Polynômes et fractions rationnelles

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1 Prépa CAPES UPMC Mattheu Romagny Polynômes et fractons ratonnelles Table des matères 1 Constructon de l'anneau des polynômes 1 2 Dvson eucldenne et conséquences 4 3 Fonctons polynomales et dérvaton 6 4 Plus grand commun dvseur et plus pett commun multple 8 5 Aspects calculatores 11 6 Fractons ratonnelles 12 Notre programme est d'étuder l'arthmétque dans l'anneau Z des enters relatfs et dans l'anneau k[x] des polynômes à coecents dans un corps k. La théore dans ces deux cas repose sur la dvson eucldenne et est tout à fat smlare. Nous nous concentrons c unquement sur l'anneau k[x]. Tout au long de ce cours, on xe un corps k. 1 Constructon de l'anneau des polynômes Avant même de donner une dénton formelle des polynômes, nous savons ben, ne serat-ce que pour avor mané le trnôme ax 2 + bx + c depus longtemps, qu'un polynôme est une expresson de la forme a n X n +a n 1 X n 1 + +a 1 X +a 0, où les a sont des éléments de k et X est une ndétermnée. Nous savons auss comment addtonner ou multpler deux polynômes. Pour dénr l'anneau des polynômes, la seule queston qu se pose est de donner un sens mathématque précs à la phrase une expresson de la forme a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. On résout ce problème en dentant une telle expresson à la sute des coecents (a ) 0 qu y apparassent (convenons que a = 0 pour > n). Dans la sute, nous drons qu'une sute (a ) 0 est presque nulle s elle possède un nombre n de coecents non nuls. 1.1 Théorème. L'ensemble A des sutes (a ) 0 presque nulles à valeurs dans k est un sous-k-espace vectorel de l'espace de toutes les sutes à valeurs dans k. De plus, la lo nterne déne par déf (a ) (b ) = (c ) où c = a r b s pour tout 0 munt A d'une structure d'anneau commutatf dont le neutre pour la lo est la sute 1 A déf = (1, 0, 0,... ) et telle que l'applcaton k A qu envoe λ sur λ1 A est un morphsme njectf d'anneaux. r+s= 1

2 Preuve : On dot montrer que A est un sous-espace vectorel, que le produt (a ) (b ) est dans A, que la lo est assocatve et commutatve d'élément neutre 1 A, et qu'elle est dstrbutve sur +. Le fat que A est un sous-k-espace vectorel de l'espace k N des sutes à valeurs dans k est un exercce facle. Mantenant, soent (a ) et (b ) deux sutes dans A. Vérons que la sute (c ) = (a ) (b ) est dans A. Supposons que a r = 0 pour r > d et b s = 0 pour s > e. Alors s a r b s 0, on dot avor r d et s e donc r + s d + e. Par contraposée, s > d + e alors pour chaque pare (r, s) telle que r + s = on a a r b s = 0 donc c = 0. Cec montre que la sute (c ) est presque nulle, donc dént une lo nterne sur A. Le fat que cette lo est assocatve revent à vor (nous lassons à la lectrce le son de le fare en détal) que le coecent d'ncde dans les deux expressons ((a ) (b )) (c ) et (a ) ((b ) (c )) est égal dans les deux cas à a r b s c t. r+s+t= Il est clar que est commutatve, car la formule c = a r b s est symétrque en (a ) et (b ). En utlsant la formule qu donne le produt et le fat que 1 A est égal à la sute (δ,0 ), on vot mmédatement que 1 A est neutre pour le produt. Enn, pour montrer que est dstrbutve sur + l sut d'observer que la formule c = a r b s est blnéare,.e. lnéare en (a ) (quand (b ) est xé) et (b ) (quand (a ) est xé). Dans la sute, comme d'habtude, on écrra les produts dans A en omettant le sgne. 1.2 Dénton. L'anneau A de la proposton précédente est appelé l'anneau des polynômes en une varable à coecents dans k. Et l'ndétermnée X de notre trnôme fondateur ax 2 + bx + c, qu'est-elle devenue? Sa sute de coecents est ben sûr (0, 1, 0, 0,... ) et c'est sous cette forme que nous allons lu (re-)donner ve. 1.3 Lemme. (1) Sot X le polynôme (0, 1, 0, 0,... ). Alors X k = (0,..., 0, 1, 0,... ) pour tout enter k 1, où le coecent non nul est à l'ndce k. En d'autres termes, on a X k = (a ) avec a = δ,k. (2) Sot P = (a ) un polynôme, avec a = 0 s > n. Alors, on a P = a n X n +a n 1 X n 1 + +a 1 X +a 0 où l'on note a 0 au leu de a 0 1 A. Preuve : On démontre (1) par récurrence sur k. Pour k = 1 l n'y a ren à démontrer. S l'on suppose que X k = (δ,k ) 0, alors le coecent d'ncde de X k+1 = X k X est égal à la somme des δ r,k δ s,1, portant sur tous les ndces r, s tels que r + s =. Ce terme est non nul seulement s r = k et s = 1, donc le seul coecent non nul de X k+1 est celu d'ndce = r + s = k + 1, et l vaut 1. Cec démontre la proprété de récurrence au cran k + 1. La preuve de (2) en découle drectement en utlsant la lo externe et l'addton dans l'espace des sutes, car le polynôme a X est égal à la sute dont le seul coecent non nul est a en poston. 