Estimation du coefficient de diffusion de la volatilité d un modèle à volatilité stochastique

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1 C. R. Acad. Sc. Pars, t. 330, Sére I, p , 000 Statstque/Statstcs (Probabltés/Probablty heory Estmato du coeffcet de dffuso de la volatlté d u modèle à volatlté stochastque Araud GLOER Équpe d aalyse et de mathématques applquées, Uversté de Mare-la-Vallée, bâtmet Coperc, cté Descartes, 5, boulevard Descartes, Champs-sur-Mare, Mare-la-Vallée cedex 0, Frace Courrel : gloter@math.uv-mlv.fr (Reçu le ovembre 1999, accepté le 4 ovembre 1999 Résumé. Nous ous téressos, das le cadre des modèles à volatlté stochastque troduts par Hull et Whte [6], à l estmato du coeffcet de dffuso de la volatlté. Notre observato, de type dscrète, est fate sur u tervalle de temps f et aucue hypothèse d ergodcté est écessare pour la volatlté. Nous costrusos u estmateur, motros sa covergece et établssos que sa vtesse de covergece est e N 1 4 (où N est le ombre d observatos. 000 Académe des sceces/édtos scetfques et médcales Elsever SAS Estmato of the volatlty dffuso coeffcet for a stochastc volatlty model Abstract. We study, the stochastc volatlty model troduced by Hull ad Whte [6],the estmato of the dffuso coeffcet for the volatlty process. he model s dscretely observed o a fxed legth tme terval ad o ergodcty assumpto s eeded for the volatlty process. We costruct a estmator, show ts cosstecy ad establsh that ts rate of covergece s N 1 4 (N s the umber of observatos. 000 Académe des sceces/édtos scetfques et médcales Elsever SAS Abrdged Eglsh verso Let (Y,X be the strog soluto of the two-dmesoal stochastc dfferetal equato dy t = σ t dw t, Y 0 = η, X t = σt, dx t = θa(x t db t + b(x t dt, X 0 = x 0 (0,, where (B,W s a stadard Browa moto o R depedet of η ad θ s a parameter to be estmated. he fucto a s kow, whereas b may be kow or ukow. Let be a fxed real umber, ad, m be two tegers 1; we observe the sample path (Y t 0 t, accordg to a double dscretzato Note présetée par Paul DEHEUVELS /00/ Académe des sceces/édtos scetfques et médcales Elsever SAS. ous drots réservés. 43

2 A. Gloter at tmes ( + j m, =0,..., 1, j =0,...,m.FromtheseN = m +1observatos, we defe, for =0,..., 1, the followg varables, upo whch we shall costruct our estmator, m 1 X, m = (. 1 Y ( + j+1 m Y ( + j m Our set of assumptos for X s the followg: (A1 P ( t, X t > 0 = 1. (A a, b C (0, ad there exsts c 0 such that for all x (0, : Itroduce the sgma feld, j=0 a 1 (x + a(x + a (x + a (x + b(x + b (x + b (x c ( x c + x c. G t = σ ( (B s,w s,s t, η. (A3 K 0 > 0, k [0,K 0, c(k, t 0, E ( ( sup s [t,t+1] Xs k G t c(k 1+X k t ; K > 0, k [0,K, c(k, t 0, E ( sup s [t,t+1] Xs k G ( t c(k 1+X k t. hs last assumpto s rather techcal, but may be checked for may usual models of dffuso for X. Let us stress that o assumpto about ergodcty of X s eeded our work. Frst, we study the behavour of the quadratc varato of ( as ad m ted to. PROPOSIION. Assume (A1 (A3 wth K 0 = K = ad let m be a sequece of tegers such that m 0,the ( Xm +1, m X, = θ a (X s ds X m, 4 Xs m ds +o P(1. 0 hs proposto suggests to troduce the followg estmator, θ,m = 3 {( Xm +1, X m, a ( 4 ( Xm, } Xm, m a (. Xm, HEOREM. Assume (A1 (A3 wth K 0 = K = ad 3 m 1 0. he, θ,m Furthermore, we have the followg expaso: ( θ,m θ = Z + (( m ( m 1 3 B, L P θ. where Z N (0, 9 4 θ4 ad (B s a tght sequece. I the specal case m =, we deduce that ( θ,m θ s tght. Hece, our estmator, based o N = +1observatos of Y,hasrate 1, whch meas a rate N 1 4. If m 1 0, the estmator s asymptotcally ormal, but wth a rate slower that N Modèle, hypothèses et observatos 44 Cosdéros le couple (Y,X soluto de l équato dfféretelle stochastque :

