Les nombres complexes

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1 LGL Cours de Mathématques 6 Les nombres complexes Notaton, Défnton A Introducton et notatons Dans l'ensemble des enters naturels, une équaton telle que x + 5 admet une soluton. Pour que l'équaton x + 5 admette une soluton, on dot ntrodure la noton d'enter relatf. De même, pour résoudre l'équaton x 5 on dot ntrodure la noton de nombre ratonnel, etc. Chaque nouvelle "catégore" de nombres permet de résoudre de nouveaux problèmes. Vous allez mantenant découvrr des nombres qu permettront de résoudre des équatons du type x Au XVI me sècle, en Itale, certans mathématcens ont ms en évdence des nombres "magnares" aux cureuses proprétés. Ces nombres sont aujourd'hu appelés «nombres complexes». Leur exstence a été confrmée au travers de la résoluton par Bombell de l'équaton x 5x 4, selon une méthode mse au pont par Cardan et Tartagla. B Formule de Cardan-Tartagla En 545, Cardan a publé une formule de résoluton "par radcaux" d'une équaton du type x + px+ q. Tartagla lu en a contesté la paternté. La formule est 4p 7q +. q 4p + 7q q 4p + 7q x , elle n'est utlsable que s C Actvté préparatore Résoluton de l'équaton de Bombell Sot Px ( ) x 5x 4. Calculez P (4). a) Calculez 4p + 7q dans le cas de l'équaton Px ( ). b) Ben qu'elle n'at pas de sens, écrvez la formule de Cardan. c) Supposons qu'l exste une quantté que nous noterons qu, élevée au carré, donne. En applquant les règles de calcul habtuelles, démontrez que ( + ) + + et ( ). d) En applquant ces remarques à la formule de Cardan, retrouvez 4 comme soluton de l'équaton x 5x 4 et résolvez cette équaton. Remarque L'exstence d'un «nombre» tel que semble justfée pusque son utlsaton dans les calculs précédents permet de retrouver un résultat vérfé par une autre méthode. On a utlsé des expressons de la forme a+ b dans lesquelles a et b sont des nombres réels. De telles expressons sont appelés des nombres complexes. L'ensemble des nombres complexes est noté. Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - -

2 LGL Cours de Mathématques 6 D Soluton de l'actvté préparatore P (4) donc 4 est racne du polynôme de Bombell. a) Par dentfcaton des coeffcents p 5 et q 4. D'où ( ) ( ) ( ) 4 p + 7q b) La formule de Cardan x + + (*) En supposant ( ) ( ) ( ) ( ) En remplaçant dans la formule (*) ( ) ( ) x + + x ! On retrouve donc la soluton ndquée sous. E Défntons vor cours F Les nombres complexes et la V nd+ Il est évdemment possble de fare des opératons sur les nombres complexes sur la V. Le nombre magnare se trouve postonné "au-dessus" de la touche I. Pour écrre un nombre complexe, l sufft d'ntrodure par exemple + 4. Pour résoudre une équaton au sen de l'ensemble, l faut échanger "solve" contre "csolve". Opératons dans vor cours Représentaton géométrque d'un nombre complexe vor cours 4 Conjugué d'un nombre complexe vor cours Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - -

3 LGL Cours de Mathématques 6 5 Module d'un nombre complexe A Défnton On appelle module d'un nombre complexe par z a + b z z z a + b, le nombre réel noté z, défn Remarque z z z B Proprétés z a b z a + ( b) a + b z Comme a + b a, on a z a + b a a a z Re(z) z z z z zz zz zz z z z z donc z z z z z + z z + z n n en généralsant z z 6 Equatons à coeffcents complexes A Défnton Une racne carrée d'un nombre complexe Z est un nombre complexe z, tel que Z z. B Recherche d'une racne carrée d'un nombre complexe ) Parte théorque Théorème Tout nombre complexe non-nul admet deux racnes carrées opposées. Démonstraton Posons Z a+ b et z x+ y, x,y,a,b tel que z ( x+ y) x y + xy a+ b Z Comme les deux nombres complexes Z et z sont égaux ss leurs partes réelles et leurs partes magnares sont respectvement égales, on obtent, par dentfcaton, le système de deux équatons à deux nconnues suvant x. y a () xy b () Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - -

