Automates et langages: quelques algorithmes

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1 Automtes et lngges: quelques lgorithmes Eugene Asrin Sddek Benslem Avertissement Dns l étt ctuel ce document est rchi-sec et peut servir seulement d un ide-mémoire. Pour comprendre les lgorithmes ci-dessous il fut suivre les cours (et/ou lire un livre sur les utomtes). Il fut églement prtiquer ces lgorithmes (u moins fire toutes les exercices des feuilles de TD sur m pge we). 2 Déterministion 2. Prolème Etnt donné un utomte A = (Q,Σ,,q,F), non-déterministe vec -trnsitions, construire un utomte déterministe A, complet et sns epsilon, cceptnt le même lngge. 2.2 Quelques nottions utiles successeurs Pour un étt q Q et un symole Σ on définit S(q,) = {p (q p) } S(q,) dénote l ensemle des étts qui sont les successeurs immédits de q, en d utres termes tous les étts que l on pourrit tteindre pr l trnsition étiquetée pr. On peut étendre cette opértion ux ensemles. Soient M sous-ensemle de Q, où Q est un ensemle d étts et un élément de Sigm. Les successeurs immédits de M pr l trnsition étiqutée pr est définie pr l éqution suivnte : S(M,) = S(q,) En d utres termes, S(M,) dénote l ensemle de tous les étts que l on pourrit tteindre à prtir des étts dns M en effectunt une trnsition étiquetée pr fermeture L définition de l -fermeture d un étt q, que l on note pr E(q), et de son extension sont utiles pour l élimintion des -trnsitions. Étnt donné étt q Q, on définit l -fermeture de q pr : q M E(q) = {q q q } En d utres termes E(q) est l ensemle de tous les étts dns Q que l on pourrit tteindre à prtir de q en effectunt, ou plusieurs -trnsitions. L opértion E, comme pour S, pourrit être étendue ux ensemles : E(M) = E(q) q M

2 q q c c q2 Fig. Automte A Exemples : Le clcul des successeurs immédits des étts de l utomte A ci-dessus : S(q,) = {q,q2}, S(q,) =, S(q,c) = S(q,) =, S(q,) = {q,q}, S(q,c) = S(q2,) =, S(q2,) =, S(q2,c) = {q,q2} l -fermeture de chque étt de l utomte A 2 : 2 $\epsilon$ $\epsilon$ qo q q2 Fig. 2 Automte A 2 E(q) = {q,q,q2}, E(q) = {q,q2}, E(q2) = {q2}, E({q,q2} = E(q) E(q2) = {q,q2} {q2} = {q,q2} 2.3 Construction le cs simple sns Si l utomte A que l on veut rendre déterministe ne contient ps d -trnsitions, lors l utomte déterministe équivlent A, c est-à-dire cceptnt le même lngge, peut être construit de l mnière suivnte: A = (Q,Σ,,q,F ) Oú Q = 2 Q Σ = Σ δ (M,) = S(M,) q = {q } F = {M M F } l ensemle de toutes les prties de Q le même lphet que celui de l utomte A c est ç l stuce est le singleton qui contient l étt initil de l utomte A M est finl s il contient u moins un étt finl de A 2

3 Ci-dessus M désigne un sous-ensemle quelconque de Q 2.3. Exemple Soit l utomte non-déterministe ci-dessous : 2,,2 qo q q2,,2 Fig. 3 Automte A 3 non-déterministe sns -trnsition Pour construire l utomte déterministe cceptnt le même lngge que l utomte A 3, nous ppliquons l construction ci-dessus cr il s git d un utomte non-déterministe sns -trnsition. Donc, l utomte déterministe que nous otenons est le suivnt : L ensemle des étts est l ensemle des prties de Q = {q,q,q2} L lphet est le même, c est-à-dire Σ = {,,2} l étt initil est {q} L reltion de trnsition est définie pr : 2 {q} {q,q,q2} {q,q2} {q2} {q,q,q2} {q,q,q2} {q,q2} {q2} {q,q2} {q,q2} {q2} {q} {q2} Comme F = {q,q,q2} lors F = {{q},{q,q2},{q,q,q2}} 2.4 Construction le cs générl Dns le cs générl, il fut prendre en considértion les -trnsition: Q = 2 Q comme dns le cs simple sns -trnsition Σ = Σ l lphet n est ps modifié δ (M,) = E(S(M,)) on ferme pr q = E(q ) il y plus d étts initiux F = {M M F } l ensemle des étts finls est le même que dns le cs simple sns -trnsition 2.4. Exemple Pour illustrer l méthode de construction d utomte déterministe dns le cs générl, d utomte non-détrministe vec -trnsition, nous considérons l utomte A 4 figure?? ci-dessous : L ensemle, Q, des étts de l utomte déterministe est l ensemle des prties de Q = {,,2,3,4}, où Q est l ensemles des étts de A4, Le voculire,σ est le même que celui de l utomte A 4, c est-à-dire Σ = Σ = {,}, 3