1.4 Déntons. On appelle X une ndétermnée, et on notera dorénavant k[x] l'anneau des polynômes en l'ndétermnée X à coecents dans k. Compte tenu du théorème 1.1, on dente k au sous-anneau de k[x] des polynômes de la forme λ = λ1 k[x], que l'on appelle les polynômes constants. Enn, un polynôme de la forme a X est appelé un monôme. 1.5 Déntons. Sot P = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 un polynôme en X. (1) S P 0, on appelle degré de P et l'on note deg(p ) le plus grand des ndces tels que a 0. S P = 0, on pose deg(p ) =. 2

3 (2) S P 0, on appelle valuaton de P et l'on note val(p ) le plus pett des ndces tels que a 0. S P = 0, on pose val(p ) = +. (3) Supposons que deg(p ) = n. Alors a n X n est appelé le monôme domnant de P et a n est appelé le coecent domnant de P. 1.6 Remarques. (1) Il est souvent commode, lorsqu'on n'a pas explctement beson du degré, de noter P = a X ou P = =0 a X. Ce n'est là qu'une conventon d'écrture, qu ne porte pas à conséquence tant que l'on n'ouble pas que seul un nombre n des a est non nul. (2) Il faut prendre garde au fat que s, dans l'écrture P = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0, on n'a pas précsé que a n 0, alors le degré de P n'est pas égal à n a pror. De même, la valuaton de P n'est pas égale à 0 a pror. 1.7 Lemme. Soent P et Q deux polynômes. Alors, on a : (1) deg(p Q) = deg(p ) + deg(q), (2) deg(p + Q) max(deg(p ), deg(q)) avec égalté s deg(p ) deg(q), (3) val(p Q) = val(p ) + val(q), (4) val(p + Q) mn(val(p ), val(q)) avec égalté s val(p ) val(q). Preuve : Notons P = a X, Q = b j X j, p = deg(p ), q = deg(q). (1) S P et Q sont non nuls, la formule donnant le coecent d'ncde de P Q montre que ce coecent est égal à a p b q s = p + q et à zéro s > p + q. Cec montre que deg(p Q) = p + q. S P ou Q est nul, les deux termes à examner sont égaux à et l'égalté est vérée. (2) S P et Q sont non nuls et s > max(p, q), on a a +b = 0+0 = 0 donc deg(p +Q) max(p, q). S de plus p q, dsons par exemple que p > q, alors le coecent d'ncde p de P + Q est égal à a p donc l y a égalté. S P ou Q est nul, par exemple dsons que P = 0, alors max(deg(p ), deg(q)) = deg(q) et l'négalté est une égalté. (3) et (4) se démontrent de la même façon. 1.8 Proposton. L'anneau k[x] est ntègre : s P et Q sont deux polynômes non nuls de k[x], alors leur produt P Q est non nul. Preuve : S P, Q ne sont pas nuls, leurs coecents domnants a p, b q sont des éléments non nuls de k. Le coecent domnant de P Q est a p b q qu est non nul, donc P Q Proposton. Les éléments nversbles de k[x] sont les polynômes constants non nuls. Preuve : S P nversble dans k[x], l exste Q tel que P Q = 1. En partculer, P et Q sont non nuls, et deg(p ) + deg(q) = deg(1) = 0. Cec n'est possble que s deg(p ) = deg(q) = 0 donc P et Q sont constants. Récproquement, l est clar qu'un polynôme constant non nul est nversble. 3

4 2 Dvson eucldenne et conséquences La sute du cours consste à étuder l'arthmétque dans k[x]. L'Arthmétque est l'actvté qu consste à explorer les relatons de dvsblté dans un anneau ntègre xé, et l n'est pas nutle de décrre brèvement la stuaton générale. (Rappel : A est ntègre s ab = 0 a = 0 ou b = 0.) 2.1 Déntons. Soent A un anneau commutatf untare ntègre et p, a, b des éléments de A. (1) On dt que a dvse b, et on écrt a b, s'l exste c A tel que b = ac. On dt auss que a est un dvseur de b, ou que b est un multple de a. (2) On appelle déal prncpal engendré par a, et on note (a), l'ensemble des multples de a. (3) On dt que a et b sont assocés, et on écrt a b, s'l exste λ A nversble tel que a = λb. (4) On dt que p est rréductble s'l est non nul, non nversble et s pour tous a, b, on a : p = ab entraîne que a ou b est nversble. 