Exemple d un opérateur de convolution par une distribution: la transformation de Hilbert

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1 Exemple d un opéraeur de convoluion par une disribuion: la ransformaion de Hilber Bachir Bekka April 26, 22 Inroducion Un opéraeur inégral K : L 2 (R n L 2 (R n (ou K : L p (R n L p (R n es un opéraeur du pe Kf(x = k(x, f(d, défini par une foncion R n ( noau k(x, sur R n R n. Une classe imporane d opéraeurs inégraux es celle consiuée par ceux qui commuen avec les ranslaions par des veceurs de R n, c-à-d ceux don le noau es de la forme k(x, = ϕ(x pour une foncion ϕ sur R n ; si ϕ L (R n, un el opéraeur es bien défini sur L 2 (R n e es coninu. Le cas où ϕ n es pas inégrable es un cas pariculièremen inéressan, donnan lieu à des opéraeurs inégraux singuliers. La ransformaion de Hilber en es le proope. Soi f : R C une foncion dans S(R ou L (R. On aimerai définir la convoluion de f avec la foncion x /x par la formule habiuelle x f(x R d. Le problème es que, la foncion x /x n éan pas localemen inégrable, cee formule ne défini pas une disribuion dans S. On peu néanmoins donner un sens à cee convoluion en l inerpréan comme valeur principale. Rappelons que la disribuion empérée vp(/x ( valeur principale de /x es définie par vp(/x, ϕ = lim < >ε ϕ( d pour ou ϕ S(R. Définiion Soi f S(R; la ransformaion de Hilber de f es le produi de convoluion Hf = vp(/x f. Rappelons (voir Secion 2 que, éan données une disribuion T S e une foncion à décroissance rapide ψ S, on peu définir leur produi de

2 Universié de Rennes - Préparaion à l agrégaion de mahémaiques - Bachir Bekka 2 convoluion T ψ qui es une disribuion donnée par une foncion C à croissance modérée. Ainsi Hf es la foncion R C définie par Hf(x = lim f(x d = < lim f( < x d. >ε x >ε Une propriéé remarquable de la ransformaion de Hilber H : S S es qu elle s éend en un opéraeur coninu L p (R L p (R pour p ], [ (voir les références ciées plus bas; nous ne raierons ici que le cas hilberien p = 2. Théorème 2 La ransformaion de Hilber s éend en une isomérie bijecive H : L 2 (R L 2 (R. Remarque 3 Il exise une généralisaion de la ransformée de Hilber en dimension supérieure: les ransformaions de Riesz. Pour ou j {,..., n} e f S(R n, la ransformée de Riesz R j f es la disribuion définie par R j f = C n vp(x j / x n+ f avec C n = Γ( n+ 2 n+ 2 Nous ferons d abord des rappels sur la convoluion d une disribuion e d une foncion; nous donnerons ensuie la preuve du Théorème 2. Enfin, nous évoquerons le lien qui exise enre la ransformaion de Hilber e les valeurs au bord de foncions holomorphes sur le demi-plan supérieur.. 2 Quelques rappels sur le produi de convoluion Pour les rappels qui suiven, on pourra consuler le Chapire 7 de l ouvrage de W. Rudin : Funcional Analsis, McGraw-Hill 973. Pour deux foncions ϕ, ψ S(R n le produi de convoluion ϕ ψ, défini par ϕ ψ(x = R n ϕ(x ψ(d, es une foncion à décroissance rapide. Si on désigne par T f la disribuion définie par une foncion f S(R n (cà-d T f, g = R n f(xg(xdx, pour ou g S(R n, on a alors, par Fubini, T ϕ ψ, f = R n ( ˇψ f(xϕ(xdx = T ϕ, ˇψ f, avec ˇψ( = ψ(. Pour T S (R n e ψ S(R n, ceci nous amène à définir le produi de convoluion T ψ comme forme linéaire sur S par T ψ, f = T, ˇψ f pour ou f S.

3 Universié de Rennes - Préparaion à l agrégaion de mahémaiques - Bachir Bekka 3 Il a une aure façon de définir le produi de convoluion T ψ : on remarque que, pour ϕ, ψ S e x R n, on a ϕ ψ(x = ϕ((τ x (ψ(d = T ϕ, τ x (ψ R n où τ x (ψ( = ψ( x. Pour T S (R n e ψ S(R, on peu donc égalemen définir T ψ comme éan la foncion f, don la valeur en x R N es f(x = T, τ x (ψ. Il s avère que les deux définiions fournissen le même résula: la foncion f es C e f, ainsi que ses dérivées, es à croissance modérée; la disribuion T f coïncide avec la disribuion T ψ inroduie plus hau. Nous noerons F(ϕ la ransformée de Fourier d une foncion ϕ S(R n : F(ϕ( = ϕ(xe 2ix dx, R n. R n Nous rappelons que F : S S es un isomorphisme biconinu el que F(ϕ ψ = F(ϕF(ψ pour ous ϕ, ψ S. De plus, F s éend en une isomérie L 2 (R n L 2 (R n (Théorème de Plancherel ainsi qu en un isomorphisme biconinu F : S S par la formule F(T, ϕ = T, F(ϕ pour ou T S e ϕ S. Pour T S (R n e ψ S(R, on a F(T ψ = F(ψF(T. (On rappelle que, pour T S e f S, le produi ft es la disribuion empérée définie par ft, ϕ = T, fϕ pour ou ϕ S. 3 La ransformée de Hilber sur L 2 (R Soi f S(R. Sa ransformée de Hilber Hf = vp(/x f es une foncion de classe C e, pour ou x R, on a Hf(x = lim < >ε f(x d = lim < x >ε f( x d. De plus, F(Hf = F(vp(/xF(f; nous allons déerminer F(vp(/x. Lemme 4 F(vp(/x es la disribuion donnée par la foncion bornée x i signe(x.

