Savez-vous planter des choux en deux carrés?

Transcription

1 Savez-vus planter des chux en deux carrés? Le jardinier vudrait planter ses chux en frmant deux carrés. Par exemple avec 13 chux, il peut réaliser cette dispsitin : 1) Le jardinier peut-il planter 25 chux en frmant deux carrés? 2) Peut-il planter 146 chux en frmant deux carrés? Référence : Cap maths CM2, cycle 3, Paris, Hatier, 2004.

2 Cmpte rendu d expérience Prblème : Savez-vus planter les chux? Classe : CM2 Nmbre d élèves : 20 Lieu : Écle élémentaire de Viessix Durée de la séance : 65 minutes Péride de l année : mars 2006 Dérulement et cnsignes Les élèves snt grupés par deux. La fiche expsant la situatin leur est distribuée. Les élèves effectuent une lecture silencieuse de la présentatin de la situatin puis une mise au pint cllective est rganisée (répnses aux questins, pints de vcabulaire ). Des précisins snt rednnées sur la ntin de «carré». Les élèves dispsent de dix minutes pur répndre à la première questin en utilisant les techniques de leur chix. Une première mise en cmmun s avère nécessaire pur faire la différence entre la représentatin gémétrique d un carré dans lequel snt plantées x rangées de y chux et la ntin de carré numérique en tant que résultat du prduit de x par x. Après cette mise au pint, la plupart des élèves parviennent au résultat : 25 = (4 x 4) + (3 x 3). Ils se lancent alrs, seln les mêmes prcédures, dans la réslutin de la deuxième questin. Nus intervenns pur remettre en cause une schématisatin qui paraît lngue et inadaptée et nus ntns au tableau les résultats de quelques calculs intermédiaires que les grupes prpsent : 5 x 5 = 25, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64. À l aide de ce répertire, les grupes rganisent des calculs qui permettent de parvenir pur la plupart à la slutin. Prcédures utilisées par les élèves Le schéma qui se truve sur la fiche d énncé de la situatin induit, pur tus les grupes (sauf un qui dnnera le premier la répnse), une utilisatin du dessin. Les représentatins des élèves ne snt, dans un premier temps, pas tutes cnfrmes à la ntin de carré telle qu elle figure dans l énncé. Beaucup de grupes prpsent 3 rangées de 5 chux dispsées dans un carré «gémétrique». Après un rappel sur l utilisatin exclusive de carrés de type «3 rangées de 3 chux chacune», la plupart des grupes parviennent à la slutin en n utilisant exclusivement que le myen du dessin. Un seul grupe (le plus rapide) s est servi d écritures numériques : 3 x 3 = 9 et 4 x 4 = 16 et = 25 dnc il fera un carré de 16 chux et un autre de 9. Ceux qui n nt pas truvé nt écrit des pératins du type 2 x 13 = 26 u = 25. Pur la deuxième questin, le dessin est à nuveau utilisé par tus les élèves mais certains grupes truvent fastidieux de dessiner des dizaines de chux! Il y a alrs des tentatives pur «mrceler» les 146 chux (146 : 2 u 146 : 4 ). Un grupe d élèves prpse d utiliser le carré de 10. Aussitôt, certains rappellent des résultats déjà utilisés (5 x 5 = 25, 4 x 4 = 16 ) et un répertire des carrés s élabre au tableau. Dès que le calcul 11 x 11 = 121 est prpsé par un grupe, la plupart des élèves parviennent à la slutin.

3 Cmmentaires Les élèves nt bien participé à l ensemble de la recherche ; ils nt fait preuve d piniâtreté et de méthde. Dans un premier temps, les plus en difficulté snt restés blqués dans le système «la réslutin d un prblème nécessite une pératin». Ils en nt dnc prpsé qui ne cnvenaient pas à la situatin décrite (2 x 13, ). Pur la plupart, il a fallu revenir sur la ntin de carré numérique (prduit de 2 nmbres identiques) pur la représentatin schématique (faire 4 clnnes de 4 chux u 5 clnnes de 5 chux ). Ensuite l utilisatin du dessin a été systématique et surtut inadaptée au traitement du grand nmbre (146 chux à planter ). Pur cette situatin, les interventins de l adulte divent être fréquentes de manière à faire émerger les prpsitins des grupes et à rienter les recherches vers des méthdes plus rapides, plus fiables et dnc plus efficaces. C est une situatin intéressante dans la mesure ù elle induit l élève à utiliser, dans un premier temps, une schématisatin, puis à l abandnner pur passer à l abstractin par le recurs au nmbre. Le terme de «carré» induit aussi un aspect gémétrique à une activité qui ne l est pas.

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5 Savez-vus planter les chux? Référence Référence : Cap maths CM2, cycle 3, Paris, Hatier, Situatin Prpser une slutin pur qu un jardinier puisse planter 25 chux en frmant 2 carrés. Même questin pur 146 chux. Pur 25 chux, il utilise 16 chux pur un carré et 9 pur l autre (16 = 4 x 4, 9 = 3 x 3 et = 25). Pur 146 chux, il faudra un carré de 121 chux et un autre de 25 ( = 146). Cmpétences générales - Savir représenter schématiquement une situatin - Passer d une slutin schématique à une slutin algébrique - Utiliser ses cnnaissances (tables de multiplicatin) pur traiter des prblèmes Cmpétences spécifiques - Cnnaître les tables de multiplicatin pur cnstruire la table des carrés - Calculer des smmes, des prduits u des différences de nmbres entiers - Organiser et effectuer mentalement des calculs additifs u sustractifs en s appuyant sur des résultats mémrisés (la table des carrés des nmbres inférieurs à 13) Prlngements pssibles - Truver d autres répnses aux questins psées en permettant l utilisatin de 3, 4 u 5 carrés - Prpser d autres énncés du même type, tujurs en utilisant des carrés - Prpser des énncés qui asscieraient des carrés u des rectangles dnt le nmbre de rangées serait dnné - Intrduire la ntatin du carré d un nmbre