Cours 3: Schémas et espaces algébriques I

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1 Cours 3: Schémas et espaces algébrques I Dans le cours précédent nous avons vu la noton de contexte géométrque, et qu un tel contexte donnat leu à des notons de varétés et d espaces géométrques. Nous allons mantenant construre un contexte spécfque à la géométre algébrque pour lequel les varétés seront appelées des schémas et les espaces géométrques seront appelés des espaces algébrques. Afn de meux comprendre la constructon du contexte algébrque on commence par rappeler quelques fats élémentares sur les varétés algébrques ( affnes ) d un pont de vu naf. Navement une varété algébrque est l ensemble des solutons d un système d équatons polynomales. Ans une varété algébrque X est détermnée par une famlle fne de polynomes P 1,..., P r C[x 1,..., x n ]: X est alors l ensemble des solutons du système {P (x) = 0} 1 r, en d autres termes on a X = {x C n / P (x) = 0 }. On se pose alors la queston de défnr les fonctons algébrques sur X. Partant du prncpe que les fonctons algébrques sur C n sont les polynomes en les x 1,..., x n, on peut se convancre que l anneau des fonctons algébrques sur X peut s écrre O(X) = C[x 1,..., x n ]/(P 1,..., P r ). Ans, à la varété algébrque X on fat correspondre l anneau C[x 1,..., x n ]/(P 1,..., P r ). Cet anneau une C-algèbre commutatve de type fn (.e. avec un nombre fn de générateurs). Inversement, s A est une C-algèbre commutatve de type fn, on peut écrre A C[y 1,..., y m ]/(Q 1,..., Q s ), et donc reconstrure une varété algébrque dans C m d équaton Q 1 (y) = = Q s (y) = 0. Cec montre qu l exste une correspondance entre les varétés algébrques affnes sur C (.e. celle qu sont des sous-varétés de C n pour un certan n), et les C-algèbres commutatves de type fn. Le pont de départ de la théore des schémas et de consdérer que tout anneau commutatf A (pas unquement les C-algèbres commutatves de type fn) dot être consdéré comme correspondant à un objet géométrque X de sorte à ce que A sot l anneau des fonctons algébrques sur X. Les objets géométrques assocés à des anneaux sont appelés des schémas affnes, et un schéma est par défnton un recollement de schémas affnes (tout comme une varété topologque est un recollement d ouverts de R n ). On tre de cela les deux prncpes suvants. Les schémas affnes sont en correspondance avec les anneaux commutatfs. 1

2 Les schémas sont obtenus par recollement de schémas affnes. En combnant ces deux prncpes on obtent le prncpe suvant. Les schémas sont obtenus par recollement d anneaux commutatfs. Il faut fare attenton que la correspondance entre schémas affnes et anneaux commutatfs est contravarante. Ans, nous allons chercher à défnr un contexte géométrque (C, τ, P), où C est la catégore opposée à celle des anneaux commutatfs. 1 Rappels sur les anneaux et modules On commence par rappeler que pour un anneau A l exste un noton de A-module (à gauche): un A-module est la donnée d un groupe abélen M mun d une applcaton b-lnéare m : A M M telle que m(a, m(b, x)) = m(a.b, x) a, b A x M On utlse la notaton m(1, x) = x x M. a.x := m(a, x) a A x M Pour deux A-modules M et N, un morphsme de A-modules M N est la donnée d un morphsme de groupes abélens f : M N telle que f(a.x) = a.f(x) a A x M. Les A-modules et morphsmes de A-modules forment une catégore notée A M od. S f : A B est un morphsme d anneaux, on défnt un foncteur F : B Mod A Mod où pour un B-module M, le groupe abélen sous-jacent à F (M) est M, et la structure de A-module est donnée par a.x := f(a).x a A x M. On peut montrer que le foncteur F possède un adjont à gauche noté A Mod B Mod M B A M. Le groupe abélen sous-jacent au B-module B A M est le quotent du groupe abélen lbre engendré par les symbôles b x avec b B et x M par le sous-groupe engendré par les éléments (b + b ) x b x b x b (x + y) b x b y a.b x b a.x, 2

