Chapitre 4.X1 Le moment cinétique orbital et spin

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1 Chaite 4.X1 e mment inétique bital et sin e mment inétique bital et sin e mment inétique d un eut ête atinné en deu aties : mment inétique bital et sin. e mment inétique bitale esnd au mment inétique seln l ae assié à la tanslatin du ente de masse autu du int de ééene et le mment inétique sin esnd au mment inétique seln l ae assié à la tatin du autu de sn e ente de masse : tel sin( θ Pint ééene et I θ 0 θ 60 θ 10 θ 180 ù : Mment inétique ttal du a at au int de ééene ( kg m /s : Mment inétique bital du : mment inétique du autu du int de ééene ( kg m /s : Mment inétique sin du : mment inétique autu du ( kg m /s : Distane dans le lan y ente le int de ééene et le du (m : Mdule de la quantité de muement du dans le lan y ( kg m/s u Ns θ : Angle dans le lan y ente et I : Inetie de l bjet en tatin autu de l ae assant a le ( kg m : Vitesse angulaie de tatin du autu du ente de masse seln l ae (ad/s Peue : (nsidéant que À l aide de la déinitin du mment inétique d un et du théème des aes aallèles, déelns une nuelle eessin u le mment inétique aisant inteeni deu msantes distintes tel que le mment bital et le mment sin : I ( mh I (Théème ae aallèle : I mh I mh I (Distibue Nte de us édigée a : Simn Véina Page 1 mh (Remlae m (Remlae h et I m // (Remlae // m sin( θ (Remlae // sin( θ sin( θ (Remlae sin( θ (Remlae sin( θ

2 Démsitin du mment de e Un mment de e eut ête démsé en mment de e bital et sin. e mment de e bital mesue l eiaité de la e à aie tune le ente de masse autu du int de ééene. e mment de e sin mesue l eiaité de la e à aie tune le autu de sn e ente de masse : F F β tel que F sin( α et F sin( β ± ± θ α ù : Mment de e seln l ae ( N m : Mment de e bitale seln l ae ( N m : Mment de e sin seln l ae ( N m : Distane dans le lan y ente le int de ééene et le ente de masse (m : Distane dans le lan y ente le ente de masse et l endit ù est aliquée la e (m F : Fe qui eetue le mment de e jetée dans le lan y (N α : Angle dans le lan y ente et F β : Angle dans le lan y ente et F Peue : Démsns les distane, et en msantes eendiulaie à F (bas de leie à l aide des angles α, β et θ. Puisque es tis distanes ment un tiangle, la smme des distanes démsées éédemment est égale à é si l n attibue un signe au sens du aus dans le tiangle. Cei nus emet d aime la elatin suiante : ( θ sin( α sin( β sin F sin( θ β θ α sin( β ( sin α Remlaçns ette elatin dans l eessin du mment de e et démsns nte mment de e en et : ( θ F sin sin( θ F (Rééitue ( sin( α sin( β F (Remlae sin( θ F sin( α F sin( β (Distibue F (Remlae la déinitin Nte de us édigée a : Simn Véina Page

3 Dynamique de tatin seln l ae e mment inétique ttal seln l ae d un eut tujus ête démsé en msante bitale et sin même si la itesse angulaie bitale n est as égale à la itesse angulaie de sin, a n eut tujus démse tut mment de e en msantes bitales et sins. Ainsi, le mment de e bitale mdiie le mment inétique bitale dans le tems et le mment de e sin mdiie le mment inétique sin dans le tems : ù Peue : d et S T Nte de us édigée a : Simn Véina Page 3 T Système Sleil-Tee-une 7 T 36,4 jus 1, ad/s T T 3h 6 min 4s 7,9 10 ad/s T d tel que T T π / T : Mment de e bitale seln l ae ( N m : Mment inétique bital du ( autu du int de ééene ( kg m /s : Mment de e sin seln l ae ( N m : Mment inétique sin du ( autu du ( kg m /s Démsns l eessin généale de la ième li de Newtn en tatin en msante bitale et sin et assins des temes ensembles : d( d (Remlae d d (Distibue la déiée d d (Remlae Démntns une 1 ièe assiatin : d ( d // (Remlae // d( // (Fatise nstante F// ( ième li de Newtn : F d / F sin( α (Remlae ( α F // F sin (Remlae F sin( α

