LIMITES ET CONTINUITÉ

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1 LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite l en + lorsque tout intervlle ouvert contennt l dès que est suismment grnd contient toutes les vleurs ( ) On note : lim + ( ) = l On dit lors que l droite d éqution y = l est une symptote horizontle à Eemple : Soit l onction déinie sur ] ; + [ pr ( ) Démontrer que ( ) lim = + = c en + Soit α un réel strictement positi quelconque Eiste-t-il un moment à prtir duquel toutes les α ; + α? vleurs prises pr l onction restent dns l intervlle ] [ On cherche donc tel que α < < + α () α < < + α α < < α α > > α ou α < < α > cr > 0 α - -

2 Donc, quel que soit l intervlle ouvert centré en l, toutes les imges pr des réels strictement supérieurs à sont dns cet intervlle α On en déduit que l droite d éqution y = est une symptote horizontle à c en + Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] ; A[ On dit que l onction dmet pour limite l en lorsque tout intervlle ouvert contennt l dès que est suismment grnd contient toutes les vleurs ( ) On note : lim ( ) = l On dit lors que l droite d éqution y = l est une symptote horizontle à c en Remrques : L limite de est unique Pour déterminer l position de l courbe d une onction pr rpport à son symptote d éqution y = l, il suit d étudier le signe de l lim + ( ) = l équivut à ( ) Théorème : lim = 0 + lim = 0 ; lim = 0 ; lim = 0 + lim l = 0 + ; + ( ) lim = 0 ; lim = 0 + n pour tout entier n de N * lim = 0 pour tout entier n de N * n ) Limite ininie en l inini Déinition 3 : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite + en + lorsque tout intervlle ouvert ] A ; + [ contient toutes les vleurs ( ) dès que est suismment grnd On note : lim + ( ) = + Eemple : Soit l onction déinie sur [ 0 ; + [ pr ( ) = Essyons de «prouver» que lim + ( ) = + Soit un réel B strictement positi quelconque (qui ser notre seuil) Eiste-t-il un moment à B ; +? prtir duquel toutes les vleurs prises pr l onction restent dns l intervlle ] [ On cherche donc tel que >B () Comme est strictement positi, lors > Donc, quel que soit l intervlle ouvert centré ] B ; + [ ( B > 0) réels strictement supérieurs à B sont dns cet intervlle lim = + + On en déduit que ( ) B, toutes les imges pr des Remrque : L limite en + d'une onction est lorsque l onction g déinie sur ; g = pour limite + en + l'intervlle ] B + [ pr ( ) ( ) - -

3 Déinition 4 : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite + en lorsque tout intervlle ouvert ] ; A[ contient toutes les vleurs ( ) dès que est suismment grnd On note : ( ) = lim + Remrque : On peut ire des déinitions équivlentes pour ( ) ( ) lim = + lim = + et pour Théorème : Soit n un entier nturel non nul, lim = + et + ( ) li ( ) ( ) li ( ) Si > 0, lim + b = + et m + b = + Si < 0, lim + b = et m + b = + lim + + = + n lim n + = si si n est pir n est impir 3 Limite d une onction en un réel Déinition 4 : Soit un réel et une onction dont l ensemble de déinition contient un ; + δ δ ; intervlle de l orme ] [ ou ] [ On dit que pour limite + en à guche de (respectivement à droite de ) lorsque tout pour intervlle ouvert de l orme ] ; [ A + vec A réel, contient toutes les vleurs ( ) ssez proche de à guche (respectivement à droite) de On note : lim ( ) = + (respectivement lim ( ) = + ) > < On dit lors que l droite d éqution = est une symptote verticle de c à guche (respectivement à droite) de - 3 -

4 Eemple : Soit l onction déinie sur ] ; + [ pr ( ) = Alors lim ( ) > = + Pour chque vleur de A choisie, on détermine un intervlle I de çon à ce que l courbe bleue se trouve dns l prtie rose Théorème3 : Soit n un entier nturel non nul : - si n est pir, lim = + ; 0 n - si n est impir, lim = + n et lim 0 0 = + 0 > 0 lim = n 0 < 0-4 -