2.2 Remarques. (1) Au contrare de l'ensemble (a) des multples de a, qu est un déal, l'ensemble de ses dvseurs ne possède pas de structure addtve smple. (2) Par dénton, a b s et seulement s b (a). (3) (a b et b a) s et seulement s a et b sont assocés. La relaton est une relaton d'équvalence sur k[x], et auss sur k[x] \ {0}. (4) Les générateurs d'un déal prncpal sont tous assocés entre eux. (5) On a (a) = A s et seulement s a est nversble dans A. (6) Une écrture p = ab, avec a et b non nversbles, est parfos appelée une factorsaton non trvale. Ans, p est rréductble s et seulement s'l ne possède pas de factorsaton non trvale. Toutes les proprétés arthmétques de k[x] découleront du résultat fondamental suvant. 2.3 Théorème de dvson eucldenne. Soent A et B deux polynômes avec B 0. Alors, l exste un unque couple de polynômes (Q, R) tel que : (1) A = BQ + R, (2) deg(r) < deg(b). Cette écrture s'appelle la dvson eucldenne de A par B. On dt que A est le dvdende, B le dvseur, Q le quotent et R le reste. Preuve : Commençons par démontrer l'exstence du couple (Q, R). S deg(a) < deg(b), on peut prendre Q = 0 et R = A. On suppose désormas que deg(a) deg(b). Notons A = a n X n + + a 0 et B = b m X m + +b 0, avec b m 0. La preuve consste en un algorthme de constructon du polynôme Q, qu n'est pas que théorque : c'est celu que l'on met en pratque sur les exemples. On construt par récurrence, que pour tout {0,..., n m + 1}, un polynôme Q tel que deg(a BQ ) n. Pour = 0, on peut chosr Q 0 = 0. Supposons mantenant que Q 0,..., Q sont construts pour n m. Alors, on peut écrre A BQ = c n X n + + c 0 avec deg(a BQ ) n m. Posons Q +1 = Q + c n b 1 m X n m. On a : A BQ +1 = A BQ Bc n b 1 m X n m = (c n X n + + c 0 ) (b m X m + + b 0 )c n b 1 m X n m = c n X n b m c n b 1 m X n + (termes de degré n 1) }{{} =0 4

5 de sorte que deg(a BQ +1 ) n ( + 1). Cec termne la démonstraton par récurrence. Pour = n m + 1, on obtent un polynôme Q = Q n m+1 vérant deg(a BQ) m 1. Il sut de poser R = A BQ pour obtenr un couple vérant les condtons du théorème. Montrons mantenant que le couple (Q, R) est unque. S l'on dspose d'un second couple soluton (Q, R ), alors A = BQ + R = BQ + R entraîne que B(Q Q) = R R. Ans le polynôme R R est multple de B, or par hypothèse deg(r R ) max(deg(r), deg(r )) deg(b) 1. Cec n'est possble que s R R = 0. On en dédut B(Q Q) = 0 donc Q Q = Remarque. Dans l'énoncé du théorème, les notatons sont choses pour être harmoneuses avec les notatons usuelles de la dvson eucldenne dans Z. Dans la sute, nous revendrons aux notatons P, Q,... pour les polynômes. C'est le cas dès la preuve du corollare 2.5. Attenton de ne pas vous y perdre! Voc des conséquences extrêmement mportantes du théorème de dvson eucldenne. 2.5 Corollare. Tout déal de l'anneau k[x] est prncpal. Preuve : Sot I un déal de k[x]. S I = {0}, l est prncpal engendré par 0. Snon, l exste un polynôme P non nul dans I. Chosssons un P de plus pett degré parm tous les éléments non nuls de I, et montrons que tout élément F I est multple de P. La dvson eucldenne de F par P s'écrt F = P Q + R avec deg(r) < deg(p ). Comme P et F sont dans I, les proprétés d'un déal font que R = F P Q I. Comme R est de degré < deg(p ) et P est de degré mnmal parm les éléments non nuls de I, on dot avor R = 0. Cec montre que P dvse F. 2.6 Lemme d'euclde. Soent P, A, B tros polynômes. S P est rréductble et P AB, alors P A ou P B. Preuve : Supposons que P A et montrons que P B. Consdérons l'déal I = (A, P ) engendré par A et P. D'après le corollare 2.5, cet déal est prncpal : I = (D) pour un certan polynôme D. Comme A I et P I, l exste A, P tels que A = DA et P = DP. Comme P A, la premère de ces deux égaltés nous dt que D P. Comme P est rréductble, la seconde nous dt que D 1. Cec sgne que D est nversble, s ben que I = (D) = A. Il en découle que 1 I, donc l exste deux polynômes U, V tels que 1 = UA + V P. Or par hypothèse l exste Q tel que AB = P Q. On a donc B = BUA + BV P = UP Q + BV P = (UQ + BV )P qu est multple de P. 2.7 Théorème de décomposton en facteurs rréductbles. Pour tout polynôme non nul F, l exste une factorsaton F = λp α Pr αr où λ k, les P sont des polynômes untares rréductbles dstncts et les α sont des enters 1. Cette factorsaton est unque à l'ordre des facteurs près,.e. s on a deux factorsatons F = λp α Pr αr = µq β Qβs s alors λ = µ, r = s, et l exste une permutaton σ S r telle que P = Q σ() et α = β σ(). 5

