Plan du cours. Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes

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1 Plan du cous ch. Intoduction ch. Vecteus et champs ch.3 Champ et Potentiel électostatiques ch.4 Champ Magnétique ch.5 Induction électomagnétique ch.6 Popagation des ondes électomagnétiques ch.7 Raonnement électomagnétique Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes - 005

2 Chapite 4: Champ Magnétique 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat 4. Foce magnétique eecée su un conducteu 4.3 Le potentiel vecteu 4.4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe 4.5 Utilisation du théoème d Ampèe 4.6 Dipôle Magnétique 4.7 Matéiau Magnétiques Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes - 005

3 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat k Nous avons vu que la conclusion de note eploation apide du monde de la elativité esteinte concenant la tansfomation d une foce losqu on l obseve depuis un epèe immobile () ou depuis un epèe animé d un mouvement ectiligne unifome () conduisait à: j V i F F F F i + F i + F j + F j + F k k ( v F v F ) V F F + + c + v V F γ F ( + v V c ) F γ F ( + v V c ) Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

4 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat Soit deu chages immobiles dans le epèe (): Q à l oigine et q à la position. Les vitesses v, v et v sont nulles et les foces s écivent: j k q V Q i F F F F 4πε o F γ 4πε o F γ 4πε o Q q ( + + ) 3/ Q q ( + + ) 3/ Q q ( + + ) 3/ Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

5 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat Appliquons maintenant les tansfomations de Loent au coodonnées. Pou simplifie on pend les deu chages dans le plan (,). k j Q q V i F F 4 πε 4 πε F 0 o o γ Q q ( γ + ) 3/ γ Q q ( γ + ) 3/ ( ( V/c) ) Cette epession peut se mette sous la fome vectoielle: F Q γ Q V k q + V 3 3 4πε o 4πε oc Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

6 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat Nous pouvons donc ésume ainsi les conséquences de la elativité esteinte: La foce eecée pa une paticule chagée su une aute paticule, peçue pa un obsevateu dans un epèe fie - alos que les deu chages sont au epos dans un deuième epèe mobile animé d une vitesse de tanslation V ne peut plus s epime simplement pa une foce adiale. Il est nécessaie d ajoute une composante pependiculaie à la pemièe et popotionnelle à la vitesse V. Tout se passe donc comme si on ajoutait un champ supplémentaie: le champ magnétique. k Q q ε o µ o c θ V F q E E Q 4πε o 3 Dans le epèe où les chages sont au epos F q ( E + V B ) Foce de Loent Dans le epèe où les chages sont mobiles γ Q E 3 4πεo B µ o γ QV sin(θ)k 4π Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

7 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat Voons à pésent comment calcule le champ magnétique céé, non pas pa une chage ponctuelle en mouvement, mais pa un couant de chages en mouvement. Remplaçons la chage ponctuelle Q pa un petit élément de longueu dl d un cicuit électique dans le plan (,) pacouu pa un couant I. Ce couant est un débit de chages, c est à die une quantité de chage pa unité de temps (epimé en ampèes, ACs - ). S I V n dl Supposons que la section S du conducteu électique est constante su toute la longueu et que n est la densité homogène de chages mobiles (de chage élémentaie e). La quantité de chage compise dans l élément de cicuit est Q n e S dl et le couant I donné pa dq/dt vaut donc: I n e S (dl/dt). O dl/dt epésente la vitesse V des chages en écoulement. Donc en tenant compte du fait qu en tout point du conducteu dl et V sont paallèles on peut aussi écie ceci sous la fome : I dl Q V Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

