Chapitre 6 INTEGRATION TES

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Dorothée Barbeau
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1 Chpitre 6 INTEGRATION TES «Une intégrle étnt considérée comme l somme des éléments qu on nomme différentielles, on convenu de l désigner pr l crctéristique qui est regrdée comme l révition des sommes de.» L. Crnot I Intégrle d une fonction continue et positive. Unité d ire Soit (O; i, j ) un repère orthogonl du pln. Définition On ppelle unité d ire (notée u.) l unité de mesures des ires telle que Aire(OIKJ) = u. Remrques.2 Notion d intégrle Définition Aire sous l coure d une fonction positive Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I dont l représenttion grphique est ppelée C. Soient deux réels de I. On ppelle ire sous l coure de f de à, l ire, exprimée en u., du domine D délimité pr : - les droites d équtions x = et x = (à guche et à droite) ; - C et l xe des scisses (en hut et en s). On l note f(x) dx.

2 Remrques Exemples 4 ) Clculons ( 0,4x + 3,6) dx 2) 2

Un peu d histoire des mths L nottion 76). est due u mthémticien llemnd Gottfried Wilhem Leiniz (Leipzig 646- Hnovre Il est le fils d un professeur de philosophie morle de l université de Leipzig.

3 Un peu d histoire des mths L nottion 76). est due u mthémticien llemnd Gottfried Wilhem Leiniz (Leipzig 646- Hnovre Il est le fils d un professeur de philosophie morle de l université de Leipzig. Dès l âge de 6 ns, il cmpe dns l iliothèque pternelle et devient un lecteur ssidu. Il entre à 5 ns l université, où il étudie l philosophie, l théologie et de droit. Il ne fit ps de mthémtiques si l on excepte s découverte de l œuvre d Euclide lors d un ref pssge à l université de Ien. Une fois son doctort de droit en poche, Leiniz se met u service de l électeur de Myence, puis du prince de Hnovre, dns un poste de nture diplomtique. On l envoie en mission en Frnce, et se lie d mitié vec Huygens. Il pprofondit son étude des mthémtiques. En 673, lors d un voyge à Londres, il rencontre des mthémticiens nglis et il est dmis à l Royl Society. Newton l ccuser plus trd d voir lu son mnuscrit sur l découverte du clcul différentiel, et une grnde querelle de présénce surgir ientôt entre les deux hommes. Leiniz se rend ussi à L Hye, ou il rencontre Spinoz, et à Delft, où il fit connissnce de Leeuwenhoek. En 676, il doit rentrer en Allemgne. Il fonde en 682 l revue Act Eruditorum qui lui permet de diffuser ses découvertes, mis ussi ses nottions, et de rester en contct vec les frères Bernoulli. En 700, il fonde l Acdémie de Berlin dont il devient le er président. L fin de s vie est ssomrie pr s querelle vec Newton et s reltive disgrâce uprès des souverins de Hnovre. Il meurt dns l solitude et son secrétire, seul, ssister à ses funérilles. De nomreuses idées de Leiniz préfigurent l théorie de l pensée moderne en physique, technologie, iologie, médecine, géologie, psychologie, linguistique, politique, loi, théologie, histoire, philosophie et mthémtiques. Il mélior l mchine à clculer de Pscl, développ l théorie inire qui étit l technologie numérique moderne, développ ce que nous connissons sous le nom d lgère de Boole et l logique symolique. Désirnt être ordle, il est le plus grnd créteur de nottions. Il introduit le d, révition de différence, pour l différentition, insi que l nottion df dx (= f (x)), le symole c est le s de l époque, première lettre du mot ltin summ (somme), 3

pour l intégrtion. Il utilise systémtiquement le point pour l multipliction et les deux points ( : ) pour l division. C est grâce à lui et à Newton que le signe = se générlise.

4 pour l intégrtion. Il utilise systémtiquement le point pour l multipliction et les deux points ( : ) pour l division. C est grâce à lui et à Newton que le signe = se générlise. Il est, de plus, le premier à utiliser le terme de fonction. Il v de soi que les trvux mthémtiques de Leiniz ne sont qu une petite prt de son œuvre : s il est connu du grnd pulic, c est pour ses conceptions philosophiques. Il fut comprendre que, dns son esprit, comme dns celui de Voltire, elles sont intimement liées à s vision des mthémtiques. Œuvres Disserttio de rte comintori (666) Essis de théodicée (70) Complément Intégrle d une fonction continue négtive Définition Aire sous l coure d une fonction négtive Soit f une fonction continue et négtive sur un intervlle I dont l représenttion grphique est ppelée C f. Soient deux réels de I. L intégrle de l fonction f entre et est égle à l opposé de l ire A, exprimée en u., du domine D g compris entre l coure C g, l xe des scisses et les droites d équtions x = et x = : f(x) dx = A 4

5 II Primitive d une fonction 2. Définition et propriétés Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivle sur I et telle que pour tout réel x de I, F (x) = f(x). Exemple Propriété Soit F est une primitive de f sur un intervlle I. Alors G est une primitive de f sur I si et seulement si G = F + K où K R. Démonstrtion Théorème Admis Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Remrque L fonction x e x2 est continue sur R. Elle dmet donc des primitives, mis on n en connit ucune forme explicite. Propriété Primitive stisfisnt une condition initile Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Soient x 0 et y 0 R. Il existe une unique primitive F de f telle que F(x 0 ) = y 0. Exemple Soit f l fonction définie sur R pr f(x) = 3x 2 + 2x +. Déterminer l primitive F de f sur R telle que F() =. Bien retenir que 5

2.2 Lien entre intégrle et primitive Théorème dmis Soit f une fonction continue sur un intervlle I. x L fonction F définie pr F(x) = f(t) dt pour tout x [ ; ] est dérivle sur [ ; ] et pour dérivée f.

