Chapitre XIII : Calcul numérique de la transformée de Fourier

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1 Chapir XIII : Calcul numériqu d la ransformé d Fourir Après un éud aniv d c chapir, vous srz capabl d : présnr l princip du calcul numériqu d la ransformé d Fourir donnr ls limiaions inrinsèqus du calcul numériqu présnr l algorihm FFT manipulr ls paramèr d un FFT pour obnir la résoluion /ou l domain xploré désirés

2 90 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus Ls logicils d calcul prmn l calcul numériqu d la ransformé d Fourir (T.F.) d un foncion discréisé sur un domain donné. On présn ici l algorihm uilisé afin d comprndr c qu un machin s capabl d rair d pouvoir uilisr ls résulas fournis. Comm la méhod s pariculièrmn uilisé dans l raimn du signal, ls opéraions son décris ici pour un foncion dépndan d un variabl mporll on chrch sa ransformé d Fourir n foncion d la fréqunc mporll ν. Ls opéraions fais pour l calcul conduisn à ds limiaions inrinsèqus qui doivn êr connus pour un bonn compréhnsion du résula. I Posiion du problèm f() signal f() don on chrch la T.F. Soi un foncion f du mps. Il s agi d calculr sa ransformé d Fourir défini par : [ ] + iπν F( ν) = F f ( ) ( ν) = f ( ) d Dans crains cas, on pu ffcur formllmn l calcul. Par xmpl, pour f()=sin(πν 0 ), on obin : i F(ν)= ( δ ( ν ν ) δ ( ν + ν )) 0 0

3 Calcul numériqu d la T.F. 9 Mais l raimn ds donnés xpérimnals nécssi un calcul numériqu un ouil adapé. Il s agi donc pour chaqu valur d ν d calculr numériqumn un inégral à valur complx. II Limiaions dus au fnêrag du signal f() f() -/ 0 +/ La foncion n s pas connu sur un duré infini, mais sur la duré d l acquisiion du signal: [ 0, 0 +]. Pour obsrvr l ff du fnêrag du signal, il s plus commod d raisonnr sur un fnêr cnré sur l origin. Si l signal n s pas cnré, il suffi d décalr l origin ds mps n changan n + ( 0 + ). Cla n chang d aillurs la TF qu d un facur d phas : F(ν) = F [f()](ν) = i + πν 0 F [f(+( 0 +/))](ν) On suppos ainsi pour la sui qu l fnêrag s cnré sur l origin. + On calcul donc f ( ) i πν d à la plac d f ( ) i πν d, c qui rvin à calculr la T.F. d g() à la plac d cll d f() avc : f ( ) si [, + ] g()= si [, + ] 0 +

4 9 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus soi g() = f() rc ( ) rc () rc () désign ici la foncion rcangl rprésné ci-conr. On obin donc : -/ +/ G(ν)=F[f() rc ()](ν)= F[f()](ν) * F[rc ()](ν) =F(ν) * sinc(πν) ( la T.F. d un rcangl s un sinus cardinal: sinc(x)= sin( x) x ) L opéraur * désign l produi d convoluion. la ransformé d Fourir d la foncion ronqué s la convoluion d la TF d la foncion nièr avc un sinus cardinal On pu illusrr ls conséquncs d c phénomèn n xaminan ls différncs nr F(ν) G(ν) pour f() = cos(πν 0 ) Alors: F( ν ) = [ δ ( ν ν ) + δ ( ν + ν )] alors qu G( ν ) = [ sinc( π ( ν ν ) ) + sinc( π ( ν + ν ) )] 0 F(ν) ν=-ν 0 ν=ν 0 ν G ( ν )

5 Calcul numériqu d la T.F. 93 la roncaur d f appor sur l spcr obnu un élargissmn ds différns composans Rmarqus: ➀ L élargissmn s caracérisé par la prmièr annulaion du sinc n ν = ν0 ±. Ainsi, si la duré d acquisiion s suffisammn grand, alors : sinc(πν) δ(ν) G(ν) F(ν) * δ(ν) = F(ν) ➁ Pour évir ls ondulaions d la foncion sinc, on pu prndr ds fnêrs plus «arrondis» qu la foncion rcangl, cions ls fnêrs riangulairs (ou d Barl), d Hann, d Hamming, d Blackmann,... III T.F. numériqu d un signal périodiqu ous monrons ici qu l choix du fnêrag pour un signal périodiqu a un grand influnc sur l résula du calcul. Si l signal s périodiqu d périod T, on pu l décomposr n séri d Fourir : f()= a cn cos( nπν f + ϕn) n= Son spcr s consiué ds fréquncs ν p =pν f p=0... où ν f = T : sa TF s consiué d Dirac siués aux ν p. Exmpl: soi la foncion f()=cos(πν )+0,5cos(πν )

