Séquence 7. Intégration. Sommaire
|
|
- Jean-Claude Lavigne
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce chpitre, on introduit une nouvelle notion mthémtique : l intégrtion. Après une première pproche géométrique, l introduction de l notion de primitive permet d élrgir l définition et les possiilités de clcul. Quelques eemples d pplictions sont donnés. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
2 Prérequis A Aires. Aires usuelles On considère des figures dns un pln où une unité de longueur été choisie. On sit clculer les ires déterminées pr différentes figures géométriques : ire d un tringle : se huteur ; ire d un rectngle : longueur lrgeur (remrque : qund un rectngle ur un côté prllèle à l e des ordonnées, on ppeller ce côté l «huteur» du rectngle, et l utre côté ser ppelé s «lrgeur») ; ( petite se + grnde se) huteur ire d un trpèze : ; ire d un disque : π ryon.. Propriétés des ires Voculire Additivité Pour clculer l ire de figures moins simples que les précédentes, on peut décomposer celles-ci en un certin nomre de figures dont on sit clculer l ire. Pr eemple, pour clculer l ire d une surfce délimitée pr un polygone, on peut décomposer celui-ci en un certin nomre de tringles. L somme des ires des tringles donne lors le résultt souhité. L propriété utilisée s ppelle l «dditivité de l ire», elle est énoncée dns l propriété suivnte. On l hitude d ppeler «domines» les ensemles de points du pln dont on clcule les ires. Propriété Si E et E sont deu domines du pln dont l intersection une ire nulle lors l ire de E E est égle à l somme des ires de E et E : Aire( E E)= Aire( E)+ Aire( E). Dns l figure ci-contre : Aire( ABCD)= Aire( ABD)+ Aire( BCD). A B D C Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
3 Inclusion Soit E et E deu domines du pln tels que ( ) ( ) E E lors Aire E A ire E. E E Trnsltion, symétrie Propriété Invrince pr trnsltion E Soit une trnsltion t v et deu domines du pln E et E tels que E soit l imge de E pr l trnsltion t v (c est-à-dire que tous les points du domine E sont otenus pr trnsltion de tous les points du domine E ). Alors les domines E et E ont l même ire : Aire( E)= Aire( E). v E Propriété Invrince pr symétrie Soit s une symétrie ile d e et deu domines du pln E et E tels que E soit l imge de E pr l symétrie s (c est-à-dire que tous les points du domine E sont otenus pr symétrie de tous les points du domine E ). Alors les domines E et E ont l même ire : Aire ( )= ( ). E Aire E E E. Domines, ires et mesures On confond prfois un domine (une surfce) vec une ire, ou une ire vec une de ses mesures. On précise ici pr un eemple l différence entre ces notions. Un domine est un ensemle de points du pln. Des domines, qui sont des ensemles de points différents, sont des domines différents, mis ces domines peuvent voir l même ire comme trois des domines ci-dessous qui ont chcun une ire égle à crreu. 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
4 Mesurer une ire, c est lui ssocier un nomre en utilisnt une ire de référence, l unité. Prenons l eemple d une ire A de m. On peut écrire l églité A = m == cm mis, ien sûr, les nomres et ne sont ps égu. Le nomre est l mesure de l ire A en m et est l mesure de l même ire A vec une utre unité, le cm. Dns cette séquence, les intégrles sont des nomres et ces nomres sont utilisés pour mesurer des ires, l unité étnt souvent ppelée «unité d ire» ce que l on note u.. Il rrive que, quelquefois, on confonde une ire vec une de ses mesures (comme on le fit très souvent pour les ngles et leurs mesures en rdins ou pour les longueurs et leurs mesures). En sciences physiques, pour simplifier l écriture, on écrit souvent les unités seulement à l fin de clculs qui ont porté sur des nomres. B Dérivtion Comme on le verr, les deu notions de dérivtion et d intégrtion sont très liées, on rppelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.. Fonctions usuelles Fonction f définie Epression de f( ) Epression de f ( ) et dérile sur I f( ) = k, k constnte réelle I = R f ( ) = f( )= I = R f ( ) = ] [ ] [ f( )= I = R * = ; + I = * = ; R + ou f ( ) = f( )= I = R + * = ] ; + [ f = ( ) n f( ) =, n N I = R f ( ) = n n n f( ) = =, n n + I = R * = ; + N R ] [ I = * = ; ] [ ou n n f ( ) = = n n+ f( ) = sin I = R f ( ) = cos f( ) = cos I = R f ( ) = sin f( )= e I = R f ( ) = f( ) = e ] [ f( ) = ln I = R * = ; + + f ( ) = Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne
5 . Opértions Dns le tleu ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivles sur le même intervlle I, k est un nomre réel ; dns les deu derniers cs, l fonction v ne s nnule ps. Alors l fonction f est dérivle sur le même intervlle I.. Composition Fonction f Fonction dérivée f f = u+ v f = u + v f = uv f = u v + uv f = ku f = ku f = = v f v v u uv f = = uv f v Dns le tleu suivnt, u est dérivle sur un intervlle I et vérifie éventuellement certines conditions. Alors l fonction f est dérivle sur le même intervlle I. Fonction f Fonction dérivée f Remrques éventuelles f : f( ) = g( + ) f : f ( ) = g ( + ) u uu v L fonction g étnt dérivle sur un intervlle J, l fonction f est dérivle en lorsque + pprtient à J. u n où n N * u n = u où n N * n u u nu u n u u nu n = nu' u n+ u u u u ne s nnule ps sur I u ne s nnule ps sur I u est à vleurs strictement positives sur I e u u e u lnu u u u est à vleurs strictement positives sur I 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
6 Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ] A Oectifs du chpitre Dns ce chpitre, on définit l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle en utilisnt les ires et on en étudie les propriétés. B Pour déuter Activité Avec les vitesses et les distnces Un oet se déplce pendnt secondes à l vitesse de m.s -. Quelle distnce -t-il prcourue? Un oet se déplce pendnt secondes. On peut seulement enregistrer les vleurs successives de s vitesse v()à t l instnt t. On otient les vleurs suivntes et on demnde de donner une vleur pprochée de l distnce prcourue. t,5,5,5,5 4 4,5 5 5, vt () 9 7,6 6, 4,6,7,7,,8,4,,7,5,4,,, Un oet se déplce pendnt secondes. On peut seulement enregistrer, sur une représenttion grphique, s vitesse v()à t l instnt t. Dns les questions précédentes, des produits d une vitesse pr une durée sont pprus. On interprète ces produits comme des ires de rectngles. En utilisnt cette interpréttion, donner une vleur pprochée de l distnce prcourue pr l oet. v(t) en m.s O i 5 t en secondes Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne
7 Activité Aire sous l prole Cette ctivité propose une générlistion de ce qui été fit dns l eercice de synthèse VI de l séquence. Le pln est muni d un repère orthogonl ( O;i, ) ; l unité d ire qui ser utilisée pour mesurer les ires est l ire du rectngle OIKJ tel que i = OI et = OJ. Soit et deu nomres réels tels que. On se propose de déterminer l mesure I, de l ire sous l coure représentnt l fonction crré sur l intervlle E, [ ; ], c est-à-dire l ire du domine E, limité pr l représenttion grphique de l fonction crré, l e des scisses insi que O i les droites d équtions = et =. Pour cel, on détermine d ord l ire du domine E limité pr l représenttion grphique de l fonction crré, l e des scisses, et l droite d éqution =. On prtge l intervlle ; (où n est un entier [ ] en n intervlles de longueur n y = supérieur à ) sur lesquels on construit n rectngles situés sous l coure et n rectngles contennt E comme l illustre l figure. y = O O /n /n /n 4/n 5/n 6/n (n )/n(n )/n On note u n l mesure de l ire totle des rectngles situés sous l coure et v n l mesure de l ire totle des rectngles contennt le domine E. On otient insi deu suites ( u n ) et ( v n ) encdrnt l mesure I de l ire de E. Ainsi, pour tout n, on : un I vn. n n ) Vérifier que, pour n, un = k et v n = k. n k = n k = n nn ( + )( n+ ) ) En dmettnt que, pour tout n, k = (démontré pr 6 k = récurrence lors de l résolution de l eercice VI de synthèse de l séquence ), en déduire l epression de u n et de v n en fonction de n. c) Clculer l limite de chcune des deu suites et en déduire l vleur de I. Pr nlogie, donner l vleur de l mesure I de l ire du domine E limité pr l représenttion grphique de l fonction crré, l e des scisses et l droite d éqution =. En déduire lors l vleur de I,. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