8 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat La vitesse des électons dans les bons conducteus électiques peut atteinde plusieus millies de kilomètes pa seconde, mais este néanmoins tès petite devant la vitesse de la lumièe. On peut donc emplace γ pa dans la suite du cous. D aute pat l angle θ est l angle compis ente la diection de et la diection de V donc de dl. Ces deu vecteus étant dans le plan (,) ils sont pependiculaies au vecteu unitaie k. On a donc: QV sin(θ) k I dl sin(θ) k / I dl Et l élément de champ magnétique db céé pa l élément de cicuit dl est alos donné pa: µ o I dl db 4π 3 Il s agit de la loi de Biot et Savat. Dans le sstème intenational le champ magnétique s epime en Tesla (T), le couant électique en ampèes (A) et les longueus en mètes (m). La constante µ o vaut alos 4π 0-7.! Le vecteu donne la position de l endoit où on calcule le champ, pa appot à l élément de cicuit qui est la souce de ce champ. Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

9 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat Le couant I passant à taves une section ds, peut ête écit sous la fome du poduit de cette section pa une densité de couant j: I j ds. Ainsi pou un élément de cicuit de longueu dl et de section ds, le poduit I dl pend la fome (j ds) dl j d 3 où d 3 epésente un élément de volume du cicuit généateu de champ magnétique. Et la loi de Biot et Savat se généalise de la manièe suivante pou un cicuit où le couant électique I est épati dans l espace avec une densité de couant j ( ). V ( ) + B ( ) µ o 4π j ( ) ( ) d3 3 V Boucles de couants micoscopiques dans cetains matéiau «MAGNETIQUES» AIMANTS Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

10 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat Quelques cas modèles de calcul du champ magnétique à pati de la loi de Biot et Savat Fil ectiligne infini I Smétie aiale + fil infini B ne dépend que de la distance au fil ρ. ρ db Elément dl // O dl // plan O. θ dl α dl dl sin(θ) db µ o I dl sin(θ) 4π On epime dl, sin(θ) et en fonction de ρ et α. l / ρ tg(α) dl ρ dα / cos (α) sin (θ) cos (α) ρ / cos (α) µ o I µ o I α π/ db 4πρ cos(α) dα B 4πρ [sin(α)] α -π/ µ o I πρ Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

11 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat «Règle du tie-bouchon» Rappelons l epession de la loi de Biot et Savat: db µ o I dl 4π 3 Si on egade dans le sens du couant, les lignes de champ sont: dans un plan pependiculaie à l élément de couant et au point où on calcule le champ diigées dans le sens de otation des aiguilles d une monte. On peut donc etouve la diection des lignes de champ en utilisant la ègle du tie-bouchon: «le couant avance comme le tie-bouchon toune dans les sens des lignes de champ». I Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes - 005

12 4. Champ magnétique, loi de Biot et Savat Spie ciculaie: calcul su l ae de smétie Pa smétie, B B 0 Pojection su diection I a ω db µ o I db dl cos(ω) 4π µ o I B πa cos(ω) 4π α ω db µ B o I a (a + ) 3/ B o sin 3 (α) Au cente de la spie: µ B o o I a Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes - 005

13 4. Foce magnétique eecée su un conducteu Plaçons un élément de cicuit électique, de longueu dl et pacouu pa un couant électique I, dans un champ magnétique B. Nous supposons que le champ électique ambiant est nul et ne nous intéessons donc qu à la composante de la foce magnétique. I dl B! Ici le champ magnétique et l élément de cicuit qui est soumis au champ sont au même endoit. La foce totale eecée pa le champ magnétique su l élément de longueu dl est la somme de toutes les foces de Loent eecées individuellement su toutes les chages élémentaies, en nombe N n S dl. F N q V B QV B F I dl B Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

14 4. Foce magnétique eecée su un conducteu df I Le champ cée pa un cicuit est l intégale (la somme) du champ cée pa un élément infinitésimal en sommant su la totalité du cicuit. B µ o I 4π dl 3 De même, la foce eecée pa un champ magnétique su un cicuit igide est l intégale de la foce eecée su tout élément infinitésimal et en sommant su la totalité du cicuit. F I dl B Ainsi la foce s eeçant mutuellement ente deu cicuits igides pacouus pa des couants I et I est donnée pa: - + µ o I I - + dl dl 4π dl I dl ( dl ) F 3 Il peut également s eece un couple! Moteus otatifs Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

