Aspects énergétiques des systèmes mécaniques. Elémentaire : qui s effectue sur un déplacement infinitésimal (ou élémentaire)

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1 I. Tavail élémentaie d une foce. spects énegétiques des systèmes mécaniques Elémentaie : qui s effectue su un déplacement infinitésimal (ou élémentaie). Tavail d une foce su un tajet quelconque. Le tavail d une foce su un tajet quelconque B a pou expession : = B = B cos( ; B) W B Question discussion éponse Voici tois cas de figues dans lesquelles une foce constante est appliquée à un solide. Indiquez dans chaque cas si le tavail est moteu (W > 0) ou ésistant (W < 0) Cas n : Un maîte etient en laisse son chien qui se déplace du point ves le point B Cas n : Une pesonne veut faie glisse un ballon du point ves le point B Cas n 3 : Une pesonne pousse un chaiot du point ves le point B

2 Réponse : Cas n : W B = B = B cos( ; B) < 0 Tavail ésistant cos( ; B) < 0 Cas n : W B = B = B cos( ; B) = 0 Tavail nul cos( ; B) = 0 Cas n 3 : W = B = B cos( ; B) > 0 Tavail moteu cos( ; B) = B. Tavail élémentaie. Losque l étude pote su un tès petit déplacement dl, le tavail d une foce los de ce déplacement élémentaie est appelé tavail élémentaie. δw = dl Le tavail d une foce su un déplacement quelconque est la somme des tavaux élémentaies W B B B = δ W = dl II. Tavail d une foce extéieue appliquée à l extémité d un essot, l aute extémité étant fixée.. Etablissement de l expession du tavail d une foce extéieue appliquée à l extémité d un essot... Pa intégation. On étie un essot du point au point B. On étudie l action de la foce su le essot, contaiement au cous pécédent où l on étudiait l action du essot su un solide de masse m. L oientation de n est pas celle d une foce de appel. Dans un pemie temps, écivons l expession du tavail élémentaie de la foce los du déplacement élémentaie dx. W δ dx = dxi = kx dx Dans un deuxième temps, intégons ente x et x B. W B x = x xb kxdx kx = = x B kx B kx

3 .. Pa une méthode gaphique. Question discussion éponse On a δw = dx = kx dx On dispose du gaphe suivant : - quoi coespond δw su le gaphe? - quoi coespond la somme des tavaux élémentaies ente 0 et x, su le gaphe? - Popose une expession du tavail de ente 0 et x. - Détemine la valeu du tavail W 0 - Popose une expession du tavail de ente 0 et x B. - Détemine la valeu du tavail de ente 0 et x B. - quoi coespond le tavail W B de ente x et x B su le gaphe? - En déduie l expession du tavail de ente x et x B. - Calcule la valeu du tavail W B Réponse : - δw coespond à l aie du petit ectangle de longueu kx et de lageu x. - La somme des tavaux élémentaies ente 0 et x coespond à l aie du tiangle de côté x et kx. - W L l 0 = kx x = kx (ie d un tiangle ectangle est ) - = 0,5 0, = 0, J W 0 - W 0 B = kxb xb = kx - W B B 0 = 0,5 3 0,6 = 0,9 J B - Le tavailw coespond à la difféence des aies des deux tiangles de côté x B et kx B et x et kx - W B = kxb kx - = 0,9 0, = 0,8 J W B

4 III. Etablissement de l énegie potentielle élastique d un essot. On a vu en èe S que le tavail du poids W P B était elié à la vaiation d énegie potentielle E P pa la P elation W = - E B P P C est à die W = - (E PB - E P ) = E P - E PB B Rappel : La vaiation d une gandeu X coespond pa définition à X final - X initial ppliquons le même aisonnement à la foce de appel d un essot. La foce de appel d un essot est difféente d une foce execée su un essot. On a vu que l intensité de la foce de appel d un essot a pou expession = kx. Son tavail s écit : W B = kx kxb Utilisons le elation vue en èe S : W B = E P - E PB avec la elation établie pécédemment : W = kx kx B B Pa analogie ente les deux elations pécédentes, on en déduit que l énegie potentielle élastique a pou expession : E p = kx E p s expime en Joule (J) k (aideu) s expime en N.m - x s expime en mète (m) IV. Enegie mécanique.. Cas du système solide-essot. L énegie mécanique de l oscillateu élastique hoizontal est la somme de l énegie cinétique et de l énegie potentielle élastique du système solide-essot. E M = E c + E p = mv + kx