3 où b et b parcourent B, x et y parcourent M et a parcourt A. La structure de B-module sur B A M est alors donnée par b.(b x) := (b.b ) x. Nous noterons Comm la catégore des anneaux commutatfs. Pour un morphsme f : A B dans Comm on peut vor B comme un A-module par la formule a.x := f(a).x, pour a A et x B. S g : A C est un second morphsme dans Comm, on montre que l objet coprodut B A C exste dans Comm: son groupe abélen sous-jacent est B AC et sa structure d anneaux est donnée par (b c).(b c ) := (b.b ) (c.c ) (Exo: vérfer que B A C est ben la colmte du dagramme B A C dans Comm). On termne par la notaton Aff := Comm op. De plus, le foncteur dentté Aff Comm op sera noté Spec. Ans, un morphsme d anneaux commutatfs A B est formellement la même chose qu un morphsme Spec B Spec A dans Aff. 2 Morphsmes plats Défnton 2.1 Un morphsme d anneaux commutatfs A B est plat s le foncteur est exact. B A : A Mod B Mod On commence par remarquer que comme les catégores de modules sont des catégores abélennes et que le foncteur B A est adjont à gauche (donc exact à drote), le foncteur B A : A Mod B Mod est exact s et seulement s l préserve les noyaux. C est souvent ce crtère que l on utlsera. Les proprétés générales des morphsmes plats sont les suvantes. Lemme S 1. Les morphsmes plats sont stables par compostons. A f A B f B est un dagramme cocartésen dans Comm, et s f est plat alors f est plat (.e. morphsmes plats sont stables par co-changements de bases). les 3

4 Preuve: (1) Sot A B C deux morphsmes plats. Pour tout A-module M l exste un somorphsme naturel (Exo: vérfer cec) C B (B A M) C A M. Ans, le foncteur M C A M est somorphe au composé des deux foncteurs M B A M et M C B M. Comme ces deux foncteurs sont exacts leur composé auss. Ans, le morphsme composé A C est plat. (2) S A f A B f B est un dagramme cocartésen dans Comm, alors on a un somorphsme naturel B A A B. Ans, pour tout B-module M, l exste un somorphsme naturel de A -modules B B M (A A B) B M A A M. Cec montre que f plat mplque f plat (Exo: fare les détals). Exo: Pour tout anneau commutatf A, montrer que le morphsme naturel d ncluson A A[X] est un morphsme plat. De même pour le morphsme A[X] A[X] qu envot X sur X 2. Montrer que le morphsme A[X] A qu envot X sur 0 n est pas plat. Défnton 2.3 Un morphsme d anneaux commutatfs A B est fdèlement plat s le foncteur B A : A Mod B Mod est exact et conservatf (.e. exact et de plus (B A M 0) (M 0)). Les proprétés générales des morphsmes fdèlement plats sont les mêmes que celles des morphsmes plats. Lemme S 1. Les morphsmes fdèlement plats sont stables par compostons. A f A B f B est un dagramme cocartésen dans Comm, et s f est fdèlement plat alors f est fdèlement plat (.e. les morphsmes plats sont stables par co-changements de bases). 4

5 Preuve: Même méthode que pour le lemme 2.2 (Exo: fare les détals). Exo: Montrer que l ncluson naturelle A A[X] est un morphsme fdèlement plat. De même pour A[X] A[X] qu envot X sur X 2. Montrer que le morphsme d ncluson Z Q est plat mas pas fdèlement plat. Défnton 2.5 Une famlle de morphsmes dans Af f {Spec A Spec A} I est un recouvrement fdèlement plat et quas-compact ( fpqc pour fare court) s les condtons suvantes sont satsfates. 1. L ensemble I est fn. 2. Pour tout I le morphsme A A est un morphsme plat. 3. Le morphsme A I A est fdèlement plat. Exo: Montrer que la condton (3) c-dessus mplque la condton (2) (Exo: on pourra utlser qu l exste une équvalence naturelle de catégores ( I A ) Mod I (A Mod)). Lemme 2.6 Les recouvrements fpqc défns en 2.5 défnssent une (pré)topologe de Grothendeck sur Aff. Preuve: Cela se dédut des lemmes 2.2 et 2.4. Défnton 2.7 La topologe de Grothendeck sur Af f dont les famlles couvrantes sont les recouvrements fpqc est appelée la topologe fpqc. On termne ce chaptre par le lemme suvant. Lemme 2.8 La topologe fpqc est sous-canonque. Preuve: On remarque que dre que tous les préfasceaux représentables sur Af f sont des fasceaux équvaut à dre que pour tout morphsme fdèlement plat A B le morphsme naturel A lm (B B A B) est un somorphsme (Exo: vérfer cela). Sot donc un morphsme fdèlement plat u : A B. Comme le foncteur B A commute aux lmtes fnes (par plattude), et est conservatf (par fdèle plattude), l nous sufft de montrer que le morphsme A lm (B B A B) ndut un somorphsme B A A B lm (B A B B A B A B). 5