4 3 4 2 Fig. 4 Automte A 4 non-déterministe vec -trnsition L étt initil de A 4 est définie pr -fermeture de l étt, étt initil de A 4 : E() = {,3}, L reltion de trnsition est définie pr : {,3} {,2,4} {,2,4} {2} {,,3} {2} {} {,,3} {,2,4} {,3} {} {2} {,3} Comme l ensemles des étts finls de l utomte A 4 est F = {,2,3,4}, lors l ensemle des étts finls de l utomte déterministe est F = {{},{2},{,3},{,,3},{,2,4}} L représenttion grphique de l utomte déterministe ci-dessus est : {} {,3} {,2,4} {2} {,,3} Fig. 5 Automte déterministe otenu à prtir de A 4 3 Expressions régulières: lois lgériques f + g = g + f 4

5 (f + g) + h = f + (g + h) f + f f + = f = f (f g)h = f(gh) f f f(g + h) = f = f = f = = fg + fh (g + h)f = gf + hf = = f = ff + 4 Expression régulière utomte 4. Prolème Étnt donnée une expression régulière f construire un utomte A qui ccepte le lngge dénoté pr cette expression. 4.2 Construction 4.2. Cs de se Expression Automte Cs inductif On suppose qu on déjà construit les 2 utomtes A et B cceptnt les lngges des expressions f et g respectivement Expression Automte f A g B On construir à prtir de A et B les utomtes pour f + g, f g, f 5

6 Expression Automte B f + g A f g A B A f Cel termine l construction 5 Automte expression régulière 5. Prolème Étnt donné un utomte A = (Q,Σ,,q,F), on veut construire une expression régulière f telle que L(f) = L(A), c est à dire que le lngge dénoté pr f est le même que le lngge reconnu pr A. 5.2 Automte système d équtions sur des lngges On introduit une inconnue X q pour chque étt q Q. Elle désigner le lngge ccepté à prtir de l étt q. Pour chque q on écrit une éqution suivnte: si q F X q = X p ; si q F X q = (q p) (q p) X p + ; 6

7 On otient un système de N équtions vec N inconnues (N est le nomre d étts de l utomte). On cherche une expression régulière pour X q. 5.3 Résolution d une éqution Lemme (Arden) Soient L et M deux lngges, X - un lngge inconnu. L éqution X = LX + M une solution X = L M Remrque: sous certines hypothèses cette solution est unique. Dns tous les cs elle est l seule solution pertinente pour notre prolème. 5.4 Résolution d un système L méthode de résolution suggérée comine le lemme d Arden pour résoudre les équtions individuelles et l méthode d élimintion de vriles de Guss. En 2 mots : pour un système de N équtions vec N inconnues X..X N on procède comme suit: En utilisnt le lemme précédent pour l première éqution on exprime X en fonction de vriles X 2..X N. On sustitue toutes les occurrences de X dns les équtions 2..N pr cette expression. X est éliminée De l même mnière on élimine X 2 en utilisnt l deuxième éqution, etc. jusqu à X N Mintennt notre système une forme tringulire. En remontnt le système on trouve les expressions régulières pour X N,X N,...,X 2,X C est tout Pour le système otenu à prtir de l utomte (A), l solution otenue pour X q est l expression régulière recherchée pour L(A) 6 Opértions sur les lngges réguliers On peut représenter les lngges réguliers soit pr des expressions, soit pr des utomtes. Certines opértions et certins tests peuvent être effectués ussi ien sur les expressions que sur les utomtes, tndis que d utres opértions et tests peuvent se fire seulement sur les utomtes. Dns ce document, uniquement les lgorithmes sur les utomtes seront présentés. On suppose que L = L(A) et M = L(B). Opértions régulières Automtes pour L M, L M, L : voir section?? Complément Pour construire l utomte cceptnt L (le complément de L) il fut. Déterminiser l utomte A (en n oulint dns ucun cs l étt d erreur ) 2. Complémenter l ensemle des étts finls. Intersection Théoriquement comme L M = L M, l construction de l utomte pour l intersection peut se rmener ux opértions précédentes. En prtique cette méthode donne des utomtes de tille énorme. Une fçon eucoup plus risonnle de construire l utomte cceptnt L M est l suivnte: à prtir de deux utomtes A = (P,Σ, A,p,F A ) et B = (R,Σ, B,r,F B ) on construit l utomte produit A B = (Q,Σ,,q,F) vec Q = P R produit crtésien q = (p,r ) F = F A F B 7