15 4. 3 Le potentiel vecteu De même que le champ électique déive d un potentiel électostatique scalaie, le champ magnétique déive d un potentiel vectoiel: le potentiel vecteu. Si l intéêt de manipule un champ scalaie plutôt qu un champ vectoiel est évident dans le cas de l électostatique, l intéêt de manipule un potentiel vecteu l est moins à pioi, mais pemet d une pat de faie un paallèle ente électostatique et magnétisme et ecouve tout son sens losqu on taite pa eemple l inteaction aonnement matièe dans le cade de la mécanique quantique. Rappelons quate identités vectoielles. Soit deu vecteus A et B et une fonction scalaie f. ( A) 0 ( A B) B ( A) - A ( B) (fa ) ( f ) A + f ( A) ( fa ) ( f ) A + f A Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

16 4. 3 Le potentiel vecteu Divegence du champ magnétique : Calculons la divegence du champ magnétique à pati de l epession généalisée de la loi de Biot et Savat: µ o j( ' ) ( ' ) 3 µ B o 4π j ( ) ( ) 3 B d ' 3 4π Nous avons pu invese l opéateu Nabla et l intégale ca ces deu opéations agissent su des coodonnées difféentes (Nabla su et l intégale su ). Appliquons ensuite la deuième identité vectoielle au teme de doite de l équation: ( A B) B ( A) - A ( B) d 3 j j - j Le pemie teme de doite de l équation est nul ca agit su des fonctions de et j ne dépend que de. 0 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

17 4. 3 Le potentiel vecteu Divegence du champ magnétique : Pou calcule le second teme, appelons que agit su des fonctions de, indépendamment de. On peut donc, pou simplifie, faie le calcul pou la valeu paticulièe 0. Plaçons nous dans un epèe catésien: ( + + ) 3/ ( + + ) 3/ pemutations ciculaies 0 3 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

18 4. 3 Le potentiel vecteu Divegence du champ magnétique : Finalement, nous venons de monte que la divegence du champ magnétique est nulle. B 0 Potentiel vecteu : Rappelons maintenant la pemièe des identités vectoielles ( A) 0 Nous voons que nous pouvons toujous défini le champ magnétique comme étant le otationnel d un aute vecteu que nous appelleons Potentiel Vecteu. Le potentiel vecteu n est défini qu à un vecteu pès dont le otationnel est nul! On pale alos de choi de jauge. ( + ) A C A C + A si C 0 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

19 4. 3 Le potentiel vecteu Potentiel vecteu : Pou calcule le potentiel vecteu, nous epatons de l epession généale du champ magnétique et utilisons la toisième identité vectoielle: (fa ) ( f ) A + f ( A) B ( ) µ o 4π j ( ) ( ) d3 3 Mais avant, faisons appaaîte le teme sous une fome difféente :- 3 ( + + ) / ( + + ) / ( + + ) / Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

20 4. 3 Le potentiel vecteu Potentiel vecteu : On peut donc écie le champ magnétique sous la fome: µ B ( ) o j ( ) d 3 4π O j j - j ( ) 0 Ce qui conduit pou le champ magnétique à: µ B ( ) o d 3 4π j ( ) On aboutit donc à la définition du potentiel vecteu (apès invesion de «Nabla» et du «Signe Somme»: µ A ( ) o j ( ) d 3 4π Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

21 4. 3 Le potentiel vecteu Paallèle avec le potentiel électostatique : Replaçons nous dans la même géométie que celle adoptée pou l étude du potentiel électostatique: ρ( )d 3 V( ) 4πε o - Scalaie!!! V( ) E( ) µ A ( ) o j ( ) d 3 4π - Vectoiel!!!! Ces lois ne sont vaies, sous cette fome, que dans le cas statique. Nous veons qu il faut les compléte en électodnamique A( ) B( ) Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes - 005