6 En d autres termes, on peut remplacer A par B et B par B A B, et donc supposer qu l exste un morphsme r : B A qu sot une rétracton de u : A B (.e. le composé A B A est l dentté). Dans ce cas, on défnt un morphsme lm (B B A B) A en composant la projecton naturelle lm (B B A B) B avec r. Le morphsme composé A lm (B B A B) A est clarement égal à l dentté. Inversement, le morphsme composé lm (B B A B) A lm (B B A B) envot un élément b B tel que b 1 = 1 b dans B A B vers l élément ur(b) (qu vérfe auss ur(b) 1 = 1 ur(b) dans B A B). Le morphsme d anneaux qu envot b b sur ur(b).b est tel que t : B A B B t(b 1) = ur(b) t(1 b) = b. Ans, s b B vérfe b 1 = 1 b on a b = ur(b). Cec montre que le morphsme composé lm (B B A B) A lm (B B A B) est auss égal à l dentté. Cec termne la preuve que le morphsme A lm (B B A B) est bjectf. 3 Morphsmes lsses et étales Pour plus de détals sur cette secton on renvot aux premers exposés de [SGA1], ou encore aux pragraphes 2.1 et 2.2 de [B-L-R]. Sot C 0 Comm. On rappelle qu une extenson de carré nul de C 0 est la donnée d un morphsme p : C C 0 dans Comm qu vérfe les deux condtons suvantes Le morphsme p est surjectf. S x Ker(p) alors x 2 = 0. 6

7 L exemple fondamental d une extenson de carré nul est le morphsme A[X]/(X 2 ) A qu envot X sur 0. On l appelle l extenson de carré nul trvale. Elle est notée A[ɛ] := A[X]/(X 2 ), et ɛ A[ɛ] est par défnton la classe de X. Ans, tout élément de A[ɛ] s écrt de la forme a+b.ɛ avec a et b dans A. Pour meux comprendre les extensons de carré nul on peut consdérer l exemple suvant. Sot A := C[X 1,..., X n ]/(P 1,..., P r ) une C-algébre commutatve de type fn. Sot x : A C correspondant à un pont x C n tel que P j (x) = 0 pour tout j. La donnée d un dagramme commutatf C C[ɛ] A x C correspond à la donnée d un vecteur b C n tel que P j (x + b.ɛ) = 0 pour tout j. Or, comme ɛ 2 = 0 on a P j (x + b.ɛ) = P j (x) + b. P j X (x).ɛ = b. P j X (x).ɛ Ans, la donnée d un dagramme commutatf comme c-dessus est équvalente à la donnée d un vecteur b C n vérfant b. P j (x) = 0, X où encore à la donnée d un vecteur tangent de la varété d équatons P 1,..., P r au pont x. Défnton Un morphsme A B dans Comm est formellement lsse (resp. formellement étale) s pour tout C 0 Comm, toute extenson de carré nul C C 0, et tout dagramme commutatf dans Comm(C) A C B C 0 l exste un (resp. un unque) morphsme B C dans Comm(C) tel que le dagramme commute. A C B C 0 7