6 Preuve : Démontrons d'abord l'exstence. Notons F = λf 1, où λ est le coecent domnant de F. En prenant les degrés, on vot que dans une factorsaton F 1 = P α Pr αr en produt de polynômes untares éventuellement non rréductbles, le nombre de facteurs α α r est borné par deg(f ). Consdérons une factorsaton dans laquelle le nombre de facteurs est maxmal. S un seul des P n'état pas rréductble, l possèderat une factorsaton non trvale P = QR et cec ferat augementer le nombre de facteurs, ce qu n'est pas possble. Donc une telle factorsaton maxmale est ben une factorsaton en rréductbles, comme demandé. Montrons mantenant l'uncté à l'ordre près, par récurrence sur deg(f ). S deg(f ) = 0, la seule décomposton de F ne possède aucun facteur rréductble et l n'y a ren à démontrer. S deg(f ) 1, soent deux factorsatons en rréductbles untares : F = λp α P αr r = µq β Qβs s. Alors λ = µ = le coecent domnant de F. De plus, P 1 dvse Q β Qβs s donc d'après le lemme d'euclde 2.6, P 1 dvse l'un des Q j. Qutte à réordonner, on peut supposer que j = 1. Comme P 1 et Q 1 sont rréductbles untares, en fat P 1 = Q 1. On peut donc smpler de part et d'autre par P 1, et en applquant l'hypothèse de récurrence pour les décompostons on obtent le résultat. λp α Pr αr = λq β Q βs s, Dans la sute, on utlsera parfos le sgle DFI comme raccourc pour l'expresson décomposton en facteurs rréductbles. Dans une DFI comme c-dessus, l'enter α est appelé la multplcté du facteur P ; on le note parfos auss α (F ). 3 Fonctons polynomales et dérvaton Dans cette parte, nous formalsons le len entre un polynôme P, la foncton P qu'l dént et sa dérvée P. Pus nous nous ntéressons aux racnes de ces polynômes (les zéros de P et de P ) et à leurs relatons avec l'rréductblté. Notons F(k, k) l'ensemble des applcatons de k dans k. Il est naturellement mun d'une structure de k-espace vectorel et d'une structure d'anneau, telles que pour tous λ k et (f, g) F(k, k) 2, on a : (f + g)(x) déf = f(x) + g(x), (λf)(x) déf = λf(x), (fg)(x) déf = f(x)g(x). 3.1 Dénton. Sot P = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 un polynôme à coecents dans k. La foncton polynomale assocée à P est la foncton P déne par P (x) déf = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Dans la pratque, s x k, on note en fat ben souvent P (x) au leu de P (x). 3.2 Proposton. L'applcaton k[x] F(k, k) qu à P assoce P est un morphsme de k-espaces vectorels et d'anneaux. Preuve : C'est presque évdent, et lassé au lecteur. Pour les fonctons susamment régulères dénes sur le corps des réels k = R, on dspose de l'opératon de dérvaton. Celle-c est déne par un procédé analytque, mas dans le cas des polynômes, les formules ben connues montrent qu'elle peut être déne pour n'mporte quel corps k. Elle est tout auss mportante dans ce degré de généralté. 6

7 3.3 Dénton. Soent P = a n X n + a n 1 X n a 2 X 2 + a 1 X + a 0 un polynôme à coecents dans k. On dént le polynôme dérvé de P par P (X) déf = na n X n 1 + (n 1)a n 1 X n a 2 X + a Remarque. Sur les corps R ou C (ou plus généralement sur un corps de caractérstque 0), on peut auss dénr la prmtve de P qu s'annule en 0 par ( X déf 0 P )(X) = 1 n+1 a nx n n a n 1X n a 2X a 1X 2 + a 0 X. Sur un corps de caractérstque égale à un nombre premer p, tel que le corps à p éléments k = F p, on ne peut cependant pas dénr d'ntégraton : ans, le polynôme X p 1 n'a pas de prmtve. La rason en est que la dérvée d'un monôme de la forme X kp (k 0 enter) est nulle, s ben que la dérvée d'un polynôme ne possède aucun monôme de la forme X kp Proposton. L'opérateur de dérvaton D : k[x] k[x] dén par D(P ) = P est une applcaton lnéare. De plus, pour tout enter n 0, le sous-espace E n = k[x] n des polynômes de degré nféreur ou égal à n est D-stable et D En est nlpotent d'ndce n. Preuve : Ces fats sont ben connus et facles à vérer. 