Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 3 Dérivées et Primitives"

Transcription

1 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() = Dérivée f () = Dérivée définie sur k +b n n n- = \ {} = \ {} n n n+ = \ {} [ ; + ] sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) + ln ( ) e = \ {} ] ;+ ] e = \ {} Remrques : Si on dmet n réel quelconque, l ème ligne du tbleu sert pour trouver les si premières lignes! n Il fut pour cel svoir que = n et que = ln() est le logrithme népérien de et e est l'eponentielle de (voir chpitres suivnts) Eemples : Clculer les dérivées de : ) f = 5 b) f = 4 c) f = ) Opértions sur les dérivées Opértion Formule de l dérivée u v u ' v ' ku ku' uv u ' v uv ' v v ' v u v u' v uv ' v n u, pour tout n nu' u Pge / n

2 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Eemples :Clculer les dérivées des fonctions suivntes : f ( )=cos( ) f = os f ( )= f = sin cos ( ) + f ( )= f ( )= + + ) Dérivtion d une fonction composée Théorème : (u(v())) = v () u (v()) Remrques : Cette formule permet de trouver l dérivée (u( + b))' = u ( + b) en posnt v = + b De même pour (un) = n u () un - () Eemples : Clculer l dérivée de : f ( )= sin( ) f ( )= + 4) Dérivées et tngentes On ppelle tngente en à l courbe représenttive d une fonction f l droite pssnt pr le point ( ; f()) et de coefficient directeur (pente) le nombre dérivé f () Théorème Soit f dérivble en l courbe de f dmet lors en une tngente d éqution : y = f () ( ) + f() En effet, cette droite psse visiblement pr ( ; f()) et s pente (coefficient directeur) est bien f ()! Eemples : Clculer l'éqution de l tngente à l courbe de f() en = ) f ( )= vec = (réponse : y = - ) 4 b) f ( )= vec = 9 c) f ( )=cos ( ) vec = π/ 5) Lien vec le tbleu de vrition Théorème Soit f une fonction dérivble sur I Si I, f ', lors f est strictement croissnte sur I Si I, f ', lors f est strictement décroissnte sur I Conséquence L étude du signe de l dérivée permet de déterminer le tbleu de vrition d une fonction Eemple : Fire le tbleu de vrition de l fonction : + ) f = 5 b) f ( )= Pge / c) f ( )= +

3 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives 6) Dérivées successives Soit f dérivble sur I et f' s dérivée Si f' est dérivble sur I, on nomme f'' s dérivée et on l ppelle d f dérivée seconde de f On l note ussi d d f Si f'' est dérivble, on nomme f''' s dérivée, dérivée troisième de f, notée ussi f() ou d dn f Ensuite, l dérivée nième ser notée f(n) ou d n (Ne ps confondre fn, puissnce nième de f, et f(n), dérivée de niveu n de f) Eemples : Clculer f, f'' et f() pour : f = f ( )= + + f =sin Prticulrité des polynômes : Les dérivées d'un polynôme de degré n sont toutes nulles à prtir de f(n+)() Eemple : Clculer toutes les dérivées de f() = 4 ² + 5 B) Les Primitives ) Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de On ppelle primitive F de f sur I, toute fonction dont l dérivée sur I est f ) Vérifiction Pour vérifier qu une fonction F() est une primitive de f(), il suffit de dériver F() et de vérifier que l on trouve bien f() Eemples Vérifier que F() = 5 ² + 7 est bien une primitive de f() = - ) Théorèmes ) Eistence d une primitive (théorème dmis) Soit une fonction f définie et dérivble sur un intervlle I = ] ; b[ Alors, f dmet des primitives sur I b) Reltion entre les primitives Soit f une fonction définie sur I et F() une fonction primitive de f sur I Alors, l ensemble des fonctions primitives de f sur I ser l ensemble des fonctions de l forme F =F vec c constnte : c On ppelle cette epression l forme générle des primitives de f En effet, si F() = F() + c, on ur F () = F () + = F () = f() Pge /