8 2. Un morphsme dans Comm et lsse (resp. étale) s l est formellement lsse (resp. formellement étale) et de présentaton fne 1. Intutvement, les morphsmes lsses sont des analogues algébrques des submersons (e.g. C ), et les morphsmes étales des analogues des dfféomorphsmes locaux. Lemme 3.2 Les morphsmes lsses et étales sont stables par composton et changement de bases dans Aff. Preuve: Exo. La proposton suvante donne une façon de construre des exemples de morphsmes étales. Proposton 3.3 Sot F A[X] un polynôme, et consdérons le morphsme naturel A A[X]/(F ) = B. Alors, le morphsme A B est formellement étale s et seulement s le polynôme dérvé F (X) devent nversble dans B. Preuve: En effet, supposons que F (X) sot nversble dans B. Cec est équvalent à dre que pour tout anneau commutatf C et tout morphsme B C correspondant à c C tel que F (c) = 0, l élément F (c) est nversble dans C. Sot C C 0 une extenson de carré nul et B u C 0 A un dagramme commutatf. Le morphsme u est donné par un élément x 0 C avec F (x 0 ) = 0. Sot x C tel que p(x). Pour tout e Ker(p) on a C F (x + e) = F (x) + ef (x). Par hypothèse, l exste c 0 et d 0 dans C 0 tel que c 0.F (x 0 ) = 1 + d 0.F (x 0 ). Sot c et d des antécédents de c 0 et d 0 par p. On pose e := F (x).c C. Notons que e ne dépend pas du chox de c, car F (x) Ker(p). De plus, on a e.f (x) = c.f (x).f (x) = F (x). p Ans, on a F (x + e) = F (x) F (x) = 0. 1 On rappelle qu un morphsme d anneaux commutatfs A B est de présentaton fne s B est somorphe comme A-algèbre à une A-algèbre de la forme A[X 1,..., X r]/(p 1,..., P r). 8

9 L élément x + e C donne ans le morphsme cherché B C. De plus, l uncté de e montre que ce relèvement est unque. Cec fnt de montrer que A B est étale. Inversement, supposons que A B sot étale. Sot C 0 un anneau commutatf et C := C 0 [ɛ] l extenson de carré nul trvale de C 0, qu est mune d un morphsme naturel C 0 C. On consdère un morphsme B C 0, correspondant à x 0 C 0 tel que F (x 0 ) = 0. On consdère le dagramme commutatf suvant B C 0 A où le morphsme A C est smplement donné par la composton A B C 0 C. Les morphsmes u : B C qu font commuter le dagramme B u C, C 0 A C, sont en correspondance avec les éléments x C de la forme x 0 + c.ɛ, avec c C 0 et qu vérfent F (x 0 + c.ɛ) = 0. Or, on a F (x 0 + c.ɛ) = F (x 0 ) + cf (x 0 )ɛ = cf (x 0 )ɛ. L uncté du relèvement u mplque donc que l on a ( cf (x 0 ) = 0 ) (c = 0), et donc que F (x 0 ) n est pas dvseur de zéro dans C 0. Or, cec est vra pour tout morphsme B C 0, et en partculer pour les morphsmes B B/m, où m parcourt les déaux maxmaux de B. Ans, on vot que F (X) n appartent à aucun déal maxmal de B et est donc nversble. Un corollare mportant de la proposton précédente est qu une extenson algébrque de corps K L est un morphsme étale s et seulement s elle est séparable. Un autre conséquence mmédate de la proposton précédente est que pour tout anneau commutatf et tout f A, le morphsme A A f := A[X]/(f.X 1) est étale. Exo: vérfer cec drectement en applquant la défnton. Ctons auss sans démonstratons les fats suvants. Proposton Un morphsme A B est lsse s et seulement s B est somorphe comme A-algèbre à A[X 1,..., X n ]/(P 1,..., P m ), où les P A[X 1,(..., X n ] sont ) tels que l déal de B engendré par les mneurs d ordre m m de la matrce P X j (X) est B.,j 9

10 2. Un morphsme A B est lsse s et seulement s l exste un recouvrement fpqc {u : B B } et des dagrammes commutatfs B u B v A A[X 1,..., X n ], où tous les morphsmes u et v sont étales. 3. Les morphsmes lsses (et en partculer les morphsmes étales) sont plats. Pour termner on pose la défnton suvante. Défnton 3.5 Un morphsme dans Af f est une mmerson ouverte de Zarsk s c est un morphsme étale et un monomorphsme. On fera attenton que l on demande que le morphsme sot un monomorphsme dans Aff. En termes d anneaux cela veut dre que A B est une mmerson ouverte de Zarks s c est un morphsme étale et s pour tout C Comm le morphsme ndut Hom(B, C) Hom(A, C) est njectf (.e. que A B est un épmorphsme dans Comm). Exo: montrer qu un monomorphsme lsse dans Af f est auss étale. Montrer que le morphsme étale A A f consdéré plus haut est une mmerson ouverte de Zarsk. On peut auss montrer qu un monomorphsme plat et de présentaton fne est auss étale (on ne le fera pas). 4 Le contexte géométrco-algébrque On défnt mantenant un contexte géométrque (C, τ, P) de la façon suvante. 1. La catégore C est la catégore Aff, opposée à celle des anneaux commutatfs. 2. On défnt une topologe étale sur Aff en posant qu une famlle {Spec A Spec A} de morphsmes dans Aff est un recouvrement étale s c est un recouvrement fpqc et s tous les morphsmes A A sont étales (cf proposton 3.4 (3)). 3. La classe P est par défnton la classe des morphsmes lsses. Théorème 4.1 Les défntons c-dessus défnssent un contexte géométrque. Quelques étapes de la preuve: On reprend les ponts de la défnton 1.1 du cours 2. (1) Le fat que la topologe étale sot sous-canonque se dédut mmédatement du fat que la topologe fpqc est sous-canonque (en effet, une famlle couvrante étale est par défnton auss 10