8 C Cours. Définition On se propose de générliser l notion d ire à des domines du pln liés à des fonctions. Les fonctions utilisées ici sont des fonctions continues sur des intervlles. Intuitivement, cel signifie que les coures représenttives sont formées d un trit continu, ces coures peuvent lors être utilisées pour limiter des domines dont on mesurer les ires. Le pln est muni d un repère orthogonl ( O;i, ) ; l unité d ire qui ser utilisée pour mesurer les ires est l ire du rectngle OIKJ tel que i = OI et = OJ. On dit qu une fonction f est positive sur un intervlle I si, pour tout de I, f( ) est positif : f( ). y E u Définition Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, [ ] continue et positive sur [ ] ;. On ppelle E le domine du pln limité pr l coure C f représentnt f, l e des scisses et les droites d éqution = et =. On ppelle intégrle de l fonction f sur ; domine E en unités d ire. Ce nomre est noté f ( ) d. [ ] l mesure de l ire du Remrque L ire du domine E s ppelle ussi ire sous l coure. On donc : ire( E ) = f ( ) d u.. Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne
9 Eemple Remrques Eemple Et si, sur chque e, l unité de longueur est égle à 5 cm comme dns l ctivité, on ur : ire( E ) = d 5 cm. f ( ) L intégrle de l fonction crré sur [ ; ] est telle que d = 7 comme on l vu dns l ctivité. Ainsi, pr eemple, d =. Le domine E peut ussi être défini pr un système d inéglités : M( ; y) E y f( ). Le nomre f ( ) d se lit «intégrle de à de f () d» ou «somme de à de f () d». Les réels et sont ppelés les ornes de l intégrle. On dit que est une vrile muette. En effet, l définition de «l intégrle de à de l fonction f» ne fit ps intervenir l vrile et on pourrit s en psser, mis il fudrit lors donner un nom à chcune des fonctions utilisées, ce qui serit ien compliqué. On préfère donc donner les fonctions pr leurs epressions, on donne un nom à l vrile mis ce nom n ucune importnce (seuls et, qui désignent les ornes, ne peuvent ps être utilisés). Ainsi d t t y y = d d =. L nottion «d» pour origine l lrgeur des rectngles qui ont été utilisés dns les premiers clculs d pproimtion, cette lrgeur multiplie les vleurs prises pr l fonction (comme on le voit dns l ctivité ). Cette nottion est indispensle qund plusieurs lettres sont utilisées pour définir l epression de l fonction (pr eemple ke ), «d» indique lors nettement quelle est l vrile. Clculer les intégrles : I= dt et J= d t, et étnt des nomres réels tels que. K= ( 5, t + ) dt et L= + d 4 ( 5, t ) t, et étnt des nomres réels tels que. 4 M= t d t. Le pln étnt muni d un repère orthonormé, près voir reconnu l coure C représenttive de l fonction f définie pr f( )= sur [ ; ], clculer N= d. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
10 Solution Remrquons que, dns chque cs, l ire est mesurée vec l unité d ire donnée pr le repère qui peut être orthonormé ou orthogonl. O i L fonction que l on intègre est une fonction constnte, on mesure donc des ires de rectngle et on otient : I= dt = ( ( )) = et J= d t = ( ). F,5 +,5 + G C A 4 B O i D E L intégrle K est l mesure de l ire du tringle ABC : ( K= + d = ( (, ) 4)) 5 t t = ; l intégrle L est l mesure de l ire du 4 trpèze DEFG : L= (, + ) ( 5, ) ( 5, ) ( 5, 5, + 4)( ) 5t dt = ( ) =. L intégrle M est l mesure de l ire d un domine que l on peut décomposer en deu tringles. En effet, on 5,. Ainsi : si 5, lors = + et si 5, 4 lors =. L coure représenttive de l fonction f définie sur [ ; 4] pr f( )= est représentée ci-contre. Le domine E défini pr 4 est y f( ) colorié ; son ire est égle à l somme des ires des tringles OAB et BCD. On donc : 4 OA OB BC CD M= d = + = 5,, 5 5 t t + = 85,. A O i B C D Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
11 Les points de l coure C sont tels que y =, d où y + = et l coure C est donc un demi-cercle de centre O et de ryon. D où N= d = π = π. O Remrque Dns le cs prticulier où l fonction f est une fonction constnte qui prend l vleur positive λ (cette lettre grecque se prononce «lmd») sur tout l intervlle [ ; ], on f( )d = d ( ) λ =λ cr le domine E est un rectngle dont les côtés mesurent et λ. O i. Propriétés Les ires permettent d otenir les propriétés qui suivent. Propriété Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, Pour tout réel c de l intervlle ;, [ ] continue et positive sur [ ] c ( ) d =. c [ ] f ;. Démonstrtion Le domine E est réduit à un segment dont l ire est de mesure nulle. Propriété Positivité Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, Alors f ( ) d. [ ] continue et positive sur [ ] ;. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
12 Démonstrtion Commentire L mesure d une ire est un nomre réel positif. Cette propriété est ppelée «positivité» de l intégrle, et il suffit de rppeler ce mot qund on utilise cette propriété. Propriété Comprison [ ] continues et posi- Soit f et g deu fonctions définies sur l intervlle ;, tives sur [ ;, telles que f g, c est-à-dire telles que f( ) g( ) pour tout de [ ; ]. Alors f( ) d g( ). d y g f f g ' i y' Démonstrtion Le domine E f défini pr M( ; y) Ef est inclus dns le y f( ) domine E g défini pr M ( ; y ) g E y g( ). D où l inéglité des ires : ire( Ef ) ire( Eg ) et de leurs mesures : f( ) d g( ). d Eemple [ ] permet de trou- L comprison des fonctions crré, et rcine sur ; ver : d d d. y = y = y = y = O i Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
13 Propriété 4 Reltion de Chsles Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, [ ] continue et positive sur [ ] [ ; ], lors Soit c un nomre de l intervlle c f( ) d + f( ) f( ). d = c d ;. y f () f (c) f () c f(t)dt f(t)dt c c Démonstrtion Commentire Cette églité résulte de l dditivité des mesures d ires qui été rppelée en prérequis. Vous vez très prolement remrqué l nlogie vec l reltion vectorielle AC + CB = AB, et vous retiendrez fcilement que cette églité entre des intégrles est ppelée «reltion de Chsles». Cette propriété des ires et des intégrles été utilisée dns le clcul de l intégrle M de l eemple. f Définition L vleur moyenne d une fonction f définie sur l intervlle [ ; ]vec, continue et positive sur ;, [ ] est égle u nomre ft t () d. D A µ i C B Commentire Notons µ cette vleur moyenne. On donc µ= ft ()d t et µ( ) f( t) t. = d Le produit µ( ) peut être interprété comme l mesure de l ire d un rectngle ABCD (il est indiqué sur l figure). Et l dernière églité montre lors que l vleur moyenne de l fonction f sur l intervlle [ ; ] est égle à l huteur AD du rectngle ABCD de se ; [ ] et qui l même ire que le domine E. 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