3.6 Théorème (Formule de Taylor). Sot k = R ou C, ou plus généralement un corps de caractérstque 0. Alors pour tout polynôme P de degré n et pour tout h k, on a : P (X + h) = P (X) + hp (X) + h2 2 P (X) + + hn n! P (n) (X), où P () désgne la dérvée -ème de P, pour tout enter. Preuve : Comme D est lnéare, l sut d'établr la formule pour un monôme P (X) = X n. Dans ce cas, un calcul drect montre que pour un enter n, on a P () (X) = n(n 1)... (n + 1)X n. En utlsant la formule du bnôme de Newton, on a donc : ce qu'l fallat démontrer. P (X + h) = (X + h) n = n =0 ( ) n h X n = n =0 h! P () (X), 3.7 Proposton. Soent P k[x] et r k. Alors : (1) (X r) dvse P s et seulement s P (r) = 0, (2) (X r) 2 dvse P s et seulement s P (r) = P (r) = 0. Preuve : (1) La dvson eucldenne de P par X r s'écrt P = (X r)q + R avec deg(r) < 1, c'est-à-dre que R est constant. En évaluant cette égalté en r, on vot que P (r) = 0 s et seulement s R = 0, ou encore, s et seulement s X r dvse P. (2) S P (X) = (X r) 2 Q(X), un calcul drect montre que P (r) = P (r) = 0. Récproquement, consdérons la dvson eucldenne de P par (X r) 2, qu s'écrt P = (X r) 2 Q + ax + b, avec a, b dans k. On a alors P (r) = ar + b et P (r) = a, donc s P (r) = P (r) = 0, on trouve a = b = 0 et le polynôme (X r) 2 dvse P. 7

8 3.8 Déntons. Une racne de P est un élément r k tel que P (r) = 0. La multplcté de r dans P est la multplcté de (X r) dans la décomposton en facteurs rréductbles de P. On la note parfos mult P (r). Une racne de P est dte multple s sa multplcté est au mons égale à Lemme. Dans l'anneau k[x], on a : (1) Un polynôme rréductble est de degré au mons 1. (2) Tout polynôme de degré 1 est rréductble. (3) Un polynôme rréductble possède une racne s et seulement s'l est de degré 1. (4) Un polynôme de degré 2 ou 3 est rréductble s et seulement s'l n'a pas de racne. Preuve : (1), (2), (3) sont clars. Passons à (4). Sot P un polynôme de degré 2 ou 3. S'l n'est pas rréductble, l possède une factorsaton non trvale P = AB, et A ou B dot être de degré 1 donc posséder une racne. Récproquement, s P possède une racne r, la proposton 3.7 nous dt que X r dvse P, qu n'est donc pas rréductble Dénton. Un corps k est dt algébrquement clos s tout polynôme P k[x] non constant possède une racne. Ans, dans un corps algébrquement clos, les polynômes rréductbles sont les polynômes de degré Théorème. Le corps C des nombres complexes est algébrquement clos. Preuve : Admse. 4 Plus grand commun dvseur et plus pett commun multple Dans toute la sute, notons {P } I la famlle de tous les rréductbles untares de k[x]. Il est souvent commode d'utlser une écrture F = λ I P α où tous les α sont nuls, sauf un nombre n. L'uncté dans le théorème 2.7 sgne mantenant que λ k et les multplctés α 0 sont unquement détermnés. 4.1 Lemme. Soent F, G deux polynômes non nuls et F = λ I P α, G = µ I P β leurs décompostons en rréductbles dans k[x]. Alors F dvse G s et seulement s α β pour tout. Preuve : S F dvse G, l exste H tel que G = F H. Notons H = ν I P γ rréductbles. On a donc : ( ) ( ) µ I P β = λ I P α ν I P γ. sa décomposton en Par uncté dans la DFP, on obtent β = α + γ α. Récproquement, s α β pour tout, alors γ = β α 0. Le polynôme H = λ 1 µ I P γ vére évdemment G = F H, donc F G. 8

9 4.2 Proposton. Soent F, G deux polynômes non nuls et F = λ I P α, G = µ I P β leurs décompostons en rréductbles. Sot D un polynôme. Alors, les condtons suvantes sont équvalentes : (1) D dvse F et G, et tout dvseur de F et G dvse D, (2) D est un générateur de l'déal (F, G), (3) D est assocé au polynôme I P mn(α,β ). Preuve : (1) (2). D'après le corollare 2.5, l'déal (F, G) est prncpal ; notons E un de ses générateurs. Comme F et G appartennent à (F, G) = (E), l exste F, G tels que F = EF et G = EG. Comme par hypothèse tout dvseur de F et G dvse D, on trouve que E dvse D. Par alleurs D dvse F et G, donc l exste F, G tels que F = DF et G = DG. Cec montre que F et G sont dans (D), donc (E) = (F, G) (D). On en dédut que D dvse E. Fnalement, D est assocé à E donc c'est un générateur de (F, G). (2) (1). Comme (F, G) = (D), en partculer F et G sont dans (D) donc multples de D. Par alleurs, le fat que D (F, G) montre qu'l exste U, V tels que D = UF + V G. S E est un dvseur de F et G, l exste F, G tels que F = EF et G = EG donc D = UF + V G = E(UE + V G ). Cec montre que tout dvseur de F et G dvse D. (1) (3). Notons D 0 le polynôme I P mn(α,β ). D'après le lemme, les polynômes E = ν I P γ qu sont dvseurs communs de F et G vérent γ α et γ β pour tout, donc γ mn(α, β ). Donc, un tel dvseur commun dvse D 0. En partculer D dvse D 