4 Universié de Rennes - Préparaion à l agrégaion de mahémaiques - Bachir Bekka 4 Preuve Il a plusieurs méhodes pour calculer F(vp(/x; en voici une: pour ϕ S, on a F(vp(/x, ϕ = vp(/x, F(ϕ = lim = lim ε /ε = lim ϕ(x R = lim ϕ(x R ( ( = i lim ϕ(x R R ε F(ϕ( d ϕ(xe 2ix dx d e ε /ε ε /ε ( /ε 2ix d dx e 2ix e 2ix 2 sin 2x d dx, d dx où on a uilisé le changemen de variable dans l avan dernière égalié. La foncion g ε : x ϕ(x sin 2x /ε d es inégrable sur R. De plus, on sai que d = ; avec le changemen de variable η = 2x, il s ensui que + sin lim /ε sin 2x d = signe(x uniformémen en x. En pariculier, il exise une consane M elle que g ε (x M ϕ(x pour ou x R. Par le héorème de convergence dominée, on a donc ( ( sin 2x sin 2x lim ϕ(x d dx = ϕ(x lim d dx R /ε R /ε ( + sin 2x = ϕ(x d dx R = ϕ(x signe(xdx. Preuve du Théorème 2 Pour f S(R, on a, par Lemme 4, F(Hf = F(vp(/xF(f = i signe F(f. Par conséquen, F(Hf es dans L2 (R e F(Hf 2 = F(f 2 Comme F es une isomérie sur L 2 (R, il s ensui que Hf L 2 (R e que Hf 2 = f 2. L espace S éan dense dans L 2 (R, l applicaion linéare H s éend en une isomérie de L 2 (R. Cee applicaion es une bijecion, car la formule F(Hf = i signef(f monre que H 2 = I. R

5 Universié de Rennes - Préparaion à l agrégaion de mahémaiques - Bachir Bekka 5 Exercice 5 (i Supposons que f es seulemen C par morceaux e inégrable sur R; alors Hf(x es défini en ou poin x apparenan à l inérieur de ou inervalle sur lequel f es C. (ii Monrer que la ransformée de Hilber de la foncion indicarice [a,b] d un inervalle [a, b] es H( [a,b] (x = x a log, x R \ {a, b}. x b On remarquera que H( [a,b] n es pas inégrable sur R car Hf(x = (b a/x pour x ; ceci monre que H ne s éend pas en un opéraeur L (R L (R, à la différence de ce qui se passe pour L p (R dans le cas < p < (comme menionné dans l inroducion. 4 Transformaion de Hilber e foncions holomorphes Soi f S(R à valeurs réelles. Une foncion u es soluion du problème de Dirichle dans le demi-plan supérieur P = R ], [ si u es C 2 sur P e si u(x, = dans P e lim u(x, = f(x pour ou x R. Ce problème adme comme soluion u(x, = (P f(x, où P es le noau de Poisson défini par P (x = pour x R e >. x L inégrale de Cauch de f es définie sur P par F f (z = i f( z d. La foncion F f es holomorphe dans P, sa parie réelle es u f (x, = Re F f (x + i = e sa parie imaginaire es v f (x, = Im F f (x + i = f(x d = (P f(x f(x d = (Q f(x, avec Q (x = x. Comme F x f = u f +iv f, les foncions u e v son des foncions harmoniques conjuguées. Comme évoqué plus hau, on a lim u f (x, = f(x pour ou x R. Concernan v f, on a le résula suivan: Proposiion 6 On a lim v f (x, = Hf(x pour ou x R.

6 Universié de Rennes - Préparaion à l agrégaion de mahémaiques - Bachir Bekka 6 Preuve Fixons x R. On a, pour ou >. v f (x, f(x d = = v f (x, + = = = = = I + I 2 + I 3. Quand, on a comme I I f(x d + f(x + f(x d (f(x + f(x d + f(x + f(x d 2 2 (f(x + f(x d (f(x + f(x d f(x + f(x ( d f(x + f(x d f(x + f(x ( d f(x + f(x ( d+ f(x + + f(x 3 d 22 f 3 d = O(2 ; / pour, on a f(x + f(x d sup f(x + f(x = o(; [,] comme la dérivée de f es bornée, il exise C > el que f(x + f(x C pour ou R e on a alors I 2 C2 d ( = C2 [ arcan(/] = C (arcan arcan(/ = o(. En conclusion, lim v f (x, f(x d =. Références Pour aller plus loin, voici quelques excellens ouvrages où es raiée la ransformaion de Hilber ainsi que les ransformaions de Riesz, dans le cadre des espaces L p : -L.Grafakos : Classical Fourier analsis, Springer (28 -E.M. Sein, G. Weiss : Inroducion of Fourier analsis on Euclidean spaces, Princeon Univ. Press (97