14 Propriété 5 Inéglités de l moyenne [ ] vec Soit une fonction f définie sur l intervlle ;, continue et positive sur [ ; ], et deu nomres m et M tels que, pour tout de l intervlle [ ; ], on m f( ) M. Alors m µ M, µ étnt le vleur moyenne de l fonction f sur ;. [ ] F M E D µ f C H A O m i G B Démonstrtion On pplique l propriété à l fonction constnte m, à l fonction f et à l fonction constnte M. D où : m ( ) ft ( ) dt M ( ). Et, en divisnt pr qui est strictement positif, on : m ft t M () d, soit m µ M. Commentire Eemple Solution On peut retenir visuellement ces résultts ssez fcilement cr les inéglités m ( ) ft ( ) dt M ( ) sont l trduction de : Aire(ABGH) Aire(ABCD) Aire(ABEF). = [ ] Déterminer l vleur moyenne de l fonction crré sur l intervlle I ;. On : µ = = = t d t 4,. µ = 4, Les ires colorées sont égles. Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne
15 . Clcul pproché d une intégrle d une fonction continue monotone positive ) Encdrement à l ide d un lgorithme On cherche à générliser les méthodes évoquées lors de l ctivité à une fonction continue, positive et monotone. Soit f une fonction continue, monotone et positive sur l intervlle [ ; ]. On note E le domine limité pr l représenttion grphique de l fonction f, l e des scisses et les droites d équtions = et =. On prtge l intervlle [ ; ] en n intervlles de longueur (où n est un n entier supérieur à ) sur lesquels on construit n rectngles situés sous l coure et n rectngles contennt E comme l illustrent les figures ci-dessous. [ ] Cs : f croissnte sur ; +h +h h +h +h h Cs : f décroissnte sur [ ; ] +h +h h +h +h h 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
16 [ ] on note u n l mesure de l ire totle Dns le cs où f est croissnte sur ;, des rectngles situés sous l coure et v n l mesure de l ire totle des rectngles contennt le domine E. On otient insi deu suites ( u n ) et ( v n ) encdrnt l mesure f ( ) d de l ire de E. Ainsi, pour tout n, on : un f( ) d v n. En s ppuynt sur les représenttions grphiques précédentes, on montre que : n n u h f kh f k n = ( ( + ))= + n n et k = k = n n v h f kh f k n = ( ( + ))= + n n. k = k = Lorsque l fonction f est décroissnte sur [ ; ], les suites définies pr les églités précédentes déterminent encore un encdrement de f ( ) d mis leurs rôles sont inversées : pour tout n, vn f( ) d u n. On donc démontré l propriété suivnte. Propriété 6 Soit f une fonction continue, positive et monotone sur un intervlle [ ; ], ( u n ) et ( v n ), les suites définies pr : n n un = ( h f( + kh) ) et vn = ( h f( + kh) ). Alors : k = k = si f est croissnte, on : un f( ) d v n ; si f est décroissnte, on : vn f( ) d u n. Le logiciel Geoger permet fcilement de visuliser ces encdrements de l fçon suivnte. L fonction f est définie sur un intervlle [ ; ]. On crée un curseur n (entier prennt les vleurs de à 5 pr eemple). On entre s=sommeinférieure[ f,,, n] qui nous donne un minornt de f ( ) d otenu en considérnt les rectngles sous l coure. Puis on entre S=SommeSupérieure[ f,,, n] qui nous donne un mornt de f ( ) d otenu en considérnt les rectngles contennt le domine. En ugmentnt n, on otient des encdrements de plus en plus précis de f ( ) d. Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne
17 Cette propriété ustifie l lgorithme suivnt qui nous donne des encdrements d intégrles dns le cs où f est positive et monotone. Algoo Csio TI On propose, dns l eercice 4, de modifier cet lgorithme pour otenir un encdrement d mplitude fiée. ) Vleur pprochées à l ide d une clcultrice ou d un logiciel de clcul formel L lgorithme précédent permet d encdrer l vleur d une intégrle, on peut donc en donner une vleur pprochée, en prennt pr eemple u n + v n. À prtir d lgorithmes choisis pour leur efficcité (précision, nomres de ps dns les clculs), les clcultrices et les logiciels de clcul formel donnent des vleurs pprochées d intégrles. Avec une clcultrice TI-8-stts.fr On utilise l touche MATH puis l instruction 9 : fonctintégr. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
18 L synte est fonctintégr(epression de l fonction, nom de l vrile, orne inférieure, orne supérieure). Voici, pr eemple, le clcul de d : Avec une clcultrice Csio 5+Pro On utilise successivement OPTN CALC d. L synte est ( epression de l fonction, orne inférieure, orne supérieure, tolérnce). Les clculs se font de fçon pprochée et l «tolérnce» permet de choisir une précision plus ou moins grnde. Il est possile de ne ps indiquer l vleur de l tolérnce (l clcultrice utiliser lors 5 ) et de ne ps fermer l prenthèse. Avec un logiciel de clcul formel Voici un écrn otenu vec le logiciel Xcs. L première instruction int(^,) permet d otenir à l deuième ligne une primitive de l fonction donnée pr l epression ^ où l vrile est, il s git Eemple Solution donc de l fonction crré. (Avec l instruction int(k*^,k) l vrile serit k et on otiendrit *k.) 5 L deuième instruction correspond à l intégrle d dont le logiciel donne l vleur : 98. [ ] Construire un tleu de vleurs et l coure de l fonction f définie sur 6 ; pr f( ) = d t. t,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 f( ) = dt.,454,69,96,986,58,86,54,694,747,798 t Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne
19 O i Eemple 4 Solution 4. Intégrtion et dérivtion Dns l eemple, on otenu ci-dessus de vleurs pprochées de dt, t 5 6 dt, dt t et t dt. Quel lien peut-on conecturer entre trois de ces t qutre intégrles? 6 On peut conecturer que dt = t t d + dt t, ce qui fit penser u logrithmes népériens. t Or on sit que l fonction ln pour dérivée l fonction inverse Le théorème qui suit est fondmentl. Il permet de relier l intégrtion et l dérivtion, fcilitnt le clcul de eucoup d intégrles. Théorème Soit f une fonction continue et positive sur ;, pr f()d t t est dérivle sur ; [ ] l fonction définie sur [ ; ] [ ] et s fonction dérivée est l fonction f. Remrque On ppeller F l fonction définie sur [ ; ] pr f () t d dt, insi F ( ) = ft ( ) dt. Nottion : on rppelle que dns l écriture F( ) = ft ( ) d t l vrile «t» est muette, on urit pu choisir l nottion F ( )= f où l on voit mieu que l intégrle ne dépend que de f et des ornes et, mis cette nottion n est ps du tout prtique. On utilise donc l nottion F( ) = f( t) d t dns lquelle il est essentiel que l vrile muette soit nommée différemment de l orne qui est l vrile hituelle. Interpréttion géométrique : pr définition de l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ], F ( ) est égle à l mesure de l ire du domine du pln limité pr l coure C f représentnt f, l e des scisses, l droite des points d scisses et l droite des points d scisse. F ( ) =. Démonstrtion Elle est fite dns le cs prticulier d une fonction positive et croissnte sur un intervlle ;. [ ] Dns les utres cs le théorème est dmis. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
20 On v encdrer le quotient F ( + h) F ( ). f(+h) h f() Cs où h est positif. f L ire du domine colorié est mesurée pr F ( ) = ft ( ) dt. O +h L ire du domine formé i pr l réunion du domine colorié en foncé et du domine colorié en clir est mesurée pr + h F ( + h) = ft ( ) dt. + h + h D près l reltion de Chsles, on ft () dt+ ft () t ft () t, d = d soit + h + h F ( ) + ft ( ) d t= F ( + h) et donc F( + h) F ( ) = ft ( ) t d, ce qui est l mesure de l ire coloriée en clir. [ ] pour tout nomre t de Comme l fonction f est croissnte sur ;, l intervlle [ ; + h] on f( ) f( t) f( + h), et, d près les inéglités de l moyenne où m et M sont remplcés pr f( ) et f( + h), on + h F ( + h) F ( ) f( ) ft ( ) t f ( + h), h d soit f( ) f( + h). h Cs où h est négtif. L ire du domine colorié en foncé est mesurée pr + h F ( + h) = ft ( ) dt. L ire du domine formé pr l réunion du domine colorié en foncé et du domine colorié en clir est mesurée pr F( ) = f( t)d t. f() f(+h) O + h D près l reltion de Chsles, on ft () dt+ ft () t ft () t, d = + h d soit F ( + h) + ft ( ) d t= F ( ) et donc F( + h) F ( ) = ft ( ) t. + h d + h Comme l fonction f est croissnte sur [ ; ] et que h est négtif, pour tout nomre t de l intervlle [ + h; ] on f( + h) f( t) f( ), et donc, d près les inéglités de l moyenne, F ( + h) F ( ) f( + h) ft () t f ( ), ( + h) d soit f( + h) f( ). + h h Ainsi, que h soit positif ou négtif, F ( + h) F ( ) est encdré pr f( ) et h i +h f Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
