliqué à la concption d dux systèms d ntraînmnt pour ds applications dvant rspctr ls conditions définis par un cahir ds chargs tout n prnant n compt ds aspcts tchnico-économiqus. Finalmnt l analys ds résultats obtnus nous prmttra d fair rssortir ds caractéristiqus importants ds systèms d ntraînmnt à haut vitss. 14

16 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Nous nous fforcrons donc d attindr ls objctifs suivants : - dévloppr un modélisation analytiqu multiphysiqu d un systèm d ntraînmnt ondulur-machin à haut vitss ; - mttr n œuvr un démarch d concption par optimisation mêlant modèls analytiqus t modèls numériqus ; - appliqur ctt approch d dimnsionnmnt à dux cas t tirr ds conclusions sur ls ntraînmnts à vitss élvé. Plan du manuscrit C manuscrit st composé d la présnt introduction, d trois partis corrspondant au corps d cs travaux d rchrch, t d un conclusion général. Afin d attindr ls objctifs d ctt thès, un prmièr parti bibliographiqu analys l état d l art n matièr d concption optimal d systèms, ll abord nsuit ls différnts typs d modélisation à la disposition du concptur, t nfin ll présnt ls particularités ds systèms d ntraînmnt à haut vitss. Cs spécificités sont rlativs à la machin élctriqu comm à l ondulur t concrnnt ls aspcts élctriqu, magnétiqu, thrmiqu t mécaniqu. À l issu d ctt parti, nous pouvons établir ls topologis d systèms d ntraînmnt adaptés aux hauts vitsss, définir la natur ds modèls qu nous dvons dévloppr t décidr d l approch d concption optimal à mttr n œuvr. La scond parti du mémoir st dédié à la modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm n prnant soin d caractérisr finmnt ls intractions ntr ls élémnts. En prmir liu, un modélisation élctromagnétiqu d la machin prmt d détrminr ls paramètrs élctriqus d la machin (inductancs synchrons t forc élctromotric) dans la théori ds dux axs d Blondl, n fonction ds caractéristiqus d la machin. Cs paramètrs sont utilisés dans l modèl élctriqu, mttant n œuvr un approch harmoniqu original, afin d détrminr ls forms d onds ds courants t du coupl n régim prmannt, à partir d la connaissanc ds tnsions appliqués à la machin ; donc n fonction du pilotag d l ondulur, car c st c drnir qui impos ls tnsions aux borns d la machin. Ensuit, différnts posts d prts dans la machin (fft Joul, fr, aérodynamiqus) t dans l ondulur (conduction t commutation) sont modélisés n intégrant ls forms d ond ds grandurs élctriqus n régim prmannt. Cs multipls prts sont à l origin d échauffmnts dans l systèm qu un modélisation thrmiqu prmttra d évalur. L comportmnt mécaniqu d la machin st modélisé du point d vu ds contraints statiqus t égalmnt ds contraints dynamiqus. Enfin la modélisation tchnico-économiqu du systèm, qui donn un évaluation du coût du systèm n fonction ds caractéristiqus d ss composants, vint clôturr ctt scond parti. La drnièr parti du mémoir st consacré à la mis n œuvr d la modélisation multiphysiqu au sin d un démarch d concption hybrid t à son application à la concption d dux systèms d ntraînmnt. L prmir fonctionn à tr/min t doit dévloppr 30 kw ; il faudra maximisr l rndmnt global d la convrsion t minimisr simultanémnt l coût global du systèm. L scond systèm à dimnsionnr doit tournr à 7 00 tr/min pour un ncombrmnt limité ; il s agira d maximisr l coupl dans l spac disponibl. Cs dux dimnsionnmnts, dont ls variabls d optimisation sont rlativs à la machin (dimnsions géométriqus, propriétés ds matériaux, constitution du bobinag), à l ondulur (caractéristiqus d la modulation d largur d impulsions) t à la command du systèm (angl d pilotag), sront ffctués n régim prmannt t sous contraints thrmiqu, élctromagnétiqu t mécaniqu. Enfin la conclusion général rprndra ls principaux apports d c travail d rchrch t évoqura crtains prspctivs t d évntuls axs d dévloppmnt. 15

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18 PARTIE I ÉTAT DE L ART SUR LA CONCEPTION, SUR LA MODELISATION ET SUR LES SYSTEMES D ENTRAINEMENT A HAUTE VITESSE

19 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss I. Introduction L objctif d c travail d rchrch st d proposr un démarch d concption adapté aux systèms d ntraînmnt à haut vitss. L prmir ds objctifs st d concvoir. À ct fft, il faut s intérssr aux différnts méthods d concption car lls puvnt conditionnr la suit d la démarch. Etant donné qu il s agit d concvoir un systèm, nous abordrons ls particularités d concption liés à un approch systèm, notammnt clls qui concrnnt ls intractions ntr ls différnts élémnts d un systèm. L élaboration d un systèm pass n prmir liu par la connaissanc d son comportmnt, c st la phas d analys. Cll-ci doit débouchr sur un dscription mathématiqu ds phénomèns physiqus qui régissnt l comportmnt ds élémnts du systèm, c st la phas d modélisation. Ctt drnièr srt d support à la concption car ll prmt d prédir ls prformancs du systèm n fonction d ss caractéristiqus. Nous vrrons alors quls sont ls typs d modélisation qui puvnt êtr impliqués dans la concption t commnt cux-ci puvnt êtr combinés avc différnts méthods d optimisation. À c stad il st possibl d établir différnts combinaisons possibls ntr ls typs d modèl t ls approchs d concption. Cs généralités sur la concption t la modélisation d systèms sront complétés par un présntation ds caractéristiqus ds systèms d ntraînmnt à haut vitss. Un analys ds particularités d c typ d fonctionnmnt st mné car clls-ci puvnt influncr notablmnt la topologi du systèm, l contnu d la modélisation ds élémnts du systèm, t la dscription ds intractions ntr ls composants. Ctt parti st donc consacré à un rvu d l art n c qui concrn, prmièrmnt, ls problématiqus d concption d systèms, puis ls typs d modélisation disponibls pour caractérisr l comportmnt d un composant, t nfin ls particularités liés au fonctionnmnt ds ntraînmnts à vitss élvé. 18

20 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin II. Concption d systèms II.A. Un définition d la concption La concption d systèms st l activité prmttant d définir ls caractéristiqus d cs mêms systèms afin d répondr à un bsoin, à ds prformancs spécifiqus. Clls-ci sont souvnt formulés dans un cahir ds chargs qui définit ls prformancs attndus du systèm t ls divrss contraints qu il doit satisfair. La frontièr st parfois ténu ntr c qui st formulé comm un contraint t c qui l st comm un objctif à attindr n trms d prformancs. Plusiurs étaps jalonnnt l action d concption comm l définit [Mak06] : l choix d un structur d systèm potntillmnt intérssant, la modélisation d la structur élu, l dimnsionnmnt t nfin l analys t la validation ds solutions. Si l un d cs étaps n put êtr mné à trm, la procédur d concption doit êtr rpris n rvnant aux étaps précédnts. Ctt approch classiqu d concption put êtr nuancé par c qui st connu sous l nom d optimisation topologiqu. Dans l approch classiqu, un structur st choisi puis ss dimnsions sont optimisés. L optimisation topologiqu consist, à partir d un fuill blanch, à laissr l optimisur rmplir l spac d dimnsionnmnt avc ls matériaux t propriétés physiqus qui vont conduir à optimisr ls caractéristiqus du dispositif. Au cours du procssus d optimisation, la structur optimal s dssin. Ctt approch a été mployé dans la concption optimal d piècs polairs rotoriqus [Il05], dans la concption d butés magnétiqus [Lab09] ou ncor dans l élaboration d pomps élctromagnétiqus [Dn09]. Nous focalisrons l propos sur l approch d concption usull où l choix d un structur st un préalabl. L problèm d concption dvint alors un problèm d dimnsionnmnt optimal. Pour l résoudr il faut êtr n msur d rlir ls caractéristiqus du systèm à ss prformancs, c st l étap d modélisation. La plupart du tmps il st plus aisé d ffctur l opération invrs : xprimr ls prformancs n fonction ds caractéristiqus du systèm. La rlation qui prmt cla st applé modèl dirct ou modèl d analys. L écritur d c typ d modèls st plus naturll qu la définition d la rlation réciproqu, qui n st pas toujours univoqu : un infinité d solutions puvnt alors satisfair ls spécifications du systèm [Esp99] [Vid04] [Ms08]. II.A.1) La méthod ssai-rrur Il n st pas nécssair d détrminr xplicitmnt la rlation réciproqu évoqué précédmmnt. En fft, il st possibl, à partir du modèl dirct, d tstr ds jux d paramètrs ou caractéristiqus du systèm t d obsrvr si ls prformancs qui n découlnt satisfont l cahir ds chargs. Ctt approch st du typ ssai-rrur. Ell put êtr plus ou moins longu n fonction d l xpérinc du concptur. Un approch plus rationnll consist tout d mêm à détrminr la rlation ntr prformancs t caractéristiqus. 19

21 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss II.A.) L invrsion du modèl d analys Un procédur d invrsion du modèl dirct prmt alors d trouvr ls caractéristiqus qui vérifint l cahir ds chargs. L invrsion put êtr ffctué à la main, dans l cas où l modèl st écrit sous form d un nsmbl d équations analytiqus. Dans c cas l concptur formul son modèl dirctmnt dans l sns d la concption [Bri03]. Cci dit, l invrsion n st pas un tâch évidnt, on st parfois conduit à n invrsr qu un parti du systèm d équations car c drnir n st pas complètmnt xplicit. Dans l cas où l modèl dirct st formulé par un méthod numériqu (typ élémnts finis par xmpl), l invrsion manull dvint impossibl. Dans tous ls cas précités, un autr approch consist à invrsr l modèl dirct par l utilisation d un méthod d optimisation. II.A.3) La concption par optimisation L invrsion du modèl dirct par un méthod d optimisation st souvnt qualifié d concption par optimisation. Ctt approch st maintnant largmnt diffusé t mployé dans la concption d systèms élctrotchniqus [Esp99] [Rég03] [Vid04] [Mak06] [[Fon07] Ms07] [Hli08] [Bom09] [Lg09] ou élctroniqus d puissanc [Lar0] [Hl06] [Man09]. Ell nécssit d transformr l problèm d concption formulé par un cahir ds chargs n un problèm d optimisation. Nous avons vu qu un cahir ds chargs précis ls prformancs d un systèm t ls contraints qu il doit satisfair. Il a été écrit égalmnt qu la frontièr put êtr ténu ntr contraints t prformancs. L problèm d optimisation consist alors à optimisr (maximisr ou minimisr) un ou plusiurs prformancs du systèm sous contraints. Dans l langag ds optimisurs, il s agit d optimisr un ou plusiurs fonctions sous ds contraints d optimisation. Ls prformancs du cahir ds chargs puvnt êtr traduits comm fonctions à optimisr mais il st parfois plus judiciux d ls transformr n contraints d optimisation. Il n va d mêm pour ls contraints du cahir ds chargs. Il st naturl d ls traduir n contraints d optimisation mais il st parfois plus intérssant d ls considérr comm fonctions à optimisr. Finalmnt l cahir ds chargs st transformé n un problèm d optimisation sous contraints. Dans ctt thès nous mploirons ctt approch d concption par optimisation car ll prmt d invrsr ds modèls d analys complxs, d maximisr ou minimisr crtains prformancs du systèm t d n rationalisr la concption. Optimisation mono ou multi-objctifs Suivant l nombr d objctifs à satisfair on s trouv dans l cas d optimisations mono ou multi-objctifs. L optimisation mono-objctif s ntnd bin. L optimisation multiobjctifs consist à optimisr simultanémnt plusiurs objctifs, parfois antinomiqus. Dans l industri, par xmpl, il st commun d chrchr à obtnir ls millurs prformancs au millur prix, c qui st contradictoir la plupart du tmps. L optimisation mono-objctif n pos pas d problèm particulir dès lors qu la fonction objctif st défini t qu l algorithm a été choisi. L optimisation multi-objctifs pos l problèm d la rprésntation ds solutions. Dux approchs philosophiqumnt différnts xistnt : la méthod d agrégation ds objctifs t la rprésntation ds objctifs sous form d surfac d Parto [Col0]. La méthod d agrégation ds objctifs consist à passr d un optimisation multiobjctifs à un optimisation monodimnsionnll où la fonction à traitr st un somm pondéré ds multipls objctifs initiaux plus facil à résoudr. Ctt méthod suppos d connaîtr au préalabl l poids rlatif ds différnts objctifs afin d construir la fonction d agrégation. 0

22 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin La scond approch prnd comm princip qu l concptur n sait pas fixr a priori ls poids ds différnts objctifs. La rprésntation par un surfac d Parto prmt d rportr la pondération ntr ls différnts objctifs un fois ls différnts solutions connus. Un surfac d Parto st un spac d dimnsion n-1, n étant l nombr d objctifs. Surfac d Parto Un solution st dit Parto-optimal si l amélioration d un ds objctifs s fait au détrimnt d au moins un sul ds autrs objctifs. Si nous prnons l cas d un optimisation bi-objctifs du rndmnt t du coût du systèm d convrsion, un solution sra dit Parto-optimal si l augmntation du rndmnt conduit à un augmntation du coût. Si on put à la fois accroîtr l rndmnt t baissr l coût d rvint, la solution n st pas optimal au sns d Parto. L concpt d domination st alors posé t la Figur 1 illustr sa mis n pratiqu. Figur 1 - Exmpl d front d Parto : si ls situations préférabls sont clls où f 1 t f sont ls plus faibls, l point B n'st pas sur l front d Parto parc qu'il st dominé par l point A. L point A st dit Parto-optimal [Mét10]. On put matérialisr l nsmbl ds solutions Parto-optimals par un frontièr. En dux dimnsions cla rvint à tracr dans l plan un objctif n fonction du scond. Si on ffctu un optimisation d 3 fonctions objctif, la frontièr qui rprésnt l nsmbl ds solutions Parto-optimals, corrspondra à un surfac. Finalmnt, l concptur ffctu son choix parmi l nsmbl ds solutions Partooptimals. Cci corrspond à un pondération ds objctifs après coup. La qustion du choix d un solution n possèd pas d répons uniqu t dépnd d l application, d son contxt t d autrs considérations annxs (duré d vi, facilité d rcyclag ). Par la suit nous n traitrons qu d cas d optimisations bi-objctifs t nous parlrons donc d fronts d Parto. L problèm d optimisation, qu il soit formulé sous form uni- ou multidimnsionnll, nécssit l mploi d un algorithm d optimisation afin d n trouvr ls solutions. Il xist un grand variété d cs algorithms qu nous allons classr t décrir succinctmnt. 1

23 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss II.A.4) Ls algorithms d optimisation Il st fréqunt d trouvr un classification ds algorithms d optimisation suivant lur caractèr détrminist ou stochastiqu [Hl06] [Mak06]. La différnc ntr cs dux famills résid dans l évolution du procédé d optimisation. En partant d un point d départ défini, un algorithm détrminist poursuivra toujours la mêm évolution alors qu un algorithm stochastiqu n aura jamais xactmnt l mêm comportmnt t n conduira pas xactmnt à la mêm solution. Ls algorithms détrminists Dans la famill ds algorithms détrminists, on put réalisr un sous-classification suivant l caractèr dirct ou indirct d l algorithm. On parl égalmnt d l ordr d la méthod. Ls algorithms dircts, ou d ordr 0, sont ds algorithms qui utilisnt l résultat d la fonction objctif pour détrminr ls paramètrs d optimisation du pas suivant. Dans ctt catégori s rtrouvnt l algorithm du simplx d Nldr-Mad [Nl65], ls algorithms d rchrch dirct [Tor97], la méthod d la mir [Oks00] t d autrs. Cs méthods ont l avantag d n nécssitr qu la connaissanc d la valur d la fonction objctif. Par aillurs ils s comportnt miux qu ls méthods indircts dans ls cas où la fonction st bruité ou discontinu. On trouv nsuit ls méthods indircts d ordr 1 ou. Cs algorithms utilisnt ls dérivés partills, d ordrs 1 ou (on comprnd alors pourquoi ls algorithms dircts sont égalmnt qualifiés d algorithms d ordr 0, ils n ont pas rcours au calcul ds dérivés partills), ds fonctions objctifs pour convrgr vrs l optimum. On rtrouv dans ctt catégori ls méthods du gradint (dscnt ou monté) à pas fix ou variabl, la méthod d Nwton, l gradint conjugué, la méthod d Lvnbrg-Marquardt, t d autrs [Oks00]. Cs méthods nécssitnt d connaîtr formllmnt ou numériqumnt ls dérivés partills d la fonction. Cci constitu un difficulté supplémntair t un ds désavantags d cs méthods. Au rang ds inconvénints, on put égalmnt citr la rstriction d cs méthods aux spacs d rchrch t d solutions continus. Ells n ont pas non plus un bon comportmnt lorsqu la fonction st bruité (fonction numériqu par xmpl). Ells ont par contr l avantag d convrgr rapidmnt t d prmttr d évalur la précision du résultat optimal obtnu. Ls algorithms stochastiqus Ls algorithms stochastiqus inclunt un part d aléa dans la rchrch d l optimum, d où l qualificatif d stochastiqu. C st pour ctt raison qu dux xécutions d un algorithm sur l mêm problèm n conduisnt pas à la mêm évolution du procssus d convrgnc. Ils n nécssitnt qu la connaissanc d la fonction objctif pour progrssr. On trouv dans ctt catégori principalmnt dux classs : ls algorithms traitant ds populations d solutions t ls algorithms travaillant sur l évolution d un solution dans l spac d rchrch. Algorithms à bas d population Dans ls algorithms à bas d population, on trouv principalmnt ds algorithms évolutionnairs t ds algorithms multi-agnts. Ils prnnnt ssnc pour la plupart d l obsrvation d la natur. Ainsi on trouv ls algorithms génétiqus, ls ssaims particulairs, ls colonis d fourmis, ls algorithms à stimation d distribution, t d autrs [Dré06]. Algorithms travaillant sur l parcours On trouv principalmnt dans ctt catégori la rchrch tabou t l rcuit simulé.

24 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Cs méthods, qui sont n fait ds métahuristiqus, ont l avantag d œuvrr pour la rchrch d l optimum global là où ls méthods détrminists puvnt conduir à ds optima locaux. Ells prmttnt égalmnt, plus ou moins aisémnt slon ls méthods, d traitr ls variabls d optimisation discrèts t ls fonctions complxs (non dérivabls, non continus, bruités ). Cs méthods évolunt slon dux procédés : un procédé d divrsification t un procédé d intnsification ds rchrchs. L prmir prmt d xplorr l nsmbl d l spac d rchrch t évntullmnt d s échappr d un xtrmum local alors qu l scond procssus prmt d intnsifir ls rchrchs dans un zon promttus d l spac d rchrch. Un difficulté dans l utilisation d cs algorithms st d bin réglr l cursur ntr cs dux tndancs. Au rang ds inconvénints, on put rlvr la rlativ lntur d cs méthods pour attindr l xtrmum du au nombr d évalutation t l manqu d information sur la qualité d ct xtrmum. Aptitud ds algorithms à l optimisation multi-objctifs On trouv d nombruss méthodologis qui prmttnt d convrgr vrs un front d Parto [Col0]. On trouv ds méthods mttant n œuvr un succssion d optimisations mono-objctif par agrégation ds objctifs (ls différnts optimisations corrspondnt à différnts agrégations ds objctifs) t d autrs utilisant ds algorithms stochastiqus qui prmttnt d traitr tous ls objctifs simultanémnt. L prmir typ d méthods nécssit d procédr n dux tmps. L un ds objctifs st transformé n contraint d égalité. Pour un valur du prmir objctif, l scond objctif st optimisé. On répèt c procssus n changant la valur d la contraint d égalité du prmir objctif. Finalmnt, on sélctionn ls solutions non dominés pour constitur l front. Ctt mis n œuvr st lourd n calculs t nécssit autant d routins d optimisation qu d points spérés sur l front d Parto. On put réduir la complxité d l obtntion du front d Parto n utilisant un procédé d typ Multiobjctiv Optimization Evolutionary Approach (MOEA). Cs approchs basés sur ds algorithms évolutionnairs prmttnt, n un sul procssus, d convrgr vrs l front d Parto [Zit00]. Avc c typ d méthods parmi lsqulls on trouv ls algorithms NSGA-II [Db0], SPEA [Zit01] ou ncor NPGA [Eri01], la population d solutions «s étal» au cours ds itérations l long du front d Parto. Choix d un méthod d optimisation L choix d la méthod d optimisation dépnd du problèm d optimisation à traitr. Il n xist pas d méthod d optimisation plus fficac qu aucun autr pour traitr tous ls problèms d optimisation. Il s agit ds conclusions du théorèm du no fr lunch (pas d rpas gratuit) [Dré06]. Nous pouvons tout d mêm constatr qu lorsqu il s agit d traitr ds problèms d optimisation multi-objctifs ls MOEA sont ls plus indiqués. Dans c travail où nous abordrons ds problèms mono t multi-objctifs, nous n mploirons qu un algorithm d typ évolutionnair. L choix d c typ d méthod sra justifié n parti III d c mémoir. II.A.5) Gstion ds contraints Ls contraints du problèm d optimisation sont d dux naturs différnts : clls rlativs aux variabls d optimisation (l spac d rchrch st limité) t clls rlativs aux grandurs d sorti du modèl (l spac ds solutions st limité). Ls problèms d optimisation qu nous srons amnés à traitr sront contraints par différnts aspcts d la Physiqu (magnétiqu, thrmiqu, mécaniqu ), par ds contraints d industrialisation ainsi qu par crtains prformancs qui pourront êtr traduits n contraints. 3

25 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss La formulation ds contraints sur l papir st aisé, il faut nsuit ls intégrr à l algorithm d optimisation. Nous avons écrit précédmmnt qu nous utilisrons ds algorithms évolutionnairs. Nous allons présntr un manièr d prndr n compt ls contraints dans c typ d algorithms. Un façon d procédr st d utilisr ls fonctions pénalités. Cs drnièrs srvnt à la gstion ds contraints sur ls paramètrs d optimisation tout comm lls puvnt êtr mployés dans la gstion ds contraints sur ls grandurs d sorti. L princip consist à altérr la fonction objctif (dit fonction d fitnss) ds solutions qui n rspctnt pas ls contraints imposés ; la fonction d fitnss étant c qui prmt d classr ls élémnts d un population. Cla put s traduir sous la form mathématiqu suivant : f N con ( x) = ( x) + ( max[ 0, ]) φ r i g i Éq. 1 i= 1 Avc φ( x) la fonction objctif, r i l multiplicatur d pénalité, t g i un fonction d contraint. Ainsi un élémnt d population qui viol un contraint s vrra attribur un mauvais fitnss t aura un influnc tout rlativ sur la prochain itération. Il put cpndant êtr intérssant d consrvr ls élémnts n possédant pas d bonns fitnss car ils puvnt mnr à ds élémnts admissibls d bonn qualité. Il faut précisr qu pour d nombrux problèms, l optimum st attint lorsqu l un au moins ds contraints d séparation st saturé, c st-à-dir qu cll-ci st situé sur la frontièr d l spac admissibl. À travrs ctt obsrvation, il apparait qu la gstion ds contraints n pénalisant la fonction fitnss nécssit un crtain «dosag». Cci afin d n pas favorisr la rchrch d solutions admissibls au détrimnt d la rchrch d l optimum ou invrsmnt. II.B. Approch scinc ds systèms : ls intractions ntr élémnts L approch présnté dans l paragraph précédnt st majoritairmnt mis n œuvr dans la concption optimal d composants. Pour illustrr l intérêt d considérr l systèm dans son nsmbl dès la phas d concption, nous pouvons citr ls travaux d [Ark05]. Ls auturs s sont intérssés à la combinaison optimal ntr la fréqunc d découpag d l ondulur t ls prts dans la machin élctriqu. Ils ont alors constaté qu il était préférabl, dans l cas étudié, d alimntr ls machins (asynchrons t à aimants prmannts) n plin ond plutôt qu avc un MLI comportant 6 ou 7 impulsions par périod car cla prmttait d réduir ls prts dans ls machins (il st alors évidnt qu ls prts dans l ondulur sont aussi réduits). Cs constatations montrnt qu la concption d un machin puis l dimnsionnmnt d l ondulur n conduit pas à l optimum global du systèm, au moins du point d vu ds prts. Sul la pris n compt du systèm complt dès la phas d concption st à mêm d conduir vrs un systèm globalmnt optimal. L application d la démarch d concption par optimisation à un systèm complx, t non plus à un composant, nécssit ds aménagmnts. D un manièr général lorsqu on considèr un systèm formé d plusiurs élémnts cf. Figur l comportmnt individul d chaqu élémnt put êtr dépndant d clui ds ss voisins. Ainsi l étud d un systèm pass par l analys du comportmnt intrn d chaqu élémnt t par la compréhnsion ds intractions ntr ls différnts élémnts. Suit à l analys, un 4

26 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin modélisation du systèm d ss élémnts t d lurs intractions doit êtr réalisé afin d mnr à bin la phas d concption optimal. Figur - Rprésntation d un systèm composé d élémnts t d lurs intractions L analys du comportmnt intrn d chaqu élémnt du systèm sra discuté plus loin dans l documnt. Concrnant ls intractions ntr élémnts, dux approchs xistnt : la dscription complèt ds intractions ou alors la considération d l influnc d un élémnt sur un autr comm un contraint. À titr d xmpl pour éclaircir l propos, considérons un machin élctriqu alimnté par un convrtissur élctroniqu. En s plaçant du point d vu d la machin, nous pouvons admttr qu ls grandurs élctriqus fournis par l convrtissur élctroniqu sont parfaits (sinusoïdals dans la plupart ds cas). Ctt considération impos ds contraints d dimnsionnmnt sur l alimntation élctroniqu (notammnt sur la fréqunc d découpag) afin d fournir cs forms d onds. Comm xposé dans [Mk01], ctt approch d concption séquntill conduit à optimisr la machin puis à concvoir au plus just l alimntation. La mis n commun d cs dux composants optimaux pris séparémnt n conduit pas nécssairmnt à l optimalité global du systèm, l systèm put alors êtr qualifié d sous-optimal. À partir d ct xmpl, on put comprndr qu ls intractions ntr élémnts puvnt êtr parfois simplifiés t formulés sous form d contraints ou d hypothèss sur crtains élémnts du systèm. Tout la difficulté pour l concptur du systèm st d situr la limit d étud du systèm t d savoir qulls contraints ou hypothèss puvnt êtr formulés raisonnablmnt sans pénalisr xcssivmnt la solution final. La modélisation complèt (fin) ds intractions prmt d s affranchir d la formulation d contraints rlativs aux intractions. En fft cs drnièrs, comm on l a dit précédmmnt, pourraint pénalisr xcssivmnt la solution final car lls font appl à l xprtis du concptur. Libérr cs contraints n réalisant un modélisation complèt (fin) ds intractions prmttrait d ouvrir d nouvaux horizons au concptur t d rationnalisr l travail d concption. Un scond xmpl, cntré sur un machin élctriqu, put égalmnt illustrr l propos. Nous pouvons considérr la machin comm composé d un sous-systèm élctromagnétiqu t d un sous-systèm thrmiqu. Il st bin connu ds élctrotchnicins qu l nivau d échauffmnt d la machin dépnd ds prts, notammnt ds prts par fft Joul. Il st alors fréqunt, pour évitr ds élévations d tmpératur trop importants, 5

27 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss d limitr la dnsité d courant dans ls conducturs à 5 A/mm². Ctt limitation provint ds habituds d concption t ll résult égalmnt d l absnc d modélisation thrmiqu qui prmtt d traduir la rlation ntr échauffmnt t prts par fft Joul. Un modélisation couplé du systèm élctromagnétiqu t thrmiqu lèvrait ctt contraint t libérrait la solution final. Cci put conduir à un solution possédant aussi bin un dnsité d courant supériur à 5 A/mm² qu infériur. Cci a été montré par [Lg09] n comparant ls résultats optimaux d dux machins, la modélisation thrmiqu étant réalisé par un contraint sur la dnsité d courant maximal dans l prmir cas t par un modèl thrmiqu nodal dans l scond cas. Qulls intractions considérr? Lors d la phas d dimnsionnmnt d un systèm, l concptur doit idntifir ls domains d la physiqu qui régissnt l comportmnt du systèm t ls inclur dans la modélisation. Il doit égalmnt idntifir ls intractions ntr élémnts à considérr dans ctt étap d modélisation. La modélisation d touts ls physiqus t d touts ls intractions put êtr un tâch complx, c qui amèn souvnt l concptur à n rtnir qu ls physiqus t couplags prtinnts à son sns t au rgard d son application. Lorsqu on s intérss à un systèm formé d un élctroniqu d puissanc t d un machin élctriqu, plusiurs couplags concrnant différnts physiqus xistnt. On put citr ds intractions ntr l ondulur t la machin élctriqu concrnant ls vibrations t l bruit [LB08] [Oj09], ls prts par fft Joul [Nan03] [Iwa09] t fr [Kac96] [Bog03], ls prformancs dynamiqus (ondulations d coupl) [Hol96] [Fr98] [Par08], ls prts dans ls aimants [Yam09a] [Yam10], tc. Finss d la modélisation ds intractions C qui a été écrit conduit finalmnt à classr la modélisation ds intractions suivant la finss d lur dscription. Dans c qui suit nous présntons un rvu ds différnts dgrés d modélisation ds intractions ntr élémnts d un systèm complx, n vu d la concption, sans prétntion d xhaustivité. II.B.1) L intraction comm un contraint ou un hypothès La modélisation ds intractions ntr élémnts d un systèm par l intrmédiair d un contraint ou d un hypothès constitu un découplag ds intractions, on s rtrouv dans un situation d couplag «faibl». Dans ls systèms élctrotchniqus qui nous concrnnt, on trouv ds intractions modélisés par contraints lors d la phas d concption. Cci s rtrouv, qu l on s plac du point d vu d la concption d la machin élctriqu ou d l alimntation élctroniqu n tant qu élémnt d un systèm. Lorsqu il s agit d machins élctriqus, il st courant qu l alimntation soit considéré comm un contraint d tnsion maximal qu n doit pas dépassr la tnsion nécssair aux borns d la machin, ou ncor comm un limit d courant [Vid04] [Rag08]. Ls élctronicins d puissanc procèdnt parfois d la mêm manièr n imposant ds contraints élctriqus sur la sorti ds convrtissurs statiqus pour traduir la présnc d la machin élctriqu n aval [Ejj10a]. Ctt approch d modélisation ds intractions par contraint simplifi la modélisation ds intractions. Il faut cpndant villr à c qu c typ d modélisation corrspond à ds hypothèss réalists sur l nsmbl du systèm. 6

