Circuits R -C Réponse à un échelon de tension

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1 Lycée Viee TSI ircuis - -L -L- éponse à un échelon de ension I. égime libre. Définiion d un régime libre Le régime libre ( ou propre ) d un circui es un régime obenu lorsque les sources libres son éeines. e régime es caracérisé par un emps de relaxaion qui perme d'évaluer sa durée. Les condiions iniiales von fixer les condiions d évoluion du régime. Iniialemen l'énergie es sockée dans le condensaeur ou la bobine.. égime libre d un circui (, ) i u q u Le condensaeur es iniialemen chargé, à = on bascule l'inerrupeur. q() = =.U u () = U dq du du =.i + u ; i = ; q =.u ; i =. + u = d d d du di + u = + i = avec =. d d ( ) ( ) ( ) u = A.e or à = u = U u = U.e il y a coninuié pour u ( ension aux bornes du condensaeur ) Le circui (, ) es un circui linéaire du premier ordre =. es le emps de relaxaion ( ou consane de emps ou emps caracérisique ) U. du i =. = e d U il y a disconinuié pour l inensié ( pour < : i = e à = : i = ) bilan énergéique : énergie dissipée par effe Joule de = à une dae : abeux Michel Page

2 Lycée Viee TSI. '. U.. W =.i².d ' = e d '.U e = énergie iniiale emmagasinée par le condensaeur : () =.U.. énergie emmagasinée par le condensaeur à : () =.U.e W = () - () L énergie emmagasinée par le condensaeur es dissipée par effe Joule. u () U,37.U i() U,37 U abeux Michel Page

3 Lycée Viee TSI 3. égime libre d un circui (, L ) K I i i' I L u Le régime permanen éan aein, à =, on ouvre le circui ( comprenan le généraeur de couran ). di( ) pour < u ( ) = L = i () = i() = I d di di i = i ' u = L =.i ' + i = d d L di du L + i = + u = avec = d d L i = A.e or à = i = I i = I.e il y a coninuié pour i ( couran dans la bobine ) es le emps de relaxaion ( consane de emps ou emps caracérisique ) du circui (,L ) le circui (, L ) es un circui linéaire du premier ordre di u = L u =.I.e d il y a disconinuié pour u ( e pour l inensié du couran i dans le résisor ) bilan énergéique énergie dissipée par effe Joule dans la résisance de = à un insan :. '. W =.i².d ' =.I e d ' L.I ². e = énergie iniiale emmagasinée par la bobine : L () = L.I. énergie emmagasinée par la bobine à : L () = = L.I.e W = L () L () L énergie emmagasinée par la bobine es dissipée par effe Joule. abeux Michel Page 3

4 Lycée Viee TSI i() I,37.I u() -,37..I -.I 4. égime libre d un circui (, L, ) L i u u L q u à < q() = u () = U i() = on ferme le circui à = abeux Michel Page 4

5 Lycée Viee TSI quaion différenielle di q du q d q dq q =.i + L + i =. u = = L + + d d d d d u du d i di + + u = + + i = d L d L d L d L équaion du ype : L. L && & L. o o y + y + o y = avec o = e = = aures écriures : && y +. ξ..y& + o y = avec ξ = = =..L. L && y +. λ.y& + o y = avec λ = ξ. =.L o es la pulsaion propre e le faceur de qualié ( ne pas le confondre avec la charge ) ξ es le coefficien d amorissemen λ es le faceur d amorissemen en élongaion ( i, u ) ξ e son sans dimension λ e son en s - Le circui (, L, ) es un circui linéaire du deuxième ordre ésoluion de l équaion différenielle L'équaion caracérisique es : r + r + = = L régime apériodique > < > il y a deux racines réelles négaives : r = + 4. e r = 4... la soluion es : ( ) ( ) ( ) u = A.e + A.e r. r. A e A ( ) son déerminés par les condiions iniiales. u () = U o e i() = ( coninuié de i dans l'inducance e de u ) A + A = U e r.a + r.a = r. r. r. r. re re e e u ( ) = U i( ) =.U.r.r r r r r Le emps caracérisique du régime ransioire ( dans le cas où A n es pas nul ) es :. = r = mini es obenu pour 4. min i ( ) ( si diminue alors augmene ) abeux Michel Page 5