21 Eemple D Eercice f( + h). Comme l fonction f est continue sur ;, [ ] pout tout de ;. [ ] on lim f( + h) = f( ) h F Et donc, d près le théorème des gendrmes, lim ( + h ) F ( ) = f( ), ce qui h h prouve que l fonction F est dérivle en pour tout de ;, F f. [ ] et que = On rppelle que, dns l ctivité, t dt = pour, et donc ussi F( ) = t dt= pour. On retrouve ien que l fonction F est dérivle si, et que F ( ) = = f( ). De même, dns l eemple 4, on oservé un lien entre dt et l fonction ln dont l fonction dérivée est l fonction inverse. t Les fonctions du type de F vont être étudiées dns le chpitre suivnt. Eercices d pprentissge Le pln est muni d un repère orthonormé. On utilise le résultt t dt = pour. Clculer t dt et, pr des considértions de symétries et d ires, déterminer t d t. En déduire l mesure de l ire du domine situé entre l coure de l fonction crré et l coure de l fonction rcine. y = y = y = O i Eercice Une voiture se déplce sur une route, elle démrre à l instnt t =, puis ccélère de fçon régulière durnt l première heure (c est-à-dire que l on suppose constnte l ccélértion qui est l dérivée de l vitesse). Après une heure de route, s vitesse est lors 8 km.h -. Elle grde cette vitesse durnt les deu heures suivntes puis décélère de fçon régulière pour s rrêter une demi-heure plus trd. Dns un repère orthogonl, représenter l vitesse v du véhicule en fonction du temps. Déterminer l distnce prcourue durnt ce tret insi que l vitesse moyenne du prcours. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
22 Eercice Eercice 4 Eercice 5 On considère une fonction f monotone sur [ ; ] et on reprend l propriété 7, les nottions et l lgorithme qui en découle. ) Montrer que l encdrement vn f() t dt un ouun f() t dt v n (selon le sens de vrition de f ) est d mplitude hf( ) f( ). ) Modifier lors l lgorithme d encdrement construit dns le cours pour que l encdrement de l intégrle otenu it une mplitude inférieure à un nomre d fié. t On veut otenir un encdrement de e dt d mplitude 4. ) Montrer que f : e est monotone sur [ ; ]. t ) En utilisnt l lgorithme, encdrer e dt vec une mplitude inférieure à 4. [ ] pr Quelle est l fonction dérivée de l fonction F définie sur ; d t? t + Même question pour l fonction G définie sur [ ; ] pr d. t Qu oserve-ton? t + [ ] qui Quelle est l reltion eistnt entre F( ) et G( ) pour tout de ; permettit de prévoir ce résultt? Dns cet eercice, les trois premières questions sont des questions à choi multiples (QCM) pour lesquelles trois réponses sont proposées dont une seule est correcte. Dns l qutrième question, on doit dire si l proposition qui est énoncée est vrie ou fusse. Toutes les réponses doivent être ustifiées. Les fonctions qui sont intégrées sont continues et positives sur les intervlles d intégrtion. Si I= f( ) d et J= d 4 f( ), lors f( ) d est égle à : 4 ) + I J ) I + J L vleur moyenne sur [ 4; ] de l fonction f représentée cicontre vut : ) ) c),5. L intégrle I= f( ) d pprtient à l intervlle : ) 7; 9 c) I+ J. [ ] ) [ 9; ] c) [ ] ;. L proposition suivnte est-elle vrie ou fusse? [ ] sont telles que Si deu fonctions f et g continues et positives sur ; f( ) d = g( ) d, lors f( ) = g( ) pour tout de [ ; ]. -4 O i Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
23 Primitives A Oectifs du chpitre À l fin du chpitre, pprît une fonction dont on connît l fonction dérivée. Dns ce chpitre, on définit et on étudie ces fonctions définies pr leurs fonctions dérivées. Dns le chpitre qui suivr, on pourr lors clculer des intégrles. B Activité Activité 4 Activité 5 Pour déuter On considère les fonctions F, G et H définies sur R pr : F ( ) = + 5, G( ) =, et H( ) = Déterminer leurs fonctions dérivées. Qu oserve-ton? Les fonctions F, G et H sont-elles égles? ] [ pr Mêmes questions, les fonctions F, G et H étnt définies sur ; + F ( ) =, G ( )= et H 5 ( ) =. On considère les deu fonctions f et F définie sur ;+ F ( ) = ln. Montrer que F = f. ] [ pr f( ) ln Trouver deu fonctions G et H différentes de F, telle que G = H = F. Déterminer une fonction K définie sur ] ;+ [ telle que K f = et ' = et K () =. Trouver une fonction F définie sur R telle que, pour tout réel, F ( ) = f( ) 5 vec f( ) = Même question vec f( )= + sur R. Même question vec f( )= + sur ] ; + [. Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = ( + e ). Déterminer deu nomres réels et tels que l fonction F définie sur R pr F( ) = ( + ) e it pour fonction dérivée l fonction f. 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
24 C Cours. Définition des primitives d une fonction sur un intervlle, eistence Définition Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. On dit qu une fonction F, définie sur I, est une primitive de l fonction f sur I si : l fonction F est dérivle sur I ; pour tout de I, F ( ) = f( ). Eemples Remrque Rppel Soit f l fonction crré définie sur R. L fonction F définie sur R pr F( )= est une primitive de l fonction crré cr, pour tout réel, on F ( ) =. L fonction ln est une primitive sur ;+ réel strictement positif, on : ln ( ) =. ] [ de l fonction inverse cr, pour tout L fonction F est une primitive de l fonction f sur I si et seulement si f est l fonction dérivée de F sur I. On démontré dns le chpitre que, pour une fonction f continue, positive et croissnte sur un intervlle fermé [ ; ], l fonction définie sur [ ; ] pr f()d t t est dérivle sur [ ; ] et que s fonction dérivée est l fonction f. On dmis cette propriété pour toutes les fonctions continues et positives sur [ ; ]. On otient donc qu une fonction f continue et positive sur un intervlle [ ; ] dmet u moins une primitive sur [ ; ] définie pr f() t dt. Plus générlement, on le théorème qui suit. Théorème Toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives sur cet intervlle. Voici Vii le principe i de l démonstrtion dns le cs d une fonction f définie et continue sur un intervlle fermé [ ; ]. On ne suppose donc plus que l fonction est positive, mis on peut s y rmener. O m i y = g() = f() m g f Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne
25 Eemple [ ] dmet un mini- On dmet qu une fonction continue sur un intervlle fermé ; mum m sur [ ; ] (ce qui peut être conecturé à prtir de l représenttion grphique puisque l coure représenttive d une fonction continue sur un intervlle fermé est formée d un trit continu, m est l plus petite ordonnée des points de l coure). [ ] on donc m f t Pour tout t de ;, (), soit f() t m. L fonction g définie sur [ ; ] pr gt () = ft () m est donc une fonction continue et positive sur [ ; ]. Géométriquement, cel correspond à trnslter l coure de f vers le hut pour que tous les points de l nouvelle coure ient une ordonnée positive. On pplique à cette fonction g le théorème du chpitre et on otient que l fonction G définie sur [ ; ] pr g()d t t est dérivle sur [ ; ] et que s fonction dérivée est l fonction g : G = g. Comme f( ) = g( ) + m sur ;, pr : F( ) = G ( ) + m. On F ( ) = G ( ) + m= f( ) pour tout de ; [ ] on considère l fonction F définie sur [ ; ] [ ] donc F est une primitive de f. Le théorème est dmis dns le cs des fonctions définies sur I, I n étnt ps un intervlle fermé et l fonction f pouvnt lors ne ps dmettre de minimum. Les fonctions F, G et H définies sur R pr : F( ) = e + 5, G ( ) = e, et H ( )= e 9999 sont des primitives de l fonction f définie sur R pr f( ) = e.. Propriétés des primitives Dns l eemple précédent, on outé des constntes à l primitive e, pour friquer d utres primitives de l fonction e. L propriété suivnte montre qu il n y ps d utres formes de primitives. Propriété 7 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I, et soit F et G deu de ses primitives. Alors l fonction F G est une fonction constnte sur I. Démonstrtion Pour tout de I, on ( F G) ( ) = F ( ) G ( ) = f( ) f( ) =. L dérivée de l fonction F G est nulle sur l intervlle I donc l fonction F G est une fonction constnte sur I. Propriété 8 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I, et soit F une de ses primitives. Alors l ensemle des primitives de f sur I est égl à l ensemle des fonctions de l forme F + k, où k est une constnte. 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
26 Démonstrtion D près l propriété précédente, si G est une utre primitive de f sur I lors F G est une fonction constnte sur I, donc G = F + k. Réciproquement : soit G une fonction telle que G = F + k où k est une constnte. Pour tout de I, F ( ) = f( ) et G( ) = F ( ) + k. Comme k est une constnte, G ( ) = F ( ) + = f( ), donc l fonction G est une primitive de f sur I. Conséquence Eemple 5 Solution D près le théorème et l propriété précédente, on peut déduire que : toute fonction continue sur un intervlle I dmet une infinité de primitives sur I. Donner l ensemle des primitives sur R de l fonction crré. L ensemle des primitives de l fonction crré sur R sont les fonctions F de l forme F( ) = + k, k étnt une constnte. En effet, l fonction est une primitive de l fonction crré. Propriété 9 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. Soit un élément de I et y un nomre réel. Alors il eiste une et une seule primitive de f sur I qui prend l vleur y en. Démonstrtion Soit F une des primitives de f sur I. On sit que toutes les primitives de f sont de l forme F + k, il suffit donc de chercher k pour que F( ) + k= y. On trouve une solution unique pour k, k = F( ) + y, donc il eiste une et une seule primitive vérifint l condition imposée. Et cette solution G est telle que G( ) = F ( ) F ( ) + y. Eemple 6 Solution Trouver l primitive G de l fonction crré f qui prend l vleur pour =. Remrquons d ord l utilistion de l rticle «l» : en effet l propriété 8 ssure qu il n y qu une fonction qui convient. L fonction G que l on cherche est de l forme G( ) = + k, vérifint G( ) =. Comme G( ) k k 8 5 = + = = k =, l primitive G qui convient 5 est définie pr G( ) =. Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne
27 Conséquence Eemple 7 Solution Un cs prticulier importnt Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I et soit un élément de I. Alors il eiste une et une seule primitive de f sur I qui s nnule en. Il s git de l propriété précédente vec y =. Soit F une des primitives de f sur I. L primitive de f sur I qui s nnule en est l fonction G définie sur I pr G ( ) = F ( ) F ( ). Déterminer l primitive H de l fonction crré qui prend l vleur pour = 5. Une primitive de l fonction crré est l fonction F définie pr F( ) =, donc l primitive H que l on cherche est telle que 5 5 H ( ) = F ( ) F( 5) = =. Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu nomres réels de I. Soit F une des primitives de l fonction f sur I. L différence F( ) F ( ) ne dépend ps de l primitive choisie. Démonstrtion Pour prouver que l différence ne dépend ps de l primitive choisie, nous llons choisir deu primitives quelconques et montrer que l différence est l même pour ces deu primitives. Soit F et F deu primitives de f sur I, d près l propriété 8 il eiste lors un nomre réel k tel que, pour tout de I, on : F( ) = F( ) + k. On otient donc : F( ) F( ) = ( F( ) + k) ( F( ) + k) = F( ) F( ). L différence est donc ien l même quelle que soit l primitive F choisie. Eemple Les fonctions G et H des eemples 6 et 7 sont des primitives de l fonction crré sur R. Pour = et =, on : 5 ( ) 5 ( ) G ( ) G ( ) = G( ) G( ) = = = et 5 ( ) ( ) H ( ) H ( ) = H( ) H( ) = 5 = =. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
28 Propriété Primitive et intégrle Soit f une fonction continue et positive sur ; On lors : ft () d t= F ( ) F ( ). [ ] et F une de ses primitives. Eemple Remrque Démonstrtion [ ] pr f()d t t [ ] et s fonction dérivée est l fonction f. Donc l fonction [ ] pr f()d t t À l fin du chpitre, on vu que l fonction définie sur ; est dérivle sur ; définie sur ; est une primitive de l fonction f. Or ft () d t=, donc, d près l propriété 8 et s conséquence, l fonction définie sur [ ; ] pr f()d t t est l primitive de l fonction f qui s nnule en. Et on sit que, si F est une des primitives de f sur I, l primitive de f qui s nnule en est l fonction F( ) F( ), donc on ft () d t= F ( ) F ( ), en prticulier ft () d t= F ( ) F ( ). Une primitive de l fonction crré est l fonction F définie sur R pr F( )= et, dns le chpitre, on ien otenu l églité t dt = vec. D une prt, on vu qu une fonction continue et positive sur un intervlle ; possède des primitives en utilisnt une fonction définie pr une intégrle. D utre prt, l propriété montre qu il est possile de clculer une intégrle si on connît une primitive de l fonction qui est intégrée. Ces deu notions sont donc très liées. Dns ce chpitre, on étudie surtout les primitives, l notion d intégrle ser ensuite pprofondie dns le chpitre 4. [ ]. Primitives des fonctions usuelles, opértions et composition Fonctions usuelles «Déterminer une primitive» est l opértion inverse de «dériver une fonction» : si f est l fonction dérivée de F sur un intervlle I lors F est une primitive de f. Le tleu des dérivées usuelles nous permet lors de dresser le tleu des primitives des fonctions usuelles. Dns ce tleu, k désigne un nomre réel constnt. Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne
29 Epression de f( ) sur I I Epression de F( ) sur I f( )= I = R F ( ) = k, k constnte réelle f( )= I = R F( )= + k f( )= + I = * = ; + R R ] [ ou I = * = ; ] [ ] [ F ( )= +k f( )= I = R * = ; + F ( )= + k n f( ) =, n I = R N + n+ F ( )= + k n + n f( ) = =, n N, n n + I = * = ; + R R ] [ ou I = * = ; ] [ F ( ) = n ( n ) n+ + k = + k n + f( ) = cos I = R F ( ) = sin+ k f( ) = sin I = R F ( ) = cos+ k f( )= e I = R F ( )= e + k f( )= + I = R * = ] ; + [ F ( ) = ln+ k Opértions et composition Dns le tleu suivnt, f, g, u, v sont des fonctions continues sur un intervlle I, les fonctions F et G sont des primitives des fonctions f et g sur I. Les nottions α, β,,, désignent des nomres réels. et k désigne une constnte. Ce tleu est otenu à prtir des propriétés de l dérivtion des fonctions otenues pr opértions ou pr composition. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