22 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe En électomagnétisme il a le théoème de Gauss qui elie le flu du champ électique à taves une suface femée à la chage électostatique totale contenue dans le volume délimité pa la dite suface. Σq i ε o Φ Ε S E ds Q total ε o De la même manièe il eiste un aute théoème que nous allons démonte - le théoème d Ampèe - qui elie la ciculation du champ magnétique le long d un contou au couant total tavesant la suface s appuant su ce contou. C Β L B dl µ o Σ I i µ o I total Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes I V S Γ Q dl ds Γ E S V B

23 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe Pou mene à bien la démonstation nous avons besoin de calculs péliminaies. - + Montons que ( (- ) + (- ) + (- ) ) / V - V - V (- ) ((- ) +(- ) +(- ) ) 3/ Ici, gadient dans le monde «sans pime» Pa smétie: (on emplace pa ) Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

24 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe Montons à pésent que A 0 pou une distibution de chage statique. µ A ( ) o j ( ) d 3 4π - ( fa ) ( f ) A + f A j ( ) j ( ) + j ( ) Remplaçons le gadient en pa son homologue en. j ( ) j ( ) + j ( ) Et utilisons l égalité: Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

25 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe j ( Nous obtenons alos: ) j ( - - ) - j ( ) - En En µ A ( ) o µ j ( d 3 - d 3 4π ) j ( - ) o 4π - j ( ) epime la loi de consevation de la chage et vaut donc -dρ( )/dt. V d 3 dφ V V dφ V /d 3 V j [j] chage/unité de temps/unité suface d φ j /d 3 (chage /unité volume )/unité de temps Théoème de la divegence intégale de suface contenant tous les couants. A la suface le couant est alos nul ou tangent à la suface. Donc l intégale est nulle On a donc : A ( ) µ ε d 3 o o ρ ( ) t 4πε - o - V ( ) c t Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

26 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe Nous etouvons, via les potentiels vecteu et électostatique, que magnétisme et électostatique sont bien deu gandeus liées, ce que nous avait appis l intoduction à la elativité esteinte. A ( ) + V ( ) 0 Dans le cas de couants continus, ou égime stationnaie, le potentiel électostatique ne dépend pas du temps et la divegence du potentiel vecteu est nulle, ce que nous chechions à démonte. V ( ) t 0 A ( ) 0 Rotationnel du champ magnétique : B ( A) Nous allons, une nouvelle fois, utilise une identité que nous ne démonteons pas ici (mais que vous pouve véifie vous même). c t ( A) ( A) - A vecteu 0 vecteu A A A Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

27 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe Repenant l epession du potentiel vecteu touvée pécédemment et notant encoe une fois que l opéateu Nabla n agit que su les coodonnées en, on peut donc écie le otationnel du champ magnétique sous la fome: µ o 4π B - A - j ( ) - d 3 B - A - µ o 4π j ( ) d 3 - Il faut donc calcule - - R Où pou allége l écitue nous posons: (- ) + (- ) + (- ) / X + Y + Z / R - Et donc les opéations de déivées seont en " / X " etc. Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

28 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe Calculons la composante suivant X de R X R X X + Y + Z / De même pou les composantes suivant Y et Z de R Y Z R R Y Z X + Y + Z / X + Y + Z / - (/) X -X X + Y + Z 3/ R 3 - (/) Y -Y X + Y + Z 3/ R 3 - (/) Z -Z X + Y + Z 3/ R 3 On auait pu déduie les deu denièes epessions pa pemutations ciculaies... Le laplacien est alos donné pa la divegence du vecteu que nous venons de touve: - -X R X + R 3 Y -Y R + 3 Z -Z R 3 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

29 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe Calculons la composante suivant X du laplacien : X - X - R 3 X X X + Y + Z 3/ - X + Y + Z 3/ - X (3/) X X + Y + Z / X + Y + Z 3 - X X R 3 X - Y - Z R 5 Et pa pemutation ciculaie : - X - Y - Z + -X + Y - Z + -X - Y +Z R 5-0 Sauf pou!!! Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