0. Comme D 0 lu-même est un dvseur de F et G, d'après l'hypothèse sur D, l dvse D. Fnalement D et D 0 sont assocés. (3) (1). Ce qu vent d'être dt montre clarement que s D = ν I P mn(α,β ) alors D dvse F et G, et que tout dvseur de F et G dvse D. 4.3 Dénton. Tout polynôme D vérant l'une des proprétés équvalentes de la proposton 4.2 est appelé un plus grand commun dvseur de F et G, et on note par abus D = pgcd(f, G). On dt que F et G sont premers entre eux s pgcd(f, G) = 1. La notaton D = pgcd(f, G) est ben sûr abusve car le pgcd n'est dén qu'à un élément nversble près. S on le souhate, on peut évter cet abus en chosssant le pgcd untare par dénton. Par alleurs, on peut noter que dans la démonstraton de 4.2, le fat que F et G soent non nuls est utle surtout pour pouvor consdérer leurs DFI. S l'un des deux polynômes F ou G est nul (mas pas les deux), on peut encore dénr le pgcd comme générateur de l'déal (F, G). 4.4 Remarque. On peut généralser la noton de pgcd au cas d'un nombre n de polynômes F 1,..., F k. Notons F j = λ j I P α j, les DFI. On montre que les condtons suvantes sont équvalentes : (1) D dvse chacun des F j, et tout dvseur commun des F j dvse D, (2) D est un générateur de l'déal (F 1,..., F k ), (3) D est assocé au polynôme I P mn(α 1,,...,α k, ). On note alors par abus D = pgcd(f 1,..., F k ). On dt que les F j sont premers entre eux dans leur ensemble s pgcd(f 1,..., F k ) = 1. Attenton : s F 1,..., F k sont premers entre eux dans leur ensemble, deux polynômes prs au hasard parm eux ne sont pas nécessarement premers entre eux. Ans, s P, Q, R sont tros polyômes rréductbles non assocés, les polynômes P Q, P R et QR sont premers entre eux dans leur ensemble alors qu'aucune pare ne donne deux polynômes premers entre eux. 9

10 4.5 Proposton. Soent F, G deux polynômes non nuls et F = λ I P α, G = µ I P β leurs décompostons en rréductbles. Sot M un polynôme. Alors, les condtons suvantes sont équvalentes : (1) M est multple de F et G, et tout multple de F et G est multple de M, (2) M est un générateur de l'déal (F ) (G), (3) M est assocé au polynôme I P max(α,β ). Preuve : La démonstraton est smlare à celle de la proposton 4.2, et nous l'omettrons. 4.6 Dénton. Tout polynôme M vérant l'une des proprétés équvalentes de la proposton 4.5 est appelé un plus pett commun mutple de F et G, et on note par abus M = ppcm(f, G). Comme dans la remarque 4.4, on peut généralser la noton de ppcm au cas d'un nombre n de polynômes F 1,..., F k. Il exste une relaton fondamentale entre le pgcd et le ppcm : 4.7 Proposton. Soent F et G deux polynômes non nuls, D leur pgcd, M leur ppcm. Alors, on a : DM F G. Preuve : Notons F = λ I P α et G = µ I P β les DFI. En utlsant les propostons 4.2, 4.5 et la formule élémentare mn(α, β) + max(α, β) = α + β, on trouve : ( ) ( ) DM P mn(α,β ) P max(α,β ) = P mn(α,β )+max(α,β ) = P α +β F G. I I I I 4.8 Théorème de Bézout. Soent P, Q deux polynômes non nuls et D leur pgcd. Alors, l exste deux polynômes U et V tels que D = UP + V Q. De plus, P et Q sont premers entre eux s et seulement s'l exste deux polynômes U et V tels que 1 = UP + V Q. Un couple (U, V ) comme dans le théorème est appelé un couple de Bézout pour P et Q. Preuve : On a vu dans la proposton 4.2 qu'un pgcd est un générateur de l'déal (P, Q). En partculer D (P, Q) d'où l'exstence annoncée de U et V. S P et Q sont premers entre eux, on a donc 1 = UP + V Q, et récproquement s'l exste U et V tels que 1 = UP + V Q alors 1 (P, Q) donc (P, Q) = A et cet déal est engendré par 1. Donc 1 est un pgcd de P et Q. 4.9 Lemme de Gauss. Soent A, B, C tros polynômes. S A est premer avec B, alors A BC mplque A C. Preuve : L'hypothèse que A est premer avec B sgne que A et B n'ont aucun facteur rréductble commun. En écrvant les DFI de A, B et C, le résultat en découle ausstôt. 10