28 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin II.B.) Modélisation au prmir ordr ds intractions Un étap intrmédiair dans la modélisation ds intractions ntr l ondulur t la machin st d considérr ls fondamntaux ds signaux élctriqus. Dans un approch d concption optimal d un systèm d ntraînmnt pour un motur rou, [Esp99] propos d modélisr ls intractions ntr ondulur t machin par l intrmédiair ds grandurs fondamntals ds courants t tnsions. L but st d stimr ls prts dans l ondulur t d vérifir ls contraints limits n courant t tnsion admissibls par l systèm. On rtrouv égalmnt ctt approch d modélisation ds intractions ntr la machin t son élctroniqu d puissanc, au prmir ordr, dans l dimnsionnmnt optimal d un chaîn d convrsion éolinn [Lop08]. Dans [Lg09], l autur propos un concption optimal d un nsmbl constitué d un transformatur tournant t d son élctroniqu associé (ondulur amont/fix t rdrssur aval/tournant). La fonction à maximisr st l rndmnt total du systèm. Trois structurs d alimntation sont considérés. Un modélisation élctriqu d l nsmbl st réalisé avc un logicil d calcul numériqu afin d établir l comportmnt n régim prmannt. Crtains hypothèss simplificatrics sont faits : la charg st modélisé par un sourc d courant continu t la fréqunc d découpag st arbitrairmnt fixé à 10 fois la fréqunc du fondamntal. Cs dux hypothèss n prmttnt pas d modélisr finmnt ls intractions ntr l alimntation, l transformatur tournant, t la charg. L concptur n put agir sur la fréqunc d découpag, grandur fondamntal du dimnsionnmnt, tout n évaluant ls conséquncs sur ls forms d onds élctriqus. Ctt approch d concption où l intraction ntr la machin t l ondulur st quantifié à l aid d un critèr qualitatif sur la form d ond ds grandurs élctriqus put s rtrouvr dans [Rég03]. Un systèm d traction automobil impliquant un convrtissur élctroniqu t un machin élctriqu st optimisé. La modélisation ds intractions ntr l ondulur t l motur d c systèm suppos qu la fréqunc d découpag doit êtr au moins 0 fois supériur à la fréqunc du fondamntal afin d assurr un contnu spctral qualitativmnt admissibl. II.B.3) La modélisation fin ds intractions À l analys d la littératur, très pu d travaux font état d un modélisation fin qui prmtt un dscription quantitativ ds couplags élctriqus t élctromagnétiqus ntr un élctroniqu d puissanc t un machin élctriqu t c n vu d un concption optimal. Un prmièr réalisation d concption optimal d un nsmbl ondulurmachin avc un modélisation fin ds intractions [Bi98, Bi99] Résumé court Au travrs d cs dux articls ls auturs présntnt dans un prmir tmps un modèl d analys d un motur à aimants montés n surfac alimnté n mod brushlss trapzoidal pour un application bass tnsion d typ scootr élctriqu. À ctt dat déjà, l bsoin d considérr l systèm d ntraînmnt dans son nsmbl dès la phas d concption s st fait rssntir. L systèm st alors modélisé analytiqumnt dans sa globalité. Dans l scond articl, un procédur d concption optimal mttant n œuvr l modèl d analys st xposé. L invrsion du modèl d analys st alors réalisé avc un algorithm d typ SQP. La pris n compt du systèm d ntraînmnt dans sa globalité conduit à 7

29 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss considérr ls variabls géométriqus d la machin au mêm nivau qu ls variabls d command d l ondulur. L analys détaillé d cs travaux prmttra d présntr ds couplags multidisciplinairs prtinnts t ls modèls associés (pour l application considéré) ainsi qu un option d méthodologi d concption qu il st possibl d mployr. Argumnts n favur d un analys systèm pour l application visé Ls auturs avancnt dux argumnts d un part la dynamiqu n courant t d autr part ls échauffmnts n régim transitoir afin d justifir la nécssité d un approch d concption impliquant un modélisation fin ds intractions : - La dynamiqu n courant dépnd principalmnt d la réactanc du motur t d la différnc d tnsion ntr la sourc d puissanc t la tnsion induit aux borns du motur. On conçoit qu lorsqu la tnsion d la sourc d puissanc st bass cla puiss nuir à la répons n courant. - D manièr général, ls échauffmnts d la machin vont modifir ls propriétés physiqus ds matériaux t par conséqunt ls valurs d résistanc t d forc élctromotric. Cs dux grandurs sont n lin dirct avc l comportmnt qu doit tnir l ondulur. Dscription ds modèls L modèl d analys du systèm {battri+ondulur+machin} st pluridisciplinair t intègr un modélisation ds intractions. Ls différnts modèls mployés sont listés ciaprès. Modélisation d la battri La battri st modélisé par un sourc d tnsion t un résistanc. Cs dux grandurs sont priss constants. Modélisation d la machin La machin st modélisé du point d vu élctriqu, magnétiqu t thrmiqu. Dès lors qu on s intérss au couplag avc l ondulur, ls courants doivnt êtr détrminés précisémnt avant qu on puiss n déduir l coupl. L calcul d c drnir fait intrvnir ls courants t ls forcs élctromotrics qui, lls, sont intrinsèqus à la machin. Un modèl élctromagnétiqu d calcul d champ à constants localisés (résau d réluctancs) prmt d détrminr analytiqumnt l amplitud d la forc élctromotric. C modèl intègr l fft d la réaction d induit sur l état d saturation magnétiqu d la machin. Modélisation d l ondulur modèl élctriqu Un fois ls sortis du modèl élctromagnétiqu détrminés (inductanc, résistanc t f.é.m.) l modèl élctriqu st appliqué afin d calculr l courant d phas au cours du tmps. Cci st obtnu par un résolution tmporll ds équations élctriqus d la machin à laqull st appliqué la tnsion découpé d sorti d ondulur. L application étant snsibl aux faibls nivaux d tnsion, un attntion particulièr a été porté sur ls chuts d tnsions dus aux composants élctroniqus d l ondulur. L ondulur st commandé n régulation d courant avc un comparatur à hystérésis. Finalmnt ctt stratégi d régulation st caractérisé par 4 paramètrs : l courant d référnc, la dmi-largur d hystérès, l angl d avanc à la commutation t la duré d conduction. Ls forms d onds d f.é.m. t d courant étant connus n régim prmannt, la form d ond du coupl put alors êtr détrminé. 8

30 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Modèls d prts Ls prts considérés sont localisés dans la résistanc séri d la battri, dans ls smi-conducturs d l ondulur t dans la machin. Ls prts modélisés dans la machin sont : ls prts par fft Joul (connaissant l évolution tmporll du courant), ls prts fr t ls prts mécaniqus. Modèl thrmiqu La connaissanc ds prts st ssntill à l application du modèl thrmiqu d la machin qui st d typ circuit. Il prmt alors d évalur la tmpératur n régims transitoirs t prmannts à différnts points du stator t du rotor. Ls tmpératurs d aimants t d bobinag sont alors connus t prmttnt d réalisr l couplag ntr ls modèls thrmiqu, élctromagnétiqu t élctriqu. Ls différnts étaps du modèl d analys (dans l cas d un régim thrmiqu prmannt) sont récapitulés dans l diagramm d la Figur 3. Explication du diagramm La boucl principal st la boucl thrmiqu t magnétiqu. L champ d tmpératur st initialisé puis l modèl élctromagnétiqu st xécuté. Ls paramètrs élctriqus d la machin (R, L, E) sont obtnus t prmttnt d appliqur l modèl élctriqu d l ondulur. La résolution tmporll ds courants st alors mné. À chaqu pas d tmps, l courant, ls prts dans ls smi-conducturs, t l coupl sont calculés. La résolution tmporll st ffctué jusqu à l obtntion du régim prmannt (nviron 4 périods d après ls auturs). Ensuit l courant moyn t l coupl moyn sont déduits. L courant moyn prmt nsuit d actualisr l fft d la réaction magnétiqu d induit sur l état magnétiqu d la machin. Ls différnts prts dans la machin t l ondulur sont évalués t prmttnt l application du modèl thrmiqu n régim prmannt. Cla conduit à la fin d la boucl thrmiqu. Ctt boucl st itéré jusqu à attindr l équilibr thrmiqu t magnétiqu. Concption par optimisation L modèl d analys dévloppé st un modèl dirct. Il prmt, à partir d la connaissanc ds paramètrs d ntré, d définir ls prformancs du systèm d ntraînmnt. La scond parti ds travaux st un concption par optimisation d un motur d scootr élctriqu. L problèm d concption st formulé sous la form d un problèm d optimisation : il s agit d minimisr la longuur axial d la machin sous ds contraints d coupl minimal, d diamètr xtériur, d rndmnt minimal, d échauffmnt maximal, t sous divrss autrs contraints. C problèm st résolu n mployant un algorithm d typ SQP. 9

31 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss Figur 3 - Synoptiqu d couplag ds modèls mis n œuvr dans l cas d l optimisation d un motur d scootr n régim prmannt. Ls détails concrnant ls modèls t variabls s trouvnt dans [Bi98]. Conclusion récapitulatif Ls travaux d Mssiurs Bidingr t Vilain ont mnés à l écritur d un modèl d analys multiphysiqu d un systèm ondulur-machin fonctionnant n mod brushlss trapzoidal. Ls dux composants du systèm sont couplés par l intrmédiair d un modèl élctriqu qui fournit ls forms d onds d tnsion, d courant t du coupl dans l cas d un pilotag par hystérésis du systèm d ntraînmnt. Ls prformancs du systèm d ntraînmnt dépndnt alors ds paramètrs d ntré du modèl : ls paramètrs d command du convrtissur au mêm titr qu ls paramètrs géométriqus d la machin. Dans la problématiqu qui nous concrn, nous nous inspirrons d la structur d modélisation décrit par ls travaux présntés ci-avant n l adaptant à nos bsoins d modélisation t d optimisation. II.B.4) Conclusion sur la modélisation ds intractions Nous avons présnté divrs dgrés d caractérisation ds intractions qui xistnt ntr un machin élctriqu t son alimntation élctroniqu. Souvnt, l dimnsionnmnt d un machin s fait n admttant qu la sourc d puissanc fournit ds grandurs élctriqus idéals ; c qui occult crtains intrdépndancs. Cpndant, dès qu on s intérss au dimnsionnnt simultané t optimal d l élctroniqu d alimntation t d la machin élctriqu, il st nécssair d modélisr finmnt ls intractions ntr cs dux composants. Un manièr d fair st d détrminr ls forms d onds rélls ds grandurs élctriqus fournis par l élctroniqu d puissanc à la machin élctriqu. Clls-ci sont à la 30

32 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin sourc ds intractions qui vont prmttr d localisr l compromis optimal vis-à-vis ds caractéristiqus d l élctroniqu d alimntation t d la machin. II.C. La concption par optimisation d systèms Ls concpts rlatifs à l approch d concption par optimisation t aux aspcts systèms ont été brièvmnt présntés. Cs dux concpts lorsqu ils sont considérés simultanémnt puvnt donnr liu à différnts approchs d concption par optimisation d systèms. Ls référncs [Gil10] t [Kr08a] ont réalisé un synthès prtinnt ds approchs d concption multidisciplinair à un nivau lls n impliqunt qu un sul procssus d optimisation qui st rpris ici. II.C.1) L approch MDF : MultiDisciplinary Fasiblility Dans ctt approch tous ls couplags sont calculés t l modèl multidisciplinair st inclus dans un procssus d optimisation : touts ls intractions sont traités à l intériur d la boucl d optimisation. Cci assur qu à touts ls itérations, l systèm complt st réalisabl. Ctt approch présnt qulqus inconvénints dont clui d n pas prmttr d parallélisr ls calculs. II.C.) L approch IDF : Individual Disciplin Fasibility Dans l approch IDF, crtains disciplins sont découplés t optimisés indépndammnt par l mêm procssus d optimisation. L optimisur gèr ls variabls d optimisation d touts ls disciplins simultanémnt ainsi qu ds variabls supplémntairs qui sont ls variabls d couplag ntr ls disciplins. L IDF assur la faisabilité d chaqu disciplin. Afin d assurr qu l systèm complt st réalisabl, l IDF nécssit d introduir ds contraints d optimisation supplémntairs par rapport au problèm MDF. Cs contraints vinnnt assurr qu ls nouvlls variabls d couplag aux intrfacs ds différnts disciplins sont n accord avc ls résultats ds divrs modèls d analys. Ctt approch st tout à fait smblabl aux méthods d travail actulls comm l a xposé [Gil10]. La concption d un systèm complx fait appl à plusiurs xprts d disciplins différnts travaillant indépndammnt. Cs xprts s échangnt ds informations afin d pouvoir optimisr séparémnt ls divrss caractéristiqus du systèm (= ls disciplins sont optimisés individullmnt). Au cours du procssus d concption ls xprts s ntndnt pour qu ls informations (= variabls) qu ils s échangnt convrgnt vrs un état qui convint à tous. Cci prmt d parallélisr crtains calculs ds différnts disciplins. II.C.3) L approch AAO : All At Onc La drnièr approch, qui donn ncor plus d travail au procssus d optimisation, consist à fair résoudr par c drnir non sulmnt ls variabls d couplag (comm dans l IDF) mais égalmnt ls modèls d analys ux-mêms. Cci nécssit d introduir d nouvlls variabls t d nouvlls contraints. Prnons l cas où ls modèls d analys nécssitraint, par xmpl, la résolution itérativ pour un systèm implicit (boucl thrmiqu, systèm magnétiqu non linéair) par l usag d un méthod itérativ. Désormais l optimisur convrg vrs la solution ds modèls d analys au mêm titr qu il convrg vrs la solution du problèm d concption. À chaqu itération du procssus d optimisation, 31

33 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss il n y a plus d boucl intrn pour assurr la convrgnc (thrmiqu, magnétiqu ) ds modèls d analys ds élémnts du systèm. L passag ds approchs MDF à IDF puis à AAO, rport d plus n plus la difficulté sur l optimisur qui doit traitr davantag d variabls t d contraints. Cs trois approchs sont illustrés sur la Figur 4 dans l cas d un concption par optimisation d un motur à aimants prmannts [Kr08b] modélisé magnétiqumnt, élctriqumnt t thrmiqumnt. L passag du problèm MDF au problèm IDF st clair : ls différnts disciplins n communiqunt plus dirctmnt ls uns avc ls autrs. L optimisur gèr désormais ls grandurs à l intrfac ds divrss disciplins. L passag du problèm IDF au problèm AAO s fait n rportant la convrgnc du modèl thrmiqu au nivau d l optimisur. Figur 4 - Flux d donnés du problèm d optimisation d un motur à aimants prmannts par ls approchs MDF (a), IDF (b), AAO (c) [Kr08b]. 3

34 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin III. La modélisation ds élémnts du systèm Il a été traité précédmmnt d la concption d systèms. Il faut désormais dscndr au nivau ds composants qui constitunt l systèm t s intérssr à lur modélisation intrinsèqu. Nous décrivons ici ls différnts typs d modèls qui puvnt êtr mployés pour décrir ls comportmnts ds composants. III.A. Ls typs d modèls L étap d modélisation nécssit d décrir ls comportmnts du systèm par un formalism mathématiqu. La précision d la dscription ds comportmnts put êtr qualifié par l trm d granularité du modèl [Mak06]. Suivant ss bsoins, l concptur st amné à sélctionnr la granularité qui va lui prmttr d décrir avc suffisammnt d précision ls comportmnts qu il souhait obsrvr. Nous pouvons classr ls modèls n trois catégoris, rangés par précision croissant: ls modèls analytiqus, ls modèls smi-analytiqus ou smi-numériqus t finalmnt ls modèls numériqus. Suivant l typ d modèl, l tmps d xécution st plus ou moins court. La référnc [Bri07] a établi l front d Parto ntr la précision d modélisation t l tmps d calcul ds modèls. C drnir st rprésnté n Figur 5. Figur 5 - Front d Parto ds modèls utilisés pour la concption ds machins élctriqus [Bri07] 33

35 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss III.A.1) Modèls analytiqus Historiqumnt, on trouv d abord ls modèls analytiqus, qui d part lur légèrté t lur maniabilité prmttnt d êtr traités à la main lorsqu ils sont simplifiés à l xtrêm. Avant l ssor ds moyns d calcul informatiqus, ils formaint l gros d l offr n modélisation. D c fait, il xist un variété d modèls analytiqus pour différnts systèms d convrsion. Ils prmttnt d traitr ds comportmnts simpls mais égalmnt, slon l intnsité d l ffort d modélisation, ds phénomèns complxs, non-linéairs. Cs modèls nécssitnt souvnt (c n st pas un obligation) d formulr crtains hypothèss simplificatrics pour mnr à bin (plus facilmnt) ls calculs. Il st souvnt rproché aux modèls analytiqus lur précision rlativ du aux hypothèss formulés ainsi qu l ffort nécssair à lur établissmnt. On put opposr à cla l intérêt procuré par la phas d modélisation analytiqu, précédé par un phas d analys, qui prmt un millur compréhnsion ds phénomèns mis n ju. C drnir point st tout à fait ssntil au travail du concptur pour lui prmttr d prndr du rcul sur la solution optimal. Origin ds modèls analytiqus Ls modèls analytiqus puvnt avoir un origin physiqu ou êtr uniqumnt mathématiqus. La prmièr catégori provint d la mis n équation ds phénomèns physiqus, alors qu la scond a pour objctif d rprésntr au plus just l comportmnt par ds formulations mathématiqus qui n ont pas toujours d réalité physiqu. On rtrouv ds modèls analytiqus dans tous ls domains d la physiqu : magnétiqu, élctriqu, thrmiqu, mécaniqu, acoustiqu, aérodynamiqu, tc. On ls rtrouv égalmnt dans baucoup d disciplins du géni élctriqu : élctrotchniqu, élctroniqu d puissanc, résaux, tc. Utilisation ds modèls analytiqus Ls modèls analytiqus sont souvnt mployés n phas d faisabilité car ils prmttnt d xplorr rapidmnt l spac ds solutions t l spac d rchrch. Ils sont à crtains occasions suffisammnt précis pour justifir lur utilisation sans allr chrchr ds modèls d plus faibl granularité qui n apportraint pas d connaissancs supplémntairs. III.A.) Modèls smi-analytiqus ou smi-numériqus Nous rgroupons dans ctt catégori ls modèls s situant ntr ls modèls analytiqus t ls modèls numériqus. Natur ds modèls intrmédiairs Il st parfois possibl d écrir un modèl analytiqumnt mais sous un form compliqué à évalur. Cci st l cas ds modèls écrits sous form d séris. Ils sont complètmnt définis analytiqumnt mais lur évaluation st fastidius t l utilisation d moyns d calcul intnsifs vint pallir ctt difficulté. L écritur d un modèl sous form analytiqu n signifi pas toujours qu il soit évidnt d n tirr ls grandurs d intérêt. Nous faisons allusion ici à crtains intégrals ou ncor aux équations transcndantals qui doivnt êtr résolus numériqumnt. Nous rangons égalmnt dans ctt catégori ls modèls à constants localisés. Cux-ci puvnt êtr ds modèls thrmiqus nodaux [Br87] [Thi97] [Rn03], ds résaux d prméancs magnétiqus [Hc06] [Hli08], ds circuits élctriqus, tc. Souvnt cs 34

36 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin modèls puvnt s écrir sous form matricill qu il faut manipulr pour n xtrair ls quantités utils. Utilisation ds modèls intrmédiairs Ls modèls smi-analytiqus ou smi-numériqus, tout comm ls modèls analytiqus, nécssitnt parfois crtains hypothèss pour pouvoir êtr construits. Cs modèls sont mployés lorsqu l dgré d précision xigé s situ au-dlà d c qui pourrait êtr obtnu avc un modèl analytiqu. Ils sont capabls d gérr ls non-linéarités, tout comm ls modèls analytiqus, crtainmnt avc plus d précision. III.A.3) Modèls numériqus Dans ctt drnièr catégori nous plaçons ls méthods basés sur la discrétisation d un spac continu. Ct spac pouvant êtr spatial, tmporl ou ncor un combinaison ds dux. Cs modèls prmttnt d résoudr ls équations comportmntals du systèm, localmnt, n discrétisant l spac d définition du problèm à modélisr. Cci confèr aux modèls numériqus un précision bin supériur à cll ds modèls ds dux catégoris précédmmnt évoqués. Ls modèls numériqus spatiaux mttnt n œuvr ds méthods d discrétisation d l spac variés : différncs finis, élémnts finis, volums finis. Parmi clls-ci la méthod ds élémnts finis st aujourd hui la plus populair pour l calcul d grandurs élctromagnétiqus. Utilisation ds modèls numériqus Ls modèls numériqus puvnt traitr quasimnt touts ls physiqus dès lors qu on sait écrir ls lois d comportmnt locals du systèm. Ainsi on trouv communémnt ds modèls numériqus thrmiqu, magnétiqu, élctriqu, mécaniqu, ou ncor aérodynamiqu. Cs modèls s écrivnt sous form matricill (tout comm puvnt l êtr ls modèls à constants localisés ; la frontièr st minc t concrn la taill ds matrics) qu il faut manipulr. Afin d réduir ls taills conséqunts ds matrics t donc l tmps d analys, il st souvnt rcommandé d usr d touts ls symétris disponibls pour réduir la portion du modèl numériqu à calculr. III.B. Exmpls d couplags d modèls t d méthods d optimisation Il st possibl d combinr ls différnts typs d modèls évoqués dans l paragraph précédnt avc un méthod d optimisation. C couplag doit êtr réalisé n prnant gard aux comportmnts ds modèls t ds méthods d optimisation. En fft la combinaison d un modèl qui possèd ds sortis bruités avc un méthod d typ gradint pourrait n pas convrgr vrs un résultat satisfaisant. III.B.1) Modèls analytiqus t méthod d optimisation détrminist L couplag d modèls analytiqus t d méthods d optimisation détrminists dans l cas d concptions optimals d systèms à été réalisé par bon nombr d auturs. Cci a été mis n œuvr dans l cadr d la concption d un gamm d machin [Ss09], dans l 35

37 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss cas d un motur-rou [Esp99] [Bri03], dans l cas d un motur d traction pour un avion (Solar Impuls) [Rag08], ou ncor dans l cas d l optimisation d un moto-réductur [Bl07]. III.B.) Modèls analytiqus t méthod d optimisation stochastiqu On trouv ds combinaisons d modèls analytiqus t d méthods d optimisation stochastiqus aussi bin n élctroniqu d puissanc [Hl06] qu dans l cas du dimnsionnmnt optimal d machins élctriqus [Bl07] [Br10] [Gut10]. La concption d systèms put égalmnt fair appl à d tlls d associations [Abd07] [Lop08]. C typ d combinaison s justifi souvnt par la rchrch d optima globaux, par la mis n œuvr d optimisations multi-objctifs, ou ncor par la natur ds modèls analytiqus impliqués (discontinus, bruités, non-dérivabls ). III.B.3) Modèls numériqus t méthod d optimisation détrminist Il st possibl d associr ds modèls numériqus avc ds méthods d optimisation détrminists. Afin d évitr ds problèms d convrgnc dus au caractèr numériqu ds modèls, il faut prndr ds précautions dans l choix d la méthod d optimisation. Ainsi on trouv souvnt ds méthods détrminists d ordr 0. C st l cas, par xmpl, d l optimisation d un machin d traction par [Lg09], d actionnur linéair n mployant ds résaux d réluctancs t un algorithm du simplx [Viv09], ou ncor d l optimisation d un altrno-démarrur par [Ché03]. Cpndant, on put trouvr ds optimisations à bas d SQP pour la concption d un systèm d traction élctriqu, par [Ms07], faisant appl à ds modèls analytiqus t numériqus. III.B.4) Modèls numériqus t méthod d optimisation stochastiqu L optimisation d systèms élctrotchniqus n mployant ds modèls fins, numériqus, couplés à ds méthods d optimisation stochastiqus st n plin ssor. On put trouvr ds approchs d concption optimal d actionnurs [Wan00], d machins élctriqus à aimants [Kan08], ou ncor d machins à réluctanc variabl [Mor05]. III.B.5) Approchs hybrids Ls approchs décrits précédmmnt résultaint du couplag d un modèl avc un méthod d optimisation. Il xist dans la multitud ds problèms du géni élctriqu un variété d approchs originals combinant plusiurs typs d modèls ou plusiurs typs d optimisation. Nous n avons rtnu crtains dans c paragraph qu nous nommons approchs hybrids. (a) Approch séquntill C typ d démarch mt n œuvr dux étaps succssivs d optimisation. Ls dux étaps puvnt différr dans la granularité du modèl comm dans la méthod d optimisation mployé. [Mak06] utilis un approch hybrid dans laqull un modèl analytiqu multiphysiqu st optimisé par un algorithm d typ SQP dans un prmièr phas. L prmir résultat optimal srt nsuit d point d départ à un duxièm phas d optimisation où crtains modèls d comportmnt (magnétiqu notammnt) sont rmplacés par ds 36

38 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin modèls plus fins, d typ élémnts finis. Ctt duxièm phas d optimisation st géré par un algorithm du simplx. L synoptiqu global d ctt approch st décrit sur la Figur 6. Figur 6 - Séqunc ds problèms d optimisation dans un approch d concption par optimisation séquntill [Mak06] (b) Optimisation sur surfac d répons Un scond approch d hybridation d modèls consist à approchr la répons d un modèl numériqu par un modèl analytiqu. La surfac d répons st obtnu n évaluant l modèl numériqu sur un nombr réduit d jux d paramètrs d ntré. Un scond étap consist à mnr un optimisation sur la surfac d répons. C typ d approch st qualifié d optimisation indirct car ll n port pas sur l modèl initial mais sur un rprésntation d clui-ci. On trouv ds travaux concrnant l optimisation par surfacs d réponss d machins élctriqus [Gil97] [Viv0] [Bom09] t ds travaux sur l optimisation élctromagnéto-acoustiqu d machins à aimants [Ait05] [Ms07]. (c) Tchniqu d Spac Mapping Ls tchniqus d Spac Mapping [Tra07] combinnt l mploi d modèls grossirs rapids à évalur (souvnt analytiqus) t d modèls fins plus long à calculr (souvnt par élémnts finis). La méthod consist à mnr un prmièr optimisation basé sur l modèl grossir. L prmir résultat optimal st nsuit évalué avc l modèl fin qui fournit ls valurs d référnc ds grandurs d sorti. L écart ntr ls résultats du modèl grossir t du modèl fin srt à réajustr l modèl grossir ntr l spac (spac) ds grandurs d ntré (input) t clui ds grandurs d sorti (output) afin d établir un corrspondanc (mapping) [Viv09]. Un nouvll optimisation st conduit sur la bas du modèl grossir qui st désormais corrigé. Ls étaps présntés sont itérés jusqu à c qu ls modèls grossirs t fins fournissnt snsiblmnt ls mêms résultats. L princip d Output Spac Mapping st rprésnté sur la Figur 7. 37

39 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss Figur 7 - Schéma d princip ds tchniqus d Output Spac Mapping [Viv09] III.B.6) Conclusion sur l couplag d modèls t d méthods d optimisation Nous avons présnté plusiurs combinaisons possibls ntr ds méthods d optimisation d différnts naturs t divrs typs d modèls. Ls couplags classiqus ntr un modèl t un méthod d optimisation sont présntés dans un prmir tmps. Ensuit, ds approchs plus sophistiqués puvnt prmttr d combinr avantagusmnt plusiurs typs d modèls avc un ou plusiurs méthods d optimisation. Il st alors possibl d améliorr la qualité d la solution obtnu sans pénalisr xcssivmnt l tmps d calcul. Finalmnt, l choix du couplag dépnd n parti du typ d modèl à disposition, du typ d optimum rchrché t du tmps alloué à la résolution du problèm d optimisation. 38

40 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin IV. La problématiqu d la haut vitss La démarch d concption par optimisation qu nous souhaitons mttr n œuvr a pour but d prmttr l dimnsionnmnt d un systèm d ntraînmnt à haut vitss. C paragraph a pour objt d idntifir ls conditions particulièrs imposés sur l nsmbl convrtissur-machin par c typ d fonctionnmnt. Cs particularités s rtrouvnt sur la machin élctriqu ainsi qu sur l élctroniqu d alimntation. IV.A. Côté machin C paragraph situ la notion d machin rapid t présnt ls intérêts d c typ d fonctionnmnt. Ensuit ls points caractéristiqus t critiqus d cs machins sont évoqués. Enfin un analys d différnts topologis st réalisé t prmt d choisir un machin spécifiqu, à mêm d répondr à la problématiqu d la haut vitss. IV.A.1) Notion d machin rapid La définition d machin rapid s ntnd souvnt du point d vu mécaniqu t c par rapport à la vitss périphériqu du rotor t non vis-à-vis d la vitss angulair d rotation. Ainsi, ds machins à faibl vitss d rotation t grands diamètrs puvnt-êtr classés dans ctt catégori d machin. Ls machins rapids sont égalmnt ds machins où ls fréquncs élctriqus sont importants. Par conséqunt, un machin rapid put êtr considéré, d un point d vu élctriqu, comm un machin à haut fréqunc. Dans ls machins classiqus constitués d tôls fuilltés, la vitss maximal admis (à caus d contraints mécaniqus) st d l ordr d m/s. Ctt vitss constitu la limit ntr ls machins classiqus t ls machins dits rapids. C critèr vari slon ls auturs considérés. Ainsi [Bin08] suggèr qu on puiss parlr d haut vitss lorsqu la vitss périphériqu du rotor st compris ntr 100 t 50 m/s. IV.A.) Intérêt ds machins rapids Ls machins rapids sont mployés dans d nombruss applications. Dans c qui suit nous listons ls applications courants : - ls machins-outils [Sch00b] ; - ls comprssurs cntrifugs [Jan07] ; - ls turbo-comprssurs [Ba03] [Cho06] [Pyr10] ; - ls pomps à vid t turbo-pomps moléculairs [Var10] ; - l stockag d énrgi par volants d inrti [Th03] [Nag06] ; - la génération d énrgi couplé à ds turbins à gaz [Zwy05] ; - la génération d énrgi mbarqué [Ama85]. Ls machins rapids sont mployés dans cs applications car lls présntnt ds intérêts crtains vis-à-vis d cs procédés. Ells prmttnt ainsi d améliorr ls prformancs ds applications d typ machin-outils (l usinag à haut vitss st plus facil t ls cadncs plus élvés), ls volants d inrti (l énrgi stocké st d autant plus 39

41 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss important qu la vitss st élvé), ls turbo-comprssurs (la comprssion st millur à haut vitss), ls pomps à vid (l vid st d autant plus prononcé qu la pomp tourn vit). L augmntation d la vitss d rotation prmt d accroîtr la compacité ds dispositifs élctromécaniqus t donc d augmntr ls prformancs massiqus. Ctt caractéristiqu put êtr intérssant dans ls applications mbarqués. L utilisation d machins rapids à accouplmnt dirct put rmplacr ls solutions à bas d machins à vitss classiqu couplés à un réductur. Cla prmt d supprimr la boit d vitss donc d réduir l volum [Bia06], l coût t ls prts du systèm [Ark05], mais égalmnt d n améliorr la fiabilité t d n facilitr la maintnanc. La supprssion d un étag mécaniqu prmt d réduir l bruit t il put êtr possibl d supprimr l utilisation d huil (pour la boit d vitss t pour ls roulmnts) qui put êtr gênant dans crtains applications [Bin08]. IV.A.3) Prformancs théoriqus limits L augmntation d la vitss n put pas s fair indéfinimnt n gardant la puissanc constant. Il apparait alors ds limits mécaniqus, élctriqus, magnétiqus t thrmiqus. La limitation prépondérant à haut vitss st d ordr mécaniqu. Ainsi on définit la puissanc d coin qui st la puissanc maximal qu pourrait délivrr un machin. Ell st donc défini par : P coin = C max max Éq. On put nsuit détrminr la puissanc maximal qu il st possibl d attindr à un vitss donné. La rlation ntr cs dux quantités st la traduction ds contraints mécaniqus maximals admissibls. La référnc [Rah04] fournit un loi, pour ls tchnologis usulls, ntr la puissanc maximal t la vitss angulair maximal corrspondant : P = 6, 10 6 N 3,3 coin Éq. 3 Avc la puissanc n kilowatts t la vitss d rotation n millirs d tours par minut. Un autr formulation st donné par [Bn03]. Ell li la vitss d rotation maximal à la puissanc maximal avc pour paramètr la vitss périphériqu maximal (caractéristiqu ds typs d matériaux mployés t d la structur du rotor) : ( ) 7 / 5( P ) / 5 max V p_max coin Éq. 4 Avc la vitss périphériqu n mètr par scond t la puissanc d coin n watt. Ls dux formulations (Éq. 3) t (Éq. 4) fournissnt ds résultats comparabls pour un vitss périphériqu d nviron 100 m/s. Cs xprssions montrnt qu il xist un limit théoriqu dans l plan puissanc-vitss. Aussi [Rah04] propos d qualifir d machins rapids ls machins qui sont n dçà (mais prochs) d la limit théoriqu. La référnc [Rah04] suprpos sur un mêm graphiqu, donné n Figur 8, ls réalisations d machins à haut vitss avc la limitation théoriqu donné par (Éq. 3). On constat qu ctt limit théoriqu donn un ordr d idé d c qu il st possibl d réalisr. Cpndant, on constat aussi qu crtains machins vont au-dlà d la limitation théoriqu, lls sont dits à très haut vitss. 40