5 4 Opértions sur les limites Soit et g dmettnt chcune une limite, inie ou non, qund tend vers Dns ces énoncés, peut être remplcé pr + ou, mis l et l sont des réels Lorsqu il n y ps de théorème générl permettnt de conclure et qu il ut utiliser d utres démrches, on dit qu on une orme indéterminée, souvent notée FI Ces cs nécessiteront une étude prticulière chque ois qu ils se présenteront Si ) Limite de l somme + g des onctions et g ( ) lim = l ( ) limg = l l l + lors ( ( ) ( ) ) lim + g = l + l + + FI Eemples : Déterminer lim + On = g + h vec g ( ) = et h ( ) = Or lim = + et lim = 0, donc lim + + = + + Déterminer lim ( ) (pr somme de limites) g h vec g ( ) = et ( ) On = Or lim = + et lim = + h =, donc lim ( ) ) Limite du produit g des onctions et g = + (pr produit de limites) Il ut penser à ppliquer l règle de signe d un produit, qui s pplique u limites «ininies» Si ( ) lim = l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 + ( ) limg = l lors ( ( ) ( ) ) lim g = l l Si ( ) lim = + 0 ( ) limg = lors ( ( ) ( ) ) + ou lim g = + FI - 5 -

6 Eemples : Déterminer lim ( + ) 0 On = g h vec g ( ) = + et h ( ) = Or lim ( + ) = et lim = 0, donc ( ) 0 0 Déterminer lim ( ) On = + lim + = 0 (pr produit de limites) 0 g h vec g ( ) = et h ( ) = donc lim ( ) Or lim = + et lim = = (pr produit de limites) 3) Limite du quotient des onctions et g g Cs où l limite de g n est ps nulle : Si lors ( ) lim = l l + + ( ) limg = l ( ) ( ) lim = l g l + ou l >0 l < 0 l > 0 l < 0 + ou + ou FI Cs où l limite de g est nulle : Si lors lim limg ( ) = l > 0 ou + l > 0 ou + l < 0 ou l < 0 ou 0 ( ) ( ) ( ) = lim = g 0 en restnt positive 0 en restnt négtive 0 en restnt positive 0 en restnt négtive + + FI 0 Remrque : «0 en restnt négtive ou positive» signiie que g grde un signe constnt u voisinge de, en + ou en suivnt les cs Eemple : Déterminer lim 0 > 0 On : = g h vec ( ) et ( ) g = h = Or lim ( ) et lim 0 ( en restnt positive) 0 0 > = = 0 > 0, donc lim = 0 0 > - 6 -

7 4 Théorèmes de comprison ) Théorème des gendrmes Une onction est «coincée» entre deu onctions g et h qui tendent vers en +, lors elle-même v tendre vers en + Théorème des gendrmes en l inini (dmis) : Soient, g et h des onctions, et l et A deu réels Si limg ( ) = limh ( ) = l et si, pour tout réel supérieur ou égl à A, g ( ) ( ) h( ) + lors lim ( ) + + = l, cos Eemple : Soit ( ) = Déterminer lim ( ) + cos Pour tout réel strictement positi, cos ; donc, Or lim = 0 et lim = ; d près le théorème des gendrmes, on en déduit que lim = 0 + ( ) - 7 -

8 ) Autres théorèmes de comprison Théorème 5 : Si pour tout m, g ( ) ( ) et si lim ( ) = +, lors limg ( ) + + = + Démonstrtion : Soit un réel B strictement positi quelconque lim = +, lors il eiste un réel M tel que pour tout supérieur ou égl à M, Comme ( ) ( ) B + Soit A le plus grnd des réels M et m, lors, pour tout A, on en même temps g limg = + De plus, pour tout réel supérieur ou égl à M, g ( ) ( ) ( ) ( ) B ; ce qui se trduit pr ( ) + Eemple : Soit ( ) = cos Déterminer lim ( ) + Pour tout réel réel, cos ; donc, cos, et pr suite, cos + Comme ( ) lim = + lim = + et que ( ), on en déduit que ( ) + + Il eiste un théorème qui ressemble u précédent mis vec lim ( ) Théorème 6 : Si pour tout m, g ( ) ( ) + = et si lim ( ) =, lors limg ( ) + + = Remrque : On des théorèmes nlogues lorsque tend vers ou vers un réel 5 Limite d une onction composée Déinition 5 : Soit et g deu onctions On ppelle onction composée de pr g (ou composée de suivie de g), et on note g ( lire «g rond»), l onction déinie pr : ( g )( ) g ( ) = L écriture ( g )( ) g ( ) Ainsi dire que = n de sens que si d et () d g revient à dire que d et ( ) d g Eemple : On considère les onctions : déinie sur R et d g g : déinie sur R* - 8 -

