Table des matières 1/14

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1 Table des matières Itroductio...2 I- Rappels Défiitio Matrices associées à ue applicatio liéaire...3 II- Opératios sur les matrices Structure d'espace vectoriel...4 a- Somme et produit par u réel...4 b- Isomorphisme...4 c- Isomorphisme etre L(E) Structure d'aeau...5 a- Produit de 2 matrices...5 b- Exemples...6 c- Propriétés du produit...6 d- Attetio!!!!!!!!!...7 e- Sous-aeau Le groupe liéaire Trasposée d'ue matrice...9 a- Défiitio...9 b- Matrices symétriues et ati-symétriues...9 III- Matrices de passage Matrice das ue base d'ue famille fiie de vecteurs Matrice das ue base d'ue famille de formes liéaires Bijectio etre les bases de e et...11 a- Défiitio d'ue matrice de passage...11 b- Formule de chagemet de coordoées Trasformatio de la matrice d'ue applicatio liéaire par u chagemet de base...12 a- Matrices éuivaletes...12 b- Matrices éuivaletes...12 IV- Rag d'ue matrice Défiitios et propriétés Rag de A et trasposée de A /14

2 Itroductio «: des tableaux de ombres pour représeter le mode» Tagete hors série 44. Écoomie, électroiue, astroomie, graphisme, jeux. Démographie évolutio d'ue populatio. Gééralité de l'algèbre : extesio des lois de compositio itere à d'autres objets ue des ombres. À l'origie matrice et détermiat liés. Gauss utilise ue substitutio liéaire. Terme «détermiat» dû à Cauchy. James Sylvester ( )emploie le terme matrice e Membre de la Royal Society, America Joural of Mathematics. ArthurCayley ( «A memoir o the theory of Matrices» 2/14

3 I- Rappels. 1- Défiitio Matrice défiie comme ue applicatio de N N p das K. Matrices Scalaires. Idetité : symbole de Kroecker. 2- Matrices associées à ue applicatio liéaire Soit u ue applicatio liéaire de E das F, avec dim(e)=p et dim(f)=. Soiet {e i } 1 j p est ue base de E et {f i } 1 i ue base de F. La matrice (M=a ij ) de dimesio p de M= est défiie par : u(e j )= p Soit x= x j e j, alors u(x)=u( p j=1 j=1 p u( x)= j=1 x j p a ij f i = j=1 où Y et X sot des vecteurs coloes. M=Mat e, f (u) a ij f i p x j e j) = x j u(e j ) o remplace u(e j ) par so expressio. j=1 p x j a ij f i. Et o trouve y i = a ij x j. O pose Y=MX. j=1 M BE,B F (u) Iterprétatio de la j ième coloe de la matrice. Et de la ième lige. Cas particulier où E=F, et o pred la même base pour l'esemble de départ et l'espace d'arrivée. Cas d'ue forme liéaire. Das ce cas o pred 1 pour la base de K et o a e lige les valeurs de u(e 1 ), u(e 2 ),... u(e ) 3/14

4 II- Opératios sur les matrices. 1- Structure d'espace vectoriel. a- Somme et produit par u réel. Défiitio : Soit A=(a ij ) et B=(b ij ) alors (A+B)=(a ij +b ij ) Propriété : Soiet u L(E,F) et v L(E,F) de matrices respectives A et B das les bases B 1 et B 2, alors M B1,B 2 (u+v)=a+b. Démostratio : O calcule (u+v)(e j )=u(e j )+v(e j ). Et o écrit u(e j ) et v(e j ) Défiitio : Soit A=(a ij ) λ K, alors (λ A)=(λ a ij ) Propriété : Soiet u L(E,F) et de matrices A das les bases B 1 et B 2, alors M B1,B 2 (λ u)=λ A b- Isomorphisme de L(E,F) sur M, p (K). Théorème : Ue base B 1 de E et ue base B 2 de F état fixées. L'applicatio Φ : L( E, F) M ( K) est u isomorphisme. Démostratio., p u M ( u) B1, B2 Les deux propriétés précédetes motret ue l'applicatio est liéaire. Elle est ijective car Ker(Φ) est réduit à l'applicatio ulle. Elle est surjective. Ue matrice M état doée, il existe ue applicatio liéaire ui à M comme matrice das les bases B 1 et B 2. Cas particulier : isomorphisme caoiue sur L(K p, K ). 4/14

5 À toute matrice M o associe ue applicatio liéaire de K p das K muis de leur base caoiue. Idetificatio des matrices coloes et vecteurs de K. Idetificatio des matrices liges et des formes liéaires sur K p Coséuece : dimesio de dim(l(e, F))= p c- Isomorphisme etre L(E) et M (K) Cas particulier E=F. Si E est muie d'ue base B 2-Structure d'aeau a- Produit de 2 matrices. Soiet E,F et G trois espaces tels ue dim(e)=p, dim(f)= et dim(g)=. Soiet B E, B F, et B G des bases de E, F et G. O cosidère u L(E,F) et v L(F, G). O pose A=Mat BE,B F (u) et B=Mat BF,B G (v). Soit C=Mat(B E,B G )(v u). Par défiitio : v(u(e j ))= c ij g i. Exprimos les coefficiets de C e foctio de ceux de A et B. u(e j )= a kj f k v(u(e j ))=v( a kj f k )= a kj v(f k ) Par défiitio v(f k )= b ik g i 5/14

