Équations de droite. Système d équations

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1 1 Équtions de droite. Système d équtions Tble des mtières 1 Équtions de droite Vecteur directeur d une droite Éqution crtésienne d une droite Éqution réduite d une droite Droites prticulières Prllélisme de deux droites Système d équtions linéires Définition Existence de solution Méthode pr ddition Résolution pr substitution Méthode dites pr comprison Systèmes prticuliers Deux droites strictement prllèles Deux droites confondues Système non linéire se rmennt à un système linéire

2 1 ÉQUATIONS DE DROITE 1 Équtions de droite 1.1 Vecteur directeur d une droite Définition 1 : Soit une droite d définie pr deux points A et B. Un vecteur directeur u de l droite d est le vecteur AB. Remrque : Le vecteur u n est ps unique, cr 2 points quelconques de l droite définissent un vecteur directeur. Si u et v sont deux vecteurs directeurs de l droite d, lors les vecteurs u et v sont colinéires. On donc det( u, v) = 0. Exemple : Soit l droite (AB) définie pr : A(3; 5) et B(2; 3) Le vecteur u = AB est un vecteur directeur de l droite (AB), on lors : u = (2 3 ; 3 ( 5)) = ( 1; 8) Théorème 1 : et une vecteur directeur u. Une droite est entièrement définie si l on connît un point A Démonstrtion : L démonstrtion est immédite cr à prtir du point A et du vecteur directeur u, on peut déterminer un utre point B tel que : u = AB 1.2 Éqution crtésienne d une droite Théorème 2 : Soit une droite d du pln déterminée pr un point A(x A ; y A ) et un vecteur directeur u( b; ), vec et b non tous les deux nuls. Un éqution crtésienne de l droite d est du type : d : x + by + c = 0 Démonstrtion : Soit un point M(x; y) un point quelconque de l droite d. On lors AM et u colinéires. Donc leur déterminnt est nul. On : AM = (x xa ; y y A ), donc : det( AM, u) = 0 x x A y y A b = 0 (x x A ) + b(y y A ) = 0 x + by (x A + by A ) = 0

3 1.3 ÉQUATION RÉDUITE D UNE DROITE On pose c = (x A + y A ), on donc : x + by + c = 0 Exemple : Soit l droite d définie pr les point A(2; 3) et u( 2; 1). Déterminer une éqution crtésienne de l droite d. En posnt M(x; y), on : det( AM, u) = 0 x 2 2 y 3 1 = 0 (x 2) + 2(y 3) = 0 x + 2y 2 6 = 0 x + 2y 8 = 0 Remrque : L éqution crtésienne d une droite n est ps unique. On peut toujours multiplier les coefficients pr un fcteur k non nul. Pr exemple, on peut trouver pour l droite de l exemple : 2x 4y + 16 = 0 en multiplint pr ( 2). 1.3 Éqution réduite d une droite Définition 2 : Soit une droite définie pr un point A et un vecteur directeur u( b; ), vec b = 0 (droite non verticle). On peut lors mettre une éqution crtésienne de l droite d sous l forme : d : y = mx + p où m représente le coefficient directeur de l droite d et p l ordonnée à l origine. Cette éqution est ppelée «éqution réduite» de l droite d. Un vecteur directeur est lors v(1; m). Démonstrtion : Une éqution crtésienne de l droite d est donc du type : x + by + c = 0 Comme b = 0, on peut diviser cette éqution pr b, on obtient lors : b x + y + c = 0 y = b x c b En posnt m = b et p = c, on obtient : y = mx + p