9 g est déinie si, et seulement si d et ( ) g Ainsi d g = R \ {} et, pour tout g d, si, et seulement si, 0 = = d : ( g )( ) g ( ) g est déinie si, et seulement si, d g et g () Ainsi d g = R *,et, pour tout d : ( )( ) g d, ssi 0 g = = Remrque : On noter que les onctions diérentes g et g sont le plus générlement Théorème 7 (dmis) : Soit et g deu onctions, et soient, b et c qui désignent soit un réel, soit +, soit lim = limgx = lim g = c Si ( ) b et si ( ) X b c, lors ( )( ) Eemple : Soit l onction déinie sur ] 0 ; + [ pr ( ) Déterminer lim ( ) On = + g h vec h ( ) = 3 et ( ) = en déduit que lim ( ) + 6 Continuité = + ) Vers l idée de continuité = 3 g Or lim ( 3 ) + = + et lim = + ; on + Le criquet est enermé dns une cuticule inetensible L tille du criquet, s ccroît brusquement pr pliers chque ois qu il se débrrsse de son enveloppe rigide, c est-àdire chque ois qu il mue Les biologistes disent que le criquet une croissnce «discontinue» Le tbleu ci-dessous donne l tille du criquet en onction de son âge Age du criquet De 0 à 6 jours eclu De 6 à 8 jours eclu De 8 à 0 jours eclu De 0 à 3 jours eclu De 3 à 6 jours eclu A prtir du 6 ème jour Tille du criquet 9 mm mm 6 mm mm 7 mm 40 mm ) Compléter le grphique suivnt qui représente l onction suivnte : âge en jours tille en mm : ( ) ( ) - 9 -

10 Tille en mm 0 Age en jours ❶ L courbe précédente d bscisse 3? ❷ L onction dmet-elle une limite en 3? c peut-elle être trcée sns lever le cryon utour du point b) Le grphique ci-dessous représente l onction suivnte : âge en jours msse en mg g : ( ) ( ) ❶ Cette courbe peut-elle être trcée sns lever le cryon? ❷ L onction g dmet-elle une limite en 3? - 0 -

11 Conclusion : Si une onction déinie en un réel n dmet ps de limite en, lors il est impossible de trcer s courbe sns lever le cryon utour du point d bscisse Lorsque l onction dmet une limite en, qui est égle à ( ), on dit que est continue en ) Déinition Déinition 6 : Soit une onction déinie sur un intervlle I Soit un réel pprtennt à I On dit que est continue en, si lim ( ) = ( ) Dire que est continue sur I signiie que est continue en tout point de I Eemple : L onction est une onction continue en tout point de R, elle est donc continue sur R On peut le justiier en démontrnt que lim =, c'est-à-dire en démontrnt que est ussi proche que l'on veut de lorsqu'on prend suismment proche de L prbole représentnt l onction peut être trcée sns lever le cryon de l euille Remrques : Lorsque est l borne d'un intervlle ermé, on étudie l limite à guche ou l limite à droite en selon les cs lim = lim + h = ( ) ( ) équivut à ( ) ( ) h0 3) Dérivbilité et continuité Déinition 8 (dmis) : Soit une onction dérivble sur un intervlle I et un réel de I Si est dérivble en, lors est continue en Remrques : Cette propriété nous donne un moyen pour démontrer qu une onction est continue sur un intervlle I ; il suit en eet de démontrer que cette onction est dérivble sur I L réciproque de cette propriété est usse Pr eemple, l onction est continue en 0, mis n est ps dérivble en 0 4) Tbleu de vritions et continuité Dns un tbleu de vritions, on ne coupe ps les lèches sur les intervlles où l onction est continue et monotone Eemple : Voici le tbleu de vritions de l onction déinie pr ( ) = : + Ce tbleu représente une onction continue sur ] ; [ et sur ] ; + [ - -

12 5) Fonctions de réérence Propriété (dmise) : Les onctions polynômes, les onctions rtionnelles, l onction rcine crrée, les onctions sinus et cosinus sont continues sur tout intervlle sur lequel elles sont déinies L somme, le produit, le quotient, l composée de onctions continues est une onction continue sur tout intervlle sur lequel elle est déinie 8 Théorème des vleurs intermédiires ) Activité Posons le problème suivnt : c est l représenttion grphique d'une onction, et b sont deu réels du domine de déinition de (on suppose que < b ), «quel que soit le réel k choisi entre ( ) et ( b) eiste-t-il un réel de [ ; b ] tel que ( ) = k ou, grphiquement,?» «quel que soit le réel k choisi entre ( ) et ( b), c sur [ ; ] l droite d d'éqution y = k coupe-t-elle b?» Quelques eemples Figure : ( ) =, = et = 3 b Figure : ( ) =, = et b = Quel que soit le réel k compris entre ( ) et ( b), d coupe c une seule ois Quel que soit le réel k compris entre ( ) et ( b), d ne coupe ps c - -