5 . Cas d un pojectile dans un champ de pesanteu. - Cas d une chute libe (chute sans fottement) - L objet est à l altitude z à t = 0. L énegie mécanique d un pojectile dans un champ de pesanteu unifome g est la somme de l énegie cinétique et de l énegie potentielle de pesanteu du pojectile. E M = E c + E p = mv + mgz V. Consevation ou non de l énegie mécanique.. Consevation de l énegie mécanique. S il y a consevation de l énegie mécanique, on peut écie E M = E c + E p = constante.. Comment détemine la valeu de l énegie mécanique dans le cas du système solide-essot?... Pa le calcul. On a E M = E c + E p = mv + kx On écate le essot de sa position d équilibe. Quand on lâche le essot, à t = 0, on a x =x M et v 0 = 0 E M = E c + E p = mv + kx = kxm (x M : amplitude) Quand le système passe à l équilibe, on a v = v max et x = 0 E M = E c + E p = mv + kx = mv max Patiquement, pou détemine la valeu de l énegie mécanique, on utilise la elation E M = kxm ca la valeu de x M est facilement accessible. Remaque : volontaiement, aucune démonstation n a été poposé pou monte que E M = kxm

6 ... pati d un gaphe de l évolution de l énegie cinétique, potentielle et mécanique au cous du temps. Su les gaphes ci-dessous, sont epésentés les évolutions de l énegie cinétique, de l énegie potentielle et de l énegie mécanique d un système solide essot. Le système est écaté de son état d équilibe. t = 0, on lâche le système qui se met à oscille autou de sa position d équilibe. Question discussion éponse - Quelle coube epésente l évolution de l énegie cinétique au cous du temps? Pouquoi? - Quelle coube epésente l évolution de l énegie potentielle au cous du temps? Pouquoi? - Quelle coube epésente l évolution de l énegie mécanique au cous du temps? Pouquoi? - Peut-on die qu il y a consevation de l énegie mécanique du système? Réponses : - La coube epésentant l évolution de l énegie cinétique au cous du temps est la coube n ca à t = 0, la vitesse est nulle, alos E c = mv = 0. - La coube epésentant l évolution de l énegie potentielle au cous du temps est la coube n ca à t = 0, l élongation est maximale x = x M, alos l énegie potentielle aussi E p = kxm - La coube epésentant l évolution de l énegie mécanique au cous du temps est la coube n 3 ca elle coespond à la somme des énegies cinétique et potentielle. - On peut die qu il y a consevation de l énegie mécanique, ca l énegie gade une valeu constante au cous du temps.

7 On peut également epésente les vaiations de l énegie cinétique et de l énegie potentielle au cous du temps. On obtient les gaphes suivants : Question discussion éponse - Identifie la coube epésentant la vaiation d énegie cinétique au cous du temps. - Détemine la valeu de E p ente t = 0 et t =,0 s à pati de la coube E p = f(t) - Détemine la valeu de E c ente t = 0 et t =,0 s à pati de la coube E c = f(t) - Popose une méthode afin de détemine la vaiation d énegie potentielle, connaissant la vaiation d énegie cinétique et écipoquement. Réponse : - la coube n epésente la vaiation d énegie cinétique au cous du temps ca E c augmente jusqu au moment où le système est aivé à la position d équilibe. - E p = -,4 mj - E c =,4 mj - On constate que E p = - E c. On peut donc détemine la vaiation de l énegie potentielle à pati de la vaiation de l énegie cinétique ca ces valeus sont opposées... Comment détemine la valeu de l énegie mécanique dans le cas du pojectile dans un champ de pesanteu unifome et comment econnaîte la non consevation de l énegie mécanique?... Pa le calcul. On a E M = E c + E p = mv + mgz Le pojectile est lancé et n est soumis qu à son poids. E p est appelée énegie potentielle de pesanteu. E p (z) = mgz + constante

8 La constante est généalement pise nulle en z = 0. S il y a consevation de l énegie mécanique, on a : E M = E c + E p = mv + mgz = constante S il n y a pas consevation de l énegie mécanique, on a E M constante. L énegie mécanique décoît au cous du temps.... Pa le gaphique. On dispose d une vidéo dans laquelle on peut voi une pesonne fappe dans un ballon qui ebondit au sol. Pou étalonnage : la pesonne mesue,65 m - On effectue un pointage de la position du ballon avec un logiciel tel que aviméca - On calcul l énegie cinétique et l énegie potentielle à intevalles de temps égulies. - On détemine l énegie mécanique E M = E c + E p - On obtient les gaphes suivants : On constate que l énegie mécanique diminue au cous du temps. Il n y a donc pas consevation de l énegie mécanique. Question discussion éponse - Comment expliquez-vous cette diminution d énegie mécanique? Réponse : - La pete d énegie pincipale à pou oigine le ebond du ballon duant lequel des tansfets d énegie ont lieu avec l hebe.

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