Electrostatique : révisions de Sup Conducteurs en équilibre électrostatique
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- Valérie Marier
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1 Electostatique : évisions de Sup Conducteus en équilibe électostatique
2 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Electostatique : évisions de Sup Conducteus en équilibe électostatique I) Electostatique ; évisions de sup : 1 Loi de Coulomb, calculs diect du champ et du potentiel :
3 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie * Gadient d une somme et d un poduit : gad gad [ f ( ) + g( )] = gad [ f ( )] + gad [ g( )] [ f ( ). g( )] = g( ). gad [ f ( )] + f ( ). gad [ g( )] * En tout point, le gadient du champ scalaie f ( ) est pependiculaie à la suface de niveau (la suface iso-f) passant pa ce point et il est diigé suivant la diection de vaiation la plus apide de, dans le sens des valeus coissantes de f ( ) f ( ). Exemple en électostatique : Les lignes de champs sont pependiculaies aux équipotentielles et le champ est diigé ves les =. potentiels décoissants (ca E gad( V ( )) 3
4 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Popiétés de symétie du champ électique : 4
5 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Topogaphie du champ électostatique, lignes de champs et sufaces équipotentielles : 5
6 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 6
7 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 7
8 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Le théoème de Gauss, équations locales de l électostatique : Ce théoème a été démonté en 1 èe année ; on peut l utilise comme point de dépat pou démonte la elation de Geen-Ostogadsky et pésente l intepétation locale de l opéateu divegence. On considèe un volume élémentaie en coodonnées catésiennes dτ = dxdydz. On monte que le flux élémentaie sotant de ce volume vaut : 8
9 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie dφ = E x x Soit : (intepétation locale de la divegence) dφ dτ E y + y E + z = div E L écitue locale du théoème de Gauss s en déduit : div E = ρ ε z dτ Et on démonte ainsi le théoème de Geen-Ostogadsky : (valable finalement pou tout champ vectoiel) dφ = div E dτ soit E. n ds dive dτ = ( S ) 9 ( V )
10 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Théoème de Gauss pou le champ gavitationnel : 1
11 Equations locales : Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Remaque su les opéateus : Retou su l opéateu «gadient» : gad V = V = V x u x + V y u y + V z u z 11
12 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie = u x x + u y + u z y z div E =. E ot E = E (opéateu «nabla») On etouve alos facilement les expessions des ces opéateus mais en coodonnées catésiennes uniquement! (dans les autes systèmes de coodonnées, il faut soit utilise un fomulaie ou alos etouve l expession de ces opéateus quand pa exemple les syméties sont fotes et seule la distance intevient). Les expessions suivantes ne sont pas à connaîte : 1
13 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 13 En coodonnées cylindiques : z A A A z A A A diva z z + + = + + = ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 θ θ θ θ Et en coodonnées sphéiques : ϕ θ θ θ θ ϕ θ θ θ θ ϕ θ ϕ θ + + = + + = ) ( sin 1 ) (sin sin 1 ) ( 1 ) ( ) sin ( ) sin ( sin 1 A A A A A A diva * Divegence d une somme et d un poduit : [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( div W div V W div V + = + [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( div V f V f gad V f div + =
14 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie * Rotationnel d une somme et d un poduit : ot div V ot [ V ( ) + W ( )] = ot[ V ( )] + ot[ W ( )] [ f ( ) V ( )] = gad f ( ) V ( ) + f ( ) ot[ V ( )] [ ( ) W ( )] = otv ( ). W ( ) V ( ). otw ( ) (Voi le chapite su l analyse vectoielle et un fomulaie d analyse vectoielle) 4 Exemples de calculs de champs et de potentiels : Voi feuilles d execices. 14
15 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 5 Relations de passage pou le champ : 15
16 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 6 Equation de Poisson : 16
17 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Rq1 : le Laplacien est encoe noté : = 7 Enegie électostatique : a Enegie d inteaction de deux chages ponctuelles : 17
18 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie b Cas d une distibution discète de n chages ponctuelles : 18
