Chapitre 8 Le calcul intégral

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1 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Chpitre 8 Le clcul intégrl A) Intégrle d une fonction dérivle sur un intervlle 1) Définition Soit f une fonction dérivle sur un intervlle I de ℝ et soit F l une de ses primitives sur l'intervlle ] ; [ vec et dns I. On ppelle intégrle de f de à et on note f ( x)dx le nomre F() F(). et sont ppelés les ornes de l intégrle. Remrques : ) Si F et G sont deux primitives de f, on ur une constnte c de ℝ telle que F = G + c, d où F() F() = G() + c (G() + c) = G() + c G() c = G() G(). Ceci justifie que l définition cidessus puisse utiliser n'importe quelle primitive de f. f ( x)dx ) est un nomre réel. On présente son clcul de l fçon suivnte : f ( x)dx = [F(x)] = F() F() 2) Exemples Clculer : 4 ) x dx 1 π ) sin( x ) dx 0 2 c) (5 x 2+ 2 x) dx 1 B) Clcul d ires 1) Unité d ire Soit un repère orthogonl (O, i, j) et A, B et C les points tels que OA= i et OB= j. On ppelle unité d ire l ire du rectngle OACB, c est à dire le produit OA x OB. Pge 1/10

2 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Si OA fit 2 cm et OB 4 cm, l unité d ire ser 2 x 4 = 8 cm² 1 u.. = 8 cm² 2) Aire délimitée pr l coure de f(x) sur l'intervlle [ ; ] ) f(x) > 0 C est l ire de l prtie ici hchurée. Théorème (dmis) : Soit f une fonction dérivle et positive sur un intervlle ] ; [ et soit Cf s coure représenttive. L ire A de l surfce délimitée pr f(x), (Ox) et les droites (x = ) et (x = ) vut, en unités d ire, A= f ( x)dx. Exemples : Reprendre les exemples du A : ) qui est un trpèze, ) une prtie de sinusoïde, et c) une portion de prole. Pge 2/10

3 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl ) f(x) 0 sur ] ; [ Soit g(x) = f(x) sur ] ; [. L ire délimitée pr g est symétrique, et donc égle à celle délimitée pr f sur [ ; ]. Donc Aire de f = g ( x ) dx = ( f ( x ))dx c) f(x) chnge de signe sur ] ; [ Pge 3/10

4 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl c L ire ser lors f ( x)dx + ( f ( x ))dx. c Π On ur A = 2Π sin( x ) dx+ ( sin( x )) dx 0 Π d) Aire délimitée pr f et g dns ] ; [ (f(x) g(x) sur ] ; [ Pge 4/10

5 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Théorème (dmis) : ( f ( x ) g ( x ))dx= f ( x) dx g ( x )dx= f ( x)dx + ( g (x )) dx Clculer l ire comprise entre f(x) = x² et g(x) = x entre 1 et 5. C) Propriétés de l intégrle 1) Propriétés élémentires De l définition, on déduit fcilement que ( f ( x )+ g ( x ))dx= f ( x) dx+ g ( x )dx k f ( x )dx=k f ( x )dx f ( x)dx = f ( x ) dx c f ( x) dx = f ( x )dx+ f ( x )dx c f(x) = x sur [0 ; 1], f(x) = 1 sur [1 ; 2] et f(x) = 3 x sur [2 ; 3]. Clculer l ire délimitée pr f sur [0 ; 3]. Vérifier que c est ien l ire du trpèze : Pge 5/10

6 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl 2) Inéglités Soit f et g dérivles sur [ ; ] : Si f(x) > 0 sur [ ; ], lors f ( x)dx 0 Si f(x) > g(x) sur [ ; ], lors f ( x)dx g ( x)dx 3π 3π 1+ cos ( x) dx= f ( x)dx Soit I = x 2π 2π Montrer que pour tout x entre 2π et 3π, on 0 f ( x ) 2 x En déduire que I [0 ; 1] B) Vleur moyenne 1) Définition Soit f dérivle sur [ ; ]. On ppelle vleur moyenne de f sur [ ; ] le nomre μ tel que μ= 1 f (x )dx Clculer l moyenne de f(t) = sin(t) sur l'intervlle [0 ; π]. 2) Propriétés Soit f dérivle sur [ ; ] et pour tout x entre et on m f(x) M. On ur lors m dx f ( x)dx M dx Alors, m( ) f ( x) dx M ( ) Donc m( ) ( )μ M ( ) Soit : m μ M Interpréttion grphique : Pge 6/10

7 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Aire A = Aire B E) Clculs de volumes 1) Unité de volume De même qu on défini l unité d ire pr rpport à un repère O, i, j ) dns le pln, on définit l unité de volume (u.v.) pr le volume du pvé droit dont OI, OJ et OK sont des rêtes, dns le repère (O, i, j, k ) vec OI = i, OJ = j, et OK = k. Pge 7/10

8 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl 2) Volume d un solide à fces prllèles Soit un solide délimité pr deux plns prllèles u pln (O, i, j ), d éqution (z = = et (z = ) : On ur V = S (z )dz (sur l figure, = 0 et = 5). En ppelnt S(z0) l ire de l intersection entre le pln (z = z0) et le solide. 3) Exemples : ) Cylindre droit ou incliné ) Cône droit ou incliné c) Volume de l sphère Pge 8/10

9 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl 4) Volume d un solide de rottion Aire du cercle en x = π (f(x))² 2 2 D où volume V = π( f ( x )) dx qui s'écrit ussi V =π ( f ( x )) dx. Clculer le volume du solide engendré pr l rottion de l prtie de l coure sin(x) comprise entre 0 et π utour de l xe Ox. Exercices : Pge 150 N0 1, (2), 3, (4), 5,6 Pge 151 N 21 Pge 157 N 50 Pge 153 N 30 Pge 156 N 44 Devoir mison : Pge 152 ex 25 et 48 pges Ou : Pges N 53 et 48 pges Pge 9/10

10 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Le clcul intégrl Fiche de révision Définition f ( x)dx =[ F ( x )]=F () F ( ) Clculs d ires Soit f une fonction dérivle et positive sur un intervlle ] ; [ et soit Cf s coure représenttive. L ire A de l surfce délimitée pr f(x), (Ox) et les droites (x = ) et (x = ) vut, en unités d ire, A= f ( x) dx. Inéglités Si sur ] ; [ on f ( x ) g ( x), Alors on ur f ( x)dx g ( x)dx Vleur moyenne de f(x) sur [ ; ] 1 μ= f ( x) dx Et si sur ] ; [ on m f(x) M, Alors on ur m μ M Volume d un solide compris entre deux plns horizontux V = S (z )dz (vec S(z) ire de l coupe du solide u niveu z) Volume d un solide de révolution engendré pr l coure de f(x) 2 V =π ( f ( x )) dx Pge 10/10