30 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe En conclusion cette epession du otationnel du champ magnétique, sous fome intégale, n a de sens que localement, c est à die pou!!! B - A - Soit alos un petit volume V entouant et suffisamment petit pou considée j( ) homogène su ce volume - donc égal à j( ) - et qui peut ête soti de l intégale. Comme nous l avions vu pou le gadient de / -, nous avons l égalité suivante pou les laplaciens dans les mondes en et : - µ o 4π - j ( ) d On a alos pou le otationnel du champ magnétique: µ o j ( ) B d 4π 3 - V En En! V tend ves éo autou de la position où on egade le champ magnétique B Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

31 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe Appliquons le théoème de la divegence à l équation obtenue: µ o j ( ) B d 4π 3 - V - - S - ds S ( - ) ds S est une petite suface entouant. On - 3 peut donc pende une sphèe et R - est paallèle à ds µ o j ( ) B 4π S ds R O ds en coodonnées sphéiques est égal à R sin(θ)dθ dϕ. Donc l intégale vaut 4π. Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

32 4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théoème d Ampèe On aboutit donc apès ces quelques étapes de calcul à l epession locale du théoème d Ampèe: B( ) µ o j ( )! Epession valable uniquement en égime stationnaie et pou des matéiau non magnétiques!!! Nous pouvons alos intége le otationnel du champ magnétique, ainsi que la densité de couant su toute une suface: S Théoème de Stokes B( ) ds µ o j ( ) ds S Couant tavesant la suface S B( ) dl µ o I C Théoème d Ampèe Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

33 4.5 Utilisation du théoème d Ampèe Long clinde conducteu : Soit un long clinde conducteu pacouu pa un couant I o de densité homogène j su toute la section du clinde de aon R : I o π R j Si on considèe «long» comme «infini», on sait que pa smétie seule la composante aimutale est non nulle. On pend comme contou adapté à la smétie un cecle pependiculaie à l ae du conducteu. Pou un clinde de aon R : C B( ) dl I() π j π B µ o I() Smétie aiale B ne dépend que de!!! B( R ) µ o I o π R Pou un clinde de aon R : I() π R j I o B() B( R ) µ o I o π π B µ o I o Le champ magnétique pénète linéaiement dans un milieu conducteu pacouu pa un couant homogène R Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

34 4.5 Utilisation du théoème d Ampèe Long solénoïde: B B ϕ Pa smétie B ne dépend ni de ni de ϕ ϕ ρ B Composante adiale B ρ Comme B 0, alos le flu de B à taves une suface femée est nul. B ds + B ds +Φ I B ds + B ρ S l B ds - B ds -Φ Ceci est vai que le clinde soit à l intéieu ou à l etéieu du solénoïde. B ρ 0 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

35 4.5 Utilisation du théoème d Ampèe Long solénoïde: Composante aimutale B ϕ La ciculation du champ magnétique le long d un contou du tpe C (de aon ρ) où C donne: C B dl πρb ϕ C A l intéieu du solénoïde, le contou C n est tavesé pa aucun couant et donc B ϕ 0 patout à l intéieu. I C Le contou C est tavesé une fois pa le couant I et donc à l etéieu du solénoïde la composante aimutale est donnée pa (sauf si le pas de l hélice est nul, auquel cas le contou n est tavesé pa aucun couant) : B ϕ µ o I /πρ à l etéieu Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