19 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie c Enegie électostatique d une sphèe unifomément chagée : On établit l expession de l énegie électostatique d une sphèe de ayon a unifomément chagée en volume, de chage totale Q et de densité volumique de chages ρ. On constuit de manièe évesible la sphèe en amenant de l infini la chage dq = 4π ρd, qui passe donc du potentiel nul au potentiel de la «sphèe» en constuction, de ayon : 4 3 π ρ 1 Q( ) 1 V ( ) = = 3 = 4πε Le tavail élémentaie qu il faut founi est alos : 4πε 3 ρ ε ρ δ W = δwélect = dep = dq V = 3ε On en déduit : 4 [ ( ) V ( ) ] = dqv ( ) = 4π ρd d 4πρ 3ε 19
20 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie E él = a 4πρ 4 4πρ 5 3q d = a = 3ε 15ε πε On peut aussi généalise la elation obtenue dans le cas de n chages ponctuelles : E 1 ( ρ( M ) V ( M dτ él = ) espace) Ici, l intégation se limite au volume de la sphèe de ayon a. Avec : Alos : ρ( M ) = ρ = cste ; V ( M ) ρ = (3a 6ε 1 a ) E él 1 a ρ 4πρ = (3a ) 4 d ρ π = 6ε 15ε a 5
21 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 1 On peut également utilise la densité volumique d énegie électostatique : + = = a a espace él d a d d E E 3 ) ( π ε ρ π ε ρ ε τ ε et on obtient là encoe le même ésultat. Pa analogie, on en déduit l énegie gavitationnelle d une étoile (ou d une planète) de masse M et de ayon a : a GM E gav =
22 II) Dipôle électostatique : Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 1 Définition, exemples :
23 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Calcul du potentiel dans le cade de l appoximation dipolaie : 3
24 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Champ électique du dipôle, topogaphie : 4
25 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4 Action d un champ électique extéieu, énegie potentielle d inteaction : 5
26 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 6
27 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 5 Quadipôle électostatique : voi execice 7
28 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie III) Equilibe électostatique des conducteus : 1 Conducteu en équilibe électostatique : Popiétés des conducteus en équilibe : 8
29 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On peut également obteni ce denie ésultat à pati de l équation de MG, Localement, les chages des ions positifs sont compensées pa les chages des électons. ρ dive =. ε Cette épaisseu est de l ode de,1 nm dans le cas du cuive. La densité supeficielle de chages n est en généal pas unifome : elle dépend de la fome du conducteu et des autes conducteus et chages en pésence. 9
30 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Théoème de Coulomb : du champ électique et Sens des lignes de champ :
31 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4 Pession électostatique : On se place dans une modélisation sufacique. Une suface élémentaie ds du conducteu est soumise à la foce : df = (σds ) où E ext désigne le champ électique céé pa les autes chages du conducteu (et éventuellement d autes contibutions). Soit E pope le champ dû aux chages potées pa la suface ds, alos on a : E ext + E pope = E E ext tot = σ n ε Si on assimile la suface ds, localement, à un plan infini chagé σ, alos conséquent, E ext σ = n ε. La foce qui s exece alos su ds devient : E pope = σ ε n et, pa 31
32 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie df = ( σ ds) E = ext σ ε ds n D où la pession électostatique : P e = σ ε 3
33 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 5 Exemples de topogaphie de champs en pésence de conducteus, ésolution du poblème de Laplace : En pésence de conducteus placés dans le vide (poblème de Laplace), le potentiel électostatique V(M) véifie : L équation de Laplace en tout point : V = La valeu du potentiel est imposée su les sufaces des conducteus (à l infini, la valeu du potentiel est choisie conventionnellement égale à ) Il y a continuité du potentiel La ésolution de ce poblème conduit à une solution unique qui pemet d en déduie toutes les autes données du poblème, comme le champ électique et les densités supeficielles de chages des conducteus pa exemple. 33
34 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Exemple : intepétation du sens des lignes de champ On considèe le système de tois conducteus epésenté su la figue suivante. Le potentiel à l infini est nul. Sans effectue de calcul, pécise le signe des difféents potentiels V 1, V et V 3 et la elation d ode qui existe ente eux. C 1 C 3 C Réponses : V 3 < ; V >, V 1 >, V 1 > V et V 1 > V 3. 34