42 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 8 - Limit théoriqu dans l plan vitss-puissanc d sorti t position d machins xistants [Rah04] Finalmnt, il st possibl d évalur rapidmnt la puissanc maximal qu pourrait fournir un machin à un vitss donné n utilisant ls formulations (Éq. 3) t (Éq. 4). IV.A.4) Ls particularités d la haut vitss La convrsion d énrgi par ds dispositifs élctromécaniqus à haut vitss présnt crtains particularités dont on n s nquirt pas souvnt lors du dimnsionnmnt d machins tournant à ds vitsss habitulls. Mais dès lors qu la vitss d rotation s accroît, ls problèms mécaniqus, élctriqus t thrmiqus apparaissnt avc plus d intnsité. Nous présntons ici crtains d cs points inhabituls. Influnc ds contraints mécaniqus La vitss d rotation élvé du rotor nécssit d prévoir ls comportmnts mécaniqus car ls risqus d dstruction génèrnt ds dangrs importants pour ls prsonns. Il st ainsi nécssair d réalisr un dimnsionnmnt dont ls mods d vibrations sont éloignés ds vitsss d fonctionnmnt pour évitr un dstruction du rotor par résonanc mécaniqu [Ed0]. La Figur 9 présnt un xmpl ds dégâts causés par un résonanc mécaniqu. 41

43 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss Figur 9 - Rotor ndommagé (arbr déformé) par un résonanc mécaniqu [Ed0] Suivant la topologi du rotor, il aussi nécssair d stimr ls contraints mécaniqus d touts sorts (traction, flxion, ) dans ls piècs rotoriqus pour évitr d concvoir ds rotors dont ls piècs s satllisraint à haut vitss. Ainsi ls rotors à aimants montés n surfac sont souvnt ncrclés d un frtt qui prmt d maintnir ls aimants n plac. L dimnsionnmnt d ctt frtt doit fair parti intégrant d la phas initial d concption d la machin [Bin06]. Lorsqu il s agit d aimants insérés au rotor, un stimation ds contraints mécaniqus dans ls piècs d maintin ds aimants doit êtr mné [Lov04] [Bin06]. Si cs piècs sont mal dimnsionnés cla put conduir à la dstruction du rotor comm sur l cas présnté n Figur 10. Figur 10 - Rotor à aimants n surfac ndommagé après un ruptur du frttag [Bin06] Idéalmnt, un étud complèt ds contraints mécaniqus t ds mods d résonanc du rotor, comm dans [Mk01], doit êtr réalisé dès la phas d dimnsionnmnt. Choix ds palirs Ls vitsss d rotation élvés imposnt d choisir ls palirs d l arbr avc précaution. Si on s orint vrs l choix d palirs à bills, ls vitsss d rotation élvés mènnt à optr pour ds roulmnts d faibls diamètrs. La tndanc à choisir ds arbrs d faibls diamètrs n st pas toujours compatibl avc ls contraints sur ls mods d vibrations. Un diamètr d arbr important contribu à rigidifir l rotor t à rpoussr ls mods d vibrations du rotor vrs ds fréquncs plus élvés. Ds tchnologis altrnativs puvnt dvnir intérssants lorsqu on s trouv n haut vitss [Bin08] : ls palirs à air prssurisé, ls palirs à huil, ou ncor ls palirs magnétiqus. Cs drnirs sont particulièrmnt attrayants car ils prmttnt d guidr ds arbrs d fort diamètr sans difficultés. D plus, à travrs un contrôl particulir ds palirs magnétiqus, il st possibl d fair tournr l rotor au-dlà d ss vitsss critiqus. Cci donn un dgré d librté supplémntair lors du dimnsionnmnt. Cpndant la rigidité mécaniqu st réduit par rapport à ds roulmnts à bills. 4

44 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Choix ds matériaux magnétiqus Ls différnts contraints élctriqus, mécaniqus, thrmiqus liés à la haut vitss influncnt grandmnt l comportmnt ds matériaux magnétiqus doux t durs. Ls particularités rlativs à cs dux typs d matériaux, lorsqu ils sont mployés dans ds machins rapids, sont présntés dans ls paragraphs suivants. Matériaux magnétiqus doux L aspct haut fréqunc lié aux machins rapids s traduit sur ls matériaux magnétiqus par ds prts fr importants, qui puvnt dvnir prépondérants [Bia06] par rapport aux autrs posts d prts. Ainsi la problématiqu st d réduir ls prts fr dans ls matériaux. Dux lvirs puvnt êtr actionnés : la baiss ds nivaux d induction dans ls matériaux magnétiqus t l choix d matériaux magnétiqus à faibls nivaux d prts magnétiqus. Cs dux possibilités puvnt bin sûr êtr combinés pour d millurs prformancs. Comm l montrnt [Hua07] t [Mis08], il st nécssair d baissr ls nivaux d induction pour réduir ls prts fr. La Figur 11 montr ls nivaux d induction dans un machin rapid à aimants optimisé sous contraints thrmiqus. La conclusion souvnt formulé dans la littératur st qu ls machins à haut vitss sont ds machins non saturés, qui fonctionnnt n régim linéair. Figur 11 - Induction maximal dans la culass d un MSAP optimisé sous contraints thrmiqus. Comparaison ntr un solution à F-Si t un solution à SMC pour un machin à tr/min [Mis08]. La duxièm approch consist à jour sur la qualité ds matériaux magnétiqus. Dans un prmir tmps l utilisation d tôls F-Si d faibl épaissur, typiqumnt 0,35 t 0, mm, put êtr nvisagé comm l ont fait [Ark05] [Hua07] [Bin08] [Hoa09] [Cn10]. Il st possibl nsuit d utilisr ds alliags à bas d F-Co qui présntnt ds prformancs attrayants mais à un coût plus élvé. La référnc [Cn10] présnt l dimnsionnmnt d dux machins pour la mêm application n utilisant ds tôls F-Si 0,35 mm t ds tôls F-Co 0, mm (nviron fois plus chèrs). La comparaison port sur ls aspcts élctromagnétiqu, vibratoir, thrmiqu t sur l rndmnt. L utilisation d F- Co à plus haut nivau d polarisation prmt d augmntr l induction d ntrfr t d réduir ls dnsités d courant au stator ; donc globalmnt ls prts sont réduits dans ctt application. 43

45 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss Au-dlà ds matériaux magnétiqus classiqus, crtains auturs jugnt bon d s intérssr d près aux Soft Magntic Composits (SMC) pour ls machins rapids. Cs matériaux présntnt moins d prts qu ls frro-alliags laminés lorsqu ils fonctionnnt à haut fréqunc. La référnc [Alh05] mèn un comparaison ntr ds machins rapids synchro-rluctants dont ls stators sont n tôls à bas d alliags d fr ou réalisés n SMC. La référnc [Hua07] mèn égalmnt un comparaison ntr dux machins rapids à aimants prmannts tournant à tr/min t utilisant ds tôls n F-Si d 0,35 mm ou ds SMC. La conclusion avancé st qu ls SMC sont plus prformants qu ls tôls pour ds fréquncs d travail supériurs à Hz t qu l induction doit êtr infériur à 1 T pour évitr l augmntation xcssiv ds prts fr. Ctt frontièr ntr ls zons d prformancs ds acirs laminés t ds SMC st ffctivmnt classiqumnt situé ntr t 000 Hz. Aimants prmannts À vitss élvé, ls aimants doivnt satisfair ds critèrs mécaniqus t élctromagnétiqus. En fft, c sont ds matériaux friabls dont l comportmnt n st pas ncor parfaitmnt connu t ils doivnt êtr convnablmnt maintnus au rotor par l biais d colls ou d frtts. Ensuit la composition ds aimants put êtr un sujt d discussion vis-à-vis ds prformancs magnétiqus, ds contraints thrmiqus t du coût. Ainsi [Bia06] ffctu un comparaison ntr ds machins à aimants à bas d frrit ou à bas d NdFB. Il n résult qu ls aimants à haut énrgi (NdFB) prmttnt d réduir la taill ds rotors d sort qu il n st plus nécssair d prévoir un systèm d frttag, c qui constitu un avantag structurl important. Par aillurs, à rayon xtériur fixé, l augmntation du rayon d arbr suit à l mploi d frrits impliqurait un réduction d l spac consacré au bobinag t donc un augmntation ds prts par fft Joul si on souhait maintnir la puissanc constant. La référnc [Bia05a] confirm l intérêt ds NdFB comparés aux frrits n fonctionnmnt à haut vitss mais montr égalmnt qu ntr différnts nuancs d NdFB (NdFB fritté t NdFB lié) il n st pas toujours judiciux d choisir la nuanc d induction rémannt la plus élvé. On constat à travrs cs travaux l importanc du choix d l induction rémannt ds aimants qui put alors êtr considéré comm un variabl d concption d la machin. Enfin la natur ds aimants put êtr choisi n fonction d lur tmpératur d fonctionnmnt. Ls aimants SmCo prmttnt d attindr ds tmpératurs d fonctionnmnt (300 C) plus élvés qu clls autorisés par ds aimants NdFB (00 C) mais n contrparti lur induction rémannt st plus faibl t lur coût plus élvé. Choix du typ d bobinag t dimnsions ds conducturs Un ds particularités ds machins rapids st d êtr sujtts à ds nivaux d tnsion potntillmnt élvés car la fréqunc élctriqu put êtr important. Ainsi l adaptation du nivau d tnsion à la sourc d alimntation par l choix du nombr d spirs put dvnir problématiqu comm l xpliqu [Bia06]. On put êtr amné à choisir pu d spirs pour s adaptr au nivau d tnsion c qui suggèr qu ls conducturs puissnt avoir un sction important. D autr part un vitss d rotation important corrspond à un fréqunc élctriqu élvé. Ctt situation où la sction st grand t la fréqunc élvé st favorabl à l apparition d courants d Foucault t à la création d prts par fft Joul supplémntairs. Un solution mployé par plusiurs auturs [Mk99] [Ark05] [Bin08] st d réalisr ds conducturs avc plusiurs fils élémntairs n parallèl ou avc ds fils d Litz. C problèm st d autant plus marqué lorsqu l stator d la machin st sans ncochs t qu l bobinag st soumis à touts ls variations d induction générés par l rotor. 44

46 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Prts inhabitulls à haut vitss En plus du cas ds prts fr déjà évoqués, ls prts situés au rotor t ls prts aérodynamiqus dans l ntrfr ont un importanc particulièr à haut vitss. Concrnant ls prts au rotor lurs origins sont divrss : lls puvnt êtr dus aux variations d prméanc d ntrfr, aux harmoniqus d spac ou aux harmoniqus d tmps vus au rotor [Mk01]. Cs prts puvnt avoir liu dans ls circuits magnétiqus, dans ls aimants ou ncor dans ls piècs d maintin mécaniqu tlls qu ls frtts. Cs drnièrs, parfois nécssairs à haut vitss, puvnt êtr sourcs d prts t d plus s comportr comm un barrièr thrmiqu n limitant l évacuation d la chalur produit au rotor. Un attntion particulièr doit alors êtr porté à la minimisation ds prts au rotor par un choix prtinnt du nombr d dnts au stator, du pas d bobinag qui prmt d réduir ls harmoniqus d spac ou ncor d l ouvrtur d ncoch. L autr post d prts à survillr concrn ls prts aérodynamiqus dans l ntrfr dus au cisaillmnt d la lam d air dans l ntrfr. Clls-ci dépndnt d la géométri d l ntrfr, d la vitss d rotation t du typ d écoulmnt. La référnc [Ark05] indiqu qu au-dlà d vitsss périphériqus d l ordr d 300 m/s, ls prts aérodynamiqus dvinnnt ls prts prépondérants dans la machin. Cs prts doivnt alors êtr évalués lors d la phas d concption t notammnt n fonction d la géométri du rotor. Importanc du choix du nombr d pôls L choix du nombr d pôls st égalmnt un élémnt clé du dimnsionnmnt d un machin rapid. Comm l suggèr [Ark05], l nombr d pairs d pôls doit êtr rlativmnt faibl afin d réduir la fréqunc élctriqu t par là limitr ls prts fr. En contrparti, un faibl nombr d pairs d pôls conduit à ds culasss plus épaisss qui frinnt l évacuation du flux d chalur dû aux prts. D un point d vu d l alimntation, un faibl polarité (donc un fréqunc d fondamntal bass) prmt un fréqunc d découpag rlativmnt élvé, donc un millur qualité ds forms d onds élctriqus. Mod d rfroidissmnt La haut vitss prmt d accroîtr la puissanc massiqu ds machins élctriqus. Cla signifi égalmnt qu ls prts volumiqus croissnt t qu il faut xtrair la chalur produit d manièr fficac. L rfroidissmnt par chmis à au st alors un solution prtinnt. On put alors profitr d la disposition du circuit hydrauliqu pour rfroidir simultanémnt l élctroniqu d alimntation t la machin élctriqu. Ctt solution st d aillurs mis n œuvr dans nombr d applications [Mk99] [Mk01] [Bin08]. Lorsqu la machin st mployé dans un procssus d réfrigération, l fluid réfrigérant put égalmnt êtr mployé pour rfroidir la machin élctriqu [Soo00] [Pyr10]. Un rfroidissmnt à air st égalmnt possibl comm l prouvnt [Bia04] t [Ark05]. IV.A.5) Comparaison d machins pour la haut vitss Nous avons présnté dans l paragraph précédnt crtains particularités rlativs aux machins rapids. Dans la suit nous nous intérssons aux structurs d machins à mêm d satisfair ls contraints particulièrs évoqués auparavant. La référnc [Rah04] présnt ls avantags t inconvénints ds principals structurs d machins lorsqu il s agit d haut vitss. Cs caractéristiqus sont rpriss dans l Tablau I. L Tablau I n fait pas apparaitr ls machins synchrons à rotor bobiné. Ls machins d c typ à pôls saillants n sont pas adaptés à la haut vitss car l maintin ds bobins y st problématiqu. En rvanch ls machins à pôls lisss sont utilisés dans 45

47 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss ls turbo-altrnaturs d fort puissanc (dizains d MW) ayant ds vitsss périphériqus d l ordr d 00 m/s. Cs machins sont mployés dans ds applications très spécifiqus t d forts puissancs, lls n sront donc plus considérés par la suit. TABLEAU I - AVANTAGES ET INCONVENIENTS DES PRINCIPAUX TYPES DE MACHINES [RAH04] Typ d machin Avantags Inconvénints Motur asynchron Motur à aimants prmannts au rotor Motur à griffs Motur homopolair Motur à aimants à flux axial Motur synchrorluctant Motur à réluctanc Démarrag facil Pilotag d vitss n boucl ouvrt Entrfr important Factur d puissanc élvé Faibls prts au rotor Factur d puissanc élvé Réglag d l xcitation Factur d puissanc élvé Réglag d l xcitation Rotor simpl Factur d puissanc élvé Faibls prts au rotor Entrfr important Rotor simpl Faibls prts au rotor Réglag du champ Rotor simpl Réglag du champ Prts au rotor Faibl factur d puissanc à haut vitss Rotor complx Prts fr à vid Défluxag Rotor complx Prts au rotor Prts aérodynamiqus Prts fr Défluxag Structur complx Faibl factur d puissanc Prts aérodynamiqus Entrfr faibl Vibrations élvés Prts aérodynamiqus Entrfr faibl Choix d un structur d machin t caractéristiqus ds machins à haut vitss Ls référncs [Ark05] t [Cn10] ont ffctué un rchrch bibliographiqu rspctivmnt n 005 t 010, concrnant ls machins à haut vitss dans la bas IEEE/IEE t sur intrnt. Ls auturs indiqunt qu ls ancinns référncs sont plutôt ds machins à induction, ls nouvlls plutôt ds machins à aimants. On constat qu la majorité ds machins sont à induction ou à aimants prmannts. Ls machins à réluctanc variabl sont aussi présnts, mais n plus faibl proportion. La Figur 1 présnt ds réalisations d machins à haut vitss dans l plan puissanc-vitss. L analys bibliographiqu qu nous avons pu fair concrnant ls machins à haut vitss fait apparaîtr principalmnt quatr famills : ls machins à aimants prmannts, ls machins à induction, ls machins à réluctanc t finalmnt ls machins homopolairs mais n moindr quantité. Nous présntons ls caractéristiqus d cs quatr typs d machins dans la suit. 46

48 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 1 - Bibliographi IEEE/IEE t intrnt, réalisé par [Ark05], réprtoriant ls différnts machins rapids. Ls ancinns référncs sont plutôt ds machins à induction, ls nouvlls plutôt ds machins à aimants. Machins à induction La machin asynchron st d constitution robust à tl point qu son rotor put êtr simplmnt constitué d fr massif. Ctt simplicité d constitution lui confèr ds avantags mécaniqus indéniabls à haut vitss. Un rotor massif prmt d montr jusqu à ds vitsss périphériqus d l ordr d 400 m/s [Ark05]. La rigidité mécaniqu qu apport un rotor massif prmt d rpoussr ls vitsss critiqus, c qui donn un marg supplémntair dans la concption d la machin. Ls matériaux mployés dans la construction d machins asynchrons prmttnt d fair fonctionnr l matéril à ds nivaux d tmpératur élvés [Mk99], c qu n prmttraint pas ds machins comportant ds aimants. D par lur natur ls machins à induction possèdnt d ptits ntrfrs, c qui conduit à ds prts aérodynamiqus qui puvnt dvnir prépondérants à haut vitss. Ls caractéristiqus classiqus ds machins asynchrons sont toujours valabls à vitss élvé. À savoir qu l factur d puissanc n st pas élvé, t l princip d fonctionnmnt d cs machins induit ds prts par fft Joul inévitabls au rotor qui vinnnt grèvr l rndmnt. Machins à aimants prmannts D manièr général, ls machins à aimants prmannts présntnt ds prformancs élctromagnétiqus supériurs à clls ds autrs machins [Ark05] : lur puissanc massiqu t lur factur d puissanc sont souvnt élvés. Ls aimants assurant l xcitation d la machin qu ils soint situés au rotor ou au stator il st possibl d réalisr ds ntrfrs importants qui prmttnt d réduir ls prts aérodynamiqus dans l ntrfr t ls prts dans ls aimants dus aux variations d prméancs statoriqus [Bin08]. Il st égalmnt possibl d réalisr ds rotors géométriqumnt ronds qui favorisnt égalmnt la 47

49 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss réduction ds prts aérodynamiqus [Hip9]. Ls machins à aimants présntnt crtains inconvénints parmi lsquls un limitation thrmiqu lié aux aimants. Par aillurs cs drnirs sont égalmnt l liu d prts dus aux harmoniqus qui lur sont préjudiciabls. La présnc ds aimants rnd l flux d xcitation plus difficilmnt contrôlabl, c qui put êtr pénalisant dans crtains applications. D plus, c flux, présnt n prmannc, st la sourc d prts fr dans touts ls conditions d fonctionnmnt, mêm à vid, c qui put prévnir l mploi d machins à aimants dans crtains applications. Ls machins à aimants au rotor rprésntnt la grand majorité ds machins à aimants à haut vitss. Cs machins sont d composition plus complx qu ls machins à induction (piècs polairs, piècs d maintin ds aimants ) c qui rnd lur concption plus délicat pour ls hauts vitsss. Machins à réluctanc variabl Ls machins à réluctanc variabl sont l troisièm rprésntant ds machins à haut vitss. Cs machins sont mployés principalmnt n raison d lur rotor xtrêmmnt robust capabl d supportr d forts contraints mécaniqus t thrmiqus. En contrparti, l princip d fonctionnmnt d cs machins impos ds ntrfrs d faibl épaissur t ds rotors mécaniqumnt saillants qui sont pénalisants du point d vu ds prts aérodynamiqus [Soo00]. L augmntation d l ntrfr pour réduir ls prts aérodynamiqus pénalisrait fortmnt ls prformancs élctromagnétiqus. D plus c typ d machin st suscptibl d générr ds vibrations t bruits incommodants dans crtains applications (vntilation domstiqu [Mk99] par xmpl). Machins homopolairs Ls machins homopolairs puvnt offrir un intérêt à haut vitss. Cs machins présntnt l inconvénint dans ls applications usulls d n pas utilisr plinmnt l circuit magnétiqu t d fonctionnr à ds nivaux d induction rlativmnt faibls par rapport aux machins à aimants. Ct inconvénint n bass vitss n n st plus un à haut vitss où ls nivaux d induction dans ls matériaux magnétiqus sont bas [Bin08]. Ls machins homopolairs ont l avantag d prmttr d contrôlr l flux d xcitation. Cpndant l ntrfr st ptit t l rotor mécaniqumnt saillants, c qui pos ncor l problèm ds prts aérodynamiqus. Tout comm ls machins à induction, ctt structur d machin possèd un rotor robust [Hip9] t put êtr utilisé dans un application d typ volant d inrti où suls ls prts aérodynamiqus vinnnt fair baissr l nivau d énrgi stocké. Conclusion sur ls machins L choix d un machin élctriqu pour un application haut vitss dépnd ds caractéristiqus du cahir ds chargs à satisfair. Il s dégag un tndanc n favur ds machins asynchrons t ds machins à aimants. Globalmnt, ls prmièrs présntnt ds qualités d robustss t ls sconds ds prformancs élctromagnétiqus supériurs. Nous souhaitons répondr à ds applications d typ comprssur cntrifug. Or, c typ d procédé fonctionn n continu. Il st alors souhaitabl qu l rndmnt du systèm d ntraînmnt soit élvé. Pour ctt raison, nous choisissons un machin à aimants prmannts. IV.A.6) Machins synchrons à aimants pour la haut vitss 48

50 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin La plupart ds machins à aimants rncontrés n haut vitss sont ds machins à flux radial t à aimants situés au rotor. On put cpndant obsrvr ds applications mttant n œuvr ds machins à flux axial [Sah01] [Zh05]. Un ds raisons pour lsqulls ls machins à flux axial sont pu usités résid dans lur diamètr d rotor important. C drnir st alors l liu d forts contraints mécaniqus [Sah01]. Dans la suit nous n nous intérssrons qu aux machins à flux radial possédant ds aimants au rotor. Nous présntons différnts structurs d stators t d rotors qui smblnt prtinnts à vitss élvé. (a) Topologis d stators On trouv dans la littératur trois typs d stators qui diffèrnt par la réalisation d lur bobinag : - ls stators à bobinag réparti ; - ls stators à bobinag concntré ; - ls stators sans ncochs à bobinag dans l'ntrfr. Ls stators à bobinags concntrés sont généralmnt écartés n haut vitss à caus du fort taux d harmoniqus d spac qu ils introduisnt t par conséqunt ds prts qu ils induisnt [Bin08]. Ls stators sans ncochs présntnt crtains intérêts par rapport à cux possédant ds dnts. L ntrfr magnétiqu ds stators sans ncochs st plus important ; par conséqunt ls risqus d démagnétisation ds aimants sont plus faibls, mais ls fuits magnétiqus sont lls plus importants notammnt aux xtrémités d la machin. L risqu moindr d démagnétisation prmt d surchargr la machin tmporairmnt plus facilmnt. C grand ntrfr magnétiqu prmt égalmnt d réduir ls prts dus aux harmoniqus d forc magnétomotric au rotor t ls prts fr au stator [San07]. Cpndant, ls stators sans ncochs possèdnt n rvanch d moins bonns propriétés thrmiqus car ils n possèdnt pas d dnts qui s comportraint comm ds puits thrmiqus t évacuraint la chalur vrs l xtériur du stator plus fficacmnt [Bia06]. Par aillurs ls conducturs s trouvnt dans l ntrfr t subissnt touts ls variations du champ d ntrfr. Clls-ci sont à la sourc d courants induits t d prts supplémntairs importants à haut fréqunc [San07]. L mploi d fils d Litz ou d conducturs protégés par un blindag magnétiqu [San07] st quasimnt obligatoir pour la réalisation du bobinag. Finalmnt rstnt ls stators ncochés à bobinag réparti qui sont ls plus utilisés n haut vitss. Il st possibl d réduir l amplitud d crtains harmoniqus d spac n choisissant un bobinag adéquat ; notammnt à dux couchs. Comm il a été écrit précédmmnt, cs stators présntnt un intérêt crtain du point d vu thrmiqu. Ils prmttnt par aillurs d maintnir facilmnt ls bobins. 49

51 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss (b) Topologis d rotors L choix d aimants prmannts pour la réalisation d machins synchrons à rotors xcités offr d vasts possibilités dans la sélction d la topologi du rotor [Sai06]. Ls rotors puvnt êtr : - à aimants montés n surfac ; - à aimants intériurs à aimantation radial ; - à aimants intériurs à aimantation orthoradial ; - à aimants insérés ; - à aimants sous ds piècs polairs ; - ou ncor tout combinaison imaginabl. La Figur 13 montr un divrsité d rotors à aimants, à pôls lisss ou saillants. Parmi touts cs structurs, crtains sont plus adaptés qu d autrs pour ds applications à haut vitss. Plusiurs travaux s sont intérssés au choix optimal d la structur du rotor [Ama85], [Hip9b] ou ncor [Nag05]. Figur 13 - Configurations d rotors : (a) à aimants sous ds piècs polairs, (b) rotor à aimants intériurs à aimantation radial, (c) rotor à aimants montés n surfac, (d) rotor à aimants insérés, () rotor à aimants intériurs à aimantation orthoradial, (f) rotor à aimants intériurs à distribution asymétriqu [Gi0]. [Hip9b] s st intérssé à la sélction d un rotor optimal pour la réalisation d un machin à 4 pôls d 10 kva à tr/min. Ls différnts topologis d rotor considérés sont rprésntés à la Figur

52 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 14 - Configurations d rotors à aimants prmannts pour machins synchrons [Hip9b] Ls différnts structurs présntnt ds difficultés mécaniqus dans l maintin ds aimants. Ls structurs (a), (b) t (d) présntnt ds ponts magnétiqus qu il faut dimnsionnr mécaniqumnt pour rtnir ls aimants t magnétiqumnt pour limitr ls fuits magnétiqus. Afin d réduir ls fuits, on put réduir ls différnts court-circuits d flux n introduisant ds fnts d air (dits d «Pistoy»). C faisant, on affaiblit mécaniqumnt la structur. La structur (c) possèd ds piècs polairs qui chapautnt ls aimants. Cs piècs sont fixés à l aid d vis qui réduisnt significativmnt la résistanc mécaniqu (l utilisation d ponts magnétiqus était égalmnt nvisagabl). L rotor présnt ds irrégularités d surfac qui génèrnt ds prts aérodynamiqus importants à haut vitss. La conclusion concrnant cs rotors st qu ls contraints mécaniqus sont importants sur ls quatr structurs t qu aucun n s distingu nttmnt. [Ama85] s intérss au dimnsionnmnt d machins fonctionnant sur un plag d vitss allant d à tr/min t pour un puissanc d 0,5 à 10 kw. Ls structurs à aimants n surfac, à concntration d flux t à griffs sont comparés sur la bas d modèls analytiqus t d optimisations vis-à-vis d critèrs rlatifs à ds applications aéronautiqus. En c qui concrn l critèr d puissanc volumiqu, l étud conclut qu ls rotors à griffs sont n rtrait par rapport aux rotors à aimants n surfac t à concntration d flux. Cs dux drnièrs structurs n s démarqunt pas nttmnt l un d l autr. [Nag05] réalis un comparaison ds rotors à aimants montés n surfac, à aimants intériurs à aimantation orthoradial, t à aimants intériurs à aimantation radial. L objctif était d concvoir un motur tournant ntr t tr/min pour un puissanc d 7,6 kw, fonctionnant sous vid, à palirs magnétiqus t rfroidissmnt passif. Cla suggèr d minimisr ls prts au rotor qui sront xtrêmmnt difficils à évacur. La comparaison st ffctué n gardant constants crtains paramètrs ; c qui n prmt pas d optimisr complétmnt chacun ds structurs. Malgré tout, n comparant la puissanc délivré t l spctr d la f.é.m., la structur à aimants n surfac a été rtnu. Ls différnts travaux d comparaison d machins à aimants pour la haut vitss n ont pas fait apparaîtr d structur privilégié. Touts ls structurs sont soumiss à ds fforts mécaniqus importants t possèdnt lurs particularités n c qui concrnnt l systèm d maintin ds aimants. Cs dispositifs puvnt êtr à l origin d prts 51

53 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss supplémntairs (c st l cas ds frtts métalliqus ds lsqulls sont induits ds courants) ou à l origin d fuits magnétiqus (cas ds ponts d saturation dans ls machins où ls aimants sont à l intériur du rotor) [Bin06]. Ainsi on rtrouv fréqummnt ls structurs d rotors suivants: - à aimants n surfac [Sch00a] [Ark05] [Bia05a] [Lim07] [Jan07] [Bin08] [Mis08] ; - à aimants insérés [Hél06] ; - à aimants intériurs à aimantation radial [Lov04] [San07] ; - à aimants à aimantation orthoradial [Rah04] [Smi06]. IV.A.7) Conclusion sur l choix d la machin Au vu ds contraints spécifiqus liés à la haut vitss t aux comportmnts inhérnts à chaqu typ d machin, nous orintons notr choix vrs ls machins synchrons à aimants prmannts pour ds raisons d prformancs élctromagnétiqus t d rndmnt. En fft l typ d application qui nous intérss st suscptibl d fonctionnr n prmannc. Bin qu initialmnt plus onérus, ctt solution prmt d économisr d l énrgi élctriqu. Or ctt drnièr corrspond parfois à plus d 98 % du coût du systèm sur sa duré d vi [LSN10]. Nous avons voulu étudir un MSAP possédant un rotor avc ds aimants à aimantation orthoradial t un stator à bobinag réparti. C choix va d pair avc ls orintations stratégiqus d notr partnair industril qui s intrrog sur l potntil d c typ d structur à haut vitss. L analys bibliographiqu réalisé a montré qu ls machins à aimants sont généralmnt d bonns candidats pour la haut vitss. En particulir, la topologi qui nous intérss a déjà fait l objt d réalisations dans c domain d fonctionnmnt. Ell n smbl pas présntr d contr-indication majur ni êtr n nt rtrait par rapport à d autrs MSAP. La structur dévloppé par notr partnair industril smbl possédr par aillurs ds avantags mécaniqus n haut vitss. En fft, l systèm d maintin ds aimants n nécssit pas d coll ni d frtt mécaniqu. L rotor st rprésnté sur la Figur 15. Figur 15 - Rotor à aimants insérés à aimantation orthoradial. Maintin ds aimants trapézoïdaux purmnt mécaniqu [Cou0]. Ls aimants sont d form trapézoïdal t vinnnt s ncastrr, sous l fft d la forc cntrifug, ntr ls piècs polairs qui possèdnt ds forms adéquats. Cs piècs polairs sont rtnus par l intrmédiair d un moyu amagnétiqu portant ds quus d arond. En plus d possédr un maintin purmnt mécaniqu ds piècs rotoriqus, ctt structur n présnt pas d fuits magnétiqus à travrs d évntuls ponts d maintin. 5