6 Lycée Viee TSI régime criique si = = il y a une racine négaive : r = - = - λ u = A. + B.e la soluion es : ( ) ( ). L = =. ( résisance criique ) Avec u () = U e i() = B = U e A - B. o = A = B. o = U. o ( ) = ( + ). i( ) =.U...e. u U...e La consane de emps du régime criique es : = = λ ( = mini ) régime pseudo-périodique si < > < il y a deux racines complexes conjuguées à paries réelles négaives. on pose : 4. = - = pseudo pulsaion ( < 4. ) r ( ) ( ) = j 4. = + j. r = + j 4. = j..... la soluion générale es :.... ( ) = + ( ) = + ϕ u (A.cos. A.sin.).e ou u A.cos(. ).e A e A ( ou A e ϕ ) dépenden des condiions iniiales ( i() = e u () = U o ).... ( ) o u = U.e cos(.) + sin(.) i =.U e sin(.).. T.π = es le pseudo période ( T > T o ) ( si = on obien le régime périodique ( sinusoïdal ) non amori de pulsaion o ). Le emps caracérisique es : = =.T > ( si augmene alors augmene ) π 5. Au bou de 5. les oscillaions on une ampliude négligeable, donc pour = T.T π Au bou de pseudo périodes les oscillaions on une ampliude négligeable. Le décrémen logarihmique δ caracérise aussi la décroissance d'ampliude : x() T. π δ = ln = = x() éan u () ou i() ou q() n x( + n.t) 4. abeux Michel Page 6

7 Lycée Viee TSI u () U régime apériodique régime criique régime pseudopériodique i() régime apériodique régime criique régime pseudopériodique ude énergéique di q di q d q L + +.i = L i + i +.i = L.i + =.i d d d L énergie emmagasinée par le circui à la dae a pour expression : () = L.i +.u.i représenane la puissance dissipée par effe Joule dans la résisance. Si la résisance du circui es nulle, l énergie emmagasinée es consane ( il y a oscillaion enre L e avec une pulsaion. ). Dans le cas du régime pseudo périodique avec un rès faible amorissemen ( >> ) T T.... u U.e.cos(.) i.u. e sin(.) abeux Michel Page 7

8 Lycée Viee TSI L'énergie de la bobine s'écri L'énergie du condensaeur s'écri L = () L..U..e.sin (.).U.e.sin (.) ().U.e cos (.) L L'énergie emmagasinée s'écri () = + =.U.e La pere relaive d énergie au cours d une pseudo période a pour expression : exp ( + T) exp ( ) ( + T) ( ) = = exp( T ) ( ) exp ( ). π. π. = Le faceur de qualié caracérise cee variaion d'énergie II. éponse à un échelon de ension. Définiion d'un échelon de ension L Soi une source de ension de f.e.m. e() définie par e() = pour < e e() = pour > avec consan. Une elle source délivre un échelon de ension. ( souven = ). e() Le moyen le plus simple pour réaliser une elle source consise à prendre une source ension e un inerrupeur que l'on bascule =. Incorporée dans un circui elle donne naissance à un régime ransioire qui disparaî progressivemen pour laisser place au régime permanen. La foncion échelon ou d'heaviside es la foncion suivane : < Y() = > Y() = e() =.Y(- ) abeux Michel Page 8

9 Lycée Viee TSI. éponse d'un dipôle. à un échelon de ension i q u = K A = on bascule l'inerrupeur K, pour < le condensaeur es déchargé. du du =.i + u ; i =. + u = d d soluion de l équaion homogène : ( ). u = A.e ( régime libre ) soluion pariculière : u = ( régime forcé ) soluion de l équaion différenielle : ( ) u = + A.e condiions iniiales : u () = ( coninuié de la ension aux bornes du condensaeur ). u ( ) =. e. i( ) = e on pose : =. consane de emps ou emps de relaxaion u ().,63. Le régime ransioire dure quelques ( environ 5. ), ensuie s éabli un régime permanen indépendan du emps ( reard à l'éablissemen de la ension aux bornes du condensaeur ). neon.fig abeux Michel Page 9