36 4.5 Utilisation du théoème d Ampèe Long solénoïde: Composante aiale B Comme B( ) µ o j ( ) 0 en dehos du conducteu, on a donc à l intéieu comme à l etéieu du solénoïde: B ρ 0 ( B ρ 0 et ρb ϕ cste ) C est à die que B est constant et peut pende au plus deu valeus distinctes à l intéieu ou à l etéieu du solénoïde. I Γ Vu de loin ( ρ ), le solénoïde essemble à un fil infini et B (ρ ) 0, donc B 0 patout à l etéieu. Le contou Γ, de longueu h suivant est tavesé pa un couant NI où N est le nombe de spies pa unité de longueu du solénoïde. La ciculation de B le long de ce contou vaut B h B µ o N I où B est alos la seule composante non nulle de B à l intéieu du solénoïde. B µ o N I à l intéieu Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

37 4.5 Utilisation du théoème d Ampèe Long solénoïde: Résumé et Lignes de champ B ρ 0 B ϕ µ o I /πρ 0 si hélice à pas nul!!! à l etéieu B µ o N I à l intéieu I Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

38 4.6 Dipôle Magnétique De même que la notion de développement multipolaie est impotante et en paticulie celle de dipôle électique ca souvent utilisée pou modélise le compotement de la matièe au point de vue électique, il est impotant également de faie appaaîte la notion de dipôle magnétique, d autant que les «monopôles» magnétiques n eistent pas. Comme dans le cas électique, la notion de dipôle magnétique fait éféence à une situation où l obsevation du champ magnétique ou du potentiel vecteu se fait loin du cicuit qui leu donne naissance. Cette desciption est tout à fait adaptée losqu on s intéesse pa eemple au popiétés magnétiques des atomes où les électons gavitant autou des noau constituent des boucles micoscopiques de couant (diamagnétisme et paamagnétisme électonique). Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

39 4.6 Dipôle Magnétique Intéessons nous à la boucle de couant ci dessous, et plus paticulièement au calcul du potentiel vecteu au point (,0,). (,0,) A θ Le plan O est un plan de smétie et pou tout élément dl à l aimut ϕ, il eiste un aute élément à l aimut ϕ de telle sote que les composantes du potentiel vecteu s ajoutent suivant et s annulent suivant. Soit e ϕ le vecteu unitaie paallèle à dl pou l aimut ϕ. Ψ a µ A ( ) o j ( ) d 3 4π ϕ dl j( )d 3 I dl I a dϕ e ϕ µ A o I 4π 0 π a cosϕ dϕ e ϕ Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

40 4.6 Dipôle Magnétique Il faut epime en fonction de et ϕ. (,0,) A θ d une pat + a a cosψ. d aute pat >> a - a + a cosψ le poduit scalaie a s écit a cosψ ou a cosϕ µ A o I 4π 0 π a cosϕ - a + a cos dϕ ϕ e ϕ ϕ Ψ a dl o sinθ A 4π A 4π µ Iπa o eϕ 3 µ Iπa o eϕ 3 sinθ cos (m)d 0 π π epession que l on peut mette sous la fome: µ A o m 4π Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

41 4.6 Dipôle Magnétique A le potentiel vecteu s epime donc sous la fome d un poduit vectoiel: A 4π µ o m 3 m la quantité m I S est le dipôle magnétique associé à la boucle de couant. Son module est donné pa le poduit du couant pa la suface s appuant su la spie de couant jusqu à pésent supposée plane. dl + Pou une boucle non plane, on peut généalise la notion de moment dipolaie (cf. moment inetie en mécanique) : m Idl Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

42 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes Dipôle Magnétique 3 A 4π µ o m Calculons à pésent le champ magnétique: B( ) A( ) + 0 m m + 0 / / 4 m A 3 3 π µo m A o π µ B m ici est quelconque

43 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes Dipôle Magnétique ( ) 5 3/ ( ) 5 3/ ( ) 5 3/ ( ) 5 3/ m B o π µ

44 4.6 Dipôle Magnétique B m B B m B On peut emette cette epession du champ magnétique sous fome vectoielle indépendante d un choi de epèe. On voit appaaîte une composante le long du vecteu et une deuième dans la diection opposée au moment dipolaie magnétique. µ om 4π µ B o 3(m ) 4π B m B 5 µ o -m 4π 3 µ o 3(m ) - m 4π 5 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