6 94 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus avc ν = Hz T = s ν = 5, Hz. T = 3s La périod s T= sconds sa TF s consiué d dux Diracs n ν ν d ampliud 0,5. L calcul d la TF numériqumn à parir d un échanillon d duré =6 sconds donn ls dux «Diracs» andus (figur d gauch) Par conr, l calcul d la TF sur un échanillon d duré =7 sconds provoqu l élargissmn d la scond composan spcral (figur d droi) En ff, l spcr d G s un succssion d sinc régulièrmn spacés cnrés sur ls ν p. Cs sinc s annuln n ν p,k = p ν f + k (où k s un nir rlaif non nul) son maximums n ν p.

7 Calcul numériqu d la T.F. 95 Par aillurs, l spcr obnu s discréisé n fréqunc: nous vrrons q qu ls fréquncs pour lsqulls on calcul G son ν q = q=.. Si on s arrang pour qu cs fréquncs coïncidn avc ls zéros du sinc, alors G(ν q ) sra null parou, sauf lorsqu ν q =ν p. L graph d G rssmbl alors baucoup à clui d F: «Dirac» aux ν p Il fau donc pour êr dans cs condiions q = p ν f + k soi = (q--k) T La TF numériqu d un signal périodiqu s consiué ds «Diracs» non élargis lorsqu la duré d acquisiion s un mulipl nir d la périod du signal. Si la périod s inconnu, doi êr grand dvan T pour localisr avc précision ls pics d F(ν). IV Limiaions dus à l échanillonnag 3 4 δ f() s échanillonné par valurs numériqus f, f,...,f msurés sur un duré aux insans, = +δ, 3 = +δ,..., = +(-)δ. La duré nr dux msurs ou périod d échanillonnag s : T = δ =

8 96 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus La fréqunc d échanillonnag s F = δ = Si f vibr avc un fréqunc supériur à F, l spcr obnu numériqumn n pourra pas n rndr comp: il y a pr d informaion. f i+ f i i i+ ondulaions non priss n comp lors d la discréisaion d f L héorèm d Shannon monr qu ls composans spcrals d f supériurs à F sron ainsi prdus. L spcr fréqunil obnu s limié à F = V Théorèm d Whiakr (95) Shannon (949) C héorèm précis dans qulls condiions on pu rproduir xacmn un signal à parir d ss échanillons. L idé d sa démonsraion s inérssan dans la msur où ll prm d voir la différnc fondamnal qui xis nr la TF d un foncion la TF d la foncion échanillonné corrspondan. Soi un signal rprésné par un foncion f à band limié, c s-à-dir don l spcr s à suppor fini (rmarquons qu un signal physiqumn réalisabl s d duré fini, donc n pu pas êr à band limié...) F(ν) δ T () -ν max ν max -T T T 3T

9 Calcul numériqu d la T.F. 97 f() f s() On défini la foncion échanillonné f s par : f s ()= δ T ( ) f ( ) où δ T ( ) s l pign d Dirac d pas T (figur ci-dssus) : δ T + ( ) = δ q T q= f s s un échanillonnag idéal d f, la fréqunc d échanillonnag éan F =. T oons F S F ls T.F. d f s d f. F S = F [δ T ( ) f()] = F [δ T ( ) ] * F = T ( ) * F (la T.F. d un pign d Dirac s un pign d Dirac) δ ν T + q = T δ T ( ν ) * F = δ ( ν T q= + q= q ) * F T + q = F(ν T ) q=

10 98 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus F S s donc la suprposiion d foncions F régulièrmn spacés d T F(ν) -ν max Spcr d f ν max F S (ν) zon où ls dux foncions n doivn pas s rcouvrir ν max -ν max ν T max spcr d la foncion échanillonné T T ν Si ν max s infériur à T -ν max, soi ν max infériur à F ls différns foncions F n von pas s rcouvrir dans F S on pu alors récupérr l inégralié d F n faisan passr F S à ravrs un filr rcangulair d largur ν max : F( ν ) = F S ( ) = rc ν ( ν ) max Un signal pu xacmn êr rconsiué à parir d un échanillonnag si la fréqunc F d échanillonnag s supériur au doubl d sa fréqunc maximal. L signal original s rconsiué avc la TF invrs d F. Par xmpl, n s plaçan dans l cas limi où T =, on obin : ν max

11 Calcul numériqu d la T.F. 99 f() =F - [F(ν)]= F - [F S (ν) rc ν ( ν) ] max = F - [F S (ν)] * F - [ rc ν ( ν) ] = δ T max ( ) f() * ν max sinc(πν max ) + = δ n f() * νmax sinc(πν max ) n = T + δ nt f() * νmax sinc(πν max ) n = =T ( ) + n = * νmax sinc(πν max ) =T f(nt ) δ( nt ) + =T f(nt ) ν max sinc(πνmax (-nt )) n = + d où f ) = f(nt ) sin c( πν ( -nt )) ( max n = ( πf -nπ ) + n = f sin c ) n = F C drnir résula monr l impossibilié d uilisr la méhod rigourusmn sur ds signaux physiqumn réalisabls.