3 Estmato du coeffcet de dffuso de la volatlté d u modèle à volatlté stochastque dy t = σ t dw t, Y 0 = η, (1 X t = σt, dx t = θa(x t db t + b(x t dt, X 0 = x 0 (0,, ( où (B,W est u mouvemet browe stadard de R, dépedat de la varable aléatore η et θ (0, est u paramètre que l o cherche à estmer. La focto a est supposée coue, mas b et x 0 e le sot pas écessaremet (e partculer, b peut dépedre de θ. Nous observos ue dscrétsato de (Y t t [0, ],depas m,où et m sot des eters supéreurs ou égaux à 1 et >0est u réel fxé. Notre échatllo est doc ( Y ( + j m, costtué de 0 1, 0 j m N = m +1valeurs. Notre asymptotque sera de fare tedre et m = m vers l f. Cette double dscrétsato permet d trodure, pour =0,..., 1, les varables observées suvates : m 1 X, m = 1 j=0 qu sot les approxmatos des varables observées, ( Y ( + j+1 m Y ( + j m (3 +1 X, = 1 Itrodusos l erreur d approxmato etre ces deux quattés : X s ds. (4 E,,m = X m, X,. (5 Rappelos que de ombreux auteurs (par exemple [3,7] ot étudé l estmato des paramètres de X lorsque seule Y est observée. Das ces travaux, X est supposée être ergodque et le temps d observato ted vers l f. Aucue de ces deux hypothèses est fate das otre cas. Nos hypothèses sur la dffuso X sot les suvates : (A1 l équato ( admet ue uque soluto forte (X t qu vérfe P ( t, X t > 0 = 1 ; (A a, b C (0, et l exste c 0 tel que pour tout x (0, : a 1 (x + a(x + a (x + a (x + b(x + b (x + b (x c ( x c + x c. Das ce qu sut, la otato c représetera ue costate géérque, qu sera toujours dépedate des eters,, m. Itrodusos la trbu G t = σ ( (B s,w s,s t, η. (6 (A3 K 0 > 0, k [0,K 0, c, t 0, E ( ( sup s [t,t+1] Xs k G t c 1+X k t ; K > 0, k [0,K, c, t 0, E ( sup s [t,t+1] Xs k G ( t c 1+X k t. Cette derère hypothèse exprme que la dffuso e s approche pas trop des bords 0 et. Elle est u outl mportat das os preuves. O peut par exemple vérfer (A1 (A3 lorsque X est l ue des dffusos suvates : dx t = µ(x t µ dt + θx ψ t db t, pour µ<0, µ > 0 et, sot, ψ (1/, 1], sot, ψ =1/ et µ µ /θ > 1. S ψ>1/, alors les valeurs de K 0, K sot K 0 = K =. Sψ =1/, alorsk 0 = µ µ /θ 1, K =. dx t =exp(z t,oùdz t = µz t dt + θ db t, pour µ 0.Ic,K 0 = K =. (E partculer, s µ =0, X t =exp(θb t est ue dffuso trasete. 45

4 A. Gloter. Résultats Nous étudos les varables X, et doos des majoratos de l erreur E,,m. Pus, ous dédusos u estmateur de θ..1. Développemets asymptotques PROPOSIION.1. Itrodusos G = G (vor(6 et supposos (A1 (A3 avec K 0 = K =, alors o a le développemet suvat : où c,, 0, E(ε, G c (X c ( 3 U, = X +1, X, = θa ( X U, ( +1 + X c et (s ( 3 db s ε,, ( ( + s db s. Par u smple calcul, o vérfe que (U,,..., 1 est u vecteur gausse cetré avec la structure de covarace d u processus MA(1 : /3 s = j, cov(u,,u j, = 1/6 s j =1, 0 s j. Grâce à ce développemet, o peut établr le résultat suvat sur la varato quadratque du processus (X, (vor [5]. COROLLAIRE.. Supposos (A1 (A3 avec K 0 = K =,alors ( X+1, X, = 3 0 θ a (X s ds +o P (1. Remarque.3. 1 Das le cas où X est u processus d Orste Uhlebeck, soluto de dx t = µx t dt + θ db t, l est établ das [4], que l o a le développemet exact suvat, aalogue à (7, X +1, e µ X, = θ µ +1 (e µ e µ( +1 s db s + θ µ µ( (e s 1 db s. La varato quadratque des (X,, a doc u comportemet très dfféret de celle des (X, 1 pusqu l apparaît le facteur 3 proveat de la varace des U,. Nous pouvos calculer des momets codtoels, pour l erreur E,,m (vor (5. PROPOSIION.4. Itrodusos la trbu G,B = σ (B u,u 0, W s,s, η. (9 (8 Supposos (A1 (A3, avec K 0 = K =. L erreur vérfe les relatos suvates : 46