30 Fonction définie sur I Les primitives sur I Remrques f + g F + G+ k αf αf + k αf + βg αf + βg+ k uu u + k n uu, n N n+ u + k n + v v + k v v = vv n, n N*, n n v u u n+ + k = v + k n ( n ) v n + u + k u e u e u + k u u lnu+ k v ne s nnule ps sur I v ne s nnule ps sur I L forme est l même que n pour uu, n N u est à vleurs strictement positives sur I u est à vleurs strictement positives sur I f( ) = g( + ) F( ) = G( + ) + k Pour chercher des primitives, on dispose donc de tous ces résultts, issus de ce qui est connu sur l dérivtion, et des indictions données pr les énoncés des eercices (comme dns l question de l ctivité 5). Remrque Il eiste des fonctions pour lesquelles on ne peut ps trouver une formule eplicite (utilisnt les fonctions usuelles précédemment rencontrées et les règles opértoires clssiques : ddition, multipliction, composition ) pour les primitives, pr eemple l fonction définie sur R pr e. On rencontrer de tels cs en proilité et en sttistiques dns les séquences 8 et 9, mis, en dehors de ces séquences, on éviter ces cs en Terminle. Dns l prtique des utilisteurs des mthémtiques, ces cs sont fréquents. On peut lors seulement utiliser des intégrles cr on sit que l fonction définie sur [ ; ] pr f()d t t est l primitive de l fonction f qui s nnule en. On fit lors seulement des clculs pprochés d intégrles, mis heureusement les moyens informtiques permettent mintennt des clculs rpides et d une très onne précision. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
31 4. Eemples de recherche de primitives Remrques préliminires Eemple 8 Solution Commentire Eemple 9 Solution Eemple Solution Eemple Solution Pour trouver les primitives, il fut ien connître les formules sur les dérivées. Qund on trouvé une primitive, il est prudent de vérifier le résultt en dérivnt l primitive otenue. Qund on demnde une primitive (et non les primitives), on prend souvent k =. On ne trouver ps touours une formule du cours qui s dpte ectement : il fudr souvent choisir une ou plusieurs constntes multiplictives. On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = + +. Trouver une primitive de f sur R. On : f( ) = ( )+ ( ) +, d où F( )= + + sur R (ici, on ne demnde qu une primitive). On dit que et sont des constntes multiplictives. 5 On considère l fonction f définie pr f( )= + sur I= ] ; + [. Donner toutes les primitives de f sur I. On f ( ) = + 5, donc les primitives de f sur I sont les fonctions F telles que F( ) = k, + 5 ( )+ k étnt une constnte (ici on demnde toutes les primitives). + + On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = e e. Donner toutes les primitives de f sur I. On reconnît ou on met en évidence l forme u e u + + : f( ) = e ( e ). Donc les primitives de f sur R sont les fonctions F telles que F ( ) = + e e + + k. On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = cos sin(5 4 π ). Déterminer l primitive de f qui s nnule en. Comme f( ) = cos+ ( 5sin(5 4 π) ), l primitive cherchée est de l forme 5 F( ) = sin+ k 5 cos(5 4 π ) +, le réel k étnt tel que F( ) =. Or F() = sin + k k k 5 cos(5 4 π ) + = = = 5. Donc F( ) = sin + 5 cos(5 4 π) sin 5 = + 5 cos(5 ) 5. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
32 D Eercices d pprentissge Eercice 6 Eercice 7 Eercice 8 Eercice 9 Eercice Eercice Dns chque cs, déterminer une primitive F de l fonction f sur l intervlle I. 4 f( )= sur I = f( )= 5 f( )= sur I = ; ] [ f( )= ( + ) sur I = R + f( )= sur I= ] ; + [ f( ) = cos( ) sur R. + R sur I= ] ; + [ Dns chque cs, sur l intervlle I, déterminer l primitive F de l fonction f telle que F( ) = y. f( )= + I = R = y = ; f( ) = ( ) I = R = y = ; f( )= e I = R = y = 4 ; ] [ f( )= I= ; + = y = ; f( )= I= ] ; + [ = y =. + Les fonctions suivntes sont toutes définies sur R. Pour chcune d elles, donner toutes ses primitives sur R. f( )= e + e + e ( ) f( ) = e f( )= e e + e f( )= + e f( ) =. e + Déterminer toutes les primitives de f sur I. f( ) = cos + sin sur I = R f( ) = cos( + ) sin( 5 4 ) sur I = R sin f( ) = sur I = π cos ; 4. Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = e. ( ) Déterminer l fonction dérivée de f et eprimer f( ) en fonction de f ( ). En déduire l epression d une primitive de f. Voici les coures représenttives de qutre fonctions f, f, f et f 4. Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
33 O O 4 O O Des primitives de chcune des fonctions f, f, f et f 4 sont représentées cidessous. Pour chcune des fonctions f, f, f et f 4, indiquer quelle coure représente une de ses primitives. J O I O c d O O 4 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
34 Primitives 4A B Activité 6 Activité 7 et intégrles d une fonction continue sur un intervlle Oectifs du chpitre Dns le chpitre, on défini l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ] en utilisnt les ires. L notion de primitive vue u chpitre permet de générliser l définition de l intégrle u fonctions continues de signe quelconque sur un intervlle en conservnt les propriétés déà rencontrées. Pour déuter [ ] et On rppelle l propriété : soit f une fonction continue et positive sur ; F une de ses primitives. On lors : ft () d t= F ( ) F ( ). On considère ici deu fonctions f et g continues et positives sur un intervlle [ ; ]. Soit F une primitive de f sur [ ; ] et G une primitive de g. Démontrer que ( f + g) () t dt = f t t + g t t () d () d. Soit α un nomre réel, montrer que ( αf) () t dt = α f t t () d. Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I. On souhite pouvoir générliser l reltion de Chsles quel que soit l ordre des nomres réels, et c de l intervlle I. c On donc esoin de définir ft ()d t l orne c étnt inférieure à l orne. c Proposer une définition de ft ()d t vec c. Clculer 4 t dt. O i c Démontrer lors que, pour tous les nomres, et c de l intervlle I, on : c f( ) d + f( ) d = f( ) d. c Séquence 7 MA 5 Cned - Acdémie en ligne
35 C Cours. Intégrle d une fonction continue de signe quelconque Dns le chpitre précédent, on vu que si f est une fonction continue et positive sur [ ; ], ft () d t= F ( ) F ( ). Cette églité v nous servir pour générliser l notion d intégrle à des fonctions qui ne sont ps positives sur I. Définition 4 Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu nomres réels de I. Soit F une des primitives de l fonction f sur I. On ppelle «intégrle de à de l fonction f» le nomre F( ) F ( ) et on note ft () d t= F ( ) F ( ). Remrques Eemple Solution On rppelle que l fonction f possède une infinité de primitives sur I, mis que l différence F( ) F ( ) ne dépend ps de l primitive choisie. Il n y ps ici de condition sur le signe de f()ni t sur l ordre de et. Bien sûr, dns le cs des fonctions positives sur I et lorsque, les définitions et 4 coïncident grâce u théorème. L différence F( ) F ( ) est souvent notée F() t, entre et». Clculer t π d t ; cost d t. [ ] ce qui se lit «F t () pris L fonction f définie sur R pr f()= t t est continue sur R et une de ses t primitives est l fonction f définie pr F()= t (remrque : l fonction f est une fonction négtive). On : = t = 8 t t = 7 d. On cost dt = [ sint] = sin sinπ= π π ; on remrque ici que l intégrtion se fit de π à, c est l orne située en s du symole d intégrtion qui l plus grnde vleur ; on remrque ussi que l intégrle est nulle mis qu il ne s git ps de l intégrle de l fonction nulle. 6 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
