18.1. Aire d une surface de révolution. une fonction dérivable de derivée bornée sur l intervalle [ a, b], c.t.d. rectifiable sur [ a, b]

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Antoinette Gignac
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1 Clcul de l ie d une sufce de évolution Aie d une sufce de évolution Soit y f () une fonction déivle de deivée onée su l intevlle [, ], ctd ectifile su [, ] On considèe l figue onée de l e d scisse O, les doites, et l ligne y f ()(fig7) On fit un mouvement de ottion de cette figue utou de l e O L sufce de évolution otenue est limité des plns, L intesection de cette sufce vec un pln pependiculie à l e O, pou un quelcoque, tel que est une ciconféence de yon y f () (fig7) L longueu de cette ciconféence l c () est () l c ( ) ) L ie de l sufce de évolution élémentie dσ O pou un ccoissement élémentie de l scisse d est l ie du cylinde élémentie de huteu ds (5) dσ O lc ( ) ds, où () ds + ( )] [ [ ρ( θ )] d, + + [ ρ ( θ )] en coodonnées ctesiennes, dt, dθ, en coodonnées dépendntes d' un en coodonnées polies pméte, - l c élémentie de l ligne y f () L ie de l sufce de évolution se donne, los p l intégtion de (5) (7) σ + O dσ O lc ( ) ds( ) ) [ y ( )] d Fig7 Sufce de évolution Compte tenu de () on peut génélise le clcul de l ie de l sufce de évolution p l fomule suivnte: 9

() ) + ( )] d, [, ], en coodonné es ctesienn es, β σ + O t) [ [ y dt t [ α,

θ)] dθ, θ [ α, β], en coodonn ées polies α Eemples su le clcul de l ie d

suivntes: + ( y ), < L pole cuique y, [, ] utou de l e O (fig7) L

Ciconféence utou de O 5 L cdioïde ( + cosϕ), ϕ [, ] utou de l e polie(fig7)

2 () ) + ( )] d, [, ], en coodonné es ctesienn es, β σ + O t) [ [ y dt t [ α, β], en coodonn ées dépendntes d' un pméte, α β ρ( θ)sinθ [ ρ( θ)] + [ ρ ( θ)] dθ, θ [ α, β], en coodonn ées polies α Eemples su le clcul de l ie d une sufce de évolution Touve l ie de l sufce de ottion en tounnt les lignes suivntes: + ( y ), < L pole cuique y, [, ] utou de l e O (fig7) L ciconféence utou de l e O (fig7) Fig7 Pole cuique utou de O Fig7 Ciconféence utou de O 5 L cdioïde ( + cosϕ), ϕ [, ] utou de l e polie(fig7) L figue femée des poles y, y utou de l e O (fig7) Fig7 Cdioïde utou de O Fig7, Figue femée utou de O 9

7 L coue y e α, α >, < + L coue y tgα, α >, / utou de l e O (fig7) 5

de l e O (fig77) Le nœud de l coue 9y ( ) utou de l e O (fig7) Fig77

), y ( cosϕ), ϕ [, ] utou de O(fig79) / / / L stoïde + y { cos t, y sin

3 7 L coue y e α, α >, < + L coue y tgα, α >, / utou de l e O (fig7) 5 Fig75 Coue y e utou de O Fig7 Coue y tg utou de O 9 L pole y +, >, utou de l e O (fig77) Le nœud de l coue 9y ( ) utou de l e O (fig7) Fig77 Pole utou de O Fig7 Nœud de coue utou de O Un c de l cycloïde ( ϕ sinϕ ), y ( cosϕ), ϕ [, ] utou de O(fig79) / / / L stoïde + y { cos t, y sin t, t [, ] }, utou de O (fig) Fig79 Ac de cycloïde utou de O Fig Astoïde utou de O 9

L ellipse utou de l e O (fig) + y Une feuille de l lemnisct de

utou de l e O Fig Feuille de l lemnisct de Benoulli utou de l

cdioïde ( cost cos t), y (sin t sin t), t [, ] utou de l e O

4 L ellipse utou de l e O (fig) + y Une feuille de l lemnisct de Benoulli cos ϕ utou de l e polie (fig), ϕ [ /, / ] Fig Ellipse utou de l e O Fig Feuille de l lemnisct de Benoulli utou de l e O 5 L ciconféence R sinθ, θ [, ] utou de l e polie (fig) L cdioïde ( cost cos t), y (sin t sin t), t [, ] utou de l e O (fig) Fig Ciconféence utou de l e O Fig Cdioïde utou de l e O 9

5 Eemples ésolus su le clcul de l ie d une sufce de évolution Touve l ie de l sufce de ottion en tounnt l pole cuique y, [, ] utou de l e O (fig7, 5) ) 5 5 Fig5 Pole cuique y, [, ] Alos, en utilisnt l fomule () en coodonnées ctesiennes on : σ ) + ( )] d ( ) 7 d(9 ( 7 + ) ) + ( / (9 ) d Touve l ie de l sufce de ottion en tounnt l ciconféence + ( y ), < utou de l e O (fig7, ) On pésente l ciconféence p les équtions pmétiques - cost, y + sin t, t [, ] Alos, en utilisnt t) l fomule () en coodonnées dépendntes d un pmète on : Fig Ciconféence + ( y ) σ t) [ + dt ( + sin t) ( sin t) ( + sin t) dt ( t cost) + ) + ( cost) dt / 5 Touve l ie de l sufce de ottion en tounnt l cdioïde ( + cosϕ), ϕ [ ] utou de l e polie(fig7, 7) En utilisnt l fomule () en coodonnées polis pou ϕ [, ], on : φ) ( t) ( φ) Fig7 Cdioïde + cosϕ σ ϕ) [ ( ϕ)] + [ ( ϕ)] dϕ ( + cosϕ)sinϕ ( + cosϕ) + ( sinϕ) dϕ 5 ( + cosϕ)sinϕ + cosϕdϕ ( + cosϕ) [( + cos ) / 5 / d cosϕ ( + cosϕ) 5/ 5 / ( + cos) { ] 5 5 / 95

6 Touve l ie de l sufce de ottion en tounnt l figue femée des poles y, y utou de l e O (fig7, ) On touve tout d od les scisses des points d intesection des deu poles: : y, / y / ( 79 / ) L ie de l sufce de ottion de l figue en question on peut pésente comme l somme des ies des sufces de ottion des deu poles pou [, ] : σ σ + σ En utilisnt l fomule () en coodonnées ctesiennes pou l ie de l sufce de ottion de l pemièe pole y, on : σ J t ln( + [ ( t ( ( + ) d / + ) + ) / / y ( ) + ( )] d cht + dt + sht [ ( t + ) ch t dt] [ ch t dt { ch t ( cht + )} t J t + () d / t ; + t ) ( sht ( ( + t σ (5 J ) (5 ) 5 + ) + ) / / + sht d] { sht, + d( t gsh( ) ln( J] (5 J) + t ) ( sht + ) d chtdt, ( ch t + cht + ) dt ( + ch t dt sh t t + sht + + t ) + t ) + ) } t De même fomule pou l ie de l sufce de ottion de l deuième pole y, on : σ ) ) 5 [( 79 Fig Noeud fomé des poles y ( ) + ( )] d { y ( ) + d + ) / ( ) ] / 79 /, + d( + ) ( + ) / 79 y ( ) Alos l sufce pleine est σ σ + σ } / + ( ) d 9

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