54 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin IV.B. Côté ondulur La haut vitss possèd ds particularités qui font qu l approch systèm st à préconisr pour l dimnsionnmnt du systèm d ntraînmnt. D plus, comm cla a été dit précédmmnt, l dimnsionnmnt indépndant d chacun ds dux sous-nsmbls pris séparémnt n st pas nécssairmnt à mêm d répondr au miux aux spécifications t contraints globals auxqulls st soumis l nsmbl du systèm. Fort d ctt constatation, l dimnsionnmnt global du systèm smbl s imposr. Ls référncs [Bi98, Bi99] avaint égalmnt fait l constat qu un application très particulièr dvait conduir à prndr n compt simultanémnt ls différnts composants du systèm. Avant d proposr ds architcturs pour l systèm global il st nécssair d présntr ls contraints appliqués à l élctroniqu d puissanc qui découlnt ds spécificités d la haut vitss. IV.B.1) Ls particularités d la haut vitss Lorsqu il s agit d concvoir ds systèms d ntraînmnt à haut vitss, ls circuits d élctroniqu d puissanc doivnt êtr conçus pour ds tnsions à haut fréqunc comm l indiqu [Rah04]. Nous pouvons ajoutr à cla qu un vitss important conduit à ds forcs élctromotrics importants. Tout comm [Bin08] l suggèr, il faut choisir un faibl nombr d spirs afin d avoir un nivau d tnsion compatibl avc clui fourni par l ondulur. En conséqunc, l inductanc d la machin st faibl t ls ondulations d courant sont plus importants. En fft, si on n souhait pas déclassr ls moduls d élctroniqu d puissanc, il n st pas toujours possibl d assurr un fréqunc d découpag suffisammnt important (habitullmnt, au moins un dizain d fois la fréqunc du fondamntal) pour obtnir ds forms d onds d courants proprs. Cs ondulations sont à l origin d prts supplémntairs dans la machin, notammnt dans ls aimants du rotor. L faibl nombr d spirs pos égalmnt l problèm d la sction ds conducturs t ds phénomèns à haut fréqunc sourcs d prts par fft Joul supplémntairs qui puvnt apparaîtr dans ls conducturs. On saisit bin ici un intraction ntr la machin (nombr d spirs, sction ds conducturs, nivau d f.é.m.) t l ondulur (fréqunc d découpag limité par la thrmiqu ds smi-conducturs, tnsion d sorti limité). L choix du nombr d spirs obéit toujours aux règls classiqus tlls qu cll conduisant à choisir l plus grand nombr d spirs à tnsion fixé afin d réduir l courant t par incidnc l volum du convrtissur. Un autr intraction concrn ls prts fr. Il st admis d tous qu ls prts fr dans un machin alimnté n MLI sont plus élvés qu lorsqu la tnsion d alimntation st purmnt sinusoïdal. Afin d réduir ls prts fr dans un machin alimnté par un ondulur, déjà intrinsèqumnt importants à haut vitss, plusiurs auturs [Bog96] [Kho99] [Mth05] [Sag06] suggèrnt d fair fonctionnr l ondulur avc un profondur d modulation unitair t d augmntr la fréqunc d découpag [Bog96] [Mth05]. Si on souhait vérifir cs caractéristiqus à n import qul point d fonctionnmnt, cla suppos d êtr n msur d adaptr n continu la tnsion d bus DC t d accroîtr la fréqunc d découpag. Nous allons voir qulls sont ls structurs capabls d assurr au miux cs dux fonctions. IV.B.) Ls structurs potntillmnt adaptés à la haut vitss Dans ls nivaux d puissanc qui nous intérssnt ls smi-conducturs qui constitunt ls moduls d commutation sront ds IGBT. La structur qui sra pris pour référnc st constitué d un pont rdrssur à diods conncté à un résau industril 400 V, d un bus continu t d un ondulur à 3 bras (Figur 16). Ctt structur st la plus 53

55 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss communémnt utilisé dans ls systèms d ntraînmnt à vitss variabl industrils. Ell st aussi indiqué lorsqu il s agit d alimntr ds machins élctriqus à ds fréquncs différnts d la fréqunc du résau. Ctt topologi srvira d référnc vis-à-vis ds différnts caractéristiqus qu nécssit un élctroniqu d puissanc alimntant un machin élctriqu à haut vitss. Concrnant l élévation d la tnsion d sorti du convrtissur élctroniqu, ls structurs suivants sont prtinnts (par rapport à la structur d bas): - l rdrssur commandé constitué d composants smi-conducturs actifs t d un slf triphasé d ntré prmt d élvr la tnsion du bus DC par rapport au nivau d tnsion obtnu avc un rdrssur à diods (Figur 17) ; - à tnsion d bus fixé, l utilisation d ponts monophasés alimntant séparémnt chacun ds phass d la machin prmt d élvr la tnsion aux borns ds nroulmnts (Figur 18). En prnant comm référnc l cas où la machin st triphasé, conncté n étoil t alimnté par un pont triphasé, la solution à 3 ponts monophasés prmt n prmièr approch d doublr la tnsion disponibl aux borns ds nroulmnts [Lab98]. - l ajout d un hachur élévatur sur l bus continu [Ch01] [Sas03] prmt d élvr la tnsion d sorti d l ondulur (Figur 19). Figur 16 - Schéma d princip d la structur d bas d l alimntation élctroniqu composé d un pont rdrssur à diods, d un bus continu t d un ondulur triphasé à IGBT Figur 17 - Schéma d princip d la structur d alimntation élctroniqu composé d un pont rdrssur commandé à IGBT, d un bus continu t d un ondulur triphasé à IGBT 54

56 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 18 - Schéma d princip d la structur d alimntation élctroniqu composé d un pont rdrssur à diods, d un bus continu t d trois ondulurs monophasés à IGBT alimntant séparémnt chaqu nroulmnt d la machin Figur 19 - Schéma d princip d la structur d alimntation élctroniqu composé d un pont rdrssur à diods, d un hachur élévatur sur l bus continu t d un ondulur triphasé à IGBT Concrnant l amélioration d la qualité d la tnsion d sorti, on put comparr ls divrss solutions à fréqunc d découpag fixé (par rapport à la structur d bas) : - l utilisation d filtrs pass-bas ou d filtrs à résonnanc réglabls dans l cas d vitss variabl [Bin08] prmttrait d supprimr ls harmoniqus vus par la machin. Cpndant ls prts dans ls filtrs n doivnt pas êtr négligés tout comm l surcoût ngndré par l ajout d un élémnt dans l systèm ; - ls ondulurs multinivaux [Tou99] [Ruf06] [Bin08] qu ils soint utilisés n modulation d fréqunc ou n modulation du nivau d amplitud prmttnt d améliorr l contnu spctral d la tnsion d sorti. La référnc [Bin08] 55

57 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss indiqu qu un ondulur à 3 nivaux prmt un réduction ds ondulations d courant, à fréqunc d découpag fixé, d nviron 50 % par rapport à un ondulur à nivaux ; - nfin un solution mployant 3 ondulurs monophasés prmt d rpoussr ls prmirs rangs harmoniqus, dus à la fréqunc d découpag, vus par la charg [Kar10]. Il y a un rapport dux sur la fréqunc d apparition ds prmièrs rais harmoniqus ntr un alimntation mployant trois ponts monophasés t un alimntation avc un pont triphasé. Concrnant l fonctionnmnt à profondur d modulation unitair ls solutions suivants puvnt êtr mployés : - un rdrssur commandé assurant la fonction d élévation d tnsion suivi d un hachur abaissur sur l bus continu (Figur 0), prmt d ajustr la tnsion d bus t d travaillr à profondur d modulation unitair au nivau d l ondulur ; - un pont rdrssur à diods suivi d un convrtissur DC/DC assurant ls fonctions d élévation t d abaissmnt d la tnsion d bus (mis n cascad d un abaissur t d un élévatur) prmt d réalisr la mêm fonction qu précédmmnt (Figur 1); - nfin un rdrssur à diods suivi d un pont monophasé, d un transformatur élévatur t d un scond étag d rdrssmnt prmt d fair varir la tnsion d bus (Figur ). L ondulur put alors travaillr à profondur d modulation unitair. Figur 0 - Schéma d princip d la structur d alimntation élctroniqu composé d un pont rdrssur commandé, d un hachur abaissur sur l bus continu t d un ondulur triphasé à IGBT Figur 1 - Schéma d princip d la structur d alimntation élctroniqu composé d un pont rdrssur à diods, d un hachur abaissur puis d un hachur élévatur sur l bus continu t d un ondulur triphasé à IGBT 56

58 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur - Schéma d princip d la structur d alimntation élctroniqu composé d un pont rdrssur à diods, d un pont n H, d un transformatur élévatur, d un pont d diods t d un ondulur triphasé à IGBT IV.B.3) Conclusion sur l choix d l élctroniqu d puissanc Ls différnts topologis d alimntation incluant un convrtissur DC/DC n amont d l étag DC/AC puvnt présntr ds avantags crtains dans ls applications mbarqués dans la msur où lls prmttnt d dimnsionnr différmmnt d autrs élémnts snsibls tlls qu ls battris t donc d minimisr l coût global du systèm. Nous n nous placrons dans l cas d applications in situ. Parmi ls différnts solutions évoqués nous rtindrons donc la solution usull {pont d diods + bus DC constant + ondulur 3 bras) t la solution {pont d diods + bus DC constant + 3 ondulurs monophasés}. En fft, parmi ls solutions évoqués dans l paragraph précédnt, sul ctt drnièr st suscptibl d n pas ngndrr d surcoût démsuré par rapport à la solution usull bin qu ll ait dux fois plus d smi-conducturs. Lorsqu on fonctionn n MLI sinus-triangl, ctt drnièr structur offr un tnsion d sorti topologiqumnt dux fois plus élvé qu cll fourni par un ondulur à 3 bras. D c fait à puissanc égal, ls courants sont dux fois moins importants dans ls ponts monophasés qu dans l pont triphasé. Il s n suit un division par dux du calibr ds IGBT nécssairs pour la réalisation ds ponts monophasés. La réduction du calibr t l augmntation du nombr d smi-conducturs ont tndanc à conduir à un coût idntiqu à clui d un ondulur à 3 bras. 57

59 Parti I Etat d l art sur la concption, sur la modélisation t sur ls systèms d ntrainmnt à haut vitss V. Notr approch, notr application Afin d répondr aux spécificités ds applications à haut vitss, nous avons porté notr choix sur un machin synchron à aimants situés au rotor t à aimantation orthoradial. L stator possédra un bobinag réparti. La structur d la machin étudié st rprésnté sur la Figur 3. Figur 3 Schéma d un topologi d machin. Rprésntation ds piècs constitutivs du rotor. Du côté d l alimntation élctroniqu, nous avons choisi d nous limitr à l étud d ondulurs triphasés à 3 bras t à la structur mttant n application trois ondulurs monophasés, n considérant qu dans ls dux cas la tnsion d bus st parfaitmnt continu. Cs dux structurs sont illustrés sur la Figur 4 t la Figur 5. Figur 4 - Ondulur triphasé alimntant ls trois phass d la machin Figur 5 - Ondulur monophasé alimntant chacun ds phass d la machin 58

60 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Tout comm l ont rmarqué Mssiurs Bidingr t Vilain [Bi98] [Bi99], ls particularités d crtains applications mènnt à considérr simultanémnt la machin t son convrtissur élctroniqu associé. Ls applications qui nous concrnnt sont d typ comprssur à haut vitss. Dans c typ d procédé, nous pouvons admttr qu l systèm d ntraînmnt possèd un uniqu point d fonctionnmnt qui sra l point d dimnsionnmnt. Comm nous l avons mis n lumièr il xist d nombruss intractions ntr la machin t l élctroniqu d alimntation lorsqu l systèm d ntraînmnt st à haut vitss. Ells concrnnt ls harmoniqus d courant, d tnsion, ls prts t ls prformancs élctromagnétiqus. L approch systèm nécssit la modélisation ds élémnts du systèm t ds intractions. Cs drnièrs doivnt êtr corrctmnt modélisés afin d situr précisémnt l optimum global. Nous l frons n détrminant ls forms d onds ds grandurs élctromagnétiqus n régim prmannt. Cla conduit à complxifir ls modèls t à augmntr ls tmps d calcul. Donc, dans un prmir tmps t afin d gardr ds tmps d calcul raisonnabls, un modélisation basé sur ds modèls analytiqus t smi-analytiqus st ntrpris pour décrir complètmnt l systèm. Ctt phas d modélisation analytiqu précédé d un phas d analys prmt un compréhnsion ds différnts phénomèns physiqus mis n ju. Sur la bas d cs modèls analytiqus, un optimisation sra mné. Ls modèls sront pilotés par un procédur d optimisation d typ MultiDisciplinary Fasibility où l couplag multiphysiqu st résolu complètmnt dans la boucl d optimisation. Compt tnu d la natur ds variabls t ds fonctions à traitr, la méthod d optimisation mployé sra d typ stochastiqu (algorithm génétiqu) qui d plus st bin adapté à la rchrch d optima globaux t à la détrmination d fronts d Parto dans l cas d optimisations multiobjctifs. Un fois l résultat obtnu, on pourra alors raisonnablmnt s posr la qustion d la validité d ct optimum compt tnu ds hypothèss simplificatrics supposés lors d l écritur ds modèls. L utilisation d modèls analytiqus, rlativmnt «légrs», prmt d xplorr un vast spac d rchrch t d situr, aux approximations ds modèls analytiqus près, l optimum global. Dans un duxièm tmps, à partir d la solution obtnu n utilisant ls modèls analytiqus, un duxièm pass d optimisation sra mné n rmplaçant crtains modèls par ds dscriptions plus fins. Ctt approch corrspond à l optimisation hybrid séquntill qu nous avons détaillé auparavant. Ell nous prmt, à partir d la connaissanc d la zon où dvrait s situr l optimum global obtnu sur la bas ds modèls analytiqus d précisr la position ffctiv d ct optimum. 59

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62 PARTIE II MODELISATION ANALYTIQUE MULTIPHYSIQUE

63 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm I. Modélisation analytiqu global du systèm Avant tout chos, ls frontièrs du systèm étudié doivnt êtr fixés. En amont d la chaîn d convrsion d l énrgi nous admttons qu nous disposons d un bus parfaitmnt continu. En aval du systèm, nous admttons qu la vitss d rotation d l arbr du motur st constant. L synoptiqu du systèm étudié st donné n Figur 6. La machin qu nous étudions ainsi qu ls topologis d convrtissurs élctroniqus l alimntant ont été décrits dans la parti précédnt. Figur 6 - Synoptiqu du systèm étudié t d ss frontièrs Nous allons présntr dans ctt parti la modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm convrtissur-machin qu nous avons dévloppé n détaillant finmnt crtains intractions ntr l ondulur t l motur. L cœur d la modélisation concrn ls prformancs élctromagnétiqus du systèm t, compt tnu ds particularités d la haut vitss, un attntion particulièr sra porté aux phénomèns à haut fréqunc. D plus un modélisation complémntair ds phénomèns thrmiqu t mécaniqu sra réalisé. Afin d éclaircir la démarch d modélisation nous présntons, n Figur 7, un synoptiqu ds modèls dévloppés ainsi qu lurs différnts rlations. Séqunc ds modèls Nous détaillons brièvmnt l nchainmnt ds modèls qui sont mis n œuvr dans notr modélisation. L prmir modèl à êtr xécuté st l modèl élctromagnétiqu. Il prmt d détrminr ls paramètrs d la machin dans la théori ds axs dqo, à partir d la connaissanc d sa géométri t ds propriétés ds matériaux. L modèl élctriqu vint nsuit appliqur un tnsion MLI à la machin caractérisé par ss paramètrs élctromagnétiqus. L approch harmoniqu adopté pour c modèl prmt, avc la connaissanc ds paramètrs d la machin, d détrminr ls forms d onds du courant t du coupl n régim prmannt. Ls forms d onds ds grandurs élctriqus n régim prmannt (tnsion t courant), obtnus grâc au modèl élctriqu, prmttnt d détrminr ls prts du systèm : prts dans l ondulur, prts dans ls aimants, prts par fft Joul t prts fr. Au momnt d calculr ls prts, il faut égalmnt détrminr ls prts aérodynamiqus dans la machin qui puvnt dvnir importants à haut vitss. Ls différnts itms calculés prmttnt d détrminr l rndmnt global d la chaîn d convrsion t srvnt égalmnt à évalur ls échauffmnts dans ls élémnts du systèm. Cla st réalisé par ls 6

64 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 7 - Synoptiqu ds modèls multiphysiqus dévloppés t d lurs couplags modèls thrmiqus d l ondulur t d la machin prmttant d évalur ls tmpératurs aux points critiqus d cs composants. Tous ls modèls décrits précédmmnt sont inclus dans un boucl thrmiqu itérativ prmttant d mttr à jour crtains propriétés physiqus ds matériaux jusqu à l équilibr thrmiqu. Lorsqu la boucl a convrgé, il st alors tmps d détrminr la mass d la machin, ls contraints d ordr mécaniqu appliqués au rotor t l coût du systèm complt. Plan d ctt parti Ctt parti st organisé d la mêm manièr qu l synoptiqu qui vint d êtr présnté. Ell début par la modélisation élctromagnétiqu d la machin, suivi par la modélisation élctriqu n régim prmannt. Ctt drnièr constitu l cœur d la modélisation ds intractions. En fft, il s agit d détrminr ls forms d onds n régim prmannt ds grandurs élctriqus qui sont l intrfac ntr ls dux élémnts du systèm t qui continnnt touts ls informations pour caractérisr l intrdépndanc d la machin t d son élctroniqu d alimntation. Ensuit vint un étap d modélisation ds différnts prts présnts dans l systèm. Cla conduit logiqumnt à un modélisation thrmiqu du systèm. Puis un modèl mécaniqu st décrit avant d conclur sur un modélisation ds coûts du systèm. 63

65 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm II. Modélisation élctromagnétiqu d la machin II.A. Introduction II.A.1) Dscription d la machin La machin étudié st un machin synchron constitué d un rotor comportant ds aimants à aimantation orthoradial t d un stator ncoché où l bobinag st réparti. L stator st séparé du rotor par un ntrfr considéré constant qui put êtr d épaissur important du fait qu il s agit d un machin synchron xcité par ds aimants. L rotor st constitué d un arbr souvnt magnétiqu pour ds raisons économiqus, d un moyu amagnétiqu pour évitr d court-circuitr ls aimants, d piècs polairs t d aimants. Ls piècs polairs possèdnt un doubl fonctionnalité. Ells facilitnt la circulation du champ dans l rotor t lur form st étudié d manièr à rtnir ls aimants trapézoïdaux dans l rotor t évitr ainsi lur satllisation. Cs piècs sont égalmnt n liaison mécaniqu avc l moyu, qui ls support par l intrmédiair d quus d aronds. La form ds aimants st rndu parallélépipédiqu afin d allégr ls calculs, cci sans changr l comportmnt élctromagnétiqu général d la machin. La Figur 8 montr la géométri qui st considéré pour l dévloppmnt du modèl. Figur 8 - Géométri mployé pour la modélisation élctromagnétiqu. Ls variabls géométriqus sont indiqués. II.A.) Objctifs d ctt modélisation L objctif d ctt modélisation st d détrminr ls xprssions analytiqus ds paramètrs élctromagnétiqus résistanc, inductancs t forc élctromotric d la machin élctriqu n fonction d ss dimnsions, ds propriétés physiqus ds matériaux t du bobinag du stator. La machin à modélisr possèd un rotor magnétiqumnt saillant. Nous optons donc pour un modélisation élctromagnétiqu basé sur la théori d la machin équivalnt diphasé d Blondl. 64

66 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin II.A.3) Théori d la machin diphasé d Blondl En considérant ds régims d fonctionnmnt linéairs pour ls matériaux magnétiqus, ls machins à pôls saillants puvnt êtr décomposés n dux machins équivalnts à pôls lisss qui sont la projction d la machin saillant sur dux axs privilégiés : l ax dirct aligné avc ls pôls rotoriqus t un ax n quadratur décalé d 90 élctriqus. Ctt décomposition, comm xpliqué dans [Bn06], prmt d simplifir l étud ds machins à pôls saillants. Il st alors nécssair d n détrminr qu 4 paramètrs : - L d, inductanc cycliqu d ax d par phas ; - L q, inductanc cycliqu d ax q par phas ; - L o, inductanc homopolair cycliqu par phas ; - E, la forc élctromotric (f.é.m.) par phas ou f, l flux magnétiqu par phas. Plusiurs travaux ont été mnés n utilisant l concpt d machin diphasé t n adoptant un rprésntation par résaux d réluctanc [Cha98] [Mi04] [Vid06]. Nous adoptons ici un rprésntation continu ds forms d onds ds champs magnétiqus. Cci prmt un plus grand précision dans la dscription du champ dans la machin t dans la détrmination ds paramètrs élctromagnétiqus. Pour tous cs calculs, nous nous plaçons dans l cas d figur où il n y a pas d saturation t nous négligrons la circulation du champ dans ls matériaux magnétiqus. Ctt hypothès st raisonnabl car ls machins rapids fonctionnnt avc d faibls nivaux d induction comm cla a été dit dans la prmièr parti. Nous nous basons sur l calcul du flux magnétiqu à travrs un phas pour détrminr ls paramètrs d la machin diphasé équivalnt : - Nous nous dotons d un stator liss où l ncochag statoriqu st considéré par l biais du cofficint d Cartr, k C. - Nous détrminons l champ d ntrfr dû aux aimants suls, dû à la réaction magnétiqu d induit (RMI) d ax d, d ax q t d ax o. Pour cla nous résolvons ls systèms d équations donnés par l application du théorèm d Ampèr t d la loi d consrvation du flux. - Enfin nous détrminons l flux à travrs l bobinag d un phas n tnant compt du nombr d spirs ffctivs. L cas échéant, il suffit d divisr l flux à travrs l bobinag par la valur du courant d alimntation afin d détrminr ls valurs ds inductancs. Dans ls calculs qui suivnt, touts ls spirs d un phas sront considérés comm connctés n séri. Ls xprssions établis sront facilmnt transposabls aux bobinags comportant plusiurs vois d nroulmnt n parallèl. En c qui concrn ls inductancs, lls possèdnt un composant du au flux principal (à travrs l rotor) t un composant du aux divrs flux d fuits. Nous traitrons dans un prmir tmps ls composants ds inductancs dus aux flux à travrs l rotor t dans un drnir paragraph clls dus aux flux d fuits. 65

67 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm 66 II.B. Exprssions ds grandurs élctromagnétiqus Nous allons présntr ls équations régissant ls grandurs élctromagnétiqus dans l rpèr (d,q,o) dit d Park. Pour cla, il st nécssair d précisr ls transformations utilisés pour ffctur ls changmnts d rpèrs. Cci afin d conférr plus d clarté à l xposé. Rpèr utilisé L rpèr utilisé par la suit st clui présnté Figur 9. C st l rpèr l plus classiqumnt utilisé. Figur 9 - Rprésntation ds rpèrs abc, d sq s statoriqu t d rq r rotoriqu L passag ds grandurs du rpèr abc au rpèr d Park dqo s ffctu à l aid d la tansformation suivant : ( ) [ ] = c b a P o q d θ Éq. 5 La matric d Park, P( ), associé au rpèr d la Figur 9 t utilisé dans tout la suit d l étud st la suivant : ( ) [ ] ( ) ( ) = sin 3 sin sin 3 4 cos 3 cos cos 3 π θ π θ θ π θ π θ θ θ P Éq. 6 La transformation invrs associé st alors : ( ) [ ] ( ) ( ) = sin 3 4 cos 1 3 sin 3 cos 1 sin cos 1 π θ π θ π θ π θ θ θ θ P Éq. 7

68 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin II.B.1) Forc élctromotric à vid Nous allons détrminr l flux inductur ainsi qu la forc élctromotric n fonction ds paramètrs géométriqus d la machin étudié. Ls aimants génèrnt un flux magnétiqu qui possèd dux composants. L flux principal, participant à la convrsion d énrgi, st l flux du champ circulant via l stator. On considèr égalmnt l flux d fuit (qui n particip pas à la convrsion élctromécaniqu) à travrs l moyu (amagnétiqu) t l arbr (magnétiqu). Cs fuits à travrs l moyu s obsrvnt sur la Figur 30. Figur 30 - Ligns d champ magnétiqu à vid dus aux aimants Conformémnt à la théori d l élctromagnétism t à c qu montr ls simulations par élémnts finis, nous choisissons ds ligns d champs radials dans l ntrfr t circulairs puis radials dans l moyu amagnétiqu. Par aillurs ls dux ntrfrs sont considérés comm constants. Un schéma d princip d calcul du flux inductur st donné n Figur 31. Figur 31 - Schéma d princip du calcul d l'induction d'ntrfr à vid La démarch d calcul présnté précédmmnt st appliqué n considérant l circuit d induit ouvrt. 67

69 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm 68 Ls piècs magnétiqus n étant pas saturés, nous supposons qu la surfac ds piècs polairs st un équipotntill. D plus nous supposons un décroissanc linéair du champ magnétiqu au nivau ds aimants, ntr dux pôls, n fonction d la position angulair dans l ntrfr (voir Figur 3). (a) Champ inductur dans l ntrfr Fort ds hypothèss faits précédmmnt, nous écrivons l théorèm d Ampèr t la loi d consrvation du flux : Théorèm d Ampèr ( ) ( ) = + = k H H H H C a a m m a a θ θ Éq. 8 Rlations constitutivs ds miliux = = + = m m a a r a H B H B H B B µ µ µ µ Éq. 9 Consrvation du flux = + + = = + = p C r act a a act r ntrfr p R m m R m m act a a fuits act a a aim ntrfr fuits aim dx k R L H L R B dx R dx x R R L H L h B m m m m π β π π π α µ β φ π π α µ φ φ φ φ φ Éq. 10 Avc = = 1 1 a r a m R R β α Ls variabls géométriqus apparaissant dans ls équations précédnts sont rprésntés sur la Figur 8. L act st la longuur activ d la machin t p l nombr d pairs d pôls d la machin. En combinant cs équations avc ls rlations géométriqus, nous arrivons à l xprssion d la valur maximal d l induction d ntrfr du aux aimants : = m m m C a r m a r m a m a C a a m C m a C m a C m a C a m a r f R p k R R p R k p h k p k p k p k p h B απ π π β π π µ α β π log 4 ² ² 4 4 B Éq. 11 Lorsqu ls fuits sont purmnt circulairs à travrs l moyu cla dépnd d l épaissur du moyu t d cll ds aimants, l xprssion d la valur du «platau» d induction du aux aimants s écrit: = p p k R R p p h k p k p h B C a r a r a a a C a C a a r f α π π π β π µ α π log 4 ² 4 B Éq. 1

70 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin La form d ond d l induction dans l ntrfr, à vid, pour un configuration géométriqu particulièr, st rprésnté sur la Figur 3. Figur 3 - Form d ond d l induction d'ntrfr à vid avc B r=1,05 T (b) Calcul d la forc élctromotric Nous allons détrminr la form d ond d la forc élctromotric n incluant ls harmoniqus d spac du champ d ntrfr t du bobinag. La form d ond d l induction d ntrfr à vid put s écrir sous form d un décomposition n séri d Fourir [Gi04] : B f υ fk Éq. 13 k= 1 (, θ ) = B sin( kp( υ θ )) st l angl rpérant un point dans l ntrfr par rapport au rpèr statoriqu fix t rpèr la position du rotor dans l rpèr statoriqu. B fk st l amplitud d l harmoniqu d rang k d l induction d ntrfr. À partir du champ d ntrfr, nous calculons nsuit l flux mbrassé par l bobinag n fonction d la position du rotor. Pour cla nous mttons n œuvr la théori ds fonctions d bobinag [Sai01]. L bobinag st distribué t capt l fondamntal du flux ainsi qu crtains harmoniqus. L bobinag put êtr rprésnté par un fonction qui intègr ls harmoniqus d spac du bobinag : 4 N spp π sin ( ) ( npυ) N a υ = sin n K dn K pn K cn K sn = N n sin( npυ ) Éq. 14 π n + 1 n= 0 n= 0 Ls particularités du bobinag sont priss n compt à travrs l cofficint d distribution K dn, l cofficint d raccourcissmnt K pn, l cofficint d inclinaison K sn t l cofficint d ouvrtur d ncoch K cn. Ls xprssions d cs différnts cofficints puvnt êtr trouvés dans [Fud83] [Jok99] [Sai01] [Lip04]. Ensuit l flux capté par l bobinag s écrit : ψ f ( θ ) = pr L p B ( υ θ ) N ( υ) als act π 0 f, a dυ Éq

71 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Après tous calculs faits, l flux capté par un phas s écrit : ( θ ) = πl R B N cos( kpθ ) = ψ f act als fk k Éq. 16 k p+ 1 Il n comport qu ds trms impairs dans l cas d un machin équilibré. Finalmnt la forc élctromotric aux borns d un phas d la machin, n fonction d la position du rotor, st obtnu n appliquant la loi d Faraday: a ( t) = p L R Ω kb N sin( kω t) = π act als fk k Éq. 17 k p+ 1 Cs xprssions intègrnt ls fuits d flux à travrs l moyu. Nous avons donc établi ls xprssions du flux inductur à travrs un phas ainsi qu la f.é.m. d un phas. Cs xprssions prnnnt n compt ls harmoniqus d spac du champ d ntrfr t du bobinag. II.B.) Inductanc cycliqu d ax d : Ld Nous étudions la configuration où un systèm triphasé équilibré d courants st injcté dans ls bobins d tll manièr qu l vctur courant résultant possèd un uniqu composant sur l ax d. En outr, l induction rémannt ds aimants st pris null. Il xist alors ds fuits à travrs l moyu amagnétiqu car la circulation du champ à travrs l épaissur ds aimants n st pas toujours l chmin l plus favorabl. Cs fuits sont visibls sur la Figur 33. Figur 33 - Ligns d champ magnétiqu dus à la réaction magnétiqu d'induit d'ax d L schéma d princip du calcul du champ d réaction magnétiqu d induit d ax d st donné n Figur