36 . Propriétés On peut mintennt générliser le théorème à des fonctions dont les vleurs sont de signes quelconques. On en donne un énoncé utilisnt l notion de primitive. Théorème [ ] l fonction G définie sur [ ; ] pr Soit f une fonction continue sur ;, G: G( ) = f( t) d t est l primitive de f qui s nnule en. Démonstrtion Soit F une primitive de f sur [ ; ]. D près l définition 4, on G( ) = F ( ) F ( ). On en déduit que G est dérivle sur [ ; ] et que, pour tout de [ ; ], G ( ) = F ( ) = f( ) et G( ) = F ( ) F ( ) = : G est ien l primitive de f qui s nnule en. Dns les propriétés suivntes, les fonctions sont continues sur un intervlle I, les nomres réels, et c sont dns I, les nomres α et β sont deu réels quelconques. Propriété On : ft () dt= ft () dt. Démonstrtion On pplique l définition 4 et on otient : ft ( ) dt= F ( ) F ( ) = ( F ( ) F ( )) ft ( ) dt. Propriété Linérité de l intégrle On : ( f g ()d t t f()d t t g()d. t t α +β ) =α +β Démonstrtion On procède comme dns l ctivité 6. Dns le chpitre, l définition de l intégrle de à d une fonction positive permis d étlir plusieurs propriétés en utilisnt les propriétés des ires. Nous llons ici retrouver ces propriétés dns le cs générl, le cs prticulier des fonctions positives vous permettnt d en voir une imge géométrique. Propriété 4 On : ft () d t=. Séquence 7 MA 7 Cned - Acdémie en ligne
37 Propriété 5 Reltion de Chsles c On : f( ) d + f( ) f( ). d = c d Démonstrtion On procède comme dns l ctivité 7. Propriété 6 Positivité Soit f une fonction continue et positive sur l intervlle I. Pour tous nomres et de l intervlle I tels que, on lors : f ( ) d. Démonstrtion L démonstrtion déà été fite dns le chpitre, puisqu on se retrouve dns le cs d une fonction positive. Pour ller plus loin, nous vous proposons ici une deuième démonstrtion pour montrer qu une utre méthode est possile vec l nouvelle définition : comme ft () d t= F ( ) F ( ) où F est une fonction dont l dérivée F = f est à vleurs positives, lors l fonction F est croissnte sur I et F( ) F ( ) est positif cr on supposé que. Remrque L condition est essentielle. Propriété 7 Comprison Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle I et telles que f g, c est-à-dire telles que f( ) g( ) pour tout de I. Soit et dns I tels que, lors f ( ) d g ( ) d. Démonstrtion Méthode : on se rmène u cs précédent et on pplique l propriété de linérité. Comme f( ) g( ) pour tout de I, on ussi g ( ) f ( ) et on pplique l propriété de positivité à l fonction g f, les nomres et vérifint. Donc ( g ( ) f ( )) d. 8 Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
38 D où, d près l linérité, g ( ) d f ( ) d, soit f( ) d g( ). d Remrque Remrque Dns cette propriété ussi l condition est essentielle. Cette propriété ser très utile pour trouver des vleurs pprochées d intégrles de fonctions qu on ne sit ps intégrer mis qu on peut encdrer. Définition 5 [ ] est L vleur moyenne d une fonction f continue sur un intervlle ; égle u nomre ft t () d. Propriété 8 Inéglités de l moyenne [ ] vec Soit une fonction f continue sur l intervlle ;, et deu nomres m et M tels que, pour tout de l intervlle [ ; ], on m f( ) M. Alors m µ M, µ étnt l vleur moyenne de l fonction f sur ;. [ ] Démonstrtion Elle est nlogue à celle fite pour une fonction f positive dns le chpitre.. Clcul et encdrement d intégrles ) Les clculs ects d intégrles sont fits vec les primitives ou en utilisnt les différentes propriétés du cours (linérité, reltion de Chsles ). ) Pour encdrer une intégrle, on utilise l positivité, l propriété de comprison ou les inéglités de l moyenne. Voici un eemple où on encdre l intégrle d une fonction dont on ne connît ps de primitives mis qui est encdrée pr des fonctions polynômes. Séquence 7 MA 9 Cned - Acdémie en ligne
39 Eemple Solution On considère les fonctions f, g et h définies sur R pr : f( ) =, g ( ) = + h, ( ) = +. + Étlir que pour tout pprtennt à l intervlle [ ; ] on : g ( ) f ( ) h ( ). En déduire un encdrement de l intégrle : f( ) d. Déterminons les vleurs pour lesquelles g ( ) f ( ). On : g ( ) f ( ) + + ( + )( + ) ( + ) ( ). Cette dernière inéglité est touours vérifiée sur [ ; ], d où : pour tout de [ ; ] on : g ( ) f ( ). À présent, pour voir f( ) h( ) : 4 + ( + )( + ) + + soit ( ) touours vérifié sur [ ; ]. Pour tout [ ; ]: g( ) f( ) h( ) Pr l propriété d encdrement, puisque, on : g ( )d f ( )d h ( )d soit : f d ( )d + + d d où + f( )d d où d c) Ce qui été vu dns le chpitre, à propos des clcultrices et des logiciels de clcul formel, s pplique ussi dns le cs générl des fonctions continues de signes quelconques Séquence 7 MA Cned - Acdémie en ligne
40 5. Utiliser le clcul intégrl pour déterminer une ire ) Aire d un domine limité pr l e des scisses et l coure représenttive d une fonction Pr définition, l ire du domine sous l coure d une fonction continue positive définie sur un intervlle [ ; ] pour mesure ft ()d t en unités d ire. Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, ;. Soit E le domine du pln limité pr l coure f représentnt f, l e des scisses et les droites d éqution = et =. L symétrie ile pr rpport à l e des scisses donne l églité ire( E) = ire( E) = f( ) d u.. où E est l ensemle des points limité pr l coure représentnt l fonction f (qui est positive), l e des scisses et les droites d éqution = et =. [ ] continue et négtive sur [ ] O i E E f f Propriété 9 [ ] L ire du Soit f une fonction définie et continue sur l intervlle ;. domine E limité pr l coure représenttive de f, l e des scisses et les droites d éqution = et = mesure ft () d ten unités d ire. Eemple 4 Solution [ ] en une union d intervlles sur ch- En prtique, on décompose l intervlle ; cun desquels f un signe constnt. [ ] Soit f l fonction définie sur ; pr f( ) =. Déterminer l mesure en unités d ire du domine E limité pr l coure représenttive de f, l e des scisses et les droites d éqution = et =. L fonction f est une fonction du second degré qui deu rcines, et, et dont le coefficient de vut qui est positif. On sit lors que ft () est négtif sur [ ; ] et positif illeurs. L mesure, en unités d ire, de l ire du domine E est donc l intégrle I : I= ft () dt= ft () dt ft () dt+ ft () dt. i Séquence 7 MA 4 Cned - Acdémie en ligne
Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailSéquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire
Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailsemestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005
MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailSTI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Plus en détailChapitre VI Contraintes holonomiques
55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce
Plus en détailLICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre
Plus en détailCOURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel
COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO
Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................
Plus en détailChapitre 11 : L inductance
Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4
Plus en détailCours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions
Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d
Plus en détailIntégrale et primitives
Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détailChapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction
2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux
Plus en détailLicence M.A.S.S. Cours d Analyse S4
Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,
Plus en détailTechniques d analyse de circuits
Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre
Plus en détailANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE
Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr
Plus en détailL'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.
ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie
Plus en détail3- Les taux d'intérêt
3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents
Plus en détailLANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES
LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront
Plus en détailNotes de révision : Automates et langages
Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détail/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV
/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailTurbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances
Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailAUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)
Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,
Plus en détailMagister en : Génie Mécanique
الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailLe canal étroit du crédit : une analyse critique des fondements théoriques
Le cnl étroit du crédit : une nlyse critique des fondements théoriques Rfl Kierzenkowski 1 CREFED Université Pris Duphine Alloctire de Recherche Avril 2001 version provisoire Résumé A l suite des trvux
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailPartie 4 : La monnaie et l'inflation
Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailLITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique
LITE-FLOOR Dlles de sol et mrches d esclier Informtion technique Recommndtions pour le clcul et l pose de LITE-FLOOR Générlités Cette rochure reprend les règles de se à respecter pour grntir l rélistion
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailInfluence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation
Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu
Plus en détailAlgorithmes sur les mots (séquences)
Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)
Plus en détailConseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30
Conseils et stuces pour les structures de bse de l Ligne D30 Conseils et stuces pour l Ligne D30 Ligne D30 - l solution élégnte pour votre production. Rentbilité optimle et méliortion continue des séquences
Plus en détailStatuts ASF Association Suisse Feldenkrais
Sttuts ASF Assocition Suisse Feldenkris Contenu Pge I. Nom, siège, ojectif et missions 1 Nom et siège 2 2 Ojectif 2 3 Missions 2 II. Memres 4 Modes d ffilition 3 5 Droits et oligtions des memres 3 6 Adhésion
Plus en détailLOGICIEL FONCTIONNEL EMC VNX
LOGICIEL FONCTIONNEL EMC VNX Améliortion des performnces des pplictions, protection des données critiques et réduction des coûts de stockge vec les logiciels complets d EMC POINTS FORTS VNX Softwre Essentils
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détailGuide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2
Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive
Plus en détailRéalisation de sites Internet PME & Grandes entreprises Offre Premium. Etude du projet. Webdesign. Intégration HTML. Développement.
Rélistion de sites Internet PME & Grndes entreprises Offre Premium Etude du projet Réunions de trvil et étude personnlisée de votre projet Définition d une strtégie de pré-référencement Webdesign Définition
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailToyota Assurances Toujours la meilleure solution
Toyot Assurnces Toujours l meilleure solution De quelle ssurnce vez-vous besoin? Vous roulez déjà en Toyot ou vous ttendez s livrison. Votre voiture est neuve ou d occsion. Vous vlez les kilomètres ou
Plus en détailThèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure
République Algérienne Démocrtique et Populire Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mentouri de Constntine Fculté des sciences et sciences de l ingénieur Déprtement
Plus en détailPour développer votre entreprise LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI!
Pour développer votre entreprise Gestion Commercile Gérez le cycle complet des chts (demnde de prix, fcture fournisseur), des stocks (entrée, sortie mouvement, suivi) et des ventes (devis, fcture, règlement,
Plus en détailManSafe. pour les Utilitiés. La Protection antichute pour les Industries de l'energie. Français. TowerLatch LadderLatch
MnSfe pour les Utilitiés L Protection ntichute pour les Industries de l'energie Frnçis TowerLtch LdderLtch Les questions de protection nti-chute Les chutes de huteur sont l cuse de mortlité l plus importnte
Plus en détailPour développer votre entreprise. Compta LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI!
Pour développer votre entreprise Compt Avec EBP Compt, vous ssurez le suivi de l ensemble de vos opértions et exploitez les données les plus complexes en toute sécurité. Toutes les fonctionnlités essentielles
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailINSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE
INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE POUR LES SERRURES D ENTRÉE À CLÉ EXTÉRIEURES VERROUILLABLES, À POIGNÉE DE BRINKS HOME SECURITY. POUR LES PORTES DE
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailVIBRATIONS COUPLEES AVEC LE VENT
VIBRATIONS OPLEES AVE LE VENT Pscl Hémon Lbortoire d Hydrodynmique, LdHyX Ecole Polytechnique, Pliseu Octobre 00 Vibrtions couplées vec le vent Si vous pense que j i révélé des secrets, je m en ecuse.
Plus en détailAvant d utiliser l appareil, lisez ce Guide de référence rapide pour connaître la procédure de configuration et d installation.
Guide de référence rpide Commencer Avnt d utiliser l ppreil, lisez ce Guide de référence rpide pour connître l procédure de configurtion et d instlltion. NE rccordez PAS le câle d interfce mintennt. 1
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailLa plateforme Next Generation Mini guide
L plteforme Next Genertion Mini guie Ce guie onis été réé pour vous permettre e vous fmiliriser rpiement ve les nomreuses fontionnlités et outils isponiles sur l plteforme Next Genertion. Apprenez où trouver
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailGuide des bonnes pratiques
Livret 3 MINISTÈRE DE LA RÉFORME DE L'ÉTAT, DE LA DÉCENTRALISATION ET DE LA FONCTION PUBLIQUE 3 Guide des bonnes prtiques OUTILS DE LA GRH Guide des bonnes prtiques Tble des mtières 1. Introduction p.
Plus en détailEnsEignEmEnt supérieur PRÉPAS / BTS 2015
Enseignement supérieur PRÉPAS / BTS 2015 Stnisls pour mbition de former les étudints à l réussite d exmens et de concours des grndes écoles de mngement ou d ingénieurs. Notre objectif est d ccompgner chque
Plus en détailModification simultanée de plusieurs caractéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de calcul de la variation de bien-être des ménages
Modifiction simultnée de plusieurs crctéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de clcul de l vrition de bien-être des ménges Trvers Muriel * Version provisoire Résumé : De nombreuses situtions
Plus en détailDéroulement de l épreuve de mathématiques
Dérouleet de l épreuve de thétiques MATHÉMATIQUES Extrit de l ote de service 2012-029 du 24 février 2012 (BOEN 13 du 29-3-2012) Durée de l épreuve : 2 heures Nture de l épreuve : écrite pr le socle cou
Plus en détailFONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE
FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE Règlement d ttriution de ourses et de prêts d études et de formtion du déemre 006 Artile premier Ojet et hmp d pplition Le présent règlement est étli en pplition
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailSYSTEME DE TELEPHONIE
YTEME DE TELEPHOIE LE OUVEUTE PTIE MOITEU COULEU Le système de téléphonie comporte un moniteur vec un écrn couleurs de intégré u téléphone. Cette prtie est disponile en lnc, nthrcite et Tech. TLE DE MTIEE
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailSommaire. 6. Tableau récapitulatif... 10. Sophos NAC intégré Vs. NAC Advanced - 17 Février 2009 2
Sommire 1. A propos de Sophos... 3 2. Comprtif des solutions Sophos NAC... 4 3. Sophos NAC pour Endpoint Security nd Control 8.0... 4 3.1. Administrtion et déploiement... 4 3.2. Gestion des politiques
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCommencer DCP-7055W / DCP-7057W /
Guide d instlltion rpide Commencer DCP-7055W / DCP-7057W / DCP-7070DW Veuillez lire ttentivement le livret Sécurité et réglementtion vnt d'effectuer les réglges de votre ppreil. Consultez ensuite le Guide
Plus en détailRégression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006
Régression multiple : principes et eemples d ppliction Dominique Lffly UMR 5 603 CNRS Université de Pu et des Pys de l Adour Octobre 006 Destiné à de futurs thémticiens, notmment géogrphes, le présent
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailAnnexe II. Les trois lois de Kepler
Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - Annexe II es tois lois de Keple Johnnes Keple (57-6), pulie en 596 son peie ouge, ysteiu Cosogphicu Teize nnées plus td, en 69, il pulie Astonoi No, dns
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détail