12 00 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus VI Calcul numériqu d la ransformé d Fourir T On rprnd ici un foncion f non nécssairmn cnré sur l origin, on approxim sa T.F. par la méhod ds rcangls. Pour limir ls rrurs, ls échanillons son pris au cnr ds inrvalls d approximaion : On pos : f p =f( p ) p = 0 + T + (p-) T = + (p-) T La périod d échanillonnag s T on a F =/T. La duré d l échanillonnag s = T F =/ + F(ν) = f ( ) -i πν d 0+ i f ( ) d 0 πν p f ( p iπν p T = T f p iπν + (p )T iπν T ( + (p )T ) f p= p iπν -i πν (p-) T p p= = T f

13 Calcul numériqu d la T.F. 0 L héorèm d Shannon monr qu l calcul d F(ν) n aura un sns qu si ν n s pas rop élvé. On calcul ainsi F(ν) pour ds valurs discrès d ν : ν q = q q F q = = q=... δ Alors: F q = F(ν q ) = δ -iπ (q-) p= f (q- )(p- ) -iπ p Ls logicils d calcul fournissn par un procédur souvn applé FFT la somm : S q = p= f p π i ( q )( p ) (q- ) -iπ d sor qu: F q = F( ν q ) = T T Sq avc ν q = q Ainsi, F(ν q ) =T S q. Par conr la phas φ(ν q )=argumn[f(ν q )] s n général moins dircmn rlié à argumn[s q ] VII Algorihm FFT On souhai calculr la somm: S q = f p= Supposons qu s pair posons =P. π i (q )(p ) p On disingu dans la somm S q ls indics p pairs (p=j) ls indics p impairs (p=j-), alors : S q = p= π i ( q )( p ) p f

14 0 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus P π i = f j P q j + f j j= π ( )( ) i ( P q )( j ) π i P q P π i P q j P π ( ) ( )( ) i ( P j q )( j ) j j= j= = f + f π P π P π i ( q ) i ( q )( j ) i ( q )( j ) P j P j j= j= = f + f π i ( q ) = S + S q pair q impair π i ( q ) D plus: S q+p = S + S (l calcul d S q q pair donn «n prim» l calcul d S q+p ) q impair Ls dux somms S q pair S q impair s calculn xacmn d la mêm manièr qu S q, d sor qu l calcul d un TF numériqu d poins s ramèn à cll d dux TF numériqus d poins. Si s lui mêm pair, on pu iérr l procédé appliqur la méhod aux dux somms S q pair S q impair. L algorihm s donc appliqué à ds somms où s un puissanc d : = m. On monr alors qu l nombr d opéraions pour calculr ous ls S q pass d à m, soi un gain d mps considérabl lorsqu dvin grand.

15 Calcul numériqu d la T.F. 03 VIII Exmpl f() Soi la foncion : f()= Havisid() -πa cos(πν 0 ) (a=0,5 ν 0 =30 Hz) Il s agi d un sinusoïd amori débuan à =0. (figur) Sa T.F. s : F( ν) = π a + iν ( a + i( ν ν ))( a + i( ν + ν )) 0 0 son spcr présn un pic à ν ν 0 =30 Hz (figur) F(ν) L calcul numériqu du spcr s condui n échanillonnan sur un duré =0.5 s avc = 6 =64 poins à parir d =0.