4 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Réciproquement si F () = f(), on ur, en posnt G() = F() F() : G () = F () F () = f() f() = donc G est une primitive de l fonction nulle, et seules les constntes ont une dérivée nulle G() est donc une constnte C) Recherche des primitives d une fonction ) En inversnt le tbleu des dérivées usuelles, on obtient : Fonction définie sur Fonction f() = Primitive F() = Primitive définie sur c n = \ {}, n> n = \ {} n+ n+ = \ {} ( n ) n = \ {} ] ; ] [ ; ] cos ( ) sin( ) sin( ) cos( ) π π ] ; [ =+tn ( ) cos ( ) tn ( )+ c π π ] ; [ = \ {} ln ( ) = \ {} e e Eemples Trouver les primitives de : ) f() = 7 b) f = 4 Cs spécil : On vu dns le tbleu que pour logrithmes que les primitives de n, il fut voir n > : on verr dns l chpitre sur les sont de l forme ln() + c, où ln() est le logrithme népérien de Pge 4/

5 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives ) Opértions sur les primitives ) Produit pr une constnte Si l primitive de f() est F() + c, celle de k f() ser k F() + c Remrquons qu'il est inutile de multiplier le c pr k, cr k c est ussi une constnte quelconque Eemples : Primitives de : I) f() = 5 III) f() = sin() F( )=5 + c F() = - cos() + c 6 6 F =4 = 6 II) f() = 4 5 b) Somme de deu fonctions De même que l dérivée d une somme est l somme des dérivées ((u + v) = u + v ), les primitives d une somme sont les sommes des primitives on ne mettr qu'une fois le "+ c") Eemples : Primitives de : I) ² + + III) + ² + + c IV) 6 cos V) cos 4 II) 5 5 ² - sin + c 8 sin 8 7 c) Primitives et fonctions composées En prtnt de l formule générle qui donne comme dérivée de u(v()) l fonction v'() u'(v()), donc de l primitive de v' u'(v) qui est u(v) + c, on trouve les cs prticuliers importnts suivnts : Fonction f() = Primitive F() = u'( + b) u b sin( + b) cos b cos( + b) sin b u'() (u())n u n n u' n n > u n u n u ' u u u' u ln(u()) + c b ln b Pge 5/

6 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Eemples I) sin ( + ) II) 5(5 )² III) sin() cos() tn cos 5 V) 5 VI) IV) cos 5 cos 4 4 cos 5 ln d) Primitive prennt une vleur donnée en un point Soit une fonction f, dérivble sur I, un nombre de I et un réel y Théorème : Il eiste une unique fonction F qui soit primitive de f et prenne l vleur y en (c est à dire telle que F() = y) En effet, soit F l forme générle des primitives de f, soit F() = F() + c Pour trouver F telle que F() = y et F () = f(), on fit : F() = F() + c et F() = y = F () + c, donc c = y F() On ppelle 'condition initile' l condition F() = y, cr elle correspond souvent à = Eemple : F() = ² - + Trouver l primitive de f prennt l vleur 7 pour = 6 Solution : Forme générle des primitives : Prise en compte des conditions initiles : D'où le résultt finl : F(6) = c = 7 d où c = - 85 F()= + 85 F = ) Recherche de primitives ) Fisbilité On ne peut ps toujours trouver fcilement les primitives d une fonction, en prticulier qund on ffire à des produits ou des quotients Pr eemple, l fonction inverse n ps de primitive dns les fonctions que vous connissez : on ppelle cette primitive le logrithme népérien et on l étudier dns un chpitre ultérieur Prfois, on peut y rriver vec les tbleu ci-dessus, prfois ce n'est ps suffisnt Dns certins cs, on peut lors y rriver en chngent l forme de l fonction Nous llons étudier quelques cs de ce genre Pge 6/

7 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives b) Polynômes trigonométriques os cos et sin = Plus générlement, les formules de Moivre permettent de "linériser" les puissnces des sinus et cosinus, c'est à dire à fire disprître ces puissnces en utilisnt des combinisons de sin(n) et cos(n) On les formules cos = On peut donc trnsformer toutes les puissnces de cos() et sin() en sinus ou cosinus de multiples de, plus fciles à intégrer, c'est à dire qu'il est plus fcile d'en trouver les primitives Eemples : ) f() = 6sin² ) f() = 4cos4 F = sin f() = ( + cos())² = + 4 cos + cos²() f() = + 4 cos() + + cos(4) = + 4 cos() + cos(4) sin 4 F = sin 4 f() = cos() d'où Remrque : Pour les puissnces impires, on peut ussi utiliser u' u n et se servir de cos² + sin² =, d où cos²() = sin²() et sin²()= cos²() Eemple : f() = sin() + sin5() f() = sin() ( cos²()) + sin() ( cos²())² f() = sin() sin() cos²() + sin() ( cos²() + cos4()) f() = 4 sin() 7 sin() cos²() + sin() cos4() D'où cette fois l primitive : 5 7 cos ( ) cos () F( )= 4 cos ( )+ 5 c) Avec les formules du tbleu des fonctions composées Qund on peut fire pprître u' un, u' u ' u' et, on peut trouver des primitives n, u u u Eemple : Trouver les primitives des fonctions suivntes : I) f() = ( + ) (² + 6 7)² II) f() = (4 + 6) (5 + + ) III) f() = sin() cos7() 4 V) f = VI) f = 5 IV) f = F() = (4 + + )² + c cos 8 F = 8 F = 8 4 F = F = 4 F = ln 5 d) Fonctions rtionnelles Il eiste un moyen générl de trnsformer les fonctions rtionnelles de fçon à pouvoir en trouver Pge 7/