72 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 34 - Schéma d princip d calcul d l'induction d'ntrfr dans l'ax d Nous obsrvons un phénomèn d «rcouvrmnt» d l induction magnétiqu : sous un pôl, l champ magnétiqu chang d sign. C phénomèn st dû à la distribution du bobinag t à la travrsé d l spac résrvé aux aimants qui consomm ds ampèrs-tours comm xpliqué dans [Hon8]. Nous supposons ncor un décroissanc linéair du champ magnétiqu d ntrfr aux nivaux ds aimants, n fonction d la position angulair dans l ntrfr. (a) Calcul du champ d ntrfr Afin d calculr un inductanc cycliqu, il st nécssair d considérr l nsmbl ds trois phass alimntés. En fft un inductanc cycliqu traduit la capacité du bobinag global à fair circulr un flux total sur un ds axs privilégiés d la machin diphasé. L systèm équilibré d courants triphasés cré un forc magnétomotric (f.m.m.) s écrivant [Mil89] : Fmmd 3 = d w spp Éq. 18 π ( θ ) i k N cos( pθ ) Tout comm pour l calcul d l induction à vid, l théorèm d Ampèr t la loi d consrvation du flux sont écrits. Ls rlations constitutivs ds miliux sont égalmnt xprimés afin d frmr l systèm d équations régissant ls champs magnétiqus dans ls ntrfrs. Nous faisons l hypothès simplificatric qu ls ligns d champs sont radials dans l ntrfr t circulairs puis radials dans l moyu. Théorèm d Ampèr Rlations constitutivs ds miliux H aa H m H aa + H ( θ ) m ( θ ) = 0 ( θ ) k = Fmm ( θ ) C d Éq. 19 Ba = µ 0µ a H a B = µ 0H Bm = µ 0 H m Éq. 0 71

73 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm 7 Consrvation du flux ( ) = + = = + = p a a d C r act ntrfr R p m p R p m m act a a fuits act a a aim aim fuits ntrfr dx H x Fmm k R L dx dx x p R R L H L h B m m m m π β π π α π π π µ φ π π µ φ φ φ φ φ Éq. 1 La résolution d c systèm d équations prmt d détrminr l xprssion du champ magnétiqu dans l spac résrvé aux aimants : = π π π π µ a m m a C m C a r a m a a m C a m C d spp w m r a p k R k R p h k p k i N k R H 4 log 4 ²... ² Éq. On déduit alors l induction d ntrfr : ( ) ( ) = π π π π µ π θ µ θ a m m a C m C a r a m a a m C a m C r m a C spp w d d p k R k R p h k p k R p k N k i B 4 log 4 ²... ² 4 4 cos 3 0 Éq. 3 La form d ond d l induction dans l ntrfr st rprésnté sur la Figur 35. Figur 35 - Form d ond d induction d'ntrfr dans l'ax d, n fonction d θ

74 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin 73 (b) Calcul d l inductanc cycliqu L d L inductanc cycliqu d ax d qu nous détrminons n intègr qu l flux capté par l fondamntal du bobinag. À partir d la form d ond considéré t d l xprssion qui vint d êtr établi, nous détrminons l amplitud du fondamntal d l induction dans l ntrfr à l aid d un décomposition n séri d Fourir. Nous trouvons : ( ) ( ) ( ) = π π π π µ β β β β β π β π µ a m m a C m C a r a m a a m C a m C r m a C spp w d d p k R k R p h k p k p p R p p p p k N k i B 4 log 4 ² ² 4 4. sin 8... sin 4sin 3 ˆ 0 1 Éq. 4 Nous déduisons dirctmnt l fondamntal du flux à travrs l bobinag sous un pair d pôls : 1 1 ˆ ˆ d act als w spp d B p L R k N π π ψ = Éq. 5 Lorsqu ls fuits sont circulairs puis radials à travrs l moyu, L d s écrit : ( ) ( ) ( ) = π π π π µ β β β β β π β π µ a m m a C m C a r a m a a m C a m C r m a C als s w act d p k R k R p h k p k p p R p p p p p k R N k L L 4 log 4 ² ² 4 4 sin 8... sin 4sin 6 0 Éq. 6 Finalmnt dans l cas où ls fuits à travrs l moyu sont purmnt circulairs, ls calculs sont rpris t conduisnt à xprimr L d slon : ( ) ( ) ( ) = m C a m a C r a m a a m C r m a C als s w act d R k pr k R p h k p p R p p p p p k R N k L L π α π µ β β β β β π β π µ... 4 sin 8... sin 4sin 6 0 Éq. 7 Nous avons finalmnt xprimé l inductanc cycliqu d ax d pour la machin diphasé n fonction ds paramètrs géométriqus d la machin. II.B.3) Inductanc cycliqu d ax q : Lq La démarch st rpris pour détrminr l inductanc cycliqu d ax q. Nous prnons la configuration où on injct un systèm triphasé équilibré d courants dans ls bobins d tll manièr qu l vctur courant résultant possèd un uniqu composant sur l ax q. Dans ctt position, on considèr qu il n y a pas d fuits magnétiqus car l champ circul

75 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm quasi-xclusivmnt dans ls piècs magnétiqus du rotor t du stator. On obsrv, sur l tracé d ligns d champ d la Figur 36, qu il n y a pas d fuits à travrs l moyu comm cla put êtr l cas dans l ax d (cf. paragraph II.B.), p. 70). Figur 36 - Ligns d champ magnétiqu dus à la réaction magnétiqu d'induit d'ax q L schéma d princip du calcul st donné n Figur 37. Figur 37 - Schéma d princip d calcul d l'induction d'ntrfr dans l'ax q Nous supposons ncor un décroissanc linéair du champ magnétiqu au nivau ds aimants, n fonction d la position angulair dans l ntrfr. L champ décroit jusqu à un valur minimal qu nous détrminrons. En fft ls ligns d champ d ntrfr qui sont n fac ds aimants doivnt parcourir un trajt plus important car lls circulnt n parti dans ls aimants. (a) Calcul du champ d ntrfr À l instar d la f.m.m. d ax d, nous pouvons écrir la f.m.m. d ax q n décalant l rpèr d 90 élctriqus. L systèm équilibré d courants triphasés cré un f.m.m. qui s xprim comm suit: 74

76 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Fmmq 3 = q w spp Éq. 8 π ( γ ) i k N cos( pγ ) flux : On résout l systèm donné par l théorèm d Ampèr t la loi d consrvation du Fmmq B = µ 0 H ( γ ) = k H ( γ ) C Éq. 9 Pour ls ligns d champ n travrsant pas ls aimants l calcul d l induction dans l ntrfr st aisé. L champ dans l ntrfr s xprim simplmnt : Bq 3iqµ 0kwNspp = Éq. 30 kcπ ( γ ) cos( pγ ) En fac ds aimants, la valur minimal du champ st : 3iqµ 0kwNspp Bq,min = βπr π k + r C Éq. 31 À partir d la form d ond considéré (sinusoïdal t décroissanc linéair) t d l xprssion qui vint d êtr établi, nous détrminons l amplitud du fondamntal d l induction dans l ntrfr à l aid d un décomposition n séri d Fourir. Nous trouvons : Bˆ q 6kC + βπrals ( 4kC + βπrals ) cos ( βp) + ( )( ( ) ( )) 3iqµ 0kwNspp ( ) kc + βπrals cos βp + βp sin βp = π βp sin βp + 1 βp( k + βπr ) Éq. 3 kcπ La form d ond d l induction dans l ntrfr st rprésnté sur la Figur 38. C als Figur 38 - Form d ond d induction d'ntrfr dans l'ax q, n fonction d γ 75

77 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm (b) Calcul d l inductanc cycliqu L q En procédant d la mêm manièr qu pour l inductanc d ax d, on obtint l inductanc synchron d ax q : π 6L = act µ k w N s R L 0 als q kc π p βp sin( βp) + 6kC + βπrals ( 4kC + βπrals ) cos( βp) + ( )( ( ) ( )) kc + βπrals cos βp + βp sin βp βp( k + βπr ) C als Éq. 33 Nous avons finalmnt xprimé l inductanc cycliqu d ax q pour la machin diphasé n fonction ds paramètrs géométriqus d la machin. II.B.4) Inductanc homopolair : Lo L calcul d l inductanc homopolair nécssit égalmnt l calcul du champ d ntrfr t du flux capté par l bobinag. À partir ds fonctions d bobinag (Éq. 14), il st possibl d xprimr ls forcs magnétomotrics dus à l alimntation par un systèm homopolair. Ells s écrivnt : Fmma Fmmb Fmmc ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( npθ ) 4 Nspp π sin = io sin n KdnK pnkcnksn π n + 1 n= 0 4 Nspp π sin = io sin n KdnK pnkcnksn π n= 0 4 Nspp π sin = io sin n KdnK pnkcnksn π n= 0 ( np( θ π 3) ) n + 1 ( np( θ 4π 3) ) n + 1 Éq. 34 La forc magnétomotric résultant s écrit : Fmmo ( θ ) ( npθ ) 4 Nspp π sin = 3io sin n KdnK pnkcnksn π n + 1 n= 3l l= 0 Éq. 35 En supposant qu l ntrfr put êtr pris constant la périodicité étant tripl d cll d la polarité rotor, on put négligr n prmièr approximation l fft d la saillanc rotoriqu t qu l champ st radial dans l ntrfr, c drnir put s écrir : ( θ ) µ Fmm B ( ) o o o θ = kc µ 4 ( ) ( ) sin = 3 o Nspp π npθ Bo θ io sin n KdnK pnkcnksn kc π n + 1 n= 3l l= 0 Éq

78 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin On put nsuit calculr l flux capté par un bobin (tous ls conducturs étant n séri): π ψ so = pralslact p Bo 0 ( θ ) N ( θ ) k dθ ψ so = µ ( ) ( ) 4 3 o Nspp K n K k pralslact io k C π n + 1 k + 1 k = 0 n= 3l l= 0 π p sin 0 ( npθ ) sin( kpθ ) dθ Éq. 37 L intégral ci-dssus st non null lorsqu k=n. Il n y a donc qu ls harmoniqus 3 qui intrvinnnt dans l calcul. On obtint : ( ) µ 4 = 3 o Nspp π K n ψ so pralslact io kc π p n + 1 n= 3l l= 0 Éq. 38 Finalmnt, la part d l inductanc homopolair du à la circulation du flux à travrs l ntrfr put s écrir : ( ) µ 4 = 3 o N s π K n Lo pralslact kc π p p n + 1 n= 3l l= 0 Éq. 39 Ctt inductanc corrspond aux inductancs harmoniqus du stator. II.B.5) Inductancs d fuit Ls inductancs d fuit possèdnt plusiurs origins : ls flux à travrs ls ncochs, ls flux aux xtrémités d la machin, ou ncor ls flux d fuit zig-zag. Nous n considérons qu ls flux d fuit à travrs ls ncochs. L détail ds calculs ds inductancs d fuit lorsqu la machin st alimnté par un systèm triphasé équilibré st donné par plusiurs sourcs [Fog99] [Lip04] t st rpris n annx I (p. 0). Il faut intégrr l évntul pas d raccourcissmnt d un bobinag à dux étags comm l fait [Lip04]. Lorsqu on détrmin l inductanc d fuit associé aux inductancs synchrons d axs d t q, la machin st alimnté par un systèm d courants équilibré. Cci conduit à écrir, dans l cas d un bobinag à dux étags dont l pas d raccourcissmnt st p rac, l inductanc d fuit d un phas : = 1 Lact pt p + B p L + TB l, q Ns ( 3prac 1) Éq. 40 Nnc Ls différnts prméancs spécifiqus intrvnant dans l xprssion sont donnés n annx I (p. 0). 77

79 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Dans l cas d l inductanc homopolair, la machin st alimnté par un systèm homopolair t il faut prêtr attntion au calcul d l inductanc d fuit ramné à un phas. La configuration ds courants dans ls ncochs st tout à fait différnt du cas où l systèm d alimntation st équilibré. L inductanc d fuit d un phas alimnté par un systèm homopolair s écrit : = 1 Lact pt p + B p L + TB l, o Ns ( 6 prac 5) Éq. 41 Nnc Finalmnt l inductanc d fuit sous alimntation équilibré doit êtr ajouté aux inductancs L d t L q t cll sous alimntation par un systèm homopolair doit êtr ajouté à L o. II.C. Validation ds paramètrs élctromagnétiqus par simulation EF Nous souhaitons validr notr modélisation. Pour cla, nous comparrons nos résultats analytiqus avc cux fournis par un logicil d calcul par élémnts finis : FluxD [FluxD] ou FEMM [Fmm]. Nous modélisrons ds matériaux magnétiqus linéairs dans l cas d calculs par la méthod ds élémnts finis. D mêm nous n prndrons pas n compt ls influncs d la tmpératur sur ls propriétés magnétiqus. Ls comparaisons portrons sur ls forms d onds d l induction dans l ntrfr ainsi qu sur ls valurs ds fondamntaux ds champs dans l ntrfr. Ell portra égalmnt sur la form d ond d la f.é.m. t sur ls valurs ds inductancs L d, L q t L o. Finalmnt la prmièr grandur util du motur, l coupl moyn n charg, sra analysé. II.C.1) Machin d référnc La machin qui srt d bas aux comparaisons a été dimnsionné pour un application d typ comprssur à haut vitss, ll st rprésnté n Figur 39 t ss principals caractéristiqus sont donnés dans l Tablau II. Figur 39 - Machin d référnc pour la validation du modèl élctromagnétiqu. Ls aimants sont rprésntés n noir. 78

80 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin TABLEAU II - CARACTERISTIQUES PRINCIPALES DE LA MACHINE DE REFERENCE Caractéristiqus Valurs p 6 Nombr d ncochs 36 Pas d bobinag 5/6 Rayon xtériur 96,5 mm Rayon d alésag 66,8 mm Entrfr,1 mm Aimants (h a x a ) 6,3 x 10 mm² Rayon d arbr 38,7 mm Epaissur culass 11,1 mm Largur dnt 5,9 mm Longuur activ 77,9 mm Nb spirs n séri 1 B r 1,05 T Courant I 431,3 A II.C.) À vid Ls forms d ond du champ inductur dans l ntrfr, obtnus analytiqumnt t par EF, sont illustrés n Figur 40. On obsrv un bonn cohérnc ntr ls dux forms d ond ainsi qu l apparition d l fft d l ncochag statoriqu. Figur 40 - Comparaison analytiqu-ef d l'induction d'ntrfr du aux aimants Ls amplituds ds fondamntaux sont détrminés avc un décomposition n séri d Fourir. On constat un écart d 1,89 % ntr la valur détrminé analytiqumnt (0,05 T) t cll issu ds élémnts finis (0,164 T). Nous comparons nsuit la form d ond d la forc élctromotric obtnu analytiqumnt t cll obtnu à partir du calcul par EF, voir Figur

81 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Figur 41 - Form d ond d la forc élctromotric à tr/min : comparaison ntr l calcul analytiqu t l calcul par EF. Un décomposition spctral ds forms d onds calculés analytiqumnt t par EF st ffctué. Ls spctrs sont donnés n Figur 4. Figur 4 - Spctr d la forc élctromotric. Comparaison ntr ls résultats analytiqus t par élémnts finis. On constat qu ls différncs d forms d onds puvnt êtr xpliqués par ls harmoniqus d rangs 9, 11 t 13. Cs dux drnirs harmoniqus corrspondnt aux harmoniqus d dntur (dans notr cas, il y a 1 dnts par pair d pôls). Cs drnirs n sont pas intégrés dans la modélisation analytiqu mais l sont d fait dans l calcul par EF. Par aillurs l calcul par EF put mésstimr ls harmoniqus d dntur à caus ds angls vifs ds dnts qui n prmttnt pas d résoudr rigourusmnt l champ magnétiqu n cs points. 80

82 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin o. II.C.3) Analys ds grandurs statoriqus Nous présntons dans ctt sction ls résultats concrnant ls grandurs d axs d, q t (a) Forms d onds ds inductions Ls inductions dans l ntrfr dus à un réaction magnétiqu d ax d t d ax q sont rprésntés sur la Figur 43 t la Figur 44. On constat un bonn cohérnc ntr ls forms d onds analytiqus t ls forms d onds calculés par EF. On obsrv bin l fft d l ncochag statoriqu t d la distribution du bobinag sur ls forms d onds obtnus par EF. Figur 43 - Comparaison analytiqu-ef d l'induction d'ntrfr du à la réaction magnétiqu d'ax d Figur 44 - Comparaison analytiqu-ef d l'induction d'ntrfr du à la réaction magnétiqu d ax q On constat qu ls forms d ond analytiqus rproduisnt assz fidèlmnt ls forms d ond obtnus numériqumnt, au prmir ordr. Ls écarts sur ls fondamntaux d induction, qu c soit dans l ax d (3,7 %) ou dans l ax q (5,17 %), rflètnt c bon comportmnt. Cas d la réaction magnétiqu homopolair Nous rprésntons la cartographi ds ligns d champ lorsqu la machin st alimnté par un systèm d courants homopolairs. Figur 45 - Ligns d champ dus à la composant homopolair ds courants statoriqus 81

83 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm On put obsrvr qu il y a ds ligns d champ qui s rfrmnt à travrs l spac résrvé aux aimants. Cci mt n défaut l hypothès d un ntrfr constant qu nous avions formulé. Nous pouvons n obsrvr ls réprcutions sur la form d ond du champ d ntrfr sous un pôl, Figur 46. Figur 46 - Forms d onds d l induction d ntrfr dus à la composant homopolair ds courants. Comparaison ntr l calcul analytiqu t l calcul par EF. L amplitud d la form d ond analytiqu surstim cll obtnu par élémnts finis. En fft l trajt ds ligns d champ à travrs ls aimants, qu nous n avons pas considéré, conduit à diminur l amplitud du champ. On not ls ffts d la saillanc rotoriqu sur ls xtrémités d la form d ond calculé par élémnts finis. Tout cci conduit à un écart d 3 % ntr l fondamntal d induction calculé par EF (53,4 mt) t clui calculé analytiqumnt (70, mt). (b) Inductancs cycliqus L calcul par EF fournit ls inductancs cycliqus majorés ds inductancs d fuit d ncochs. Il s fait par la détrmination du flux capté par l bobinag ; ls détails du calcul ds inductancs par EF puvnt êtr trouvés dans [Bia05b] [Chi07]. Ls comparaisons ntr ls résultats fournis par la modélisation analytiqu t cux fournis par EF sont donnés dans l Tablau III. TABLEAU III - INDUCTANCES D'AXE D, Q ET O Ax d Ax q Ax o Inductanc analytiqu [H] 10, , , Inductanc EF [H] 9, ,3.10-4, Écart [%] 5,6 4,1 43 La comparaison ds inductancs cycliqus fondamntals, L d t L q, mèn à ds écarts rlativmnt faibls, infériurs à 10 %. L écart sur l inductanc homopolair st plus marqué pour ls raisons qu nous avons évoqués au paragraph précédnt. Cs écarts justifint l approch d concption hybrid où crtains modèls analytiqus sront rmplacés par ds modèls plus fins afin d réduir ls rrurs d modélisation. 8

84 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin II.C.4) Calcul du coupl moyn Nous comparons nfin ls prformancs d la machin au prmir ordr. La machin étant alimnté par un systèm d courants équilibrés. L coupl élctromagnétiqu moyn s xprim alors : 3p C = ψ f ( i + ( L L ) i i ) q d q q d Éq. 4 Il st évalué analytiqumnt n considérant l amplitud du fondamntal du flux d xcitation t ls inductancs synchrons d ax d t q. Par aillurs l coupl st calculé par EF sur un périod tmporll. L coupl présnt alors ds ondulations dus aux harmoniqus d flux t d inductancs. On tir la valur moynn du coupl qu l on compar avc l coupl calculé analytiqumnt. L coupl st ainsi calculé n fonction d l angl d pilotag du courant ; sur un périod élctriqu. La comparaison sur l coupl prmt égalmnt d vérifir la validité ds paramètrs élctromagnétiqus d la machin. Cas du coupl d saillanc L coupl d saillanc stimé analytiqumnt t par élémnts finis, n fonction du tmps t d l angl d pilotag, st rprésnté sur la Figur 47. Pour c fair, ls aimants sont démagnétisés t un systèm d courants équilibrés st injcté dans l bobinag. La comparaison ntr l calcul analytiqu t la moynn tmporll du coupl obtnu par EF st fait n Figur 48. Figur 47 - Coupl d saillanc issu d simulations EF n fonction d l'angl d pilotag t du tmps Figur 48 - Comparaison analytiqu-ef (moynné dans l tmps) du coupl d saillanc n fonction d l'angl d pilotag L coupl d saillanc st convnablmnt stimé d manièr analytiqu. En fft, on constat un écart d 8,5 % sur l amplitud maximal du coupl d saillanc c qui valid la démarch adopté (machin diphasé équivalnt) t ls formulations établis pour ls inductancs synchrons L d t L q. Cas du coupl n charg La courb d coupl n charg n fonction d l angl d pilotag t du tmps, Figur 49, st détrminé n utilisant l mêm princip qu clui mis n œuvr pour l coupl d 83

85 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm saillanc. Ls aimants sont maintnant magnétisés. L mêm courant st injcté dans ls bobins, on obsrv l coupl moynné dans l tmps sur la Figur 50. L coupl n charg st la suprposition du coupl hybrid t du coupl d saillanc. La discussion sur l induction à vid t sur l coupl d saillanc a mis n évidnc la bonn stimation d cs grandurs par l modèl analytiqu. Cci s confirm sur la courb du coupl n charg, Figur 50, où on constat un écart d 4,41 % ntr ls amplituds donnés par ls dux modèls. Figur 49 - Coupl n charg issu d simulations EF n fonction d l'angl d pilotag t du tmps Figur 50 - Comparaison analytiqu-ef du coupl (moynné dans l tmps) n charg n fonction d l'angl d pilotag II.D. Conclusion sur la modélisation élctromagnétiqu La modélisation analytiqu présnté a prmis d détrminr ls xprssions analytiqus ds paramètrs d la machin dans la théori ds axs dqo. Ainsi ls inductancs synchrons L d, L q, t l inductanc homopolair L o d un phas ont été détrminés n fonction d la géométri d la machin, du bobinag t ds propriétés ds matériaux. L drnir paramètr st la forc élctromotric dont la form d ond a été détrminé n fonction d cs mêms paramètrs. Ls résultats d la modélisation analytiqu ont été comparés à cux issus d un modélisation par élémnts finis. Ls comparaisons ont été ffctués sur ls grandurs locals (champ magnétiqu d ntrfr) t sur ls grandurs élctromagnétiqus globals (f.é.m., inductancs t coupls). Ls écarts obsrvés sur cs grandurs sont rlativmnt faibls, c qui prmt d qualifir notr modélisation analytiqu ; xcpté pour l inductanc homopolair. En fft, nous avons crtains écarts qu l utilisation d modèls plus fins prmttrait d réduir. Cci justifi l approch d concption hybrid par optimisation qu nous mttrons n œuvr dans la prochain parti. 84

86 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin III. Modélisation élctriqu L objctif d la modélisation élctriqu qu nous allons présntr st d détrminr ls courants absorbés par la machin lorsqu ll st alimnté n tnsion par un ondulur piloté n modulation d largur d impulsions (MLI). Plusiurs typs d modulation puvnt êtr utilisés dont la MLI intrsctiv synchron ou asynchron, la MLI vctorill ou ncor la MLI calculé. La MLI vctorill st adapté aux systèms triphasés mais n prmttra pas d pilotr ls ondulurs monophasés t la MLI calculé, ll, complxifi l problèm d dimnsionnmnt global. Aussi nous n rtindrons dans ctt étud qu la MLI intrsctiv synchron dans un souci d simplification t d unicité. Etant donné qu nous nous intérssons au dimnsionnmnt du systèm sur un point d fonctionnmnt, sul son comportmnt n régim prmannt nous intérss. Ainsi ls grandurs qu nous souhaitons détrminr sont ls forms d onds ds grandurs élctriqus n régim prmannt. Clls-ci constitunt l intrfac ntr l élctroniqu d alimntation t la machin, lls doivnt donc intégrr touts ls informations nécssairs à la modélisation fin ds intractions ntr ls élémnts du systèm. Cla nous prmttra d miux dimnsionnr la machin t l ondulur n détrminant plus précisémnt ls divrss prts dans l systèm ainsi qu la qualité du coupl fourni. Lorsqu on s intérss au régim élctriqu prmannt, dux approchs sont nvisagabls. La prmièr approch st d résoudr pas à pas dans l tmps ls équations élctriqus différntills d la machin. Ctt méthod nécssit d résoudr ls équations sur plusiurs périods élctriqus car il y a un phas transitoir qui n nous st pas util ici qui doit êtr calculé avant d attindr l régim prmannt. Un scond méthod consist à résoudr par un méthod harmoniqu cs mêms équations élctriqus. Cll-ci n prmt qu d connaîtr la form d ond du courant n régim prmannt t nécssit crtains hypothèss supplémntairs par rapport à un résolution tmporll. Cs hypothèss, qui sront détaillés, sont toutfois raisonnabls dans l cas d machins non saturés, qui sont clls qui nous concrnnt n haut vitss. Ctt scond approch présnt l immns avantag d êtr xtrêmmnt rapid comparé à l approch tmporll. Cci constitu un atout considérabl lorsqu il s agit d intégrr la résolution ds équations élctriqus dans un boucl d optimisation. Nous choisissons d ffctur un modélisation élctriqu basé sur la résolution harmoniqu ds équations élctriqus. L calcul du courant n régim prmannt sra traité n dux tmps. Prmièrmnt dans l cas où l systèm homopolair n xist pas, cas classiqu d un machin conncté n étoil. Dans un duxièm tmps, l systèm homopolair st intégré à la résolution ds courants. III.A. Résolution harmoniqu ds courants D importants travaux sur la résolution harmoniqu ds équations élctriqus, xprimés dans l rpèr d Park, ont été réalisés dans ls annés Ils ont débutés avc la méthod ds Multipl Rfrnc Frams dévloppé par Monsiur Kraus [Kra68]. Ctt méthod définit plusiurs rpèrs tournants dq dans lsquls ls grandurs élctriqus puvnt êtr résolus n utilisant la théori ds circuits n régim continu. Ctt approch a été utilisé dans l analys d un motur à induction alimnté par un ondulur d tnsion dans [Kra74]. Par la suit Monsiur Kankam [Kan74] a dévloppé un approch dans l rpèr dq 85

87 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm tournant au synchronism pour détrminr ls courants dans un machin synchron à rotor bobiné alimnté par un systèm d tnsions équilibrés. Sul l fondamntal du champ d xcitation était alors considéré. Ensuit, un travail plus général proposé par Monsiur Lipo [Lip79] contribu à la résolution ds équations d un machin synchro-réluctant n régim prmannt (synchron ou non-synchron) n utilisant la méthod dq Harmonic Balanc. Ctt méthod a l avantag d n utilisr qu un sul rpèr dq, où ls paramètrs d la machin sont constants. Il nous st apparu, à l analys ds travaux antériurs, qu l cas d un machin synchron triphasé à aimants n a pas ncor été traité. Nous proposons ici un xtnsion d la méthod dq Harmonic Balanc au cas du régim prmannt ds machins synchrons xcités, alimntés par un systèm d tnsions périodiqus voir Figur 51, n prnant n compt ls harmoniqus d flux d xcitation ou d forc élctromotric. Figur 51 MSAP alimnté par un systèm équilibré d tnsions périodiqus III.A.1) Hypothèss t équations d bas Afin d détrminr ls courants absorbés par la machin, il st nécssair d formulr crtains hypothèss : 1/ Ls inductancs sont à variation sinusoïdal ; / La saturation du circuit magnétiqu st négligé ; 3/ La vitss du rotor st constant ; 4/ Ls prts fr n sont pas considérés. Ls équations élctriqus d bas, pour un machin synchron sans amortissurs, sont clls d Park xprimés dans l rpèr rotoriqu : di v d d = Rid + Ld ω Lqiq + d Éq. 43 dt diq v q = Riq + Lq + ω Ld id + q Éq. 44 dt On rappll qu ls paramètrs R, L d t L q sont constants. Ls équations ds circuits rotoriqus t amortissurs puvnt êtr ajoutés si nécssair. Ls rpèrs dq statoriqu t rotoriqu considérés sont cux d la Figur 5. On chrch à résoudr ls courants dans la machin lorsqu ls tnsions d alimntation sont connus. Pour cla, on va xprimr dans un prmir tmps ls tnsions v d t v q n fonction ds tnsions d alimntation périodiqus d la machin. 86

88 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 5 - Schéma du rpèr dq considéré t du sns d rotation admis III.A.) Rprésntation ds tnsions d alimntation dans l rpèr dq rotoriqu Ls forms d onds périodiqus ds tnsions aux borns d la machin sont supposés connus : v a, v b, v c. Cs tnsions d alimntation, dans l rpèr abc, puvnt êtr décomposés n séri d Fourir : va = Vkaα cos( kωt) + Vkaγ sin( kωt) k = 0 k = 0 vb Vkbα cos( kωt) Vkbγ sin( kωt) = + Éq. 45 k = 0 k = 0 vc = Vkcα cos( kωt) + Vkcγ sin( kωt) k = 0 k = 0 Où st la pulsation élctriqu du fondamntal d l ond d tnsion. Ls indics t sont rlatifs aux trms n cosinus t sinus d la décomposition n séri d Fourir. Ctt notation st n accord avc clls d Mssiurs Kraus t Lipo. Nous précisons qu nous optons pour un rpèr tournant dont ls axs sont orintés différmmnt d clui défini par Monsiur Lipo car il nous st plus usul. La décomposition n séri d Fourir proposé sra applicabl au cas d la MLI synchron car ls forms d onds sont périodiqus. Ls tnsions sont nsuit transformés dans l rpèr dqs fixé au stator n utilisant ls rlations suivants : s 1 1 vd = va vb vc v s 1 q = ( vc vb ) 3 Éq. 46 Ls composants d la tnsion dans l rpèr dq statoriqu fix puvnt à lur tour s écrir sous la form d un séri d Fourir : v s d = Vkdα cos( kωt) + Vkdγ sin( kωt) Éq. 47 k = 0 k = 0 87

89 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm v s q = Vkqα cos( kωt) + Vkqγ sin( kωt) Éq. 48 k = 0 k = 0 Où ls cofficints ds trms trigonométriqus s xprimnt slon : 1 1 Vkdα = Vkaα Vkbα Vkcα Vkdγ = Vkaγ Vkbγ Vkcγ Vkqα = ( Vkcα Vkbα ) 3 1 Vkqγ = 3 ( V V ) kcγ kbγ Éq. 49 Ls tnsions sont transformés un nouvll fois pour êtr xprimés dans l rpèr dqr tournant au synchronism. L changmnt d rpèr s ffctu avc ls équations suivants : v r = v s d d cos v r = v s q d sin ( ω t + δ ) + v s sin( ω t + δ ) ( ω t + δ ) + v s cos( ω t + δ ) q q Éq. 50 Où st la position angulair du rpèr dq rotoriqu par rapport au rpèr dq statoriqu à t=0. En substituant ls xprssions d v ds t v qs dans ls équations d changmnt d rpèr cla conduit à écrir ls tnsions dans l rpèr tournant dq n un séri d Fourir : v r q v r d 1 = k = = k = ( V + V ) cos ( kω + ω ) t kqα [ + δ ] ( V V ) sin ( kω + ω ) t kqγ [ + δ ] ( V V ) cos ( kω ω ) t kqα [ δ ] ( V + V ) sin ( kω ω ) t kqγ kdγ kdα kdγ kdα [ δ ] ( V + V ) sin ( kω + ω ) t kqα [ + δ ] ( V V ) cos ( kω + ω ) t kqγ [ + δ ] ( V V ) sin ( kω ω ) t kqα [ δ ] ( V + V ) cos ( kω ω ) t kqγ kdγ kdα kdγ kdα [ δ ] Éq. 51 Éq. 5 88