4 1 ÉQUATIONS DE DROITE On peut choisir comme vecteur directeur v colinéire à u en divisnt les coordonnées de celui-ci pr b. On obtient lors : v = ( 1; ) b comme m =, on : v = (1; m) b Remrque : lorsque l on peut trouver l éqution réduite de l droite d, celle-ci est lors l représenttion d une fonction linéire. Théorème 3 : Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points d une droite d tels que x B x A = 0, on peut lors trouver les coefficients de l éqution réduite de d. On lors : m = y B y A x B x A et p = y A mx A Démonstrtion : Je vous renvoie u chpitre sur les fonctions ffines où ces reltions ont été démontrées. Exemple : Soit l droite (AB) définie pr : A( 1; 4) et B(2; 6) Déterminer l éqution réduite de l droite d. On lors : m = ( 1) = 2 3 et p = ( 1) = = 14 3 On lors l éqution réduite de l droite (AB) : y = 2 3 x Droites prticulières Définition 3 : Un droite horizontle (prllèle à l xe des bscisses) comme éqution : y = Un droite verticle (prllèle à l xe des ordonnées) comme éqution : x = b

5 1.5 PARALLÉLISME DE DEUX DROITES 1.5 Prllélisme de deux droites Théorème 4 : Deux droites de vecteurs directeurs u et v ou de coefficients directeurs m et m sont prlléles si, et seulement si : Leurs vecteurs directeurs sont colinéires. On donc : det( u, v) = 0 Leurs coefficients directeurs sont égux. On lors : m = m 2 Système d équtions linéires 2.1 Définition Définition 4 : On ppelle système d équtions linéires de deux équtions à deux inconnues, le système défini pr : S x + by = c x + b y = c Exemple : Soit le système défini pr : S 3x 7y = 1 5x + 2y = 29 (S) est donc un système linéire de deux équtions à deux inconnues. 2.2 Existence de solution Chque éqution d un système linéire à deux inconnue (S) est ssimilble à une éqution crtésienne d une droite. On peut donc ssimiler le système linéire de deux équtions à l intersection de deux droites. Théorème 5 : L existence de solution d un système linéire de deux équtions à deux inconnues dépend de l intersection des deux droites (D 1 ) et (D 2 ) vérifint chcune l une des équtions du système. Trois cs peut lors se produire : Les droites (D 1 ) et (D 2 ) sont sécntes. Il existe lors une unique solution u système : les coordonnées du point d intersection de (D 1 ) et (D 2 ). Les droites (D 1 ) et (D 2 ) sont strictement prllèles. Il n existe ucune solution u système. Les droites (D 1 ) et (D 2 ) sont confondues. Il existe lors une droite solution u système.

6 2 SYSTÈME D ÉQUATIONS LINÉAIRES Les droites composnt le système sont prllèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéires. On crée lors un déterminnt, noté δ défini pr : δ = b b = b b Les droites sont sécntes si et seulement si le déterminnt du système δ = 0. Les droites sont prllèles si et seulement si le déterminnt du système δ = 0. Les droites sont strictement prllèles si c c = Les droites sont confondues si c = c 2.3 Méthode pr ddition 3x 7y = 1 ( 5) ( 2) 5x + 2y = 29 ( 3) ( 7) L méthode pr ddition consiste à multiplier les équtions pr des coefficients de fçon à éliminer une inconnue pr ddition des deux équtions. Pour trouver ces coefficients, il suffit de déterminer le PPCM (plus petit commun multiple). Si l on veut éliminer x, comme les coefficients devnt x sont respectivement 3 et 5, le PPCM est 15, il suffit donc de multiplier l 1 re éqution pr ( 5) et l 2 e éqution pr 3. Il est à noter ici comme les coefficients devnt x sont de même signe, et que l on veut éliminer x pr ddition, il est nécessire de multiplier les équtions pr des coefficients de signes contrires. Pour éliminer y, les coefficients devnt y sont respectivement 7 et 2, le PPCM est ici 14. On multiplie lors l 1 re éqution pr 2 et l 2 e éqution pr 7. Ce qui donne : 15x + 35y = 5 15x + 6y = 87 6x 14y = 2 35x + 14y = 203 0x + 41y = 82 41x + 0y = 205 y = = 2 x = = 5 Cette méthode est très efficce, cr même lorsque les coefficients ne sont ps simples, cel n entrine ps des frctions ce qui simplifie d utnt les clculs. 2.4 Résolution pr substitution 3x 7y = 1 5x + 2y = 29 L méthode pr substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l utre et «substituer» cette inconnue pr cette expression dns l seconde éqution. On isole, pr exemple x dns l première éqution, cel donne : 3x = 1 + 7y x = 1 + 7x 3