8 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives les primitives Nous ne prlerons ici que de quelques cs simples er cs : f = b c d : ( +) 7 = On ur f ( )=, soit f ()= D'où l primitive qui ser : Soir pr eemple f = F() = 7 ln( + ) + c Eemple : = = On ur f = ln ( ) + c soit On trouve donc finlement F( )= 8 Trouver l primitive de f = ème cs : F ( )= 4 ln( )+ c b d e c' d e On procède soit pr division polynomile, soit pr identifiction des numérteurs en écrivnt f() sous ses deu formes et en réduisnt u même dénominteur On dmet qu'on peut toujours mettre ce genre de fonction sous l forme f = ' b ' Le pssge à l primitive est lors possible en procédnt comme ci-dessus Eemple : = 9+ On trouve d'bord f ( )= +, + + Et on en déduit fcilement l primitive générle : Trouver l forme générle des primitives de f = F() = ² 9 + ln( + ) + c D) Une ppliction simple : l loi de l grvité et l chute d'un corps Depuis Newton, on sit que les pommes (et les urus) tombent des rbres prce qu ils sont ttirés pr l terre (l plnète, ps l humus) A une ltitude donnée, cette force induit une ccélértion constnte u objets qui tombent Comment, à prtir de cette ccélértion (ppelée g et de vleur à peu près égle à 9,8m/s² à l surfce de l terre), peut-on retrouver l formule donnnt l vitesse d un objet en chute libre? On l'ccélértion (t) = g qui vut à peu près 9,8 m/s², on voudrit trouver v(t) On sit seulement que (t) = v (t), dérivée de l vitesse v(t) Le chemin inverse de l dérivtion, trouver une fonction F dont f est l dérivée, s ppelle l recherche de primitives Pge 8/

9 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Dns le tbleu des primitives usuelles, on voit que v() = g + c On rrive donc ici à une vitesse de l forme v(t) = g t + c Cependnt, l'ccélértion est orientée vers le bs, donc pour être cohérent, on noter v(t) = - g t + c Si on connît l vitesse à l instnt t = (pr eemple une pierre qu on lâche à l instnt ), et qu on l nomme v, on ur v(t) = v - g t, puisque v() = v = + c ce qui implique c = v D'où : v t = g t v Pour remonter enfin à l'ltitude, on refit l même opértion : dns le tbleu on voit que pour une fonction de type k t, l primitive ser de l forme k t²/ + c Qunt à v(t), s primitive ser donc h(t) - g t² / + v t + c Si h est l huteur initile, on ur h() = c = h h t = g t v t h D'où : On retrouve bien ici l formule de l huteur h prcourue lors d une chute libre Remrquons que l'on n' ps tenu compte de l résistnce de l'ir, qui fit qu'un kilo de plomb tombe plus vite qu'un kilo de plumes Le même cheminement se fit courmment en physique, prce que les lois de l physique portent le plus souvent sur des dérivées de grndeurs Eemple : En électricité, vec un condensteur "prfit" on i t =C et C l cpcité du condensteur Pge 9/ du t, où u est l tension, i l'intensité dt

