- PROBLEME D ELECTROMAGNETISME 1 -

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1 - D ELECTROMAGNETIME 1 - ENONCE : «Populson pa vole solae» DONNEE : vtesse de la lumèe dans le vde : cste unveselle de la gavtaton : masse du olel : 1 an = 1 UA = 7 3,161 s M = 1,991 3 kg c = 31 ms G = ,671 us 11 1,51 m = 1 unté astonomque = ayon de la tajectoe cculae que décat, avec une péode de un an, une planète de masse tès nféeue à celle du olel, sous l effet de la seule foce de gavtaton Rayons des obtes de quelques planètes du système solae : Mecue :,39 UA ; Vénus :,7 UA ; Tee : 1, UA ; Mas : 1,5 UA Jupte : 5, UA I Pesson de adaton 11) Ece les équatons de Maxwell qu égssent les champs électque EMt (,) magnétque BMt (,) bèvement leu sgnfcaton physque dans le vde, en pésence de chages et de couants, en pécsant 1) On envsage un mleu conducteu homogène et sotope pafat, c est-à-de de conductvté nfne ; des champs électque et magnétque, non statonnaes, peuvent-ls exste dans un tel mleu? On justfea les éponses données à pat des équatons fondamentales 13) Rappele les équatons de passage des champs électque et magnétque à une nteface ente un mleu conducteu pafat et le vde 14) Quelle est la défnton d une onde électomagnétque plane, pogessve, monochomatque (OEPPM)? Pécse, sans démonstaton, la stuctue et les caactéstques essentelles d une telle onde se popageant dans le vde (pulsaton ω et vecteu d onde k ) 15) On envsage la éflexon, sous ncdence oblque, d angle d ncdence, d une OEPPM, de pulsaton ω et vecteu d onde k, polasée ectlgnement pependculaement au plan d ncdence, su une nteface plane ( P ) vde/conducteu pafat : et vde k z ( ) P On notea E l'ampltude du champ électque de cette onde E ( M,) t conducteu P y Pa alleus, ( P ) est le plan Pyz x Page 1 Chstan MAIRE EduKlub A Tous dots de l auteu des œuves ésevés auf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntedtes Extat gatut de document, le document ognal compote 15 pages

2 151) Ece, en epésentaton complexe, les champs électque et magnétque de l onde ncdente, su la base (x,y,z) ; on adoptea la conventon : cos ωt = R{exp( jωt)} 15) Justfe l exstence et les caactéstques de l onde éfléche (supposée ête une OEPPM) ; on détemnea successvement sa pulsaton, son vecteu d onde et on éca, en epésentaton complexe, les champs E ( Mt,) et B ( M,) t 153) Expme les chages sufacques σ ( Pt, ) et les couants sufacques j ( Pt, ), se développant en tout pont P de la suface du conducteu éclaée pa l onde ncdente 154) En dédue la foce ésultante s exeçant pa unté de suface du df conducteu, sot ( Pt, ) d 155) Calcule les valeus moyennes tempoelles de l énege électomagnétque volumque de l onde ncdente wmt (,) et de son vecteu de Poyntng Π ( Mt,) foncton de E 156) Détemne, enfn, la «pesson de adaton» M df valeu moyenne tempoelle de la foce ( Pt, ) d d ncdence t t k, en p, défne comme la, en foncton de E et de l angle 16) Repende l ensemble des questons 15) pou une OEPPM de même pulsaton ω, polasée ectlgnement dans le plan d ncdence, pou un même angle d ncdence, su une nteface de même natue On démontea que la pesson de adaton s exeçant su le conducteu a, pou les deux polasatons étudées, la même expesson 17) La Tee, stuée en moyenne à la dstance de 1 UA du olel, eçot une pussance de ayonnement solae pa unté de suface de,15 Wcm ; on suppose que l émsson solae se fat de manèe sotope, sous fome d ondes sphéques et on néglge l absopton du ayonnement solae 171) Indque comment vae la pussance eçue pa unté de suface avec la dstance de la souce au écepteu et calcule lttéalement pus numéquement la pussance totale P émse pa le olel sous fome de ayonnement électomagnétque 17) Justfe l appoxmaton locale de l onde sphéque en onde plane, tant su son teme d ampltude que su son teme de phase, pou une dmenson maxmum d du écepteu tès nféeue à, dstance souce/écepteu 173) Expme la pesson de adaton solae à laquelle est soums un écepteu de pettes dmensons, pafatement éfléchssant et ecevant le ayonnement sous l angle d ncdence ; on expmea la pesson en foncton de P, et 18) Applcaton 1 : justfcaton du sens de coubue de la queue de cetanes comètes O u cente du olel OM = u M On consdèe une patcule matéelle sphéque, pafatement éfléchssante, de cente M et de ayon a, de masse volumque µ, se touvant à la dstance du olel ( a) Page Chstan MAIRE EduKlub A Tous dots de l auteu des œuves ésevés auf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntedtes Extat gatut de document, le document ognal compote 15 pages