90 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Soit v r q 1 = k = ( V + V ) cos ( k + 1) kqα ( V V ) sin ( k + 1) kqγ [ ω t + δ ] [ ω t + δ ] ( V V ) cos ( k 1) kqα ( V + V ) sin ( k 1) kqγ kdγ kdα kdγ kdα [ ω t δ ] [ ω t δ ] Éq. 53 v r d = k= ( V + V ) sin ( k + 1) kqα ( V V ) cos ( k + 1) kqγ ( V V ) sin ( k 1) kqα [ ω t + δ ] [ ω t + δ ] [ ω t δ ] ( V + V ) cos ( k 1) kqγ kdγ kdα kdγ kdα [ ω t δ ] Éq. 54 Il apparait dans la décomposition n séri d Fourir ds tnsions, xprimés dans l rpèr dqr, ds trms d pulsations élctriqus à (k+1) t (k-1). III.A.3) Rprésntation ds forcs élctromotrics dans l rpèr dq rotoriqu Ls forcs élctromotrics générés par l flux d xcitation rotoriqu sont périodiqus non sinusoïdals, comm considéré dans la modélisation élctromagnétiqu t puvnt s écrir sous la form d un séri d Fourir : a = Ekaα cos k = 0 b = Ekbα cos kωt k = 0 c = Ekcα cos kωt k = 0 ( kω t) + E sin( kω t) kaγ k = 0 + Ekbγ sin kωt k = 0 + Ekcγ sin kωt k = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Éq

91 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm En appliquant ls mêms transformations qu clls opérés sur ls tnsions d alimntation, ls f.é.m. puvnt s xprimr dans l rpèr dq tournant : r 1 q = k = r 1 d = k = ( E + E ) cos ( k + 1) kqα ( E E ) sin ( k + 1) kqγ [ ω t + δ ] [ ω t + δ ] ( E E ) cos ( k 1) kqα ( E + E ) sin ( k 1) kqγ kdγ kdα kdγ kdα [ ω t δ ] [ ω t δ ] ( E + E ) sin ( k + 1) kqα ( E E ) cos ( k + 1) kqγ ( E E ) sin ( k 1) kqα [ ω t + δ ] [ ω t + δ ] [ ω t δ ] ( E + E ) cos ( k 1) kqγ kdγ kdα kdγ kdα [ ω t δ ] Éq. 56 Éq. 57 III.A.4) Résolution ds courants élctriqus Ls équations d Park sont supposés linéairs donc chaqu harmoniqu d tnsion xcitra l harmoniqu d courant d mêm rang. Ls courants élctriqus sont alors résolus rang harmoniqu par rang harmoniqu. La méthod st détaillé pour l cas particulir où k=n. La solution du systèm constitué par ls équations d Park sra alors la somm infini ds solutions pour k=n. Pour l cas particulir qu nous décrivons, ls tnsions d alimntation t ls f.é.m. sont séparés n dux onds tournants dont ls pulsations élctriqus sont (n+1) t (n-1). Pour l ond tournant dans l sns horair à (n+1) : v r 1 1 d( n) = ( Vnqγ Vndα ) cos[ ( n + 1) ωt + δ ] + ( Vnqα + Vndγ ) sin ( n + 1) + [ ω t δ ] v r 1 1 q( n) = ( Vnqα + Vndγ ) cos[ ( n + 1) ωt + δ ] + ( Vnqγ Vndα ) sin ( n + 1) + [ ω t δ ] r 1 1 d( n) = ( Enqγ Endα ) cos[ ( n + 1) ωt + δ ] + ( Enqα + Endγ ) sin ( n + 1) + [ ω t δ ] r 1 1 q( n) = ( Enqα + Endγ ) cos[ ( n + 1) ωt + δ ] + ( Enqγ Endα ) sin ( n + 1) + [ ω t δ ] Éq. 58 Éq. 59 Éq. 60 Éq

92 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Pour l ond tournant dans l sns anti-horair à (n-1) : v r 1 1 d( + n) = ( Vnqγ + Vndα ) cos[ ( n 1) ωt δ ] ( Vnqα Vndγ ) sin ( n 1) t [ ω δ ] v r 1 1 q( + n) = ( Vnqα Vndγ ) cos[ ( n 1) ωt δ ] + ( Vnqγ + Vndα ) sin ( n 1) t [ ω δ ] Éq. 6 Éq. 63 r 1 1 d( + n) = ( Enqγ + Endα ) cos[ ( n 1) ωt δ ] ( Enqα Endγ ) sin ( n 1) t [ ω δ ] r 1 1 q( + n) = ( Enqα Endγ ) cos[ ( n 1) ωt δ ] + ( Enqγ + Endα ) sin ( n 1) t [ ω δ ] Éq. 64 Éq. 65 Dans la suit nous détaillons la résolution dans l cas d l ond tournant n sns antihorair (+n). Ls courants générés par l ond d tnsion dans l sns horair (-n) sront obtnus n suivant la mêm procédur. La vitss étant considéré constant, t ls paramètrs élctriqus constants dans l rpèr d Park, ls tnsions harmoniqus ngndrnt ds courants harmoniqus d mêm fréqunc. Ils s écrivnt sous la form : r ( n) = Idα ( + n) cos[ ( n 1) ωt] + Idγ ( + n) sin[ ( n 1) ωt] id + Éq. 66 r ( n) = Iqα( + n) cos[ ( n 1) ωt] + Iqγ ( + n) sin[ ( n 1) ωt] iq + Éq. 67 Ls xprssions ds courants ainsi qu ls tnsions sourcs à la pulsation (n-1) sont substitués dans ls équations d Park. Ls trms n sinus t cosinus d cs équations sont nsuit rgroupés t séparés. L détail d ctt opération st donné n annx II (p. ). Cla conduit à 4 équations qui puvnt êtr écrits sous form matricill : V ( + n) = Z( + n) I( + n) + E( + n) Éq. 68 Avc ( Vnqγ + Vndα ) cos( δ ) + ( Vnqα Vndγ ) sin( δ ) ( Vnqγ + Vndα ) sin( δ ) ( Vnqα Vndγ ) cos( δ ) ( Vnqα Vndγ ) cos( δ ) ( Vnqγ + Vndα ) sin( δ ) ( V V ) sin( δ ) + ( V + V ) cos( δ ) 1 V ( + n) =, nqα ndγ nqγ ndα ( + n) ( + n) ( + n) Idα Idγ I ( + n) =, Iqα ( ) Iqγ + n ( n 1) R ωld ωlq 0 ( ) n 1 ωld R 0 ωlq Z = ( + n), ωld 0 R ( n 1) ωlq ( ) 0 ωld n 1 ωlq R 91

93 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm ( Enqγ + Endα ) cos( δ ) + ( Enqα Endγ ) sin( δ ) ( Enqγ + Endα ) sin( δ ) ( Enqα Endγ ) cos( δ ) ( Enqα Endγ ) cos( δ ) ( Enqγ + Endα ) sin( δ ) ( E E ) sin( δ ) + ( E + E ) cos( δ ) 1 E ( + n) =. nqα ndγ nqγ ndα La résolution d c systèm matricil conduit à : [ V E ] 1 I ( + n) = Z ( + n ) ( + n) ( + n) Éq. 69 On procèd d la mêm manièr pour ls onds tournant dans l sns horair (-n) : [ V E ] 1 I( n) = Z ( n ) ( n) ( n) Éq. 70 Avc Idα( n) Idγ ( n) I = ( n), Iqα( n) ( ) Iqγ n ( n + 1) R ωld ωlq 0 ( ) n + 1 ωld R 0 ωlq Z = ( n), ωld 0 R ( n + 1) ωlq ( ) 0 ωld n + 1 ωlq R ( Vnqγ Vndα ) cos( δ ) + ( Vnqα + Vndγ ) sin( δ ) ( Vnqγ Vndα ) sin( δ ) + ( Vnqα + Vndγ ) cos( δ ) ( Vnqα + Vndγ ) cos( δ ) + ( Vnqγ Vndα ) sin( δ ) ( V + V ) sin( δ ) + ( V V ) cos( δ ) 1 V ( n) =, nqα ndγ nqγ ndα ( Enqγ Endα ) cos( δ ) + ( Enqα + Endγ ) sin( δ ) ( Enqγ Endα ) sin( δ ) + ( Enqα + Endγ ) cos( δ ) ( Enqα + Endγ ) cos( δ ) + ( Enqγ Endα ) sin( δ ) ( E + E ) sin( δ ) + ( E E ) cos( δ ) 1 E ( n) =. nqα ndγ nqγ ndα Ls courants, dans l rpèr rotoriqu, s xprimnt alors comm un séri d Fourir : i r d = Idα( + k) cos k = 0 + Idγ ( + k) sin + Idα ( k) cos + Idγ ( k) sin [( k 1) ω t] [( k 1) ωt] [( k + 1) ωt] [( k + 1) ω t] Éq. 71 9

94 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin i r q = Iqα ( + k) cos k = 0 + Iqγ ( + k) sin + Iqα ( k) cos + Iqγ ( k) sin [( k 1) ω t] [( k 1) ωt] [( k + 1) ωt] [( k + 1) ω t] Éq. 7 En utilisant la transformation invrs pour passr du rpèr rotoriqu au rpèr statoriqu on put écrir ls courants slon : ( ω t + δ ) + i r cos( ω + δ ) i s = i r d q sin d t Éq. 73 ( ω t + δ ) + i r sin( ω + δ ) i s = i r q q cos d t Éq. 74 On put finalmnt détrminr ls courants d lign abc n utilisant la transformation invrs qui nous prmt d passr du rpèr dqs au rpèr abc : i s a = id i s i d b = + i s i d c = 3 i s q 3 i s q Éq. 75 III.A.5) Cas d la composant homopolair En plus ds équations n d t q qui ont été abordés précédmmnt, lorsqu la machin st couplé n triangl ou qu ls phass sont alimntés séparémnt chacun par un ondulur monophasé il faut considérr un équation supplémntair. Cll-ci st l équation élctriqu d Park pour la composant homopolair : di v 0 0 = Ri0 + L0 + 0 Éq. 76 dt Nous procédons d la mêm manièr qu pour ls équations élctriqus rlativs aux axs d t q. Rprésntation ds tnsions d alimntation dans l rpèr dqo À partir ds tnsions d alimntation v a, v b, v c donnés par (Éq. 45), la composant homopolair ds tnsions d alimntation s écrit : r vo = va + vb + vc Éq

95 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm La tnsion homopolair put s décomposr n séri d Fourir : v r o = Vkoα cos( kωt) + Vkoγ sin( kωt) Éq. 78 k = 0 k = 0 Avc Vkaα + Vkbα + V V kcα koα = 3 Vkaγ + Vkbγ + Vkcγ Vkoγ = 3 Rprésntation ds forcs élctromotrics dans l rpèr dqo On put procédr d la mêm manièr qu précédmmnt avc ls composants d t q ds forcs élctromotrics. Ainsi, pour la composant homopolair, on obtint : r o = a + b + c Éq La forc élctromotric homopolair put s écrir n séri d Fourir : r o = Eoα cos( kωt) + Eoγ sin( kωt) Éq. 80 k = 0 k = 0 Avc Ekaα + Ekbα + E E kcα koα = 3 Ekaγ + Ekbγ + Ekcγ Ekoγ = 3 Il st à notr qu il n rst qu ds harmoniqus d rang trois dans (Éq. 80). Résolution harmoniqu du courant homopolair Ls courants élctriqus sont résolus harmoniqu par harmoniqu. La méthod st détaillé pour l cas particulir où k=n. La solution d l équation élctriqu homopolair sra alors la somm infini ds solutions pour k=n. La vitss étant considéré constant, t ls paramètrs élctriqus constants dans l rpèr d Park, ls tnsions harmoniqus ngndrnt ds courants harmoniqus d mêm fréqunc. Ils s écrivnt sous la form : io r ( n) Ioα( n) cos ( nωt) + Ioγ ( n) sin( nωt) = Éq. 81 Ls xprssions ds courants ainsi qu ls tnsions sourcs à la pulsation n sont substitués dans l équation homopolair, c qui conduit à : Vnoα cos { } { } ( nωt) + Vnoγ sin( nωt) = R Ioα ( n) cos[ nωt] + Ioγ ( n) sin[ nωt] + Lonω Ioα( n) sin[ nωt] + Ioγ ( n) cos[ nωt] + E cos( nω t) + En sin( nω t) noα oγ Éq. 8 94

96 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Dans l équation réécrit tll qu précédmmnt, on obsrv ds trms n cos(n t) t sin(n t). Ls équations sont vérifiés si ls trms d gauch t d droit sont égaux t ils vérifint donc ls équations suivants (où ls trms n cosinus t sinus sont équilibrés) : ( n) + Lon Ioγ ( n) E α ( n) Lon Ioα ( n) E γ V noα = RIoα ω + no Éq. 83 V noγ = RIoγ ω + no Éq. 84 Cs dux équations puvnt s mttr sous form matricill : V ( n) = Z( n) I( n) + E( n) Éq. 85 Vnoα V ( n ) =, Vnoγ Inoα R nωlo I ( n) =, Z I ( n) = noγ nωlo R La résolution d c systèm matricil conduit à : [ V E ] 1 I( n) = Z ( n ) ( n) ( n) Éq. 86 Ls courants dans l rpèr rotoriqu s xprimnt alors sous form d un séri d Fourir : i r o = Ioα( + k) cos [ kωt] + Ioγ ( + k) sin[ kωt] Éq. 87 k = 0 Ls courants dans l rpèr statoriqu s déduisnt immédiatmnt : i s r o = io Éq. 88 On put finalmnt détrminr ls courants d lign abc ls composants d t q du courant ont par aillurs été calculés n utilisant la transformation invrs ntr ls rpèrs dqs t abc : i s s a = id + io i s d 3 i s s b = + iq + io Éq. 89 i s i d 3 s s c = iq + io III.B. Vérification par comparaison à un simulation tmporll Dans c paragraph, nous comparons ls résultats fournis par l approch harmoniqu t cux issus d un résolution tmporll ds équations élctriqus. Ctt drnièr st fait par intégration ds équations élctriqus différntills par la méthod du trapèz ou par un méthod d Rung-Kutta. 95

97 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm III.B.1) Cas d un machin conncté n étoil La comparaison port sur dux cas d alimntation : un alimntation n tnsion plin ond t un alimntation n tnsion MLI. Ls simulations sont réalisés sous hypothès d linéarité t sul l fondamntal d f.é.m. st inclus dans un prmir tmps. La machin simulé tourn à tr/min, possèd 3 pairs d pôls t st conncté n étoil. Ell st alimnté par un ondulur triphasé conncté à un bus continu d 500 V. Ls paramètrs d la machin sont ls suivants : R=3, Ω, L d =1, H; L q =1, H; ψ ˆ f 1=39, Wb. L vctur tnsion phas-nutr fait un angl d 114,6 lc avc l ax dr. Cas 1 La MSAP st alimnté par un systèm d tnsions d form plin ond. La méthod harmoniqu ffctu la résolution sur 100 rangs harmoniqus t sur points par périod élctriqu. La résolution tmporll s ffctu avc points par périod t il faut 30 périods pour attindr l régim prmannt. La comparaison ntr ls forms d onds d courant n régim prmannt st donné sur la Figur 53. Figur 53 - Tnsion phas-nutr t courant d lign sur un périod élctriqu n régim prmannt sous alimntation d form plin ond Cas La MSAP st alimnté par un systèm d tnsions issus d un MLI intrsctiv sinustriangl synchron. La fréqunc d la portus st 15 fois cll du fondamntal (m=15) t la profondur d modulation st unitair (r=1). La résolution harmoniqu s ffctu toujours sur 100 harmoniqus t points par périod, la résolution tmporll sur 30 périods t points par périod. La tnsion phas nutr t ls forms d onds d courant, calculés par ls dux méthods, sont rprésntés sur la Figur 54. Ls résultats fournis par ls dux approchs dans ls dux cas d étud présntés sont idntiqus. Concrnant ls tmps d calcul, l xécution d la méthod harmoniqu st 5 fois plus rapid qu la résolution tmporll dans l cas d l alimntation n plin ond. Dans l cas d l alimntation n MLI, c rapport vaut

98 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 54 - Tnsion phas-nutr t courant d lign sur un périod élctriqu n régim prmannt sous alimntation MLI III.B.) Application à un machin dont ls phass sont découplés La méthod harmoniqu a montré son fficacité t sa précision sur ls dux cas étudiés précédmmnt. Nous complxifions maintnant l problèm n introduisant ls harmoniqus d f.é.m. t l systèm homopolair dans la résolution ds courants élctriqus. En fft, nous considérons ctt fois un machin alimnté par trois ondulurs monophasés où chaqu phas st alimnté d manièr indépndant. Ls inductancs d la machin sont ls suivants : L d =1, H, L q =1, H t L o =3, H. La forc élctromotric st obtnu analytiqumnt t st rprésnté sur la Figur 55. Ls tnsions d alimntation sont toujours périodiqus t déphasés d +/- π/3. La Figur 56 présnt la tnsion d alimntation appliqué aux borns d un nroulmnt. Il s agit toujours d un MLI intrsctiv sinus-triangl (r=1, m=). Figur 55 - Forcs élctromotrics, calculés analytiqumnt, aux borns ds nroulmnts Figur 56 - Tnsion appliqué aux borns d un nroulmnt 97

99 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Il st intérssant d rprésntr n particulir ls composants homopolairs ds tnsions d alimntation t ds forcs élctromotrics. On constat n obsrvant la Figur 57 qu cs composants homopolairs sont loin d êtr négligabls. Figur 57 - Composants homopolairs ds tnsions d alimntation t ds forcs élctromotrics L application d la méthod harmoniqu fournit ls forms d onds ds courants d nroulmnt n régim prmannt. La Figur 58 montr l courant dans la phas a. Ctt form d ond st à comparr avc cll obtnu n négligant l systèm homopolair, Figur 59. Cci montr la nécssité absolu d prndr n compt l systèm homopolair, lorsqu il xist, dans l évaluation du courant, donc ds prformancs. Figur 58 - Courant dans la phas a systèm homopolair inclus Figur 59 - Courant dans la phas a systèm homopolair xclu III.C. Vérification par comparaison à ds simulations par élémnts finis C paragraph a pour objt d comparr ls résultats issus d un simulation tmporll par élémnts finis à cux obtnus par un approch analytiqu t un résolution harmoniqu. Dux cas sont abordés. Dans un prmir tmps, un machin «liss» - sans variation d prméanc d ntrfr prmt d n intégrr qu ls harmoniqus d f.é.m. t d vérifir l 98

100 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin comportmnt d la méthod harmoniqu. Puis l cas d la machin d référnc, déjà évoqué dans la sction II.C.1) (p. 78), st abordé. III.C.1) Cas d un machin «liss» La machin «liss» qu nous étudions st rprésnté sur la Figur 60. Ell st triphasé t ls phass sont connctés n étoil. Ls aimants, montés n surfac, ont un faibl ouvrtur polair afin d accroîtr volontairmnt l taux d harmoniqus présnts dans ls f.é.m. Ctt structur prmt d n consrvr qu ls harmoniqus d f.é.m, t nous prmttra d qualifir la méthod harmoniqu. Figur 60 - Géométri d la machin «liss» considéré La simulation EF st ffctué n régim linéair t ls paramètrs d la machin sont : L d = L q =6, H t R=1 Ω. L modèl par élémnts finis st couplé à un circuit élctriqu ; cci st ffctué avc l logicil FluxD. Cla prmt d simulr l alimntation d ctt machin par un ondulur d tnsion. Ls forcs élctromotrics, tirés d la simulation par élémnts finis, sont présntés sur la Figur 61. Figur 61 - Forcs élctromotrics à vid d la machin «liss», à tr/min La référnc d tnsion st pris colinéair à l ax q du rpèr dq tournant au synchronism. Ls f.é.m. obtnus par EF sont introduits dans l calcul harmoniqu ds courants. Un prmir cas st traité où l ondulur fonctionn n plin ond (m=1, r=1). La 99

101 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm comparaison ntr la form d ond d courant obtnu par la méthod harmoniqu t cll issu d la simulation par EF st présnté Figur 6. Cs forms d onds intègrnt l influnc ds harmoniqus d f.é.m. sur ls courants t sont n bon accord. Figur 6 - Tnsion phas-nutr t courant d lign sur un périod élctriqu n régim prmannt Un scond cas st traité où l alimntation st ctt fois d typ MLI intrsctiv sinustriangl (r=1, m=9). La référnc d tnsion st aligné sur l ax q du rpèr dq tournant. Ls forms d onds ds courants calculés par EF t par la méthod harmoniqu sont rprésntés n Figur 63. Figur 63 - Forms d onds ds courants calculés par EF t par la méthod harmoniqu. Cas d la machin «liss» alimnté n MLI (r=1, m=9). On obsrv un bonn cohérnc ntr ls forms d onds obtnus par ls dux approchs. La form d ond calculé analytiqumnt présnt ds oscillations dus à la faibl valur ds inductancs. Il faut précisr qu l nombr d spirs t la résistanc ont été choisis arbitrairmnt t n constitunt pas un combinaison réalist. Nous avons cpndant mis n évidnc la bonn pris n compt ds harmoniqus d f.é.m. dans la détrmination ds courants par la méthod harmoniqu. 100

102 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin III.C.) Cas d la machin d référnc Nous traitons maintnant l cas d la machin à pôls saillants qui nous intérss. La machin d référnc st simulé par EF avc un couplag circuit t d autr part n utilisant la méthod harmoniqu. La machin possèd trois pairs d pôls, st conncté n étoil, t tourn à tr/min. La résistanc phas-nutr st R =8,7 mω. Nous tstons l cas où la machin st alimnté n plin ond avc un tnsion d bus d 600 V. La référnc d tnsion fait un angl d 17 lc avc l ax d du rpèr dq tournant au synchronism. Tout comm dans l cas précédnt, ls f.é.m. sont détrminés par EF avc l logicil FluxD t inclus dans la résolution harmoniqu. Ells sont rprésntés sur la Figur 64. Figur 64 - Forcs élctromotrics d la machin d référnc obtnus par EF, à tr/min Ls forms d onds ds courants obtnus par ls dux méthods sont rprésntés sur la Figur 65. On constat un bonn concordanc ntr ls dux résultats avc toutfois qulqus légrs écarts. Figur 65 - Tnsion phas-nutr t courant d lign d la machin d référnc sur un périod élctriqu n régim prmannt. Comparaison ntr ls résultats obtnus par EF t par la méthod harmoniqu. D ctt étud nous pouvons constatr qu l hypothès concrnant la variation sinusoïdal ds inductancs st accptabl n c qui concrn la résolution ds courants absorbés par la machin. 101

103 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm III.D. Vérification par comparaison à un msur xpérimntal Ls étuds théoriqus présntés dans ls paragraphs précédnts sont complétés par un comparaison ntr ls résultats issus d un calcul harmoniqu t cux obtnus xpérimntalmnt. L schéma d princip du systèm d ntraînmnt xpérimntal st donné n Figur 66. L ondulur st piloté par un cart d contrôl DSPACE programmabl à partir d un programm dévloppé sous Matlab/Simulink. Figur 66 - Schéma du systèm d ntraînmnt tsté : un bus continu variabl, un ondulur triphasé, la MSAP. L systèm d ntraînmnt st tsté dans dux configurations : un alimntation n plin ond t un alimntation n MLI. III.D.1) Caractéristiqus d la machin La machin à tstr st un machin à aimants montés n surfac, Lroy-Somr Unimotor 115EC300BACAAA115190, conncté n étoil. Ell st chargé par un machin à courant continu qui débit sur un résistanc. Ls paramètrs d la machin ont été détrminés xpérimntalmnt slon la méthod détaillé n annx IV (p. 8) t slon [Ohm09]. Cla conduit aux valurs suivants : R =0,41 Ω, L d = L q =,3 mh. Ls forms d onds d f.é.m. sont présntés sur la Figur 67. Figur 67 - Form d onds ds forcs élctromotrics d la machin Unimotor 10

104 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin On constat qu cs forms d onds sont quasimnt sinusoïdals, aussi nous n avons considéré qu lurs trms fondamntaux. L flux d xcitation st alors ψ ˆ f 1 =14, Wb. III.D.) Comparaison ds forms d ond d courant Comparaison ds forms d ond théoriqu t xpérimntal sous alimntation plin ond La tnsion du bus st fixé à 31 V, t la référnc d tnsion st positionné à 104 lc n avanc par rapport à l ax d du rpèr dq tournant au synchronism. Dans cs conditions, avc la charg appliqué sur l arbr d la MSAP, il n résult un vitss d rotation d 457 tr/min. Ls courants msurés sont comparés, n Figur 68, aux prédictions obtnus analytiqumnt par la méthod harmoniqu. Ls forms d onds sont n bon accord. On not qu l amplitud du courant st légèrmnt surstimé par l calcul analytiqu. Figur 68 - Forms d ond du courant obtnus xpérimntalmnt t analytiqumnt par résolution harmoniqu. Cas d un alimntation n tnsion plin ond. Comparaison ds forms d onds théoriqus t xpérimntals sous alimntation MLI L ondulur st maintnant piloté n MLI intrsctiv sinus-triangl avc un indic d modulation d 9 t un profondur d modulation unitair. La référnc d tnsion st positionné à 109 lc n avanc sur l ax d du rpèr dq tournant au synchronism t la tnsion d bus st fixé à 80 V. Dans cs conditions t avc la charg appliqué sur l arbr d la machin, il n résult un vitss d 1 00 tr/min. Ls forms d ond ds courants, obtnus xpérimntalmnt t analytiqumnt, sont donnés sur la Figur

105 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Figur 69 - Forms d ond du courant obtnus xpérimntalmnt t analytiqumnt par résolution harmoniqu. Cas d un alimntation n tnsion MLI (r=1, m=9). On constat qu l calcul harmoniqu prmt d rprésntr d un manièr satisfaisant la form d ond du courant. III.E. Conclusion sur l approch d résolution harmoniqu La modélisation élctriqu proposé étnd ls travaux ds annés 1970 sur c sujt, t notammnt cux d Monsiur T.A. Lipo, au cas ds machins synchrons à aimants. Ls différnts comparaisons qui ont été ffctués prmttnt d conclur positivmnt quant aux prformancs d l approch harmoniqu. Sous hypothès qu ls matériaux magnétiqus fonctionnnt n régim linéair, t qu ls inductancs soint à variation sinusoïdal, l approch dévloppé prmt d intégrr ls harmoniqus d f.é.m. dans l calcul d la form d ond du courant absorbé n régim prmannt par la machin lorsqu cll-ci st alimnté par un systèm qulconqu d tnsions triphasés périodiqus. Un attntion particulièr a été porté sur la pris n compt du systèm homopolair dans la résolution ds équations élctriqus. La nécssité d évalur ctt composant st apparu clairmnt au cours d cs drnirs paragraphs. L tmps d xécution du modèl harmoniqu, d l ordr d la scond (qui dépnd du nombr d harmoniqus t d la discrétisation tmporll dmandés), constitu un atout important par rapport à un approch tmporll. Il st maintnant nvisagabl d inclur l calcul d la form d ond du courant dans un boucl d optimisation. Cci prmttra d caractérisr finmnt ls intractions ntr la machin t son convrtissur d alimntation pndant la phas d concption par optimisation. 104

106 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin IV. Exprssion du coupl élctromagnétiqu Nous avons, à c stad, détrminé ls forcs élctromotrics d la machin n incluant ls harmoniqus d spac du champ d xcitation. Nous avons nsuit calculé ls courants n régim prmannt n y intégrant ls harmoniqus d tnsions t d f.é.m. Afin d poursuivr la pris n compt ds intractions ntr la machin t l ondulur, il srait intérssant d xprimr l influnc ds harmoniqus d courants t d flux d xcitation sur la form d ond du coupl. Nous présntons dans c chapitr un dévloppmnt mnant à établir un xprssion du coupl intégrant ls différnts sourcs d harmoniqus précités. L dévloppmnt st basé sur l calcul d la co-énrgi magnétiqu du systèm n régim linéair t sra réalisé dans l rpèr dqo. En fft ls modélisations élctromagnétiqu t élctriqu sont réalisés dans c rpèr. Nous poursuivons la modélisation dans c rpèr à ds fins d cohérnc t d simplicité. Dans un prmir tmps, la composant du coupl du aux composants ds grandurs élctromagnétiqus ds axs d t q st calculé. Puis la composant du coupl du à la composant homopolair st détrminé. Cs dux composants formnt finalmnt l coupl total. Ls xprssions établis sont nsuit validés par comparaison avc ds modèls par élémnts finis. IV.A. Exprssion analytiqu du coupl élctromagnétiqu L coupl d origin élctromagnétiqu va êtr xprimé à partir du princip ds travaux virtuls t supposant ds matériaux magnétiqus linéairs. Il faut dans un prmir tmps calculr l énrgi magnétiqu (ou la co-énrgi) pour nsuit n déduir l coupl. Nous procédrons n dux étaps : la prmièr concrn l coupl produit par ls composants d t q, la scond concrn l coupl dû au systèm homopolair. Ls dévloppmnts qu nous mènrons concrnnt un machin bipolair. IV.A.1) Cas d la co-énrgi t du coupl dus aux composants d t q Dans c qui suit, un aimant st modélisé par un bobin équivalnt d inductanc propr L r parcouru par un courant constant i r t par ds mutulls inductancs avc l bobinag statoriqu : M af, M bf t M cf. (a) Exprssion d la co-énrgi magnétiqu pour ls composants d t q On écrit ls rlations ntr ls flux t ls courants : ψ a = Laia + M abib + M acic + ψ fa = ψ sa + ψ fa ψ b = M abia + Lbib + Mbcic + ψ fb = ψ sb + ψ fb ψ c = M acia + Mbcib + Lcic + ψ fc = ψ sc + ψ fc ψ r = Lrir + M af ia + Mbf ib + Mcf ic Éq

107 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Puis on calcul la co-énrgi magnétiqu : ' 1 W = = [ ψ i + ψ i + ψ i + ψ i ] a a b b c c r r ψ saia + ψ sbib + ψ scic + 1 ψ faia ψ fbib ψ fcic Lrir + M af iair + M bf ibir + M cf icir Éq. 91 Or fa= M af i r, fb= M bf i r t fc= M cf i r. La co-énrgi magnétiqu put alors s écrir : [ ( ) saia + ψ sbib + ψ scic + ψ faia + ψ fbib + fcic Lrir ] ' 1 W = ψ ψ + Éq. 9 Nous posons i r l vctur courant généré par ls 3 courants d phas. i r s xprim : r i = ia ib ic dans l spac abc r i = id iq dans l spac dq D mêm ψ r t ψ r f puvnt s xprimr : ψ sa r ψ s = ψ sb ψ sc r ψ sd ψ s = ψ sq s dans l spac abc dans l spac dq rotoriqu ψ fa r ψ f = ψ fb ψ fc r ψ fd ψ f = ψ fq dans l spac abc dans l spac dq rotoriqu La co-énrgi magnétiqu put alors êtr écrit sous form d un produit scalair [Van0]: ' 1 3 r r 3 r r W = ψ si + ψ f i + Lrir Éq. 93 On écrit l coupl comm la dérivé d la co-énrgi par rapport à l angl, à courants abc constants, à vctur i r constant : W ' C = θ i abc = cst r 1 3r r ψ ψ = s 3r f i + i θ θ L + i r r θ Éq. 94 Nous posons r 1 3r ψ C = i s 1, θ r 1 3r ψ f C = i t θ 1 L C = r dt ir. θ C 1 corrspond au coupl d saillanc, C au coupl d intraction ds aimants avc l bobinag statoriqu t C dt st l coupl d détnt dû à la variation d prméanc d ntrfr. Par la suit nous concntrrons la modélisation sur l coupl d saillanc t l coupl 106