6 v(u(e j ))= a kj b ik g i = a kj b ik g i = Et la matrice C=(c ij ) avec c ij = b ik a kj ( b ik a kj) g i Défiitio du produit de deux matrices. Soiet B=(b ik ) 1 i c ij = b ik a kj 1 k p et A=(A ) kj 1 k, o défiit le produit C=B A par : 1 j Propriété : M B1,B 3 (v u)=m B2,B 3 (v) M B1, B 2 (u) Remarues : o e peut pas toujours faire le produit de 2 matrices. Et si p, la multiplicatio 'est pas ue loi de compositio itere. o peut adopter l'u des poits de vue (matrices ou applicatios liéaires) pour démotrer ue propriété sur l' autre. Compatibilité avec le produit Y=MX. b- Exemples Produit de 2 matrices scalaires (homothéties), diagoales, triagulaires supérieures,iférieures. Produit de deux rotatios. Projecteurs TD 19 exercice 10 O ote (e 1, e 2,e 3 ) la base caoiue de R 3. O défiit l'edomorphisme f :R 3 R 3, par : f (e 1 )=3 e 1 +4 e 2 2e 3, f (e 2 )= e 1 e 2 +e 3, f (e 3 )=e 1 +2 e 2 et o pose g=f Id. Symétrie : la cojugaiso. c- Propriétés du produit. Associative : C (B A)=(C B) A Démostratio : le produit matriciel traduit la composée de deux applicatios liéaires. 6/14

7 Démostratio aalytiue : e lj = d lj = d li ( b ik a kj = d li b ik a kj c li b ik) a kj d'où le résultat. Forme biliéaire : l'applicatio de M, p(k) M, p(k) M, p(k) ui au couple (A,B) associe A B est biliéaire. A (αb+β C)=αA B+β A C E particulier : La multiplicatio est distributive par rapport à l'additio. A (B+C)=A B+A C Cas particulier des matrices carrées. Das ce cas la multiplicatio est ue loi de compositio itere. (M (K),+, ) est u aeau Démostratio : (M (K),+) est u groupe abélie. Est ue loi de compositio itere : associative, distributive par rapport à + et possédat u élémet eutre. Matrice idetité. I =δ ij. Iterprétatio avec des applicatios liéaires. d- Attetio!!!!!!!!! C'est u aeau o commutatif. Certaies matrices commutet, par exemple les matrices scalaires commutet avec toutes les matrices et ce sot les seules. Exemple : Propriété : M (K) 'est pas itègre. Matrice ilpotete. 7/14

8 Exemple la dérivée das u espace de polyômes est ue applicatio liéaire ilpotete et sa représetatio matricielle l'est aussi. e- Sous-aeau. Matrice scalaire. Matrice diagoale. Matrice triagulaire supérieure. Matrices triagulaires iférieures. 3- Le groupe liéaire. Défiitio : Ue matrice M M (K) est iversible si et seulemet si il existe M 1 MM 1 =M 1 M=I. M 1 est l'iverse de la matrice M. telle ue Propriété :Soit B E, ue base de E et u L(E) tel ue M=Mat BE (u) alors M est iversible si et seulemet si u GL( E). Démostratio : si u est iversible, soit N=Mat BE (u 1 ), et la traductio de u u 1 =u 1 u=id E e termes matricielles doe M N=N M=I Propriété : Soit M M (K) s'il existe N M (K) tel ue M N=I alors M est iversible et M 1 =N Démostratio : iterprétatio avec les applicatios liéaires. Si u v=id E v ijectiveet usurjective. Et das u espace vectoriel de dimesio fiie si ue applicatio liéaire est ijective ou surjective alors elle est u automorphisme. Défiitio L'esemble des matrices iversibles est u groupe. C'est le groupe liéaire oté GL (K) Démostratio : Le produit de 2 matrices du groupes liéaires est ue matrice du groupe liéaire. Cela se traduit par : la composée de deux automorphismes est u automorphisme. O a : (A B) 1 =B 1 A 1. 8/14

9 C'est le groupe des uités de l'aeau M (K). Exemples : L'idetité, les matrices scalaires avec λ 0. diagoales avec tous les termes diagoaux o ul. triagulaires ui ot tous leurs coefficiets diagoaux o uls. de symétrie. de rotatio. Remarues: deux applicatios liéaires u et v peuvet être des automorphismes sas ue u+v soiet u automorphisme. Si M GL (K) et λ 0 alors λ M GL (K). 4- Trasposée d'ue matrice. a- Défiitio. Défiitio : Soit A M, p (K), alors B= t A est la matrice de M p, (K) ui vérifie b ij =a ji. Exemples : Propriété : t (A+B)= t (A)+ t (B) Propriété : t (λ A)=λ t (A) L'applicatio de M, p (K) das M p, (K) ui à ue matrice associe sa trasposée est liéaire. Propriété : t (A B)= t (B) t (A) b- Matrices symétriues et ati-symétriues. Défiitio : Soit A M (K), A est symétriue si t A=A. Défiitio : Soit A M (K), A est atisymétriue si t A= A. Propriété : ue matrice atisymétriue a ses coefficiets diagoaux ulles. 9/14