10 Lycée Viee TSI i() /. emps de monée ( ou de descene ) inervalle de emps séparan le passage d'un signal de % à 9 % ( par exemple ) : s +,. s s s +, 9. s s m =..ln9 ( ) à ( ) min i max i min i min i max i min i emps de demi-charge / =..ln() bilan énergéique. ( ) =.u ( ) =.. e ( ) = énergie dissipée par effe Joule au cours de la charge enre = e. '. ².. W ( ) =.i ( ') ².d ' = e d '.². e = énergie fournie (convenion généraeur) par le généraeur au cours de la charge enre = e '.. WG ( ) =.i ( ').d ' = e d ' =.². e W () = + W ( ) ( ) ( ) G 3. éponse d'un dipôle (, L) à un échelon de ension u u L i = di L L =.i + L. i( ) = e ul ( ) =.e = d courbe pour i() idem II.. u () e pour u L () idem II.. i() Il y a reard à l'éablissemen du couran dans la bobine. abeux Michel Page

11 Lycée Viee TSI aspec énergéique L ( ) L.i ( ) L e = = L ( ) = énergie dissipée par effe Joule au cours de la charge enre = e ' ² W ( ).i ( ') ².d ' e = =.d ' énergie fournie (convenion généraeur) par le généraeur enre = e ' WG ( ).i ( ').d ' e = = d ' W () = + W ( ) ( ) ( ) G L L 4. éponse d'un dipôle (, L, ) série à un échelon de ension L i u = L'équaion différenielle devien = L..u && +..u& + u La soluion générale de cee équaion es la somme d'une soluion pariculière de l'équaion avec second membre ( régime forcé ) e de la soluion générale de l équaion homogène ( régime libre ). Le régime ransioire peu êre apériodique, criique ou pseudo périodique, le régime permanen correspond à u () = e à i() =.. u () = e ( A.cos(.) + B.sin(.)) + dans le cas où < > Ici à i() = e u () =. u () =. e cos(.) + sin(.)... i() =.. e sin(.) Pour donner un ordre de grandeur du emps d'éablissemen du régime, on peu déerminer le emps minimal au bou duquel la valeur de u () es oujours comprise ( par exemple ) enre,9.u ( ) e,.u ( ) ( c'es à dire prend sa valeur permanene à % près ). e emps es de l'ordre de à 3 ( défini au I.4. ). IV. emarque ondensaeur.fig Il y a un parallélisme enre oscillaions élecriques e oscillaions mécaniques. oscillaions élecriques oscillaions mécaniques ension q i L force x v m k - α (coef. de fro. ) abeux Michel Page

12 Lycée Viee TSI L esseniel e l indispensable en quelques mos e formules équaion différenielle du premier ordre pour un régime libre : dx x d + = soluion de l équaion différenielle précédene : x ( ) = X.exp X valeur de x() équaion différenielle du deuxième ordre pour un régime libre : d x dx + +.x = ou d d d x dx d x dx +. λ +.x = ou +.m. +.x = d d d d pulsaion propre faceur de qualié ( sans dim ) λ faceur d amorissemen m coefficien d amorissemen ( sans dim ) équaion caracérisique associée à l équaion différenielle précédene : r + r + = r +. λ.r + = r +.m..r + = =. 4 = 4. ( λ ) = 4.. ( m ) soluion de l équaion différenielle du deuxième ordre : si > c es à dire m > ou <,5 le régime es apériodique r = + 4. e r = 4... ( ) ( ) r e r son négaifs x ( ) = A.exp( r.) + A.exp( r.) si = c es à dire m = ou =,5 le régime es criique x = A. + B.exp. r = - ( ) ( ) ( ) si < c es à dire m < ou >,5 le régime es pseudo périodique on défini la pseudo pulsaion el que : = 4.j. =. 4. r = + j. r = j... complexes conjugués à paries réelles négaives.. x ( ) = A.exp.cos(. + ϕ ) = exp.( A.cos (.) + A.sin (. )).. équaion différenielle ( du premier ou du second ordre ) avec réponse à un échelon : dx D x d + = ou d x dx + + = d x soluion de l équaion différenielle : ( ).x.d d = D + soluion du régime libre les condiions iniiales s appliquen sur la soluion globale e non sur la soluion pariculière du régime libre. abeux Michel Page