11 une famlle couvrante fpqc). (2) Dans Aff tous les morphsmes sont carrables, car la catégore Comm = Aff op possède tout type de colmtes. Les morphsmes de P sont donc carrables, et en partculer localement carrables. (3) Les morphsmes lsses sont stables par composton et changement de bases dans Af f (vor le lemme 3.2)). Le fat que les morphsmes de P soent locaux pour la topologe étale se dédut de la proposton 3.4 (2) (Exo: fare les détals). (4) On sat que Aff possède tout type de colmtes, et donc des colmtes fnes. Au nveaux des anneaux commutatfs on a un somorphsme dans Aff Spec A Spec B Spec(A B). Pour une famlle fne d anneaux commutatfs {A }, les morphsmes de projecton A A 0 sont somorphes aux morphsmes naturels A ( A )[X]/(e 0 X 1), où 1 est l unté de A, et e 0 est l unté de A 0 (vu comme élément du produt en rajoutant des zéros). D après la proposton 3.3 ces morphsmes sont étales, et donc lsses. Enfn, le foncteur naturel ( A ) Mod (A Mod) étant une équvalence, on vot que la famlle de morphsmes { A A 0 } 0 est un recouvrement lsse. Cec montre le pont (b) de la compatblté avec les sommes. Le pont (c) est équvalent au fat que pour deux anneaux commutatfs A et B, on a A A B B 0 A A B A A. Il nous reste le pont (d). On dspose d un fasceau d anneaux commutatfs O sur Aff, qu à Spec A assoce l anneau A. De plus, on dspose d un somorphsme naturel Ans, s Spec A F G, on trouve A Hom(Spec A, O)). A Hom(Spec A, O)) Hom(F, O) Hom(G, O). 11

12 S on pose B := Hom(F, O) et C := Hom(F, O), B et C sont des anneaux commutatfs (pour la lo ndute par celle du fasceau O), et de plus on a A B C. On vérfe alors que les morphsmes naturels F Spec B G Spec C sont des somorphsmes (Exo: le vérfer. On utlsera que la somme des morphsmes est un somorphsme pour en dédure qu ls sont tous deux des monomorphsmes et des épmorphsmes). (5) Nous savons que les morphsmes lsses sont plats et de présentaton fne. Le fat que les morphsmes lsses possèdent des mages ouvertes est alors une conséquence du lemme suvant que nous donnons sans preuve (c est une autre façon d énoncer le théorème 2.12 du chaptre 2 de [M]). Lemme 4.2 Sot A B un morphsme plat et de présentaton fne. éléments f 1,..., f r dans A, tel que les morphsmes Spec B Spec A Spec A f Spec A Alors, l exste des ont même mage en tant que morphsmes de fasceaux (sur Aff pour la topologe fpqc). Cec termne la preuve du théorème. Défnton 4.3 Les varétés (resp. les espaces géométrques) respectvement au contexte (Aff, ét, lsse) du théorème 4.1 sont appelés des schémas (resp. des espaces algébrques). Références [B-L-R] S. Bosch, W. Lutkebohmert, M. Raynaud, Néron models, A seres of modern surveys n mathematcs 21, Sprnger-Verlag (1990). [M] J.S. Mlne, Etale cohomology, Prnceton unversty press (1980). [SGA1] Revêtements étales et groupe fondamental, Lecture Notes n Math., 224, Sprnger. 12