45 4.6 Dipôle Magnétique Analogie avec le champ électique céé pa un dipôle électique. B m B E p E B m E p B µ o 3(m ) - m 4π 5 E 4πεo 3(p ) - p 5 Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

46 4.7 Matéiau Magnétiques Dans les substances «magnétiques» il eiste des «boucles de couant micoscopiques» qui donnent naissance à des dipôles magnétiques. Ces dipôles peuvent s ajoute de façon constuctive et la matièe deveni ainsi «aimantée». Si N est la concentation en dipôles magnétiques m pa unité de volume, on définit alos l aimantation M pa unité de volume pa : M N m Le potentiel vecteu poduit pa un élément de volume d 3 est alos donné pa: µ da o M ( - ) d 3 4π - 3 Et comme on a déjà monté que: µ o M Le potentiel vecteu total vaut: A ( ) d 3 4π - Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

47 4.7 Matéiau Magnétiques On peut amene la pécédente intégale en volume en une somme de deu intégales, l une de suface et l aute en volume faisant appaaîte des densités équivalentes de couant en suface λ e et volume j e : µ o M A ( ) d 3 4π - Pou cela on va utilise des identités, devenues familièes (ou pesque) : (fa ) ( f ) A + f ( A) ( A B) B ( A) - A ( B) La pemièe nous pemet la sépaation en deu intégales: -µ A ( ) o d 3 + d 3 4π M µ o M - 4π - Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

48 4.7 Matéiau Magnétiques Dans la deuième intégale de la patie doite de l équation, on econnaît la fome de la définition généale du potentiel vecteu, à condition de pose: j e M Pou faie appaaîte une epession similaie pou la pemièe intégale on utilise l identité suivante, où le vecteu C est un vecteu constant et le vecteu M M/ - : ( M C) C ( M) - M ( C) ( ( ) ) ( ) M C M C d ( C) 3 d3 M d3 Le théoème de la divegence nous pemet de passe d une intégale de volume à une intégale de suface: ( ( ) ) ( ) ( ( ) M d 3 C M C ds M ds C Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

49 4.7 Matéiau Magnétiques Ceci doit ête vai quelque soit le vecteu C constant, donc les deu intégales ente paenthèses sont égales: ( ) ( ) M d 3 M ds M n ds On a donc finalement, en posant: λ e M n où n est le vecteu nomal à la suface en tout point λ e µ A ( ) o µ ds + d 3 4π o - 4π - j e λ e et j e sont des densités de couants dits «Ampéiens», à ne pas confonde avec les couants «libes» généés pa la mise en mouvement des poteus de chage libes sous l action d un champ électique etene. Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

50 4.7 Matéiau Magnétiques Champ magnétique auiliaie: s il eiste simultanément des couants de chages libes et des couants équivalents ampéiens (matièe aimantée), le théoème d Ampèe est toujous applicable. Dans la vesion «locale», avec j l et j e les densités de couant libe et équivalente, le théoème d Ampèe s écit donc: B( ) µ o ( j l ( ) + j e ( ) ) En appelant l epession de la densité de couant équivalente en fonction de l aimantation j e M on aboutit à: M B( ) µ o ( j l ( ) + ( ) ) B( ) j l ( ) ( - M) µ o Nous intoduisons alos la quantité H B - M que nous appelleons µ champ magnétique auiliaie. o Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

51 4.7 Matéiau Magnétiques Le théoème d Ampèe pend donc une fome n impliquant que les couants de chages libes losque il est epimé en fonction du champ magnétique auiliaie: H( ) j l ( ) H( ) dl I l Et sans ente dans le détail de l oigine micoscopique des dipôles magnétiques, on peut taite l aimantation d un matéiau aimanté dans le cade de la Réponse Linéaie, c est à die qu on écit que la éponse «Aimantation» est popotionnelle à l ecitation «champ magnétique»: B µ o (H + M) B µ H µ o (+ χ m ) H µ o µ H M χ m H χ m s appelle la susceptibilité magnétique et µ la peméabilité elative. Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