3 181) Calcule la valeu moyenne F R de la foce due au ayonnement solae que E () et a, pus en foncton de subt la patcule ; on expmea le ésultat en foncton de P, a et 18) Calcule la foce de gavtaton G F qu exece le olel su la patcule F F 183) A pat de quelle valeu a du ayon de la patcule a-t-on R G? Applcaton numéque : calcule a pou µ 3 = 1 gcm 184) L obsevaton astonomque de la queue de cetanes comètes a ms en évdence leu épulson pa le olel : justfe, à pat du ésultat pécédent, le qualfcatf qu leu a été donné de «pousséeuses» II Navgaton à vole solae On consdèe un véhcule spatal de cente de masse C et de masse totale m, qu évolue dans l espace sous l acton de la foce de gavtaton solae F G et de la foce due au ayonnement solae F R, s exeçant su une vole solae plane de suface, soldae de l engn et ecevant le ayonnement sous un angle d ncdence supposé constant Le pont O désgne le cente du olel, ogne du éféentel galléen dans lequel on étude le mouvement du véhcule ; on pose en oute OC = e, et P désgne toujous la pussance totale du ayonnement solae e θ n O θ + C e vole solae x On admetta que le mouvement du pont C s'effectue dans un plan (P) passant pa O, fxe pa appot au éféentel galléen, et n que le vecteu nomal à la vole ne cesse d'appaten à ce plan Ox désgne un axe polae chos de façon abtae dans le plan (P), et pemet d'effectue un epéage polae du pont C 1) Donne les expessons des vecteus vtesse v et accéléaton a du pont C en coodonnées polaes A B ) Monte que l accéléaton du pont C s éct : a = e + e θ Explcte les coeffcents Aet B en foncton de GM,, P,, c, m et, et éce les équatons dfféentelles en et en θ du mouvement du pont C Dans toute la sute du poblème, on étude le cas patcule où l angle ( e, v) = ϕ au cous du mouvement du véhcule ; on pose λ = tan ϕ este constant On se popose de véfe que ce cas patcule est soluton des équatons éctes en ), pou des condtons ntales patculèes, et de echeche les équatons polaes des tajectoes coespondantes Page 3 Chstan MAIRE EduKlub A Tous dots de l auteu des œuves ésevés auf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntedtes Extat gatut de document, le document ognal compote 15 pages

4 " 3) Etabl l équaton dfféentelle en du mouvement ; monte qu elle s éct : dt () = = b, où b est un coeffcent constant qu l on détemnea en foncton de,, dt On supposea que b est négatf, hypothèse que l on véfea numéquement pa la sute Intége cette équaton dfféentelle en fasant le chox des condtons ntales suvantes : En dédue la soluton () d b '() = () = et () = dt () t sous la fome : t () = (1 + αt) β ABλ Touve la valeu numéque de β et l expesson lttéale de α en foncton de b et ; commente le sgne de α 4) En dédue la soluton θ () t coespondante ; on chosa θ () =, ce qu event à postonne l axe polae Ox dans le plan (P) selon le vecteu OC du pont C, où C est la poston ntale 5) Etabl l équaton polae ( θ ) de la tajectoe du pont C et dentfe la coube (Γ ) coespondante 6) Expme les coeffcents Aet B en foncton de, a et adale et othoadale de v en foncton de B, et coeffcents AB, et α en foncton du sgne de λ λ, pus les composantes λ ; dscute les sgnes possbles des 7) Détemne la valeu absolue de l angle d ncdence, encoe appelé «angle de pésentaton» de la vole, pou laquelle la composante othoadale de l accéléaton est maxmum en valeu absolue ; calcule numéquement : on adoptea cette valeu dans toute la sute du poblème, pou les applcatons numéques On souhate, pou mene la fn de cette étude, adopte les untés adaptées aux poblèmes de mécanque spatale : longueus en untés astonomques (UA) temps en années 8) On appelle () a la valeu absolue du teme d accéléaton gavtatonnelle du olel R et T tels que : à la dstance, et on ntodut les deux coeffcents sans dmenson Expme () foncton de a () = a () (1 R) et a () = a () T θ a dans le système d untés (UA, années), pus et R et T ; ndque les lmtes de vaaton de R A B, dans ce même système, en La vole solae est un flm de tephane alumnsé de masse sufacque unfome et de suface véhcule spatal µ e = 5,6 gm 5 =,681 m ; la masse de la vole consttue 4% de la masse totale m du 9) Calcule numéquement la foce de pesson de adaton F R su la vole, ans que la foce de gavtaton solae F G su le véhcule, à la dstance de 1 UA du olel Page 4 Chstan MAIRE EduKlub A Tous dots de l auteu des œuves ésevés auf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntedtes Extat gatut de document, le document ognal compote 15 pages