10 Exemples : Produit vectoriel das R 3 Sous-espaces e somme directe. Propriété: L'esemble des matrices symétriues S (A) et l'esemble des matrices atisymétriues A (A) sot deux sous-espaces vectoriels e somme directe. Démostratio : Ce sot les oyaux des applicatios ui à A associe t A A et t A+A. doc ce sot des sous-espaces vectoriels. Leur itersectio est ulle. Leur somme est tout l'espace (aalogie décompositio paire et impaire). La somme de leur dimesio est 2. O a : dim(s (K)) (+1) 2 respectivemet (+1) 2 et dim(a (K)) ( 1) 2 et ( 1) 2. et o e déduit ue leur dimesio sot 10/14

11 III- Matrices de passage. 1- Matrice das ue base d'ue famille fiie de vecteurs. Défiitio Soit E u espace vectoriel de dimesio et ue famille de p vecteurs (x 1,, x p ), la matrice das la base B(e 1,...,e ), otée Mat B (x 1,..., x p ) est la matrice dot la j ième coloe est formée des coordoées de x j das la base B. Remarue : Mat B1, B 2 (u)=mat B2 (u(b 1 )). 2- Matrice das ue base d'ue famille de formes liéaires. 3- Bijectio etre les bases de e et GL (K) a- Défiitio d'ue matrice de passage Défiitio : Soiet B et B' deux bases de E, la matrice de passage de la base B à la base B', otée P(B, B') est la matrice des vecteurs (e' 1,., e' ) das la base (e 1,...,e ). Exemples. Matrice de rotatio. Propriété : La matrice de passage de la base B à la base B' est la matrice de l'idetité das les base B' et B. P(B, B')=Mat B ', B (Id E ) Coséuece : P(B, B') P(B ',B)=P(B ',B) P(B, B')=1. P(B,B') est ue matrice iversible et so iverse est P(B',B). Démostratio : o utilise Id E Id E =Id E 11/14

12 Exemple : matrice de rotatio. Réciproue : Les vecteurs défiis par ue matrice iversible à partir d'ue base formet ue base. Démostratio : Das ce cas, si la matrice est iversible elle défiit u isomorphisme, et l'image d'ue base par u isomorphisme est ue base. b- Formule de chagemet de coordoées. O iterprète ue P(B, B')=Mat B ', B (Id E ). X=PX' O a les aciees coordoées e foctio des ouvelles. 4- Trasformatio de la matrice d'ue applicatio liéaire par u chagemet de base. a- Matrices éuivaletes. M '=Q 1 MP b- Matrices semblables. M '=P 1 MP 12/14

13 IV- Rag d'ue matrice. 1- Défiitios et propriétés Défiitio : Le rag d'ue matrice A est le rag de ces vecteurs coloes cosidérés comme des vecteurs de K. Exemples : das M 2 (K) et M 3 (K) et M 2,3 (K). Propriété : Lie etre le rag d'ue matrice et le rag d'ue famille de vecteurs. rag(mat B (x 1,...,x p ))=rag(x 1, x 2,...,x p ) Démostratio : o utilise l'isomorphisme etre K et E, ue base de E état fixée. Mat B (x 1,..., x p ) Et u isomorphisme coserve la dimesio. Théorème : Le rag d'ue applicatio liéaire est le rag d'ue matrice ui la représete. rag(u)=rg(mat B1, B 2 (u)). Remarue : tous les calculs du rag se ramèe au calcul du rag d'ue matrice. Corollaire 1 : deux applicatios liéaires représetées par la même matrice das des bases différetes ot le même rag. Corollaire 2 : deux matrices éuivaletes ot le même rag et e particulier deux matrices semblables ot le même rag. Corollaire 3 : le rag d'ue matrice est ivariat uad o la multiplie à droite ou à gauche par ue matrice iversible. Théorème : ue matrice carrée est iversible si et seulemet si elle est de rag. Démostratio : elle est iversible si et seulemet si u GL(E), c'est-à-dire si u est surjective. u est surjective si et seulemet si rag(u)=. 13/14

14 2- Rag de A et trasposée de A. Théorème : Ue matrice M est de rag r si et seulemet si elle est éuivalete à J, r, p Démostratio : O pred u supplémetaire E' du oyau, et o forme ue base de E avec e preat ue base du oyau et ue base du supplémetaire. O cosidère l'image de la base de E' (ui est libre car la restrictio de u à E' est ijective, et ue applicatio ijective trasforme ue famille libre e ue famille libre) das F et o la complète e ue base de F. Corollaire 1 : ue matrice et sa trasposée ot le même rag. Corollaire 2 : le rag d'ue matrice est le rag de ces vecteurs coloes et aussi le rag de ces vecteurs liges. 14/14