11 4.10 Proposton. Soent P, Q, D des polynômes non nuls. Alors D = pgcd(p, Q) (P, Q ) k[x] 2 t.q. { P = DP, Q = DQ pgcd(p, Q ) = 1. Preuve : C'est un exercce facle, en utlsant les DFI de P, Q et D Proposton. Soent G un polynôme et F 1,..., F k des polynômes premers entre eux deux à deux. S chaque F j dvse G, alors le produt F 1... F k dvse G. Preuve : Pour 1 j k, sot E j l'ensemble des facteurs rréductbles de F j. Ic encore, par hypothèse, les ensembles E 1,..., E k sont dsjonts. En écrvant les DFI de tous les polynômes en jeu, le résultat en découle. 5 Aspects calculatores En arthmétque, décder s un polynôme donné P est ou non rréductble, et a fortor calculer la décomposton en facteurs rréductbles de P, sont des questons très dcles à résoudre en pratque. Nous ne drons presque ren à ce sujet. Certanes questons relées, comme le calcul du pgcd ou le calcul du ppcm, sont plus facles à trater, grâce à un outl très pussant : l'algorthme d'euclde. 5.1 Calcul du pgcd. Soent A et B deux polynômes dont on veut calculer le pgcd D. S on dspose des décompostons en facteurs rréductbles de A et B, alors la proposton 4.2 nous donne la réponse. Mas comme on vent de le dre, en général l est dcle de trouver ces décompostons, et on ne peut donc pas conclure ans. On peut alors utlser le résultat suvant. 5.2 Théorème (Algorthme d'euclde). Soent A, B deux polynômes non nuls tels que deg(a) deg(b). Posons R 0 = A et R 1 = B et dénssons par récurrence le polynôme R k+1 comme reste de la dvson eucldenne de R k 1 par R k : R k 1 = R k Q k + R k+1 avec deg(r k+1 ) < deg(r k ). Alors le pgcd de A et B est le derner reste non nul de cet algorthme. Preuve : Comme les degrés des R k sont strctement décrossants, après un certan nombre d'étapes le reste s'annule. Sot R n le derner reste non nul de l'algorthme : on a donc R n 1 = R n Q n de sorte que R n dvse R n 1. Mantenant, notons que lorsqu'on eectue une dvson eucldenne A = BQ + R avec deg(r) < deg(b), alors on a l'égalté d'déaux (A, B) = (BQ + R, B) = (R, B), s ben que pgcd(a, B) = pgcd(b, R). Il s'ensut qu'au l de l'algorthme, on a pgcd(a, B) = pgcd(r 0, R 1 ) = pgcd(r 1, R 2 ) = = pgcd(r n 1, R n ) = R n pusque R n dvse R n 1. C'est ce qu'on voulat démontrer. 5.3 Calcul d'un couple de Bézout. Il n'est pas dcle de raner l'algorthme d'euclde pour que celu-c fournsse en plus un couple (U, V ) tel que UA + V B = D. Pour cela, parallèlement aux restes successfs R k, on demande à l'algorthme de fabrquer un couple (U k, V k ) tel que U k A + V k B = R k : 11

12 5.4 Théorème (Algorthme d'euclde étendu). Dans l'algorthme d'euclde présenté c-dessus, dénssons deux sutes (U k ) et (V k ) par : U 0 = 1, U 1 = 0 et U k+1 = Q k U k + U k 1, V 0 = 0, V 1 = 1 et V k+1 = Q k V k + V k 1. Alors on a U k A + V k B = R k pour tout k. En partculer, (U n, V n ) est un couple de Bézout pour A, B. Preuve : Comme R 0 = A et R 1 = B, l est mmédat que la proprété U k A + V k B = R k est vérée pour k = 0 et k = 1. Par récurrence, on obtent ensute U k+1 A + V k+1 B = ( Q k U k + U k 1 )A + ( Q k V k + V k 1 )B = Q k R k + R k 1 = R k+1, d'où la proprété au rang k + 1. Le derner reste non nul R n est égal au pgcd D, donc U n A + V n B = R n = D et (U n, V n ) est un couple de Bézout pour A, B. 5.5 Calcul du ppcm. Soent A et B deux polynômes dont on veut calculer le ppcm M. Comme plus haut, s on dspose des décompostons en facteurs rréductbles de A et B, la réponse est donnée par la proposton 4.5. Dans le cas contrare, on commence par calculer le pgcd en utlsant l'algorthme d'euclde, pus on dédut le ppcm de la formule DM AB de la proposton Fractons ratonnelles 6.1 Dénton et notons de base. Nous allons construre un corps, c'est-à-dre un anneau dans lequel tout élément non nul est nversble, qu content k[x] et est le plus pett possble. Pour cela, on consdère l'ensemble E formé des pares de polynômes (F, G) avec G 0. On munt cet ensemble de la relaton d'équvalence déne par (F 1, G 1 ) (F 2, G 2 ) ss F 1 G 2 = F 2 G 1. On notera (exercce) que le fat que G 1, G 2 sont non nuls est mportant pour démontrer que cette relaton est transtve. On note k(x) l'ensemble E/ qu est l'ensemble des classes d'équvalence pour cette relaton. La classe de (F, G) est notée F/G ou F G. Par dénton de la relaton, pour tout polynôme non nul H on a donc (F H)/(GH) = F/G. 6.2 Proposton. Les opératons + et dénes par F 1 G 1 + F 2 G 2 = F 1G 2 + F 2 G 1 G 1 G 2 et F 1 G 1 F 2 G 2 = F 1F 2 G 1 G 2 munssent k(x) d'une structure de corps commutatf, dont l'élément neutre addtf est 0/1 et l'élément neutre multplcatf est 1/1. L'applcaton k[x] k(x) qu envoe un polynôme F sur F/1 est un morphsme njectf d'anneaux. Preuve : La démonstraton est une sute de pettes vércatons que l'on nvte la lectrce à fare. Comme d'habtude, nous omettrons souvent le sgne dans les produts. 6.3 Dénton. Les éléments de k(x) sont nommés fractons ratonnelles en X à coecents dans k. 12