35 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Exemple : influence d une chage ponctuelle q positive su une sphèe isolée neute Une boule métallique de ayon R est eliée à la Tee (son potentiel est donc nul). On place à une distance d du cente de la boule une chage ponctuelle q >. a) Où se touvent les chages et commente leu signe. b) En calculant le potentiel au cente de la boule, calcule la chage Q potée pa cette denièe. c) Tace les lignes de champ. d) La boule est désomais isolée et pote une chage totale nulle (la chage q est toujous pésente). Quel est le potentiel de la boule? Tace les lignes de champ. 35
36 Réponses : Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie a) La boule acquiet une densité sufacique de chages ; des chages (venant de la Tee) négatives vont ête attiées su la boule. Le potentiel de la boule este nul puisqu elle est eliée à la Tee. b) Le potentiel au cente de la boule est nul : V ( O) On emaque bien que Q <. 1 Q 1 q = + = 4πε R 4 d πε soit Q = R d q c) L allue des lignes de champ est obtenue à pati du logiciel «Equipotential» : 36
37 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Comme l infini et la boule sont au même potentiel nul, aucune ligne de champ ne peut pati de l un pou alle à l aute. Les lignes de champ patent donc de la chage q pou alle soit à l infini soit su la boule. 37
38 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie d) La boule étant isolée, sa chage este nulle ; des chages positives se déplacent ves la doite et des chages négatives ves la gauche. L allue des lignes de champ est : Son potentiel vaut : V ( O) = 1 1 q 1 + = 4πε R 4πε d 4πε 38 q d
39 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 39
40 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4
41 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 41
42 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 6 Etude des condensateus : a Définitions : 4
43 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie b Exemples de condensateus, calculs de capacités : 43
44 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 44
45 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 45
46 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 46
47 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 47
48 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie c Aspect énegétique, exemple du condensateu plan : 48
49 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Execice d application ; foce execée ente les deux amatues d un condensateu plan : Soit un condensateu composé de deux amatues planes, de suface S et sépaées d une distance L et soumis à la tension U. On néglige les effets de bod. On note Q = σs. Calcule la foce Fb h execée pa l amatue du bas (chagée +) su celle du haut (chagée -). 49
50 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Réponse : Calcul diect : La foce Fb h vaut : F b h = ( σs ) E bas où E bas désigne le champ céé pa l amatue du bas. Il vaut : σ E bas = u z ε Et ainsi : F b h σ S = ε u z 5
51 Avec Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie ε S Q = σ S = CU = U L : F b h ε SU = L Cette foce est attactive : les deux amatues, de chages opposées, s attient. u z Utilisation de la pession électostatique : On a alos, diectement : F b h = P él S( u z σ S ) = u z ε Si, maintenant, on écate lentement l amatue du haut ves le haut pa exemple, le tavail de la foce d attaction (ésistant) est compensé pa l opéateu. Le tavail de celui-ci vaut : 51
52 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie δw op σ S σ S Q Q = dl et Wop = ( L L1 ) = ε ε C C L opéateu a contibué à augmente l énegie électostatique du condensateu, dont on etouve l expession habituelle, Q E él = C. 1 5
53 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Execice d application ; détemination de la capacité d un condensateu sphéique à pati de la densité d énegie électostatique : Détemine l énegie stockée ente les amatues d un condensateu sphéique en fonction de la chage Q potée pa l amatue intéieue. Retouve l expession de la capacité du condensateu à pati de la elation : Q E él = C 53
54 Electostatique : évisions de sup, conducteus en équilibe, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Réponse : On appelle que : E = ente les deux amatues. L énegie est alos : Q 4πε 1 u d où : E él = 1 Q 1 R ε ( ) 4π d = R 1 4πε 8πε R1 R C = 4πε R R R 1 R 1 Q
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