13 Figure 3 : ( ) cos( ) = +, = 0 et b = 4 Figure 4 : ( ) = ( E ( )), = 0,5 et b =,75 Quel que soit le réel k compris entre ( ) et ( b), d coupe c u moins une ois Quel que soit le réel k compris entre ( ) et ( b), d coupe c deu ois Conjecture Une condition suisnte pour que d coupe dns tous les cs u moins une ois être que l'on puisse trcer c entre et b "sns lever le cryon" Cette condition n est ps nécessire comme le montre l igure 4 ) Théorème des vleurs intermédiires c semble Théorème des vleurs intermédiires (dmis) : Soit une onction déinie et continue sur un intervlle I, et, et b deu réels de I et b, il eiste u moins un réel c compris entre et b Pour tout réel k compris entre ( ) ( ) c k tel que ( ) = Ce théorème signiie que si les hypothèses sont rélisées lors pour tout réel k entre et b, l'éqution ( ) = k d'inconnue dmet u moins une solution entre et b ( ) ( ) Ce théorème trduit de çon rigoureuse l propriété suivnte : «A et B sont deu points d'bscisses et b de l courbe c d'une onction Si on peut trcer c entre A et B sns lever le cryon, lors toute droite d'éqution y = k et b, coupe l courbe c en u moins un point» où k est un réel compris entre ( ) ( ) L continuité de est une condition suisnte pour ssurer l'eistence de c, elle n'est ps nécessire (voir l igure 4 de l ctivité précédente) - 3 -

14 3) Corollire du théorème des vleurs intermédiires Théorème 9 : Soit une onction déinie, continue et strictement monotone sur [ ; b ] Pour tout réel k compris entre ( ) et ( b ), il eiste un et un seul réel c dns [ ; ] ( c) = k 4) Eemple Démontrer que l éqution cos = une unique solution dns 0 ; ❶ Démonstrtion de l eistence et de l unicité de l solution : Soit l onction déinie sur 0 ; pr ( ) cos( ) b tel que = Montrons que s nnule une seule ois sur 0 ; L onction est dérivble sur R, donc sur 0 ;, en tnt que somme de deu onctions dérivbles sur R On en déduit lors que l onction est continue sur 0 ; Pour tout de 0 ; = Or sin 0, d où sin ; et pr suite, ( ) < 0, ( ) sin L onction est donc continue et strictement décroissnte sur 0 ; π π De plus, ( 0) = 0 = et = ; donc le réel 0 est compris entre ( ) π 0 et Les hypothèses du corollire du théorème des vleurs intermédiires étnt vériiées, on en déduit que l éqution ( ) = 0 dmet une seule solution c dns 0 ; ❷ Justiiction ttendue dns une copie : Après voir étudié le sens des vritions de, on construit son tbleu de vritions : 0 c ( ) π ( ) 0 π - 4 -

15 Puis, on écrit, «pr lecture du tbleu de vritions, l onction s nnule une ois et une seule dns 0 ; ❸ Déterminer un encdrement u centième de l solution À l'ide de l clcultrice, il est possible d'eectuer des blyges successis en ugmentnt l précision L solution est comprise entre 0 et L solution est comprise entre 0 et 0, L solution est comprise entre 0 et 0,0 Remrque : Une utre méthode consiste à déterminer un encdrement pr dichotomie 5) Remrques Ce théorème peut s'étendre à une onction déinie, continue et strictement monotone sur un intervlle ouvert éventuellement non borné en utilisnt les limites de u bornes de cet intervlle Pr eemple : Si est une onction continue et strictement croissnte sur ; b, lors pour tout réel k dns l'intervlle ( ) ; lim ( ), l éqution ( ) = l intervlle ; b b < b k dmet une solution unique dns - 5 -

16 c b l ( ) ( ) k Si est une onction continue et strictement croissnte sur [ ; + [, lors pour tout réel k dns l'intervlle ( ) ; lim ( ) +, l éqution ( ) l intervlle [ ; + [ = k dmet une solution unique dns c + l ( ) ( ) k Si est continue et strictement monotone sur ; ( ) = 0 une solution et une seule sur ; b b et si ( ) ( ) < 0 b, lors l'éqution - 6 -