4 LGL Cours de Mathématques 6 D'autre part (*) Z z Z z z a + b x + y ( ) ( ) () + () () () + + x a b a x a b a y a b a y a b a Comme a + b a a, x et y ne prennent pas des valeurs négatves et on peut donc extrare les racnes carrées x ± ( a + b + a) et y ± ( a + b a). S on a chos un sgne pour x, le sgne de y résulte de () xy b Remarque Les deux racnes carrées d'un nombre complexe sont toujours deux nombres complexes opposés. () Démonstraton de (*) Z a+ b a + b et ( ) ( ) ( ) Z a+ b ( x+ y) z z x+ y x y + xy x y + 4x y Comme Z x xy + y + 4xy x + xy + y ( ) x + y x + y z, les deux modules sont égaux et l s'ensut que Z a + b x + y z cq f d.... ) Exemple concret Détermner les racnes carrées de Z 5+ Supposons que z a + b sot une racne carrée de Z. Alors Z z ( x+ y) ( x y ) + xy 5+ On en dégage le système x. y 5 () xy () x et y ont même sgne, car le produt est postf x + y () x + y a + b () + () x 8 donc x± () () y 8 donc y ± On en dédut les deux racnes carrées de Z 5 + z + et z z ( ) ( + ) ( + ) Vérfcaton [ ] Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 4 -

5 LGL Cours de Mathématques 6 ) Exercces avec soluton ) Z 4 9 ± 9 z, ) Z 4 7 ± 7 z, C Applcaton Résoluton d'une équaton du second degré ) Parte théorque Théorème Toute équaton de la forme complexes az + bz + c (*) a,b, c avec a admet deux racnes Démonstraton az + bz + c a b z + z + a z + b a c a b 4a c a b b b z + z + + a 4a 4a trnôme carré parfat b b 4ac z + a 4a c a S d et -d sont les racnes carrées du nombre complexe (*) sont b d b d z' + et z + a a a a b d b + d z' et z a a b 4ac, les solutons de l'équaton ) Exemple concret Résoudre l'équaton z ( + ) z a b ( + ) c 5 + b 4ac ( + ) 4(5 + ) Recherchons les racnes carrées de Supposons que d x+ y sot une racne carrée de Z Alors d ( x y) ( x y ) xy Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 5 -

6 LGL Cours de Mathématques 6 On en dégage le système x. y 5 () xy 8 () x et y ont même sgne, car le produt est postf x + y 7 () x + y a + b () + () x donc x ± () () y donc y ± 4 On en dédut les deux racnes carrées de d d + 4 et d d 4 Revenons à l'équaton du second degré b d + 4 ( ) z' a b + d ( + ) z a z' z + D'où la soluton S { ; + } ) Exercces avec solutons Résoudre les équatons du second degré ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) z + ( )z 5 z + ( )z + 5 z 5( + )z + 9 9z 9( )z + 4 z (4 )z z + ( )z 6 z (6 + )z z (5 )z + 8 z 4( )z + (4 ) Montrer en plus que z z Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 6 -

7 LGL Cours de Mathématques 6 Solutons ) 5 8 d + 4 z z ) 5 8 d + 4 z z + ) d 7 + z + z 6 + z z 4) d z z + 6 5) 5 d z z + 6) 5 + d + z z 7) 7 4 d 4 z 5 z + 8) 8 6 d z z + 9) 4 d 6 z 5 z + Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 7 -

8 LGL Cours de Mathématques 6 D) Applcaton Equatons réductbles à des équatons du second degré D Résoluton d'une équaton de degré n (n > ) à coeffcents réels Exemples résolus ) Résolvez dans l'équaton suvante Pz z z ( ) 4 z 4 4 Pz ( ) Il s'ensut que z est racne réelle entère de P. Utlsons le schéma de Horner pour fare la dvson exacte de P par z Soluton Dv( 4) { ± ; ± ; ± 4} D'où Pz ( ) z z 4 ( z )( z + z+ ) ( ) + + Pz z ou z z 4 4 z + z S ; + ; { } 4 ) Résolvez dans l'équaton suvante Pz ( ) z + z + 4z+ 5 z Soluton Dv ( 5) { ± ; ± ; ± 5; ± 5} Pz ( ) 9 Il s'ensut que z et z sont des racnes réelles entères de P. Utlsons le schéma de Horner pour fare la dvson exacte de P par z +, pus du quotent obtenu par z D'où Pz ( ) ( z+ )( z + z z+ 5) D'où Pz ( ) ( z+ )( z+ )( z z+ 5) ( ) Pz z ouz ou z z 6 6 z z + S ; ; ;+ { } Remarque Dans cette sorte d'équaton - avec des coeffcents réels -, la méthode de recherche de la racne parm les dvseurs du terme constant est valable, mas au moment où les coeffcents sont des nombres complexes, la méthode n'est plus utlsable. Dans un tel cas, l faut la nature d'(au mons) une racne pour pouvor poursuvre. Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 8 -