7 2.5 MÉTHODE DITES PAR COMPARAISON on remplce x pr cette expression dns l seconde éqution, cel donne : on multiplie pr 3 5(1 + 7y) 3 + 2y = 29 5(1 + 7y) + 6y = y + 6y = 87 35y + 6y = y = 82 y = = 2 on remplce y = 2 dns l expression de x L solution est donc x = 5 et y = 2 x = = Cette méthode est efficce seulement lorsque les coefficients devnt les inconnues sont simples. Ici elle s vére très clcultoire. Voici un système où les coefficients sont plus simple. L méthode pr substitution peut s vérer un bon choix x + 5y = 7 3x + 4y = 10 On isole x dns l première éqution, cel donne : x = 7 5y on remplce x pr cette expression dns l seconde éqution, cel donne : 3(7 5y) + 4y = y + 4y = 10 on remplce y = 1 dns l expression de x L solution est donc x = 2 et y = 1 11y = x = = Méthode dites pr comprison x = = 2 Lorsque les coefficients devnt les inconnues ne sont ps très compliqués, on préfèrer une méthode mixte, c est à dire que l on détermine l 1 re inconnue pr ddition et l 2 e inconnue pr substitution. = 5

8 2 SYSTÈME D ÉQUATIONS LINÉAIRES 3x 7y = 1 ( 5) 5x + 2y = 29 ( 3) Déterminons y pr ddition et x pr substitution. 15x + 35y = 5 15x + 6y = 87 0x + 41y = 82 y = = 2 On remplce y = 2 dns l 1 re éqution 3x 7 2 = 1 3x 14 = 1 3x = 15 x = Systèmes prticuliers On étudier sur deux esemples les deux cs qui peuvent se poser Deux droites strictement prllèles 4x + 6y = 5 6x + 9y = 7 On clcule le déterminnt : δ = = = 0 Comme le déterminnt est nul, les droites ssociées ux équtions sont prllèles. Pour svoir si elles sont strictement prllèles ou confondues, on clcule : = 4 6 = 2 3 et c c = 5 7 donc = c c Les rpports ne sont ps égux donc les droites sont strictement prllèles et donc le système m dmet ps de solution. S = Deux droites confondues 4x + 6y = 6 6x + 9y = 9 On clcule le déterminnt : δ = = = 0 Comme le déterminnt est nul, les droites ssociées ux équtions sont prllèles. Pour svoir si elles sont strictement prllèles ou confondues, on clcule : = 4 6 = 2 3 et c c = 6 9 = 2 3 donc = c c Les rpports sont égux donc les droites sont confondues et donc le système dmet une droite solution d éqution : 2x + 3y 3 = 0 (1 re éqution simplifiée)

9 2.7 SYSTÈME NON LINÉAIRE SE RAMENANT À UN SYSTÈME LINÉAIRE 2.7 Système non linéire se rmennt à un système linéire 3x 2 y 2 = 3 x 2 + 2y 2 = 22 Le système n est ps linéire cr les inconues pprissent u 2 e degré. Pour résoudre ce système, on fit un chngement de vrible de fçon à rendre ce système linéire : On pose : X = x 2 et Y = y 2 vec X 0 et Y 0 Le système devient : 3X Y = 3 ( 2) X + 2Y = 22 ( 1) On résout lors ce nouveu système : Déterminons X pr ddition et Y pr substitution. 6X 2Y = 6 On remplce X = 4 dns l 1 re éqution X + 2Y = Y = 3 7X + 0Y = 28 X = 28 Y = 9 7 = 4 Y = 9 donc Y donc X 0 0 On revient à x et y On : x 2 = 4 donc x = 2 ou x = 2 et : y 2 = 9 donc y = 3 ou y = 3 On lors 4 couples solution : S = ( 2; 3); ( 2; 3); (2; 3); (2; 3)} Si l on veut une interpréttion géométrique, le système revient à chercher l intersection d une hyperbole (éqution 1) et d une ellipse (éqution 2). Cel n est évidemment ps u progrmme :