5 Estmato du coeffcet de dffuso de la volatlté d u modèle à volatlté stochastque E ( E,,m G,B =0, E ( E,,m G,B =m 1 X + r,,m, E ( E +1,,m G,B =m 1 X + s,,m. Les deux termes r,,m et s,,m vérfet : c,, m 0,, E ( r,,m + s,,m G,B c 1 m ( 1+X c. Par cette proposto, o vot que l erreur E,,m est d ordre m 1 et que sa varace codtoelle e déped, au premer ordre, de la focto b, de la focto θa, et doc e déped pas de θ... Estmato du paramètre Grâce aux développemets du paragraphe précédet, o peut établr le comportemet asymptotque de la varato quadratque de ( X, m,. PROPOSIION.5. Supposos (A1 (A3 avec K 0 = K = et sot m ue sute d eters tels que m 0,alors ( Xm +1, m X, = θ a (X s ds Xs ds +o P (1. m 0 Élémets de démostrato. O écrt le développemet suvat pour les X, m, basé sur la proposto.1 m et (5. X +1, X, m = θa( ( X 1 U, +E +1,,m E,,m + ε,. O vot doc, par (8 et la proposto.4 que E (( m X +1, X, m G = 3 a( X + 4 m X + a,, oùsup, E( a, c 3. Grâce à u théorème lmte de martgales, ous dédusos le résultat souhaté. O vot, e partculer, que cette varato quadratque peut tedre vers l f (à cause de la varace des E,,m, s m 1 est pas borée. Ce résultat ous codut à trodure l estmateur de θ suvat : θ,m = 3 { ( X +1, m X, m a ( 4 ( X m }, Xm, m a ( X, m. Remarquos que cet estmateur est très dfféret de celu basé sur ue observato dscrète de X (vor [1,] 1 θ (X +1 = X a (X. Ue dffculté apparaît lors de l étude de θ,m, car a 1 peut e pas être borée e 0 et même s X reste à dstace fe postve de 0, so approxmato X, m peut predre des valeurs proches de 0. Par exemple, s m =1, codtoellemet à G0,B (vor (9, X, 1 est le carré d ue varable gaussee. Doc E(( X, 1 k G0,B = presque sûremet dès que k> 1. Pour étuder otre estmateur, ous avos établ le lemme suvat. 47

6 A. Gloter LEMME.6. Supposos (A1 (A3, alors o a l egalté suvate : k [0,K 0, c, m k +3,, 0, E (( Xm, k G c ( 1+X k. (10 Nous motros, alors, la covergece de θ,m et étudos sa lo asymptotque. HÉORÈME.7. Supposos (A1 (A3 avec K 0 = K = et 3 m 1 0.Alors, De plus, la lo de l estmateur se décompose e : L θ P,m θ. ( θ,m θ = Z + (( m ( m 1 3 B, où Z N ( 0, 9 4 θ4 et (B est ue sute tedue. Élémets de démostrato. O pose Z = ( θ θ,où θ = 3 (X +1, X,. E utlsat a (X, la proposto.1, o démotre que Z est asymptotquemet gausse. Esute, grâce à la proposto.4 et au lemme.6, o étude la dfférece etre ( θ,m θ et Z, l apparaît le terme B qu cotet les erreurs d approxmato E,,m. Remarque.8. 1 S l o chost, e partculer, m =, alors la sute 1 ( θ, θ est tedue. Notre estmateur est doc à vtesse 1, mas par rapport au ombre total d observatos, N = +1, sa vtesse est N 1 4. Nous e savos pas quelle est la vtesse exacte d estmato du paramètre θ das otre modèle. S m 1 0, l estmateur est asymptotquemet ormal, mas sa vtesse est plus lete que N 1 4. Référeces bblographques [1] Dohal G., O estmatg the dffuso coeffcet, J. Appl. Probab. 4 ( [] Geo-Catalot V., Jacod J., O the estmato of the dffuso coeffcet for multdmesoal dffuso processes, A. Ist. H.-Pocaré, Probab.-Stats. 9 ( [3] Geo-Catalot V., Jeatheau., Laredo C., Parameter estmato for dscretely observed stochastc volatlty models, Beroull 5 (5 ( [4] Gloter A., Parameter estmato for a dscrete samplg o a tegrated Orste Uhlebeck process, Prépublcato de l uversté de Mare-la-Vallée, o 14/98, [5] Gloter A., Dscrete samplg of a tegrated dffuso process ad a comparso wth the Euler scheme, Prépublcato de l uversté de Mare-la-Vallée, o 3/98, [6] Hull J., Whte A., he prcg of optos o assets wth stochastc volatltes, J. Face 4 ( [7] Sørese M., Predcto-based estmatg fuctos, Preprt,