108 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin d intraction, l coupl d détnt n sra plus considéré car il n particip pas à la création du coupl moyn non nul. écrit : (b) Calcul d C 1 : coupl d saillanc Nous dévloppons maintnant l xprssion du coupl d saillanc. Nous l avons r 1 3r ψ C = i s 1 Éq. 95 θ L vctur flux statoriqu put s xprimr comm suit : Avc ψ = L sd did + M dqiq ψ sq = M qdid + Lqiq r sd d r s sq q r ψ = ψ + ψ Éq. 96 La matric d inductanc dans l spac dq s obtint à partir ds inductancs dans l spac abc par la transformation suivant : Ld M qd ( θ ) M dq ( θ ) ( θ ) L ( θ ) q dq = [ P] [ L ( θ )][ P] 1 abc Éq. 97 L d t L q corrspondnt aux inductancs synchrons d ax d t q, t M dq t M qd corrspondnt aux inductancs mutulls synchrons ntr ls axs d t q. Nous optons pour un notation avc un doubl indic pour marqur la possibilité d un couplag ntr ls axs d t q. La dérivé du flux statoriqu put s xprimr : r r r ψ s ψ r sd d ψ sq r q = d + ψ sd + q + ψ sq θ θ θ θ θ ψ r sd r ψ sq r r = d + ψ sd q + q ψ sqd θ θ Éq. 98 Or : ψ sd θ = [ i + M i ] i = d L + d iq M dq L d d dq q Ld id + M dq + iq Éq. 99 θ θ θ θ θ i Pour l trm L d d : θ rr r id i d r d rr L d = Ld = Ld i = Ld i q = Ld iq θ θ θ 107

109 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm 108 Pour l trm θ q dq i M : d dq dq q dq i M q i M i M = = θ θ r r [ ] θ θ θ θ θ θ ψ = + = qd d d qd q q q q d qd q q sq M i i M L i i L i M i L Pour l trm θ q q i L : d q q q q i L q i L i L = = θ θ r r Pour l trm θ d qd i M : q qd qd d qd i M d i M i M = = θ θ r r Et finalmnt l xprssion d C 1, après calculs : = θ θ θ θ qd dq q d q d qd q q dq d d M M L L i i M L i M L i C Éq. 100 En posant M dq =M qd (l couplag ntr ls axs d t q st réciproqu concrnant l flux statoriqu), on obtint : = θ θ θ dq q d q d dq q q dq d d M L L i i M L i M L i C Éq. 101 En faisant l hypothès d un variation purmnt sinusoïdal ds inductancs équivalant à M dq =M qd =0 t ls dérivés sont nulls on rtrouv : ( ) [ ] q d q d L L i i C = Éq. 10 qui st l xprssion usull du coupl d saillanc habitullmnt utilisé pour l dimnsionnmnt. (c) Calcul d C : coupl d intraction ds aimants t ds courants statoriqus Nous dévloppons maintnant l xprssion du coupl d intraction ds aimants avc l bobinag statoriqu. Nous l avons écrit : θ ψ θ ψ = = f f i i C r r r r Éq. 103

110 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin La dérivé du flux rotoriqu put s dévloppr : r ψ f θ ψ fd r ψ fq r r r = d + q + ψ fd q ψ fqd θ θ Éq. 104 Soit finalmnt l xprssion d C : 3 ψ fd ψ fq C = id + iq + ψ fdiq ψ fqid Éq. 105 θ θ IV.A.) Cas d la co-énrgi t du coupl d origin homopolair Dans c qui suit on considèr qu l inductanc homopolair st constant. On commnc par écrir ls rlations ntr flux t courants : ψ r = Lrir + ( M af + Mbf + M cf ) io + ψ = ( L + L + L ) i + ( M + M + M ) 3 ψ o = ψ a + ψ b c a b c o af bf cf ir Éq ( M ab + M ac + M ba + M bc + M ca + M cb ) i o t Par aillurs on a M ab =M ba, M bc =M cb t M ac =M ca. En posant La + Lb + Lc M ab + Mbc + M L ca o = +, on put réécrir : 3 3 M af Mor = + Mbf 3 + Mcf ψ r = Lrir + 3M orio 3ψ o = 3Morir + 3Loio Éq. 107 On écrit nsuit la co-énrgi magnétiqu du à la composant homopolair t aux aimants : ' Wo 1 1 = a o b o c o r r o o ψ r r 1 = [ ψ i + ψ i + ψ i + ψ i ] = [ 3ψ i + i ] [ 3Loio + 3M orioir + Lrir + 3M orioir ] Éq. 108 Or M or i r = fo, la composant homopolair du flux d xcitation rotoriqu. Tout comm précédmmnt, l coupl d détnt st négligé. On écrit l coupl comm la dérivé d la co-énrgi à courants abc constants, à vctur i r constant (g. i o constant) : Co W ' = o θ i abc = cst = 1 6io ψ fo θ Éq. 109 ψ fo Soit Co = 3 i o θ 109

111 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Nous avons donc xprimé l coupl homopolair n fonction d la composant homopolair ds flux à vid capté par ls harmoniqus d bobinag t d la composant homopolair ds courants. IV.A.3) Coupl élctromagnétiqu total Ls xprssions établis précédmmnt font intrvnir ds dérivés par rapport aux angls élctriqus. Il faut n réalité ffctur cs dérivations par rapport aux angls mécaniqus. Cci conduit à multiplir ls xprssions établis par l nombr d pairs d pôls p. Finalmnt l coupl élctromagnétiqu total s écrit, dans l rpèr dqo rotoriqu : C = 3 1 L d Lq i d M dq + iq + M dq + id iq Ld θ θ p ψ fd ψ fq ψ fo + ψ fdiq ψ fqid + id + iq + io θ θ θ M dq Lq + θ Éq. 110 Dans l cas d notr modélisation, nous n avons pas considéré ls trms d mutulls inductancs ntr ls axs d t q t nous avons supposé constants ls inductancs d axs d t q. La formulation du coupl qu nous mploirons dans notr modélisation analytiqu st la suivant : ( L L ) 3 ψ fd ψ fq ψ fo C = p id iq d q + ψ fdiq ψ fqid + id + iq + io θ θ θ Éq. 111 Il faut maintnant détrminr ls flux ds aimants, avc lurs harmoniqus rspctifs, ffctur ls projctions sur l rpèr dqo t ls dérivr. Cci st détaillé n annx III (p. 5). Nous avons donc xprimé l coupl n fonction ds harmoniqus d flux d xcitation (détrminés par l modèl élctromagnétiqu) t ds harmoniqus d courant. Cci constitu un point d couplag ntr la machin t l ondulur à travrs ls harmoniqus d courant qui dépndnt dirctmnt ds harmoniqus d f.é.m. d la machin. Nous vérifions par élémnts finis, dans l paragraph suivant, la validité ds xprssions proposés. IV.B. Vérification par élémnts finis Trois étuds sont mnés pour validr l xprssion proposé pour l coupl. Ells concrnnt : - Un machin liss : suls prsistnt ls harmoniqus d coupl dus aux harmoniqus d f.é.m ; - Un étud d la composant homopolair du coupl ; - Un machin à pôls saillants. IV.B.1) Étud d un machin «liss» La machin «liss», qu nous avons déjà étudié (sction III.C.1), p. 99) concrnant ls courants, st rpris ici afin d vérifir l comportmnt du modèl d calcul du coupl. Dans ctt machin, suls prsistnt ls harmoniqus d coupls dus aux harmoniqus du flux à vid. Ctt prmièr étud nous prmt d différncir l comportmnt ds différnts composants du coupl. 110

112 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Prmièrmnt, la machin st alimnté n courants sinusoïdaux t tourn à tr/min. L flux à vid, obtnu par EF, st inclus dans l calcul analytiqu du coupl. Un comparaison ds forms d ond d coupl obtnus analytiqumnt t par EF st fait n Figur 70. Figur 70 - Comparaison du coupl calculé par EF t analytiqumnt avc pris n compt ds harmoniqus d flux. Alimntation n courant sinusoïdal, I=75,8 A. Dans un scond tmps la machin st alimnté n tnsion. À partir ds f.é.m. calculés par EF, ls courants sont détrminés par la méthod harmoniqu t nsuit l coupl st stimé. Ls courbs d courant t d coupl calculés par EF t analytiqumnt sont rportés n Figur 71 t Figur 7. Figur 71 - Forms d ond du courant obtnus analytiqumnt t par EF. Alimntation n tnsion sinusoïdal, V=500 V. Figur 7 - Forms d ond du coupl obtnus analytiqumnt t par EF. Alimntation n tnsion sinusoïdal, V=500 V. Un drnièr comparaison st mné avc un alimntation n tnsion MLI (r=1, m=9). La référnc ds tnsions st aligné sur l ax q. D la mêm manièr qu précédmmnt, ls forms d ond du courant t du coupl sont donnés n Figur 73 t Figur

113 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Ls trois cas traités montrnt qu l xprssion détrminé pour l calcul du coupl intègr parfaitmnt l influnc ds harmoniqus d flux (t d f.é.m.) sur la form d ond du coupl. Nous tstons nsuit l xprssion du coupl n présnc d composants homopolairs. Figur 73 - Forms d ond du courant obtnus analytiqumnt t par EF. Alimntation n tnsion MLI (r=1, m=9), V dc =500 V. Figur 74 - Forms d ond du coupl obtnus analytiqumnt t par EF. Alimntation n tnsion MLI (r=1, m=9), V dc =500 V. IV.B.) Étud du coupl homopolair Un MSAP à aimantation orthoradial, tournant à tr/min, st considéré dans c paragraph. Ls flux à vid sont rlvés par EF t sont projtés dans l rpèr dqo tournant au synchronism. Ls forms d onds ds flux d, q t o sont illustrés n Figur 75. Figur 75 - Flux à vid d un MSAP à aimantation orthoradial projtés dans l rpèr dqo rotoriqu On obsrv ds flux d axs d t q snsiblmnt constants ainsi qu la présnc d un flux homopolair non négligabl. Nous injctons un courant homopolair dans la machin afin d générr un coupl homopolair. Ls courants injctés sont sinusoïdaux d fréqunc 11

114 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin tripl d cll du fondamntal. L coupl résultant st détrminé analytiqumnt t par EF. L courant injcté ainsi qu ls dux forms d ond d coupl sont rportés sur la Figur 76. Figur 76 - Haut : Form d ond du courant homopolair injcté dans la MSAP. - Bas : Form d ond du coupl homopolair : comparaison ntr ls résultats obtnus analytiqumnt t par EF. On obsrv un bonn concordanc ntr ls forms d onds obtnus analytiqumnt t par EF. Dans l cas qui vint d êtr présnté, l calag ds courants par rapport au rotor conduit à la production d un coupl moyn nul. Nous rndons la phas ds courants homopolairs variabl t nous calculons analytiqumnt la valur du coupl moyn généré. L coupl homopolair moyn n fonction du déphasag st donné n Figur 77. Figur 77 - Coupl homopolair moyn n fonction d la phas ds courants homopolairs 113

115 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm 114 L coupl moyn présnt un fréqunc tripl d cll du fondamntal. On obsrv qu l coupl moyn n st pas constammnt nul t qu il st possibl qu la composant homopolair du coupl particip à l augmntation ou à la diminution du coupl moyn total. Cla dépnd d la phas ntr la composant homopolair ds f.é.m. t la composant homopolair du courant injcté. IV.B.3) Étud du coupl d la machin d référnc La machin dit «référnc» qu nous avons déjà présnté (sction II.C.1), p. 78) st rpris ici afin d analysr l coupl qu ll produit. L xprssion du coupl qu nous allons mployr st l xprssion complèt : = q fq d fd d fq q fd dq q d q d dq q q dq d d i i i i M L L i i M L i M L i i p C θ ψ θ ψ ψ ψ θ θ θ 1 3 Éq. 11 Ctt xprssion fait intrvnir ls flux à vid. Nous mploirons cux qu nous avons déjà détrminés par élémnts finis dans ls paragraphs précédnts. L xprssion du coupl fait intrvnir ls inductancs d la machin xprimés dans l rpèr dq. Nous allons dans un prmir tmps détrminr cs inductancs. Ls forms d onds ds inductancs proprs t mutulls dans l rpèr abc sont calculés par EF t sont tracés n Figur 78.

116 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 78 - Forms d onds ds inductancs proprs t mutulls d la machin d référnc sur un périod élctriqu Ls inductancs sont nsuit transformés pour êtr xprimés dans l rpèr dq. Ls forms d onds résultants sont rprésntés n Figur

117 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Figur 79 - Forms d onds ds inductancs d la machin «référnc» xprimés dans l rpèr dq, sur un périod élctriqu Nous obsrvons bin M dq =M qd, hypothès qu nous avions formulé pour l calcul analytiqu du coupl. On constat égalmnt qu il xist un couplag ntr ls axs d t q dû aux harmoniqus d inductanc générés par la saillanc rotoriqu t la distribution du bobinag. Ls flux à vid t ls inductancs calculés par EF sont intégrés dans la formulation analytiqu du coupl. L coupl st d abord calculé n injctant ds courants sinusoïdaux dans la machin. Ls forms d onds du coupl calculés par EF t analytiqumnt, sous différnts hypothèss, sont donnés Figur 80. Figur 80 - Forms d onds du coupl d la machin «référnc» alimnté n courant comparaison ntr ls résultats du calcul par EF t la formulation analytiqu intégrant divrss sourcs d harmoniqus : - T fund intègr : l fondamntal du flux à vid t L( ); - T harm sans L( ) intègr : ls harmoniqus du flux à vid t L( ); - T harm avc L( ) intègr : ls harmoniqus du flux à vid, L( ) t L( ). 116

118 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Au fur t à msur qu on intègr ls phénomèns scondairs dans l calcul du coupl, on constat qu la form d ond détrminé analytiqumnt s approch d cll détrminé par EF. Bin qu finalmnt l calcul analytiqu du coupl t l calcul par EF n s suprposnt pas xactmnt, on décèl l influnc ds harmoniqus d inductanc sur la form d ond du coupl. Dans un scond tmps, la machin st alimnté par ds tnsions sinusoïdals. Ls courants sont calculés analytiqumnt n intégrant ls harmoniqus d f.é.m. (issus d simulations EF). La comparaison ntr ls forms d onds ds courants calculés analytiqumnt t cux issus d la résolution ds équations élctriqus liés au modèl par élémnts finis st fait Figur 81. Figur 81 - Forms d ond d tnsion t d courants dans la machin «référnc» alimnté n tnsion sinusoïdal. Comparaison ntr ls résultats analytiqus t EF. On obsrv un écart ntr l courant calculé analytiqumnt t clui calculé dans la résolution EF. Cci st dû aux harmoniqus d inductanc qui n sont pas inclus dans l approch harmoniqu analytiqu. L coupl st nsuit calculé avc la formulation analytiqu, à partir ds courants issus d la résolution analytiqu, puis avc ls courants obtnus par la simulation numériqu. La Figur 8 montr ls forms d ond du coupl sous différnts hypothèss d calcul analytiqu t la form d ond obtnu par EF. 117

119 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Figur 8 - Forms d ond du coupl d la machin «référnc» alimnté n tnsion. Comparaison ntr ls résultats du calcul par EF t la formulation analytiqu intégrant divrss sourcs d harmoniqus (flux, inductancs, courants). La formulation du coupl la plus complèt, lorsqu ll fait appl aux flux, aux courants t aux inductancs «réls», s comport convnablmnt vis-à-vis ds résultats obtnus par EF. Ell prmt d intégrr la combinaison ds harmoniqus d courant avc ls harmoniqus d inductancs t d f.é.m. dans la création du coupl moyn. IV.C. Conclusion sur l calcul du coupl Ls différnts cas traités nous prmttnt d conclur quant à la prtinnc d la formulation du coupl qui st basé sur l princip ds travaux virtuls xprimés dans l rpèr dqo. L xprssion établi pour l coupl prmt d caractérisr l influnc du pilotag d l ondulur (qui s réprcut sur ls harmoniqus d courant) t d la constitution d la machin (qui s manifst à travrs ls harmoniqus d f.é.m.) sur la qualité d clui-ci. À travrs l calcul du coupl, nous avons donc décrit, avc plus d finss qu habitullmnt pour un phas d dimnsionnmnt, un intraction majur ntr ls élémnts du systèm. Pour c qui st d notr modélisation global, nous n pourrons pas intégrr ls harmoniqus d inductanc dans l calcul ds courants t du coupl. D un part parc qu l calcul d la form d ond ds inductancs sur un périod élctriqu st long, t d autr part parc qu dans l cas d la résolution ds courants, cla rnd ls équations élctriqus plus complxs t lur résolution plus difficil. En conséqunc, nous avons noté qu cla pouvait conduir à sous stimr ls harmoniqus d courant t d coupl t à mésstimr l coupl moyn. 118

120 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin V. Modélisation ds prts du systèm Ctt sction a pour objt d détrminr ls différnts prts dans l systèm d ntraînmnt afin d n détrminr l rndmnt t nsuit d stimr ls élévations d tmpératur d différnts élémnts du systèm. Ls prts sront évalués dans l ondulur puis dans la machin. Nous portrons un attntion particulièr à la caractérisation ds prts d un élémnt du systèm n fonction ds comportmnts ds autrs. En c qui concrn l élctroniqu d puissanc, ls prts par conduction t par commutation sont détrminés pour ls dux topologis d convrtissur qu nous avons sélctionnés. La machin élctriqu possèd plusiurs posts d prts parmi lsquls ls prts par fft Joul, ls prts fr, ls prts dans ls aimants, ou ncor ls prts aérodynamiqus. Parmi cs prts, crtains intégrront ds caractéristiqus liés aux contnus harmoniqus ds courants, aux tnsions MLI, aux ffts liés aux hauts fréquncs t à la haut vitss. Ds couplags ntr l ondulur t la machin au nivau ds prts sont modélisés t contribunt à la caractérisation fin ds intractions ntr ls élémnts du systèm. V.A. Prts dans ls ondulurs Comm déjà signalé auparavant, sul la MLI intrsctiv sinus-triangl, caractérisé par sa profondur d modulation r t son indic d modulation m, st considéré dans nos travaux. D c fait nous n détrminrons ls prts dans l convrtissur élctroniqu qu sous cs conditions d fonctionnmnt. Nous étudions ls prts dans un bras d commutation d un ondulur n pont complt dont ls intrrupturs sont constitués d IGBT t d lurs diods anti-parallèls. Ls formulations qui sont présntés ont été largmnt détaillés dans [Ms89] [Cas94] [Bi04] [Inf06]. Ells rposnt sur ls hypothèss suivants : - On suppos qu on dispos d un tnsion d bus constant t qu l courant d sorti d l ondulur st sinusoïdal déphasé d un angl ϕ : i( t) = Iˆ sin( ωt ϕ) ; - On choisit un référnc d tnsion sinusoïdal : rf ( t) = r sin( ωt) ; - On suppos d plus qu sur un périod d découpag la référnc d tnsion n évolu pas trop rapidmnt t qu on put la considérr constant. V.A.1) Prts dans ls connxions L amné d courant, n cuivr, jusqu aux smi-conducturs, possèd un résistivité élctriqu sourc d prts par fft Joul. Cs prts s xprimnt, pour un IGBT t un diod, par : Plad T ϕ + ω 1 = Rlad i T ϕ ω ( t) ˆ I = Rlad 4 Éq

121 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm V.A.) Prts dans un IGBT Ls prts dans ls IGBT sont dus à la conduction t à la commutation du courant. Ds xprssions d cs dux typs d prts sont présntés dans ls paragraphs qui suivnt. (a) Prts par conduction L énrgi prdu par conduction sur un périod d découpag s écrit : Wcond ( t) i( t) τ ( t) = Vc IGBT Éq. 114 Où : - IGBT ( t) - ( t) τ st la fonction d conduction d l IGBT ; Vc st la chut d tnsion aux borns d l IGBT. On choisit un modèl d typ {sourc d tnsion + résistanc} pour la chut d tnsion aux borns d l IGBT : Vc ( t) Vc + Rc i( t) = 0 Éq. 115 Compt tnu d l hypothès d invarianc d la référnc d tnsion sur un périod d découpag, on put xprimr la duré d conduction d un IGBT sur un périod d découpag. À partir d considérations géométriqus simpls sur ls forms d ond d la portus t d la référnc d tnsion (cf. Figur 83), on put écrir la fonction d conduction slon : Avc t l tmps. ( t) 1 τ IGBT = [ 1 + r sin( t) ] Éq. 116 Figur 83 - Comparaison sinus-triangl sur un périod d commutation. La référnc d tnsion st supposé constant sur la périod d découpag par hypothès. Connaissant l énrgi dissipé, on put calculr ls prts par conduction : T 1 1 Pcond, IGBT = [ Vc0 Rc i( t) ] i( t) [ 1 r sin( t) ]dt T + + Éq

122 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin L IGBT n conduisant qu durant l altrnanc positiv du courant, on obtint après calculs : Iˆ V ˆ ˆ c0 IRc = + + ˆ Vc0 IRc P cond, IGBT ri cos( ϕ) + Éq. 118 π 4 8 3π (b) Prts par commutation En c qui concrn ls prts par commutation, il faut considérr ls énrgis prdus à chaqu ouvrtur t frmtur ds smi-conducturs. Ls datashts ds fournissurs d IGBT indiqunt la quantité d énrgi prdu à chaqu commutation n fonction du courant commuté t d la tnsion à coupr. L énrgi prdu au point d fonctionnmnt nominal st égalmnt donné. Un prmièr approximation st d considérr qu l énrgi prdu à la commutation st proportionnll au courant t à la tnsion à commutr. On put alors écrir : ( t) i V W dc comm on = Eon Inom Vnom _ t W comm _ off = E off ( t) i Vdc Inom Vnom La valur moynn d l énrgi prdu par commutation sur un périod d découpag put êtr calculé slon : E W on comm on = Td Td ( t) i Vdc Inom Vnom _ t W comm _ off = Td Eoff Td ( t) i Vdc Inom Vnom Puis la puissanc ds prts par commutation s calcul alors : Pcomm, IGBT T + ϕ 1 ω Wcomm off + T ϕ _ Td ω = Wcomm _ on dt Td Éq. 119 Soit finalmnt : mf IV ˆ P dc comm, IGBT = on + π I nomvnom ( E E ) off Éq. 10 Où f st la fréqunc du fondamntal t m=f d /f l indic d modulation. Ls prts totals dans l IGBT s écrivnt : V.A.3) P IGBT = Pcond, IGBT + Pcomm, IGBT Éq. 11 Prts dans un diod Ls xprssions ds prts par conduction t commutation d un diod s déduisnt d cll d l IGBT n pratiquant crtains modifications. L modèl d chut d tnsion aux borns d la diod st pris slon : ( t) V R i( t) Vd = d 0 + d Éq. 1 11

123 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm La fonction d conduction d la diod st par définition l complémnt d la fonction d conduction d l IGBT : τ D 1 = IGBT Éq. 13 ( t) 1 τ ( t) = [ 1 r sin( ωt) ] (a) Prts par conduction D la mêm manièr qu dans l cas d l IGBT, ls prts par conduction dans un diod s écrivnt alors, après calculs : Iˆ V ˆ ˆ d0 IRd = + ˆ Vd 0 IRd P cond, diod ri cos( ϕ) + Éq. 14 π 4 8 3π (b) Prts par commutation Ls prts par commutation, dans l cas d un diod sont majoritairmnt ls prts à l xtinction dus au phénomèn d rcouvrmnt ds chargs. Nous n considérons donc qu ls prts à l xtinction d la diod : mf IV ˆ P dc comm, diod = Erc Éq. 15 π InomVnom où E rc st l énrgi prdu par rcouvrmnt au point d fonctionnmnt nominal. Ls prts totals dans la diod sont : P diod Pcond, diod + Pcomm, diod = Éq. 16 V.A.4) Prts totals dans ls intrrupturs du convrtissur élctroniqu Ls xprssions ds prts qui sont détaillés ci-avant corrspondnt aux prts dans un intrruptur t lls sont égalmnt applicabls au cas d un ondulur monophasé n pont complt. L calcul ds prts totals dans l convrtissur élctroniqu s obtint n sommant ls différnts prts évoqués t n ls multipliant par l nombr d intrrupturs utilisés : ( P + P P ) P ond = Nbint lad IGBT + diod Éq. 17 L étud d l ondulur triphasé à 3 bras s déduit d cll d l ondulur monophasé n pont complt. La mis n commun d 3 ondulurs monophasés dont ls grandurs élctriqus formnt un systèm triphasé équilibré prmt d supprimr la moitié ds bras car la somm ds courants st null au point nutr. On n constat donc aucun différnc sur ls xprssions ds prts dans ls intrrupturs. Suls ls valurs ds courants d sorti t l nombr d intrrupturs du convrtissur varint. Ls formulations proposés sont paramétrés par ls caractéristiqus ds moduls IGBT (constitué d un puc IGBT t d un diod antiparallèl). Nous avons réprtorié dans un bas d donnés ls caractéristiqus d un séri d moduls EconoPack+ d Infinon. Puis, n fonction du courant circulant dans l ondulur, l modul adéquat, t donc ss caractéristiqus, sont sélctionnés suivant la règl suivant : l calibr d IGBT à rtnir st clui immédiatmnt supériur à la valur crêt du courant circulant dans l ondulur. 1

124 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin V.A.5) Conclusion sur l calcul ds prts dans l ondulur L modèl analytiqu présnté manqu crtainmnt d précision pour ls indics d modulation faibls pour lsquls la form d ond du courant n put plus êtr approximé raisonnablmnt par un sinusoïd. D plus l hypothès sur la constanc d la tnsion d référnc sur un périod d découpag n put pas êtr raisonnablmnt formulé dans cs conditions. L hypothès d un rlation d proportionnalité sur ls prts par commutation st égalmnt un simplification qui put s avérr trop approximativ slon ls caractéristiqus ds intrrupturs utilisés. L modèl analytiqu proposé, bin qu simpl, prmt d rtracr assz fidèlmnt l comportmnt ds prts pour ls indics d modulation élvés. L modèl pourra tout d mêm êtr utilisé pour ls indics d modulation faibls, sachant prtinmmnt qu la précision st altéré. Cci afin d mttr n œuvr la démarch d optimisation global. Comm pour chacun ds briqus d l optimisation d l nsmbl ondulur-motur, il st possibl d affinr l modèl, au prix d un modification du rapport ntr précision t tmps d calcul. V.B. Prts par fft Joul Ls prts par fft Joul sont classiqumnt stimés à partir du fondamntal du courant. La pris n compt ds prts par fft Joul supplémntairs put constitur un point d couplag ntr l convrtissur t la machin. Ls prts supplémntairs qui apparaissnt dans l bobinag sont d divrss origins comm l détaill précisémnt Monsiur Grllt [Gr89] : fft d pau, courants d circulation, conducturs balayés par ds frangs d flux rotoriqu Un sommation harmoniqu ds prts par fft Joul générés par chaqu harmoniqu d courant put êtr réalisé pour évalur ls prts par fft Joul totals [Gr89] [Lu0] [Fr09]. Ls harmoniqus d courant dont il st qustion sont générés par l alimntation n tnsion MLI t lur influnc sur ls prts par fft Joul totals constitu un point d couplag important ntr l ondulur t la machin. Cpndant cs prts par fft Joul supplémntairs doivnt êtr évalués avc précaution à caus ds phénomèns à haut fréqunc qui xistnt dans ls conducturs ; tout particulièrmnt dans ls machins rapids où la fréqunc fondamntal st important t où un décomposition n séri d Fourir, pour l calcul ds prts par fft Joul totals, mttrait n œuvr ds fréquncs d plusiurs kilohrtz. Dans la prmièr parti du mémoir nous avons mis n évidnc qu l nombr d conducturs par ncoch pouvait êtr rlativmnt faibl t conduir à réalisr ds conducturs avc plusiurs fils n main. D c fait, ds courants d circulation puvnt apparaitr ntr ls fils élémntairs du conductur. Nous focalisons la modélisation sur ls prts supplémntairs dus aux courants d circulation t aux phénomèns plliculairs dans ls conducturs. V.B.1) Dscription d la méthod L objctif ds travaux initiés par Monsiur Fild fut d détrminr ls prts dans ds conducturs logés dans un ncoch t soumis à un courant altrnatif. La méthod alors dévloppé consist n la résolution ds équations d Maxwll dans l ncoch. Monsiur 13

125 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Fild [Fi05] n a dévloppé un solution théoriqu n considérant ls phénomèns plliculairs t ls courants d circulation. L résultat d cs travaux st d xprimr ls prts par fft Joul, à un fréqunc donné par : ( K K ) R ² PJ = 3 pau + circ dci Éq. 18 Où K pau t K circ sont ds cofficints détrminés par la résolution ds équations d Maxwll. K circ prmt d traduir l fft ds courants d circulation t K pau rlat l augmntation ds prts du à l fft d pau. Cs cofficints dépndnt : - D la fréqunc ; - Ds dimnsions d l ncoch ; - Ds dimnsions ds conducturs ; - D la constitution ds conducturs : conductur massif ou subdivisé (dans c cas, l agncmnt ds brins élémntairs intrvint dans l calcul : fil d Litz, barr Robl, rtournmnt ds têts d bobins) ; - Du pas d raccourcissmnt du bobinag. La résistanc n courant continu put s calculr avc l xprssion suivant : V.B.) Ns N R cond nc dc = ρcu L / spir Éq. 19 N parkrmpsnc Efft d pau Nous donnons ici l xprssion du cofficint d augmntation ds prts par fft Joul du à l fft d pau ; cla pour dux configurations d bobinag. Cs xprssions puvnt êtr trouvés dans [Fi05] [Rot17] [Rot18] [Gr89]. Dans l cas où il n y a qu un phas par ncoch t dans l cas d un bobinag à pas diamétral comportant n conducturs massifs par ncoch, l cofficint K pau s xprim : n² 1 K pau ( λ) = A( λ) + λ B( λ) Éq Avc sh ( ) ( λ) + sin( λ) A λ = λ t B ( λ) ch ( λ) cos( λ) sh = λ ch ( λ) sin( λ) ( λ) + cos( λ) h Où λ = (hautur réduit), avc h la hautur du conductur t l épaissur d pau. δ Dans l cas où l bobinag st triphasé à couchs, à conducturs massifs, à pas raccourci, K pau s xprim : 13n² 16 K pau ( λ) = A( λ) + λ B( λ) Éq C cofficint s appliqu alors aux conducturs situés dans ls ncochs où dux phass sont bobinés. Ls ncochs où sul un phas st présnt doivnt êtr traités avc l xprssion (Éq. 130). L bobinag qu nous sélctionnrons st à pas raccourci donc ls dux xprssions (Éq. 130) t (Éq. 131) sront mployés dans nos dimnsionnmnts. 14