52 3.9 Cas des milieu isolants (diélectiques) Dans les milieu isolants, les chages ne sont pas libes de se déplace «indéfiniment» losqu elles sont soumises à un champ électique. Elles sont liées à des «centes attacteus» et ne peuvent s écate plus d une cetaine distance de ces attacteus, entaînant cependant localement la fomation de petits dipôles électiques. Supposons un matéiau homogène de volume donné où ces dipôles de moment dipolaie p sont en concentation n. Le moment dipolaie total P ou Polaisation Electique de l échantillon «pa unité de volume» vaut: d 3 P P np Le potentiel électostatique céé pa unité de volume est alos donné pa : - V( ) P ( - ) dv( ) d 3 4πε o - 3 valable «loin» du diélectique!!! Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

53 3.9 Cas des milieu isolants (diélectiques) d 3 P On peut tansfome cette epession en intoduisant le gadient de la fonction / où ( ) - : - V( ) dv( ) P (/) d 3 4πε o Pa intégation su tout le volume de diélectique on obtient : V( ) 4πε o P d 3 Epession que l on peut tansfome en tenant compte de l identité : ( fa ) ( f ) A + f A Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

54 3.9 Cas des milieu isolants (diélectiques) En posant f / on obtient : P 4πε o 4πε o P V( ) d 3 - d3 intégale de volume intégale de suface P ds 4πε o 4πε o P V( ) - d3 O on a déjà vu que le potentiel est de la fome V() (/ 4πε o ) dq/ Donc si N est le vecteu nomal à la suface: P N epésente une densité de chage sufacique de chages liées, tandis que - P epésente une densité de chage volumique. Si la polaisation est constante dans l espace, alos seule la densité de chage sufacique eiste. Un diélectique paallèlépipédique où la polaisation seait pependiculaie à deu faces se compote comme un condensateu plan! Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

55 3.9 Cas des milieu isolants (diélectiques) La consevation de chage, implique que si la distibution de chage volumique (de chages liées) est non nulle, il eiste un couant de polaisation associé: ρ liée j pol - t P t j pol P t Losqu on applique l équation de Poisson eliant champ électique et chage, il faut pende la chage totale, c est à die la somme des chages libes et liées. On intoduit alos une nouvelle gandeu, appelée Déplacement Electique que l on note D et qui est définie pa: D ε o E + P D ρ libes On peut également die qu à l intéieu d un diélectique le champ électique est la somme de deu contibutions: une contibution associées au chages libes D/ε o et une contibution associée au chages liées -P/ε o. Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

56 3.9 Cas des milieu isolants (diélectiques) Sans ente dans le détail de l oigine micoscopique des dipôles, on peut taite la polaisation électique d un diélectique dans le cade de la Réponse Linéaie, c est à die qu on écit que la éponse «Polaisation» est popotionnelle à l ecitation «champ électique»: P χ E D ε o (+ χ)e ε o ε E ε E χ est la susceptibilité électique ε est la pemittivité électique elative du milieu ε est la pemittivité électique ou constante diélectique du matéiau Dans le vide χ0 et ε. La plupat des matéiau ont une pemittivité elative compise ente et 5. Cependant on peut touve des matéiau où cette pemittivité elative peut dépasse 0 5! Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes

57 4.7 Matéiau Magnétiques Paallèle avec la polaisation électique: On peut établi un paallèle ente électostatique et magnétostatique: champ auiliaie dans la matièe D ε o E + P cham p dans le vide H µ B - M o Réponse de la matièe E ρ tot ε o P χ E M χ m H B µ o j tot D ρ libes j pol H j l P t j e M B µ o (H + M) «Dans le vide on voit toutes les chages et les couants» «Mais dans la matièe les chages et les couants libes sont difféents» Electomagnétisme - L PCGI - Univesité Rennes