6 2.2 Lien entre intégrle et primitive Théorème dmis Soit f une fonction continue sur un intervlle I. x L fonction F définie pr F(x) = f(t) dt pour tout x [ ; ] est dérivle sur [ ; ] et pour dérivée f. Autrement dit : F est une primitive de f sur I. Exemple Soit f l fonction définie sur [ ; 4] pr f(x) = x Définition - propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Soient et deux réels de l intervlle I. Soit F une primitive de f. On ppelle intégrle de à de f le nomre réel, noté f(x) dx, égl à F() F(). Ainsi : f(x) On dit que et sont les ornes de l intégrle. Cette intégrle ne dépend ps de l primitive F choisie. dx = F() F() Remrques 6

7 III Clculs de primitives 3. Primitives des fonctions usuelles Pr lecture inverse du tleu des dérivées, on otient le tleu des primitives des fonctions de références sur tout intervlle sur lequel elles sont définies et continues. f est une fonction définie sur un intervlle I, F est une primitive de f sur I. f(x) F(x) I, R x R x R 2 x2 x n, n N n + xn+ R x x 2 ln (x) x ]0 ; + [ R x n (n )x n R x 2 x ]0 ; + [ e x e x R Exemples ) Soit f(x) = =. Une primitive de f sur ]0 ; + [ est 4x 4 x F: x ln(x) + k, k R. 4 2) Soit g(x) = 3 = 3 x 2 x 2. Une primitive de gsur R est G: x 3 + k, k R. x 3.2 Opértions sur les primitives u et v sont deux fonctions dérivles sur un intervlle I. f est une fonction définie sur I et F est une primitive de f sur I. 7

8 f F u + v u + v u, R u u u 2 u2 u u n, n N n + un+ u u 2, u 0 u, n N un u e u ; u 0 sur I u (n )u n ; u 0 sur I e u x x = (x 2 +) 2 2 2x (x 2 +) 2. Exemples ) Déterminons une primitive de x. On (x 2 +) 2 D où une primitive est : x + K. 2(x 2 +) 2) Déterminons l primitive F de l fonction f définie pr f(x) = x e x2 telle que F() = 0. IV Propriétés de l intégrle On rppelle l définition suivnte concernnt l intégrle d une fonction f continue où F est une primitive de f : f(x) dx = [F(x)] = F() F() Avec le prgrphe précédent, vous êtes en mesure de clculer des intégrles de fonctions, pr exemple : xe x2 0 = [ 2 e x2 ] 0 = 2 e Premières propriétés Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R. Pour tout réel pprtennt à I, on : f(x) dx = 0 8

9 Démonstrtion Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R, et pprtennt à I, on : Démonstrtion f(x) dx = f(x) dx 4.2 Propriétés lgériques Propriété Linérité Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I de R. Pour tous réels et pprtennt à I, et pour tout réel α, on : (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + f(x) dx et αf(x) dx = α f(x) dx Démonstrtion Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R. Pour tous réels, et c pprtennt à I, on : f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c c 9

10 Démonstrtion Interpréttion grphique 4.3 Positivité et ordre de l intégrle Propriété Positivité Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R, et pprtennt à I. Si et f 0 sur l intervlle [ ; ], lors : f(x) dx 0 Démonstrtion 0

11 Propriété Ordre Soient f et g deux fonction continues sur un intervlle I de R, et pprtennt à I. Si pour tout nomre réel x l intervlle [ ; ], g(x) f(x), lors : Démonstrtion Si, pour tout x de [; ], g(x) f(x) lors 0 f(x) g(x). Donc pr positivité g(x) dx f(x) dx (f(x) g(x)) dx 0 et pr linérité g(x) dx f(x) dx. Propriété Aire entre deux coures Soient f et g deux fonction continues et positives sur un intervlle [ ; ] telles que pour tout x de [ ; ] f(x) g(x). L ire, en u., du domine délimité pr les coures représenttives de f et g sur l intervlle [ ; ] est donnée pr : (g(x) f(x)) dx Exemple Soient f et g les fonctions définies sur [0 ; ] pr f(x) = e x et g(x) = x. On sit (le redémontrer!) que sur [0; ], g(x) f(x), lors l ire du domine compris entre C f et C g est : (e x x) dx = = e 5 u. 2 0

12 V Vleur moyenne Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle [ ; ]. On ppelle vleur moyenne de f sur l intervlle [ ; ] le nomre μ défini pr : μ = f(x) dx Remrques Interpréttion grphique 2

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