126 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin V.B.3) Courants d circulation Lorsqu ls conducturs sont constitués d brins élémntairs mis n parallèl, ds courants d circulation puvnt prndr naissanc. L cofficint K circ dépnd alors d l agncmnt ds brins élémntairs. Dans l cas d un rtournmnt ds têts d bobins ls conducturs sont vrillés d 180 au nivau ds têts d bobin, cas qu nous considérons dans nos calculs, il s xprim : ( ) 1 K circ = A λ' Éq. 13 Où st la hautur réduit n prnant n fois la hautur d un brin pour valur d h. V.B.4) Étud ds prts dans ds conducturs logés dans un ncoch Afin d illustrr l influnc ds prts par fft d pau t par courants d circulation, nous considérons un ncoch d dimnsions fixés (largur=5 mm, profondur=15 mm) dans laqull sont logés quatr conducturs. Chacun ds conducturs st constitué d brins élémntairs. La sction ds conducturs st gardé constant. Nous frons varir l diamètr ds brins élémntairs, donc l nombr d brins élémntairs par conductur varira afin d gardr la sction ds conducturs constant. Pour chaqu diamètr d fil élémntair, l cofficint d prts supplémntairs total st calculé. Dux fréquncs d fonctionnmnt sont considérés : 100 Hz t Hz. Pour un fréqunc d 100 Hz Nous présntons l évolution du cofficint d augmntation ds prts, (K pau + K circ ), n fonction du diamètr ds fils élémntairs, à 100 Hz, n Figur 84. Figur 84 - Cofficint d augmntation ds prts par fft Joul pour un ncoch d dimnsions fixés, à f=100 Hz. Efft d pau t ds courants d circulation inclus. Pour ls forts diamètrs d fil, nous somms dans la situation où il y a très pu d fils par conducturs. Cci signifi qu ls courants d circulation tndnt vrs zéro t qu l augmntation ds prts st du à l fft d pau (sction ds fils important). À l opposé pour ls faibls diamètrs d fil, ls prts par fft d pau sont négligabls. Ls prts par 15

127 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm circulation sont importants car il y a baucoup d fils d faibl sction n parallèl pour constitur un conductur. Dans l cas qui vint d êtr présnté on constat qu ntr ls prts DC t ls prts AC, il y a au moins 1 % (nviron) d écart. L fft d pau possèd un contribution très rlativ sur ls prts alors qu l influnc ds prts par courants d circulation put êtr plus marqué. Il y a dans c cas très pu d écart, qulqus pourcnts, ntr ls prts par fft Joul AC t ls prts par fft Joul DC. Pour un fréqunc d Hz Nous présntons l évolution du cofficint d augmntation ds prts n fonction du diamètr ds fils élémntairs, à Hz, n Figur 85. Figur 85 - Cofficint d augmntation ds prts par fft Joul pour un ncoch d dimnsions fixés, à f=1000 Hz. Efft d pau t ds courants d circulation inclus. On constat ctt fois-ci qu l cofficint d augmntation ds prts st plus élvé à caus d la fréqunc plus important. Ls prts par fft Joul AC sont au moins 1,6 fois plus importants qu ls prts par fft Joul DC. L augmntation du nivau ds prts à caus d l fft d pau t ds courants d circulation st bin plus important qu à 100 Hz. On constat, sur ls courbs rtraçant l évolution du cofficint d augmntation ds prts dans ls dux cas présntés, qu il xist un diamètr d brin élémntair optimal vis-àvis ds prts par fft Joul. Il sra judiciux, dans la phas d concption par optimisation d intégrr l diamètr du fil élémntair dans ls variabls d optimisation afin d situr l minimum du cofficint d augmntation ds prts par fft Joul. V.B.5) Application aux courants non sinusoïdaux Ls formuls établis auparavant sont valabls pour un fréqunc donné. Pour calculr ls prts par fft Joul causés par un courant non sinusoïdal, il suffira donc d ffctur un décomposition harmoniqu d sa form d ond t d appliqur l cofficint 16

128 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin d augmntation ds prts pour chaqu rang harmoniqu. Ls prts par fft Joul totals s xprimnt alors : ( K K ) P J = 3 pau, h + circ, h RdcIh ² h Éq. 133 C st ctt drnièr formulation qu nous mploirons dans nos dimnsionnmnts par la suit. V.B.6) Conclusion sur l calcul ds prts par fft Joul Nous avons présnté un méthod d calcul ds prts par fft Joul supplémntairs dévloppé par Monsiur Fild. Ctt approch nous prmt d calculr un cofficint d augmntation ds prts par fft Joul dans l cas d un bobinag où ls têts d bobins sont rtournés. La modélisation inclut l influnc d l fft d pau t ds prts par courants d circulation. Cs ffts n doivnt n aucun cas êtr négligés à caus du caractèr haut vitss, haut fréqunc, d notr application. Finalmnt la pris n compt ds prts générés par chaqu harmoniqu d courant prmt l couplag d l ondulur t d la machin au moyn ds prts par fft Joul d la machin. V.C. Prts fr L analys bibliographiqu suggèr qu ls machins rapids possèdnt ds matériaux magnétiqus qui fonctionnnt n régim linéair. Nous frons donc ctt hypothès dans la modélisation ds prts fr d la machin. La modélisation ds prts fr qu nous proposons concrn uniqumnt ls phénomèns d prmir ordr. Ls prts fr dans ls piècs polairs du rotor n sront pas stimés. La machin étant xcité par ds aimants t à haut vitss, l ntrfr y sra rlativmnt important t donc ls prts d dntur au rotor, par aillurs fuillté, sront atténués. Ainsi suls ls prts fr du stator sront modélisés. Plusiurs approchs puvnt êtr mployés pour détrminr ls prts fr dans un machin élctriqu. Ells diffèrnt dans la manièr dont st calculé l champ magnétiqu t dans ls modèls utilisés pour calculr ls prts ; pour plus d détails [Fas07] t [Kri10] font un rvu ds modèls d calcul ds prts fr. Étant donné qu ls calculs par élémnts finis donnnt ds résultats plus précis qu ls calculs analytiqus, plusiurs travaux [Ch99] [Ma03] [Mag04] [Ion07] [Gmy08] [Yam09b] [Li10] ont réalisé ds calculs d prts fr à partir d cartographi d champs n D ou 3D. Il xist égalmnt ds travaux sur l calcul ds prts fr à partir d modèls analytiqus d calcul d champ [Sou0] [Mi03] [Tra09]. D autrs combinnt ds calculs par élémnts finis t analytiqus pour l calcul d l induction magnétiqu dans la machin [Lg10]. Ensuit ls modèls d prts fr à appliqur vont ds formulations d typ Stinmtz à ds modèls d typ Prisach [Dup97] [Rov09], n passant par ds modèls d complxité variabl tls qu ls modèls basés sur l princip d séparation ds prts introduit par Monsiur Brtotti [Bog03] [Mi03] [Ion07] [Gmy08] [Yam09b] [Lg10] ou l modèl Loss Surfac [Ch99] [Li10]. Parmi ls modèls cités, crtains prnnnt n compt l caractèr rotationnl du champ dans la culass [Ma03] [Tra09]. Nous négligrons ct fft dans notr modélisation. Nous rapplons qu lors d la modélisation élctromagnétiqu, ls forms d ond ds inductions d ntrfr dus à l xcitation t aux réactions magnétiqus d induit ont été détrminés. Ctt connaissanc local du champ d ntrfr va êtr l point d départ du calcul ds prts fr au stator. La méthodologi consistra, dans un prmir tmps, à 17

129 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm détrminr l induction dans ls dnts t dans la culass statoriqu lorsqu la machin st alimnté par ds courants sinusoïdaux. À partir ds forms d ond ds inductions dans ls partis frromagnétiqus, un modèl harmoniqu d calcul ds prts fr st appliqué. La modélisation proposé st nsuit comparé aux résultats fournis par un calcul EF t un évaluation ds prts fr à l aid du modèl Loss Surfac (LS). Enfin l influnc d la MLI d l élctroniqu d puissanc st modélisé afin d décrir un intraction très souvnt obsrvé ntr l comportmnt d l ondulur t ls prts fr d la machin. V.C.1) Form d ond modélisé dans l ntrfr L induction dans l ntrfr, B nt, s écrit comm la somm d après l hypothès d linéarité ds matériaux magnétiqus d l induction du aux aimants, B f, t d clls dus aux réactions magnétiqus d induit d axs d t q, B d t B q, rprésntés n Figur 86. Ls forms d onds ds différnts composants ont été établis lors d la modélisation élctromagnétiqu. Figur 86 - Composants d l'induction d'ntrfr t induction résultant d'ntrfr La form d ond d induction d ntrfr st obtnu n supposant un f.m.m. purmnt sinusoïdal. D plus l fft ds ncochs sur l induction dans l ntrfr n st pas pris n compt. V.C.) Form d ond modélisé dans ls dnts L induction dans ls dnts s déduit d cll dans l ntrfr n appliquant la loi d consrvation du flux. On suppos qu tout l flux dans l ntrfr st conduit par ls dnts du stator. Ainsi l induction dans un dnt, au cours d la rotation du rotor, put s écrir : s + R B ( ) = als ds B ( u) du Éq. 134 l ds s nt L intégral glissant prmttant d détrminr l induction dans un dnt au cours du tmps st réalisé numériqumnt sous Matlab. Un xmpl d tracé st donné Figur

130 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 87 - Form d ond d l induction dans un dnt au cours du tmps L induction dans ls dnts st canalisé jusqu à la culass statoriqu t constitu l point d départ du calcul d l induction dans ctt drnièr. V.C.3) Calcul du champ dans la culass d la machin L induction dans la culass put êtr calculé n faisant l hypothès usull qu l champ y st purmnt tangntil. Nous avions n prmir liu fait ctt hypothès t avions constaté ds écarts importants avc ls simulations par EF sur l nivau ds prts fr. La caus idntifié d ct écart st la néglignc d la composant radial d l induction dans la culass t ds prts fr associés. Aussi nous nous attachons ici à dévloppr un modèl d calcul du champ n tout point d la culass avant d appliqur l modèl d stimation ds prts fr. L approch qu nous avons dévloppé st un xtnsion d [Tra09]. L calcul st basé sur la résolution d l équation d Laplac n D dans la culass. La référnc [Tra09] a réalisé c calcul à vid pour un machin à pôls lisss. Nous traitons ici l cas d la machin n charg. La résolution d l équation d Laplac st fait n considérant la culass comm étant un couronn liss dont la courbur put êtr négligé, voir Figur 88. La référnc [Tra09] indiqu qu cci st valabl à partir d 6 pôls. Faut d quoi la résolution du problèm qui suit doit s ffctur n coordonnés cylindriqus pour plus d riguur. y a x λ Figur 88 - Schéma d la culass où st la longuur d l ond (corrspondant à dux pas polairs) qui xcit la culass t a l épaissur d la culass 19

131 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm On suppos par aillurs qu la culass st xcité uniqumnt au nivau d son rayon intériur par l intrmédiair du flux qui circul dans ls dnts. La distribution spatial d l xcitation au nivau du rayon intériur d la culass put s écrir à partir d l évolution tmporll d l induction dans un dnt. En faisant l hypothès simplificatric qu la distribution tmporll d l induction dans un dnt corrspond à la distribution spatial instantané d l induction au nivau d la culass, il st possibl d écrir ctt induction d xcitation slon : 1 Rals Bxcitation _ culass ( θ ) = Bds ( θ ) kds Rals + h Éq. 135 ds Ctt écritur prmt d prndr n compt l augmntation d la surfac d un pas polair au nivau d rayon intériur d la culass statoriqu. L ond d induction qui xcit la culass put s écrir sous form d un séri d Fourir, xprimé dans un rpèr cartésin : Bxcitation _ culass( x) = Bhc cos + h ( hkx) B sin( hkx) hs Éq. 136 π λ Où k = st l vctur d ond t x = θ st l absciss dans l rpèr cartésin. λ π Connaissant l induction au nivau du rayon intériur d la culass, la résolution formll d l équation d Laplac n D [Asm05] conduit à : ( hk( a y) ) ( hka) ( hk( a y) ) ( hka) cosh cosh Bx ( x, y) = Bhs cos( hkx) + Bhc sin( hkx) sinh sinh Éq. 137 h h ( hk( a y) ) ( hka) ( hk( a y) ) ( hka) sinh sinh By ( x, y) = Bhc cos( hkx) + Bhc sin( hkx) sinh sinh Éq. 138 h h Un rprésntation d la cartographi du champ dans la culass, qu on put obtnir avc ctt méthod, st donné n Figur

132 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Figur 89 - Mis n œuvr du calcul d l induction dans la culass lorsqu la machin st n charg. Haut Distribution spatial d l induction d xcitation au nivau du rayon intériur d la culass. Bas Distribution du champ magnétiqu dans la culass. Ls composants radial t tangntill d l induction dans la culass puvnt égalmnt êtr visualisés à différnts hauturs d la culass sur la Figur 90 t la Figur 91. Figur 90 - Composants tangntills d l induction dans la culass à différnts rayons dans la culass Ls dévloppmnts qui ont été mnés montrnt qu la composant radial d l induction dans la culass n st pas négligabl t qu ll a crtainmnt un contribution dans l évaluation ds prts fr. 131

133 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm Figur 91 - Composants radials d l induction dans la culass à différnts rayons dans la culass V.C.4) Modèl d prts fr L induction magnétiqu a été détrminé dans ls différnts zons du stator. Cs forms d ond sont ds distributions spatials. Ls évolutions tmporlls ds inductions dans ls différnts partis magnétiqus du stator s obtinnnt immédiatmnt à partir ds distributions spatials n rmarquant qu cs distributions tournnt au synchronism. Il faut maintnant appliqur un modèl d calcul ds prts fr aux forms d ond détrminés. Nous rapplons qu la machin fonctionn n régim linéair. Nous optons pour un modélisation ds prts par un approch harmoniqu. Nous soulignons ici l fft d la haut fréqunc qui tnd à rpoussr l champ sur ls bords ds tôls magnétiqus. Il faudra donc intégrr c phénomèn dans la modélisation ds prts fr à haut fréqunc t n régim linéair. L modèl proposé st un modèl classiqu à trois composants introduit par Monsiur Brtotti. C modèl inclus ls prts par hystérésis, ls prts par courants d Foucault (dits classiqus) t ls prts supplémntairs. Un modification du trm ds prts par courants d Foucault st proposé par Monsiur Boglitti [Bog03] pour intégrr ls ffts dus à la haut fréqunc. Pour un induction sinusoïdal, l modèl s écrit : Pfr 3 ( ) ( ) ( ) sinh γ f sin γ f f B = k H fb + kec f B cosh( γ f ) cos( γ f ) 3 3 α ir, + k EXC f B [ W / kg] Éq. 139 Ls cinq paramètrs du modèl sont idntifiés pour un tôl M L idntification s fait n utilisant ls donnés fournis par ls constructurs. Clls-ci donnnt ls prts pour plusiurs fréquncs (50 à 700 Hz) t plusiurs nivaux d induction (0,1 à 1,5 T). L idntification ds paramètrs st ffctué simultanémnt sur tous ls points donnés par l constructur. La minimisation ds écarts ntr l modèl t ls donnés st ffctué par un algorithm génétiqu. Ls valurs obtnus pour ls paramètrs sont listés dans l Tablau IV. 13

134 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin TABLEAU IV - PARAMETRES DU MODELE DE CALCUL DES PERTES FER Cofficint Valu Paramètr α ir Cofficint d prts par hystérésis k H 0,00 Cofficint d prts par courants d Foucault k EC 0,3873 Cofficint ds prts par xcès k EXC 1, Paramètr γ 6, La Figur 9 montr ls écarts ntr l modèl t ls donnés constructurs pour plusiurs fréquncs t plusiurs nivaux d induction. Figur 9 - Écart rlatif nt l modèl d prts fr t ls donnés constructur L modèl présnt ds écarts compris ntr -35 % t +1 %. Ls écarts sont plus importants pour ls basss inductions. Cs écarts portnt sur d ptits valurs d prts. L fft sur ls prts totals st donc rlativmnt moins important. Il ut été possibl d choisir un modélisation d typ polynôm pour décrir ls prts fr. Cci aurait prmit d s rapprochr davantag ds donnés fournis. Mais l origin physiqu ds prts fr, qu il st important d gardr à caus ds phénomèns à haut fréqunc, aurait été prdu. Pour c matériau particulir l cofficint ds prts par xcès, k EXC, st négligabl st put êtr pris nul. C choix d l prndr nul st égalmnt clui fait par d autrs auturs [Bog03]. Dans cs conditions particulièrs, l modèl put s écrir : Pfr 3 α sinh( ) sin( ) (, ) γ f γ f ir f B k H fb + kec f B cosh( γ f ) cos( γ f ) = [ W / kg] Éq

135 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm L modèl proposé st valabl pour un induction sinusoïdal. Cpndant, n admttant qu ls courants d Foucault d différnts fréquncs puvnt s suprposr t qu ls prts par hystérésis dépndnt d l amplitud d l induction, l modèl proposé put êtr étndu aux forms d onds non-sinusoïdals détrminés dans ls partis magnétiqus du stator. L modèl ds prts par unité d mass s écrit alors : Pfr 3 ( ) ( ) ( ) ˆα sinh sin, ( ) γ kf γ kf f B = kh fb + kec kf B k cosh( γ kf ) cos( γ kf ) ir k = 1 [ W / kg] Éq. 141 B k st l amplitud du k trm d la décomposition n séri d Fourir, Bˆ st l amplitud d l induction, soit dans ls dnts soit dans la culass. Enfin, l modèl d prts st appliqué sur la form d ond d l induction dans ls dnts. Concrnant la culass, ctt drnièr st divisé n 10 couchs dans lsqulls ls prts fr sont calculés pour ls composants radial t tangntill d l induction. Finalmnt ls différnts contributions sont ajoutés pour donnr ls prts fr totals dans la culass. V.C.5) Validation du modèl d prts fr Ls résultats fournis par l modèl proposé sont comparés avc cux obtnus par un simulation par élémnts finis couplé au modèl d prts fr Loss Surfac [Gau05]. C modèl st l fruit d plusiurs annés d rchrch qui ont conduit à l élaboration d un modèl d prts fr dépndant d la form d ond d l induction au cours du tmps t d sa dérivé tmporll. C modèl st intégré dans l logicil FluxD. C st donc avc ct outil qu nous faisons notr comparaison. Cll-ci st ffctué sur la machin d référnc (sction II.C.1), p. 78) qui tourn à tr/min t qui st alimnté par ds courants sinusoïdaux. Ell port sur ls forms d ond d l induction puis sur ls nivaux d prts fr. La form d ond d l induction dans ls dnts, obtnu par l calcul analytiqu t par l calcul EF, st rprésnté sur la Figur 93. On constat un très bonn cohérnc ntr ls dux forms d ond. Figur 93 - Form d ond d l induction dans l miliu ds dnts statoriqus sur un périod élctriqu : comparaison ntr l calcul analytiqu t l calcul par élémnts finis. 134

136 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Il st difficil d comparr ds distributions d champ n dux dimnsions, aussi nous n rprésntons, sur la Figur 94, qu la distribution d champ dans la culass obtnu analytiqumnt. Figur 94 - Distribution du champ d induction, calculé analytiqumnt, dans la culass n D Ls prts fr évalués dans ls dnts t dans la culass, par ls dux méthods, sont présntés dans l Tablau V. TABLEAU V - CALCUL DES PERTES FER DANS LES DENTS ET LA CULASSE DU STATOR : COMPARAISON ENTE LES RESULTATS PAR EF ET LES CALCULS ANALYTIQUES. Calcul EF Calcul analytiqu Calcul analytiqu Modèl harmoniqu Modèl LS Modèl LS Prts dans ls dnts [W] (-6,43 %) 441 (-4,83 %) Prts dans la culass [W] (-18,7 %) 1780 (-19,5 %) Prts totals au stator [W] (-1 %) 41 (-11 %) En comparant ls dux drnièrs colonns du Tablau V, on constat qu ls dux modèls d prts (harmoniqu t LS) fournissnt snsiblmnt ls mêms résultats lorsqu ils sont xcités par ls mêms ntrés. La comparaison avc la prmièr colonn montr un bonn cohérnc sur ls prts calculés dans ls dnts. Dans ctt zon, l champ magnétiqu st quasimnt unidirctionnl t l calcul analytiqu d l induction st proch du calcul par EF comm l attst la Figur 93. Dans la culass, la situation st plus compliqué. La courbur d la culass a été négligé c qui introduit un prmir biais dans la modélisation. Et plus important, la culass n st pas xcité uniformémnt sur son rayon intériur, ll st xcité par l flux arrivant ds dnts, donc d manièr discontinu dans l spac. Or nous avons fait l hypothès qu l xcitation d la culass était uniform c st un hypothès fort car on sait qu l flux qui provint ds dnts xcit la culass d manièr discontinu cci put égalmnt êtr à l origin ds écarts obsrvés. Finalmnt la drnièr sourc d écart put êtr l écart ntr l modèl harmoniqu t ls donnés constructurs comm illustré par la Figur 9. L écart ntr ls résultats fournis par ls dux approchs (~ % d écart sur ls prts totals) put êtr considéré comm raisonnabl pour un modèl d dimnsionnmnt, surtout lorsqu on compar ls tmps d calcul ds dux modèls (cci rnvoi au front d Parto ntr la précision ds modèls t lur tmps d xécution, Figur 5). L modèl harmoniqu s xécut n 50 ms pour l évaluation ds prts dans la culass à partir du calcul analytiqu du champ alors qu l modèl LS st évalué n 698 s, dans ls mêms conditions. L tmps d calcul d c drnir st prohibitif pour qu il puiss êtr mployé dans un procédur d optimisation avc ds calculs intnsifs comm cll qui st nvisagé par la suit. 135

137 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm V.C.6) Influnc d l alimntation n MLI Nous avons décrit dans ls paragraphs précédnts l modèl prmttant d évalur ls prts fr lorsqu la machin st alimnté n courant sinusoïdal. Dans l approch systèm qu nous dévloppons, la machin st alimnté n tnsion par un ondulur. Il st connu qu c typ d fonctionnmnt induit un augmntation ds prts fr dans la machin. Afin d caractérisr l influnc d fonctionnmnt d l ondulur sur ls prts fr, un modélisation d ctt intraction st nécssair. On trouv plusiurs approchs dans cs tntativs d modélisation : un approch phénoménologiqu s basant sur ls forms d onds rélls t un approch macroscopiqu où l origin ds prts t l comportmnt du matériau n sont pas analysés. La prmièr approch consist à détrminr l évolution tmporll ds courants dans la machin t à détrminr ls forms d onds d induction dans ls dnts t dans la culass au cours du tmps. Cci put êtr fait analytiqumnt ou numériqumnt n couplant un modèl EF avc un circuit élctriqu modélisant un ondulur. La modélisation analytiqu proposé prmt d détrminr l évolution tmporll ds courants dans la machin grâc au modèl élctriqu. L étap suivant consist à détrminr ls forms d ond d l induction dans ls dnts t la culass à chaqu instant t c sur un périod élctriqu. Cci alourdit considérablmnt ls tmps d calcul t st rédhibitoir pour l inclusion d ctt approch dans un concption par optimisation. Aussi la scond approch, macroscopiqu, crts moins fin mais plus malléabl, st préférabl. On trouv au rang d c typ d modélisation ls travaux ffctués par Mssiurs Kaczmark, Barbisio t Boglitti [Bog03]. Ls dux prmièrs approchs, très smblabls, nécssitnt un connaissanc précis du matériau considéré. La troisièm, proposé par Monsiur Boglitti prmt d prndr n compt l influnc d un alimntation par MLI sur ls prts fr qulqu soit la form d ond d l alimntation. L approch consist à détrminr ls prts fr sous alimntation sinusoïdal puis dans un scond tmps à corrigr cs prts par ds cofficints qui dépndnt du schéma d MLI d la tnsion d alimntation. L modèl d calcul ds prts fr sous induction sinusoïdal comport dux composants : ds prts par hystérésis t ds prts par courants d Foucault classiqus. L calcul ds prts fr sous alimntation MLI, sous hypothès qu il n y ait pas d cycls d hystérésis minurs, s ffctu avc l modèl suivant : ir Pfr = η α Ph, sin + χ Pcf,sin Éq. 14 V Avc η = av t V av, fund V χ = rms. Vrms, fund - P h,sin corrspond à la composant ds prts hystérésis sous alimntation sinusoïdal - P cf,sin corrspond à la composant ds prts par courants d Foucault sous alimntation sinusoïdal - V av st la valur moynn d la tnsion MLI rdrssé - V rms st la valur fficac d la tnsion - V av,fund st la valur moynn du fondamntal d tnsion rdrssé - V rms,fund st la valur fficac du fondamntal d tnsion Connaissant alors ls forms d onds ds grandurs élctriqus, nous pouvons évalur l influnc du schéma d la MLI sur ls prts fr. L approch proposé à été appliqué au 136

138 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin calcul ds prts fr dans un transformatur triphasé t dans un machin asynchron tournant au synchronism [Bog03]. Ls écarts obsrvés ntr msurs t prédictions sont alors rspctivmnt d 5 t 15-0%. Nous traçons, sur la Figur 95 t la Figur 96, l évolution ds cofficints t n fonction ds différnts paramètrs d la MLI. Figur 95 - Évolution du paramètr n fonction d la profondur d modulation pour dux indics d modulation (m=1 t m=1) Figur 96 - Évolution du paramètr n fonction d la profondur d modulation pour dux indics d modulation (m=1 t m=1) Nous constatons qu à indic d modulation fixé (m), l évolution ds cofficints t n fonction d la profondur d modulation st opposé. Il smbl judiciux d diminur la profondur d modulation pour réduir ls prts par hystérésis (influnc d, Figur 95) alors qu a contrario, l augmntation d la profondur d modulation tnd à réduir ls prts par courants d Foucault (influnc d, Figur 96). Cs dux tndancs opposés doivnt mnr à établir un compromis sur la profondur d modulation afin d réduir ls prts fr sous alimntation MLI. L influnc d l élctroniqu sur la machin, au travrs ds prts fr, s traduit ici par l augmntation du nivau global ds prts fr t par l xistnc d un compromis qui minimisrait cs prts. 137

139 Parti II Modélisation analytiqu multiphysiqu du systèm V.C.7) Conclusion sur la modélisation ds prts fr Nous avons établi un modèl d évaluation ds prts fr basé sur l calcul d la distribution du champ dans ls dnts dans la culass du stator. L modèl mployé tint compt d l fft d la haut fréqunc sur la composant ds prts par courants d Foucault. Ls paramètrs du modèl sont facilmnt idntifiabls à partir ds donnés provnant ds constructurs, c qui l rnd rapidmnt adaptabl à d autrs matériaux. Ls résultats fournis par notr approch d calcul complètmnt analytiqu du champ t ds prts ont été comparés à cux obtnus par un méthod numériqu couplé à un modèl d prts plus élaboré (l modèl LS). La comparaison montr un écart d l ordr d 10 à 15 % sur l évaluation ds prts, c qu nous jugons accptabl pour un modèl d dimnsionnmnt t compt tnu d la difficulté chroniqu à stimr ls prts fr. Enfin l influnc du comportmnt d l ondulur sur la machin, à travrs ls prts fr dans ctt drnièr, a été introduit n utilisant un méthod macroscopiqu issu d la littératur. Cll-ci, légèr à mttr n œuvr, constitu un bon compromis dans la modélisation ds intractions ntr la machin t l ondulur n vu d un procédur d optimisation du systèm. V.D. Prts dans ls aimants La concption d machins élctriqus rapids, à aimants, doit êtr attntiv aux aspcts thrmiqus, spécialmnt vis-à-vis d la démagnétisation ds aimants du à un surchauff. Pour évitr cs problèms, ls prts dans ls aimants doivnt êtr évalués t limités, t c durant la phas d concption d la machin. Cla st d autant plus vrai car il st plus difficil d évacur ls prts générés au rotor qu clls produits au stator. Ls machins rapids mttnt n œuvr ds fréquncs élctriqus élvés. Lorsqu on mploi un ondulur d tnsion piloté n MLI pour alimntr un machin rapid, la fréqunc d découpag maximal put êtr rapidmnt limité à caus d l échauffmnt ds smi-conducturs. Cla put conduir à générr ds harmoniqus d courant significatifs. Cs drnirs liés à la vitss d rotation du rotor, vont générr ds prts par courants d Foucault dans ls aimants. En fft, plusiurs étuds ont montré l influnc d la MLI sur ls prts par courants d Foucault dans ls aimants ds rotors d machins synchrons [Yam09a] [Hua10]. Ls prts dans ls aimants ds rotors d machins synchrons ont pour origin ls variations macroscopiqus d l induction magnétiqu dans ds matériaux conducturs. Cs variations d induction puvnt êtr dus aux variations d la prméanc statoriqu, aux harmoniqus d spac d f.m.m. ou ncor aux harmoniqus d tmps d f.m.m. La structur d rotor qu nous étudions «protèg» ls aimants ds harmoniqus d spac t ds variations d prméanc statoriqu. Dans ctt configuration, ls aimants sont davantag snsibls aux harmoniqus tmporls d f.m.m. L calcul ds prts par courants d Foucault dans ls aimants, dans la littératur, st fait n supposant qu l comportmnt ds aimants st linéair t qu ils puvnt êtr modélisés comm ds conducturs élctriqus solids [Pol97] [Ish05] [Ed07] [Kat09]. Ctt hypothès a été vérifié dans l cas d aimants soumis à un flux magnétiqu altrnatif dans un gamm d fréqunc d 100 Hz à 100 khz [Bn08]. Ds approchs analytiqus [Pol97] [Van06] aussi bin qu ds approchs par élémnts finis D [Alt00] [Tod04] ou 3D [Ed07] [Kat09] prmttnt d détrminr ls prts dans ls aimants. 138

140 Modélisation t optimisation d un nsmbl convrtissur-machin Notr objctif st d proposr un modèl analytiqu d évaluation ds prts par courants d Foucault dans ls aimants dus aux suls variations tmporlls du champ dans ls aimants. Un attntion particulièr sra porté à la modélisation d l fft d pau t à ss conséquncs sur ls prts. L champ dans ls aimants st calculé dans un prmir tmps puis un modèl d calcul ds courants induits t ds prts subséqunts st présnté. V.D.1) Analys d la réaction d induit Ls harmoniqus d tmps sont typiqumnt d rangs 5, 7, 11, 13 L harmoniqu d rang 5 au stator s traduit par un harmoniqu d rang 6 au rotor. Il n st d mêm pour l harmoniqu d rang 7. Aussi, il n st pas corrct d détrminr ls prts dus à l harmoniqu 5 puis clls dus à l harmoniqu 7 t nfin d sommr ls prts. Il faut d abord détrminr ls harmoniqus d champ présnts au rotor. Cci corrspond n fait à détrminr ls courants dans un rpèr rotoriqu. C st c qu nous avons fait avc la modélisation élctriqu n détrminant ls courants dans l rpèr dq tournant au synchronism. Cs courants présntnt ds harmoniqus d rangs 6, 1 Aussi un analys ds cartographis d champ dans ls aimants n fonction d la réaction magnétiqu d induit d ax d t d ax q st mné. Un condition d flux nul vrs l moyu a été considéré pour simplifir la situation. L analys d la répartition ds ligns d champ va prmttr d facilitr la résolution du problèm ds prts par courants d Foucault dans ls aimants. La cartographi ds ligns d champ lorsqu la RMI st sur l ax q st donné n Figur 97 t cll obtnu lorsqu la RMI st sur l ax d st montré n Figur 98. Figur 97 - Ligns d champ magnétiqu dus à la réaction magnétiqu d'induit d'ax q 139

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