13 6.4 Dénton. On dént les fonctons deg = deg k(x) et val = val k(x) par : deg(f/g) = deg(f ) deg(g) et val(f/g) = val(f ) val(g). Utlsant le lemme 1.7, on montre asément : - que ces déntons sont lctes, c'est-à-dre que degré et valuaton ne dépendent en eet que de F/G,.e. deg(f H/GH) = deg(f/g) et val(f H/GH) = val(f/g), - que les fonctons deg k(x) et val k(x) prolongent le degré et la valuaton des polynômes, au sens où pour tout polynôme F on a deg k(x) (F/1) = deg k[x] (F ) et val k(x) (F/1) = val k[x] (F ), - que deg k(x) et val k(x) vérent encore toutes les proprétés du lemme Proposton. Toute fracton ratonnelle R k(x) possède une unque écrture de la forme R = F /G avec F, G premers entre eux et G untare. Cette écrture est appelée la forme rréductble de R. Preuve : Sot R = F/G une écrture de R, et sot D le pgcd de F et G dont le coecent est égal au coecent domnant de G. On a donc F = DF et G = DG avec F, G premers entre eux et G untare. Il est clar que R = F/G = F /G et que c'est la seule écrture qu répond à la queston. Nous serons très brefs en ce qu concerne les rappels sur la foncton assocée à une fracton ratonnelle, la dérvaton, etc. Les concepts prncpaux sont les suvants : 6.6 Dénton. Sot R k(x) et r k. On dt que R est déne en r s'l exste une écrture R = F/G telle que G(r) 0, ou de manère équvalente, s pour la forme rréductble R = F /G on a G (r) 0. On dt que R possède un pôle en r dans le cas contrare. On note P(R) l'ensemble des pôles de R. La fracton ratonnelle R = F /G dént une foncton assocée R : k \ P(R) k r F (r)/g (r). Notons qu'l exste une autre façon de détecter les pôles, va la multplcté (vor dénton 3.8). Pour tout r k, on peut dénr la multplcté de r dans R par mult R (r) = mult F (r) mult G (r) où R = F/G. Alors r est un pôle de R s et seulement s mult R (r) < 0 et r est un zéro de R s et seulement s mult R (r) > Décomposton en éléments smples. 6.8 Proposton. Le k-espace vectorel k(x) est somme drecte des deux sous-espaces vectorels k[x] = k + (X) = {R, deg(r) 0} {0} et k (X) = {R, deg(r) < 0}. Preuve : Il est facle de vérer que k[x] et k (X) sont des sous-espaces vectorels. Par alleurs, s R k[x] k (X), comme son degré ne peut être smultanément strctement négatf et postf, on dot avor R = 0. Donc ces sous-espaces sont en somme drecte. Enn, montrons qu'ls engendrent k(x) comme espace vectorel. S R = F/G, en fasant la dvson eucldenne de F par G on trouve F = GE + R avec deg(r) < deg(g). Il s'ensut que R = E + P avec une fracton P = R/G de degré strctement négatf, comme désré. 13

14 6.9 Dénton. Dans la décomposton R = E + P, avec E k[x] et P k (X), le polynôme E s'appelle la parte entère de R et la fracton P s'appelle la parte polare de R. On peut donner un énoncé de décomposton en éléments smples sur un corps k quelconque, mas l est nutlement complqué pour nos besons. Nous nous contenterons d'un énoncé sur le corps des nombres complexes Théorème. Sot R C(X) une fracton ratonnelle à coecents complexes. Soent R = E + P son écrture en parte entère et parte polare, P = F/G l'écrture rréductble de P et G = (X r 1 ) α 1... (X r m ) αm la factorsaton de G en polynômes rréductbles. Alors, l exste d'unques coecents c j C avec 1 m et 1 j α tels que R = E + m =1 j=1 c j (X r ) j. Preuve : Nous renvoyons au cours de Lcence Lemme. Sot R = F/G une fracton ratonnelle mse sous forme rréductble, et sot r C un pôle smple, c'est-à-dre de multplcté α = 1. Alors, dans la décomposton de R en éléments smples, c la parte polare relatve au pôle r est rédute à X r avec où G est le polynôme dérvé de G. c = F (r) G (r) Preuve : D'après les hypothèses, on peut écrre G = (X r)h avec H(r) 0. En dérvant, on trouve G (r) = H(r). Le fat que la parte polare relatve au pôle r est rédute à c/(x r) est une conséquence du théorème : on a donc R = S + c X r où S est une fracton ratonnelle sans pôle en r. En multplant par (X r), on trouve (X r)r = (X r)s + c = (X r)f/g = F/H. En évaluant en r, on trouve c = F (r)/h(r) = F (r)/g (r). 14