8 L reltion de trnsition contient trois types de trnsitions:. (p,r) (p,r ) tels que (p p ) A et (r r ) B 2. (p,r) (p,r ) tels que (p p ) A et r = r 3. (p,r) (p,r ) tels que (r r ) B et p = p L utomte A B ccepte le lngge L M. Lors de l construction de l utomte produit il n est ps nécessire de considérer tous les étts (tout le produit crtésien). On peut se restreindre à l ensemle des étts ccessiles (voir l exemple ci-dessous). Autres opértions En TD on vu comment effectuer les opértions miroir, homomorphisme, préfixe, suffixe, infixe Exemple En pssnt pr les utomtes trnsformer l expression régulière étendue (+) (+) en forme régulière (non étendue). Un utomte A pour ( + ) : Un utomte A2 pour ( + ) : A, B N K L M 8

9 L utomte produit de A et A2 ccepte l intersection ( + ) ( + ) : AN AK BL AM Comme il n ps d étts ccepteurs, son lngge est vide, d où l expression régulière : 7 Tests sur les lngges réguliers Comme précédemment on suppose que L = L(A) et M = L(B). Apprtennce : w L si et seulement si Succ(q,w) F. Il fut donc clculer l ensemle successeur et tester s il contient un étt finl. Lngge vide : L si et seulement si dns (A) il existe un chemin de l étt initil vers un étt finl. Lngge fini : L est infini si et seulement si dns (A) il existe un cycle σ vec les propriétés suivntes: σ est ccessile à prtir de l étt initil un étt finl est ccessile à prtir de σ σ contient u moins une trnsition étiquetée pr utre chose qu Inclusion: Comme L M si et seulement si L M =, pour tester l inclusion il suffit de construire l utomte cceptnt L M et fire le test de lngge vide pour cet utomte. Églité : Comme L = M si et seulement si (L M) (M L), pour tester l églité il suffit de fire deux tests d inclusion. 8 Minimistion 8. Prolème Étnt donné un utomte déterministe A = (Q,Σ,δ,q,F), on cherche à construire un utomte déterministe équivlent contennt un nomre minimum d étts. 8.2 Structure de l lgorithme. Supprimer tous les étts de A inccessiles à prtir de q. Dns l suite on suppose que c est déjà fit. 2. Construire l reltion d équivlence sur l ensemle Q (voir??). Elle prtitionne Q en plusieurs clsses d équivlence. On v écrire [q] pour l clsse contennt q.. les lgorithmes pour rechercher un tel chemin sont étudiés en LP 9

10 3. Construire l utomte miniml A = (Q,Σ,δ,q,F ) en collnt ensemle les étts dns chque clsse d équivlence. Formellement Q = Q/ = {[q] q Q} l ensemle de tous les clsses d équivlence δ ([q],) = [δ(q,)] le successeur d une clsse d équivlence est l clsse d équivlence du successeur q = [q ] l clsse d équivlence de l étt initil de A F = {[q] q F } les clsses d équivlence des étts finls de A 8.3 Comment construire l reltion d équivlence. On construit un tleu de tille N N (N est le nomre d étts de notre utomte). Chque cse dns ce tleu correspond à un couple d étts (p,q). Pour ne ps voir deux fois le même couple ((p,q) et (q,p)) ni les couples inutiles (p,p), on grde seulement l prtie tringulire supérieure du tleu. (Notre ut finl est de mrquer toute les cses (p,q) pour des étts p et q non-équivlents) 2. Au déut on mrque chque cse (p,q) correspondnt à un étt finl et à un étt non-finl (c est à dire p F et q F ou à l envers, p F et q F. 3. On prcourt toutes les cses vides du tleu d une mnière quelconque en le modifint de fçon suivnte : pour chque cse (p,q) et lettre, on clcule δ(p,) = p et δ(q,) = q. On mrque (p,q) si et seulement si l cse (p,q ) est déjà mrquée. On répète le lyge jusqu u moment qund le tleu ne se modifie plus. 4. L reltion d équivlence se cche dns le tleu finl : deux étts p et q sont équivlents si et seulement si l cse (p,q) n est ps mrquée. 8.4 Exemple On veut minimiser l utomte F C D E G H, I On pplique l lgorithme.,

11 D E F G H I C X D - X Initilistion: E - - X F X G X H X D E F G H I C X X D - X X Première itértion: E - - X X F X X G X X H X D E F G H I C X X X D - X X X Deuxième itértion: E - - X X X X F X X G X X H X D E F G H I C X X X X D - X X X X X Troisième itértion: E - - X X X X F X X G X X H X D E F G H I C X X X X X D - X X X X X Qutrième itértion: E - - X X X X F X X X G X X H X L itértion suivnte ne modifie ps le tleu. En oservnt les cses non-cochées on trouve l reltion d équivlence : C F, les utres étts ne sont ps équivlents. On construit l utomte miniml: C F D E G H, I,

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