16 04 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus La fréqunc d échanillonnag s F = 64 0, 5 = 56 Hz. L spcr obnu numériqumn présn un maximum voisin d l nir q=9, soi ν q = q 8 = = 3 Hz ν 0 (figur ci-après) : 0. 5 L spcr présn par aillurs dux paris symériqus l un d l aur. Pour comprndr l phénomèn, il suffi d s souvnir qu c n s pas la T.F. d f qu l on calcul, mais cll d la foncion échanillonné f s (voir l paragraph sur l héorèm d Shannon). Son spcr s la succssion d spcr d f régulièrmn spacés d F = = = T. F S (ν) -ν max /T /T L algorihm prm l calcul ds fréquncs ν q = q avc q=... fourni n définiiv la fin du spcr (à parir d ν=0), puis son commncmn (zon ncadré sur la figur)

17 Calcul numériqu d la T.F. 05 La prmièr pari d la somm (q=... spcr (ν [0,ν max ]) ) s la «fin» du [-ν max,0[) La scond pari (q= +...) s l «débu» du spcr(ν C propriéé d la ransformé d Fourir d un foncion échanillonné s appll l «phénomèn d rplimn» du spcr. Rmarqu : si f s réll, alors F( ν) = F( ν ), l spcr s pair la scond pari s rdondan. Par conr, si f s complx, la scond pari sra uilisabl. Rmarqus praiqus: Augmnaion du domain fréqunil xploré: Il suffi d augmnr puisqu ν max =. Si on doubl, l domain fréqunil balayé doubl mais la duré du calcul doubl aussi approximaivmn. Augmnaion d la résoluion: Dans l xmpl, l maximum du spcr n s pas localisé avc précision. On pu êr amné à augmnr la résoluion, c s-à-dir l nombr d poins d calcul n mainnan l domain fréqunil xploré inchangé: ν = max = c. Donc, doivn augmnr dans ls mêms proporions. pour doublr la résoluion, il fau doublr égalmn doublr. La figur rprnd l xmpl avc un résoluion quadruplé (= 8 = s)

18 06 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus On pu aussi augmnr la résoluion n diminuan l domain fréqunil balayé (augmnaion d ) n mainnan consan. 3 Calcul ds fréquncs négaivs: Calculons F(ν q ) avc q=-q + : F( ν ) = T f q = T f q- (q- )(p- ) -i π ( ) -iπ p p= -i ( -q'+ ) -i ( -q'+ )(p- π π ) p p= -i (-( q'- )) i (-(q'- ))(p- ) π π -iπ iπ = T T f T p = F(-νq' ) p= On voi qu F(-ν q )= i + π T F(ν -q + ) La fréqunc négaiv -ν q = q'- -q + s donc calculé avc l nir

19 Calcul numériqu d la T.F. 07 IX Calcul d la phas Puisqu F(ν q ) = δ -iπ (q- ) calcul d la phas condui à: qu F(-ν q )= i T S q + π T F(ν -q + ), l q- φ( νq ) = π + arg[ Sq ] T φ( νq' ) = φ( ν-q'+ ) + π T Cs dux xprssions donnn ds résulas corrcs an qu l signal analysé n présn pas d disconinuié. Dans l cas conrair (comm pour l xmpl f()= Havisid() -πa cos(πν 0 ) : sinusoïd amori débuan à =0), ls résulas obnus puvn êr rronés comm on pu l consar sur ls courbs ci-dssous. L problèm provin du fai qu il xis un échanillon sur la disconinuié. Si i s sur la disconinuié, on voi qu l rcangl d approximaion appor un grand rrur sur l simaion d l inégral. surfac n rop i i T /

20 08 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus En rvanch, si on s arrang (c qui n s pas oujours possibl) pour prélvr l échanillon à un disanc T s compnsn. d la disconinuié, ls rrurs On monr ici l spcr n phas obnu n échanillonnan la foncion disconinu n =0 à parir d = T. L accord s mainnan saisfaisan. On pu aussi rmarqur, pour évir d rfair l échanillonnag, qu ou s pass comm si l signal débuai n =- T /.

21 Calcul numériqu d la T.F. 09 X Conclusions Soi un signal f(). Pour calculr numériqumn sa ransformé d Fourir, il fau : échanillonnr f sur un duré à parir d avc = m poins: f p =f( + p- ) p=... calculr par l algorihm FFT ls somms S q q=... 3 on a alors : F( νq ) = T Sq F(- νq' ) = F( ν -q'+ ) q- φ ( ν q ) = π T φ ( ν q' ) = φ( ν -q' + + arg[ S q ) + π T ] avc ν q = q- q- q- = T = F L domain fréqunil xploré s énd d -ν max à +ν max avc : max = = F On rouvra n annx un xmpl d calcul d FFT réalisé avc MAPLE.

22 0 Mahémaiqus pour ls Scincs Physiqus Bibliographi - Fichir aid n lign, Mapl, Mahmaica. - Traimn numériqu ds signaux, Mura Kun, Prsss polychniqus Romands - Mahémaiqus d l ingéniur, Jan-Mari Monir, polycopié. - Inroducion o Fourir Opics, Josph W. Goodman, Mc-Graw- Hill - Opics, Hch, Addison Wsly