9 LGL Cours de Mathématques 6 D Résoluton d'une équaton de degré n (n>) à coeffcents complexes ) Exercces résolus er exemple (Examen D 9/99) ) Résoudre dans l'équaton du second degré z + (4 )z 5 ( 8 ponts) ) Résoudre dans l'équaton du trosème degré z + ( )z + (7 + )z +, sachant qu'elle admet une racne purement magnare. ( ponts) Résoluton de cette queston d'examen ) z + (4 )z 5 a b 4 c ( + 5) b 4ac (4 ) + 4( + 5) Recherchons les racnes carrées de 4 Supposons que d x+ y sot une racne carrée de Z Alors d ( x+ y) ( x y ) + xy 4 On en dégage le système x. y () xy 4 () < x et y sont de sgnes contrares x + y 5 () x + y a + b () + () x donc x ± () () y 8 donc y ± On en dédut les deux racnes carrées de 4 d d et d d + Revenons à l'équaton du second degré b d 4 + ( ) z' a b + d 4 + ( ) z a S ; { } z' z Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 9 -

10 LGL Cours de Mathématques 6 ) L'équaton z + ( )z + (7 + )z + admet une racne purement magnare équvaut à dre que ( b ) ( b ) est une racne du polynôme P(z) z + ( )z + (7 + )z +. Il s'ensut que P(b) (b) + ( ) (b) + (7 + ) (b) + b b + b + 7b b + (b b ) + ( b b + 7b + ) D'où le système d'équatons b b b b + 7b + () () La résoluton de l'équaton du second degré () nous fournt les deux valeurs 5 b ou b En remplaçant b dans () b b + 7b Donc z o est une racne de P(z). Depus la 4 me, nous savons que P(z) est alors dvsble par z zo z. Effectuons donc cette dvson en utlsant le schéma de Horner Il s'ensut P(z) (z )(z + (4 )z 5) équaton résolue sous ) D'où S { ; ; } me exemple (Examen D 6/99) Résoudre l'équaton z + ( )z + ( 8)z + 9,sachant qu'elle admet une racne magnare pure. (8 ponts) Résoluton de cette queston d'examen L'équaton z + ( )z + ( 8)z + 9 admet une racne purement magnare équvaut à dre que ( b ) ( b ) est une racne du polynôme P( z) z + ( ) z + ( 8) z+ 9. Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - -

11 LGL Cours de Mathématques 6 Il s'ensut que P(b) (b) + ( ) (b) + ( 8) (b) + 9 b b + b b 8b + 9 (b b b + 9) + (b 8b ) D'où le système d'équatons b 8b () b b b + 9 () La résoluton de l'équaton du second degré () nous fournt les deux valeurs b et b En remplaçant b dans () b b b Donc z o est une racne de P(z), c.-à-d. P(z) est dvsble par z zo z. Effectuons donc cette dvson en utlsant le schéma de Horner Il s'ensut P(z) (z )(z z + + ) Equaton du sec ond deg ré Résoluton de l'équaton du second degré z z + a b c b 4ac ( ) 4 ( + ) Recherchons les racnes carrées de 4 Supposons que d x+ y sot une racne carrée de Z Alors d ( x y) ( x y ) xy On en dégage le système x. y () xy 4 () < x et y sont de sgnes contrares x + y 5 () x + y a + b x donc x () + () 8 ± y donc y () () ± Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - -

12 LGL Cours de Mathématques 6 On en dédut les deux racnes carrées de d d et d d + Revenons à l'équaton du second degré 4 b d + ( + ) z' a b + d + ( + ) z + a z' z + D'où la soluton à l'équaton P(z) S { ; ; + } me exemple (Devor (A) D /99) ) Résoudre dans C l'équaton du second degré suvante ( )z + (5 )z ) Résoudre l'équaton ( )z ( 7)z + ( )z +, sachant qu'elle admet une racne réelle. (6 (4+) ponts) Résoluton de cette queston de devor ) Résoluton de l'équaton du second degré Q(z) ( )z + (5 )z a b 5 c b 4ac (5 ) + 4( ) Recherchons les racnes carrées de 6 + Supposons que d x+ y sot une racne carrée de Z Alors d ( x y) ( x y ) xy On en dégage le système x. y 6 () xy () > x et y sont de même sgnes x + y 4 () x + y a + b () + () x 5 donc x ± 5 dans () y ± On en dédut les deux racnes carrées de 6 + d d 5 + et d d 5 Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - -

13 LGL Cours de Mathématques 6 Revenons à l'équaton du second degré b d 5 5 ( + ) + 4 z' a ( ) ( ) + b + d ( + 4) z + a ( ) ( ) + z' z + Soluton S { ; + } ) Résoluton de l'équaton du trosème degré en z L'équaton ( )z ( 7)z + ( )z + admet une racne réelle équvaut à dre que ( a ) ( a ) est une racne du polynôme P(z) ( )z ( 7)z + ( )z +. Il s'ensut que P(a) ( )z ( 7)z + ( )z + ( )a ( 7)a + ( )a + (a a + a) + ( a + 7a a + ) D'où le système d'équatons a(a a + ) () a + 7a a + () La résoluton de l'équaton () nous fournt les tros valeurs a, a et a En remplaçant a dans () a + 7a a En remplaçant a dans () a + 7a a En remplaçant a dans () a + 7a a Donc z o est une racne de P(z), c.-à-d. P(z) est dvsble par z zo z. Effectuons donc cette dvson en utlsant le schéma de Horner Il s'ensut Pz z z z ( z ) Q(z) ( ) ( ) ( ) + (5 ) Soluton D'où la soluton à l'équaton P(z) S { ; ; + } Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - -

14 LGL Cours de Mathématques 6 ) Exercces avec solutons Résoudre dans les équatons suvantes ) ) ) 4) 5) 6) 7) z + ( 4)z ( + )z 6 6 racne magnare pure z + z + (5 + 7)z + racne magnare pure z + z + z + racne magnare pure z + (4 )z + ( 7)z + (5 ) racne magnare pure z + ( )z + ( + 8)z racne magnare pure 4( + )z 4( + )z ( + )z racne réelle z + (6 + ) z + (7 ) z + 7 racne réelle Solutons ) ) S S { ; ; } { ; ; + } ) 6 d S ; + ; + + 4) 5 8 d 4 S { ; ; + } 5) 6) 7) 6 P(z) (z ) P(z) (z + ) d 4 [ ( + )z + ( + )z + ] 8 6 d [ z + ( + 4)z + (9 7) ] 5 d 6 S { ; ; } S ; S ; ; + ; 5 + Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 4 -

15 LGL Cours de Mathématques 6 7 Forme trgonométrque d'un nombre complexe Explquons la détermnaton de la forme trgonométrque d'un nombre complexe sur l'exemple llustré Cas partculer Cas général FA z 4+ FA z a + b r z r z a + b b snϕ snϕ 5 r 4 a cosϕ cosϕ 5 r 4 a b z z a+ b r + r 5 5 r r 4 a b z 5 + z r r r D'où la formule générale pour la forme trgonométrque d'un nombre complexe ( cosϕ sn ϕ) ϕ [ ; ϕ] z a+ b r + r cs r a b avec r a + b ( > ) cosϕ snϕ r r A Produt de deux nombres complexes sous forme trgonométrque Soent les deux nombres complexes z r cs( ϕ ) et z r cs( ϕ ). Alors z z r cs( ϕ ) r cs( ϕ ) r r cs( ϕ + ϕ ) La démonstraton se trouve dans le lvre EM6.6 page. B Pussance d'un nombre complexe sous forme trgonométrque Sot le nombre complexe z r cs( ϕ ) et n un enter naturel non nul ( ) n n Alors ( ) ( ϕ) ( ϕ) n n. n z r cs r cs n Formule de Movre La démonstraton (par récurrence) se trouve dans le lvre EM6.6 page. Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 5 -

16 LGL Cours de Mathématques 6 C Racnes n-èmes d'un nombre complexe sous forme trgonométrque Défnton z est une racne n-ème d'un nombre complexe ( ) n k z z z k Proprétés ) Tout nombre complexe z r cs( ϕ ) admet n racnes n-èmes dstnctes données par n ϕ + k π pour n zk r cs, k,,,,..., n n { } La démonstraton (par récurrence) se trouve dans le lvre EM6.6 page. ) Les n racnes n-èmes du nombre complexe z r cs( ϕ ) sont égales au produt de l'une d'elles par les n racnes n-èmes de. La démonstraton (par récurrence) se trouve dans le lvre EM6.6 page. ) Les racnes n-èmes du nombre complexe z r cs( ϕ ) sont, dans le plan de Gauss, les sommets d'un polynôme réguler de n côtés nscrt au cercle de rayon n r et de centre O. La démonstraton (par récurrence) se trouve dans le lvre EM6.6 page. Beran - CoursExerccesResolus6 Nombres complexes page - 6 -