4 Démntns une ième assiatin : d ( d I (Remlae I d I (Fatise nstante I α (Remlae α d / (Remlae I α ane une balle de baseball ane au baseball une balle aide ae un «baksin» illuste tès bien l intéêt de démse le mment inétique en msant bital et sin, a la itesse angulaie assié au mment inétique bital est auunement eliée à la itesse angulaie assiée au mment inétique sin. Pu simliie la situatin, nus allns néglige la ésistane de l ai : a e gaitatinnelle mg est aliquée au de la balle. Éi Gagné lane une balle aide n néglige la ésistane de l ai. a tajetie de la balle est une aable, a a 0 et a y g seln F ma. a balle tune su elle-même, a elle ssède une itesse angulaie sin initiale. n est as nseée, a F et 0 (la tajetie n est as etiligne. n est as nseé, a et 0 (la tajetie n est as iulaie ni etiligne. est nseé, a et 0. De lus, est nstant a I est nstant. n est as nseé. Remaque : Shéma : Tajetie d une balle de baseball et y dans la mnté. et y dans la desente. est nstant. est nstant. Nte de us édigée a : Simn Véina Page 4

5 Situatin A : Albet au bwling. Albet ait ule une bule de bwling de 4 kg et de 0 m de diamète à une itesse de 1,8 m/s et à une itesse angulaie de 1 ad/s ientée es l aant su une allée de bwling hintale. a bule glisse et ule en même tems su l allée (. En aisn de l huile désée su l allée, le eiient ttement inétique ente la bule et l allée est uniquement de 0,01. n désie éalue (a le sens du ttement qu alique l allée su la bule et (b le tems equis u que la bule ule sans glisse su l allée. Pu éalue le sens du ttement, il aut éalue la itesse de l élément de la bule en ntat au a at au. Pu e aie, nus allns utilise l additin elatie des itesses (i haite 1.4 : Vitesses elaties en une dimensin : AR AB BR ± t y (, a délaement es la dite t ( t (, a tatin es l aant (Vitesse tangentielle : t (Rééitue Si > 0 : ( etit Si 0 : ( adéquat Si < 0 : ( gand élément de bule en ntat au se délae es la dite et le ttement sea ienté es la gauhe. élément de bule en ntat au est immbile et uisqu il n y a as de e aute que le ttement, 0. s élément de bule en ntat au se délae es la gauhe et le ttement sea ienté es la dite. Cnséquene : et 0 0 Cnséquene : a bule ntinue de ule sans glisse. Cnséquene : et Éalue le sens du ttement initialement : ( 1,8 ( 0,0( 1 1, m/s (a et nus ans un ttement es l aant. Nte de us édigée a : Simn Véina Page

6 Pu ule sans glisse, il aut satisaie l équatin suiante : ( 0 (Cnditin ule sans glisse 0 ( 0, 0 (Remlae aleus num., (1 (Relatin 0 et Éaluns la quantité de muement du ente de masse initiale : i m ( 4( 1,8 i i 7, kg m/s i Éaluns l eessin de la quantité de muement du ente de masse inale : m ( 4 Éaluns le mment inétique sin initial : I mr 4 (Inetie shèe leine : ( 4( 0, ( 1 (Remlae aleus num. i 0,96 kg m /s (Éalue i Éaluns l eessin du mment inétique sin inal : mr ( 4( 0, 0, 064 mr I Éaluns le ttement inétique aliqué a l allée su la bule : ( n mg ( mg n µ µ ( 0,01( 4( 9,8 0,39 N mg n Aliquns la nseatin de la quantité de muement ae imulsin u établi un lien ae le tems equis u ule sans glisse : i J i J (Alique au ( F t i (Pu e nstante : J F t ( t i (Remlae ( ( 7, ( 039 t F 4 (Remlae aleus num. 4 7, 0, 39 t ( (Calul Nte de us édigée a : Simn Véina Page 6

7 Aliquns la nseatin du mment inétique sin ae mment de e nstant u établi un lien ente le tems equis u ule sans glisse : (Cnseatin mment inétique seln i i (Pu e nstante : t ( t i ( ± F sin( θ t (Mment de e seln : ± F sin( θ ( sin( 90 t i (Remlae (,064 ( 0,96 ( 0,0( 0, 39 t 0 F et θ 90 (Remlae aleus num.,064 0,96 0, 0784 t (3 (Calul 0 Nus ans le système d équatins suiant à ésude :, 0 (1 4 7, 0, 39 t (,064 0,96 0, 0784 t (3 0 Remlaçns l équatin ( et (3 dans l équatin (1 et ins le tems :, 0 (Utilise (1 7, 0,39 t 0,96 0,0784 t 0, 4 0,064 (Remlae 1,8 0,098 t 3 0, 4 t (Simliie et 0,343 t 1, (Ie teme ae t ae ( et (3 t 3,499 s (b (Éalue t Nte de us édigée a : Simn Véina Page 7