5 pésentaton 1) Calcule numéquement les coeffcents R et T, pou la valeu de l angle de A l ade des expessons de Aet éce une elaton appochée smple ente AB, et λ, pus ente RT, et RT,, α et elaton ente Calcule numéquement λ et l angle ϕ, pus le coeffcent α en B obtenues en 6), et en fasant, à po, l hypothèse λ 1, λ ; en dédue une ( ) 1 années, pou 1 Véfe, à posteo, l hypothèse fate su λ, ans que le sgne de la constante b = UA 11) L ensemble des ésultats pécédents pemet d expme les composantes v () et vθ () de la vtesse du véhcule en foncton des coeffcents R et λ et de la vtesse v () qu auat le véhcule su une obte cculae de ayon autou du olel, décte d un mouvement unfome sous la seule foce de gavtaton Etabl les elatons coespondantes On suppose que le pont de dépat du véhcule spatal est à la dstance 1 du cente O du olel et que sa destnaton est à la dstance w = v ( ) v ( ) 1) Etabl l expesson de «l excédent» de vtesse au dépat foncton de v( 1), Ret λ ; éce de même w = v ( ) v( ) w1 w v( ), R et λ On calculea numéquement les appots et v ( ) v ( ) 1 en à l avée en foncton de On se popose de compae les valeus pécédentes à celles nécessaes à un tansfet de Hohman «classque» coespondant à la fgue c-dessous : obte cculae haute (ayon ) P O obte cculae basse (ayon ) 1 A Le véhcule est en obte basse autou du olel de ayon 1 ; l est tansféé su une obte cculae haute de ayon en décvant une demellpse dte "ellpse de tansfet" Ce tansfet equet une pemèe vaaton de vtesse au péhéle P de l'ellpse et une deuxème vaaton à l'aphéle A ellpse de tansfet 13) On pose : w1' = v'( 1) v( 1) w' = v( ) v'( ) w ' et w ' Expme 1 v'( ) v'( ), avec 1, avec = vtesse du véhcule su l obte ellptque au pont P = vtesse du véhcule su l obte ellptque au pont A v ( ), v( ), et en foncton de 1 1 Page 5 Chstan MAIRE EduKlub A Tous dots de l auteu des œuves ésevés auf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntedtes Extat gatut de document, le document ognal compote 15 pages

6 Calcule numéquement w1' w' et v ( ) v ( ) 1 pou un tansfet Tee-Jupte On souhate enfn compae, du pont de vue des duées de tansfet, les tajectoes planes ( Γ ) détemnées à la queston 5) d un véhcule patant de la Tee (sot pou = 1 UA ), ésultant d une populson avec vole solae, au tansfet de Hohman classque 14) Etabl, dans le système (UA, années), l expesson lttéale de la duée de tansfet T 1 su la coube (Γ ) de la valeu 1 à la valeu et Etabl l expesson de la duée de tansfet de Hohman T ' 1, en années, en foncton de 1 expmés en UA Effectue les applcatons numéques coespondantes pou le tansfet Tee-Jupte 15) Desse un tableau compaé des duées des deux types de tansfet pou les planètes ntéeues du système solae (Vénus et Mecue), et pou la planète extéeue la plus poche de la Tee (Mas) ; commente ces ésultats ************** D apès le concous IENAC 96, épeuve optonnelle P Page 6 Chstan MAIRE EduKlub A Tous dots de l auteu des œuves ésevés auf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntedtes Extat gatut de document, le document ognal compote 15 pages