10 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Fiche de révision (/) : Dérivées Définition : f ()= ( f (+ h) f () df ( )=lim d h h ) Dérivées de bse : Fonction définie sur Fonction f() = Dérivée f () = Dérivée définie sur k +b n n n- = \ {} = \ {} = \ {} n n n+ = \ {} [ ; ] sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) + ln ( ) = \ {} e e Opértions sur les dérivées ] ; ] Dérivées des fonctions composées Opértion Formule de l dérivée Fonction composée Formule de l dérivée u v u ' v ' sin(u) u ' cos (u) ku ku' cos (u) u ' sin(u) uv u ' v +u v ' u b u ' b u u' u ( + b)n n( + b)n u v u' v uv ' v ( + b)n n ( + b)n+ un n u ' u n sin( + b) cos( +b) un nu ' u n+ cos ( + b) sin( +b) Dérivée d une fonction composée : Formule générle : ( u(v ( )) ) ' = v ( ) u (v ()) d'où : ( u( +b) ) ' = u ( + b) Éqution de l tngente en à l courbe de l fonction f() de dérivée f'() : y = f () ( ) + f() Pge /

11 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Fiche de révision (/) : Les primitives Primitives des fonctions usuelles f() définie sur Fonction f() = Primitive F() = F() définie sur c (vec ) n+ n+ n = \ {} vec n> n n ( n ) = \ {} ] ; ] [ ; ] cos( ) sin( ) sin( ) cos ( )+ c π π ] ; [ = (+ tn ( )) cos ( ) tn( )+ c π π ] ; [ = \ {} ln ( ) = \ {} e e Quelques primitives de fonctions composées Fonction f() = u v (u) Primitive F() = v(u) Fonction f() = v ( + b) u ' sin(u) u ' cos (u) u' u n u'() (pour n > ) (u ( ))n - cos(u) sin(u) sin( + b) cos ( +b) n+ u + c n+ ( n )(u( ))n n ( + b) (pour n > ) ( + b)n Primitive F ( )= - v ( + b) cos ( + b)+ c sin( + b)+ c ( + b)n+ ( n+) (n )( + b) n u '( ) u ( ) u( ) +b + b+ c u' () u ( ) ln (u ( )) +b ln ( + b) tn (u)+ c cos ( + b) tn( +b) u' cos (u) Pge /

12 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Fiche de révision (/) : Rppel, signe de ² + b + c Pour étudier le signe d'une dérivée, on souvent besoin de connître ceci : Courbe et signe du polynôme du second degré f() = ² + b + c Un polynôme du second degré du type f() = ² + b + c pour signe : le signe de en dehors de ses rcines (qui sont les solutions de l éqution f() = ), et prend le signe contrire entre les rcines, u cs où elles eistent (c est à dire si Δ >) - ² + b + c ² + b + c Soit, si > : + - Si < : Schnt que si Δ <, ² + b + c est toujours du signe de Pge /

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états. ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV /HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Magister en : Génie Mécanique

Magister en : Génie Mécanique الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université

Plus en détail

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*) Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,

Plus en détail

Partie 4 : La monnaie et l'inflation

Partie 4 : La monnaie et l'inflation Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Le canal étroit du crédit : une analyse critique des fondements théoriques

Le canal étroit du crédit : une analyse critique des fondements théoriques Le cnl étroit du crédit : une nlyse critique des fondements théoriques Rfl Kierzenkowski 1 CREFED Université Pris Duphine Alloctire de Recherche Avril 2001 version provisoire Résumé A l suite des trvux

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

LITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique

LITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique LITE-FLOOR Dlles de sol et mrches d esclier Informtion technique Recommndtions pour le clcul et l pose de LITE-FLOOR Générlités Cette rochure reprend les règles de se à respecter pour grntir l rélistion

Plus en détail

Développements limités usuels en 0

Développements limités usuels en 0 Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n

Plus en détail

Toyota Assurances Toujours la meilleure solution

Toyota Assurances Toujours la meilleure solution Toyot Assurnces Toujours l meilleure solution De quelle ssurnce vez-vous besoin? Vous roulez déjà en Toyot ou vous ttendez s livrison. Votre voiture est neuve ou d occsion. Vous vlez les kilomètres ou

Plus en détail

Statuts ASF Association Suisse Feldenkrais

Statuts ASF Association Suisse Feldenkrais Sttuts ASF Assocition Suisse Feldenkris Contenu Pge I. Nom, siège, ojectif et missions 1 Nom et siège 2 2 Ojectif 2 3 Missions 2 II. Memres 4 Modes d ffilition 3 5 Droits et oligtions des memres 3 6 Adhésion

Plus en détail

Régression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006

Régression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006 Régression multiple : principes et eemples d ppliction Dominique Lffly UMR 5 603 CNRS Université de Pu et des Pys de l Adour Octobre 006 Destiné à de futurs thémticiens, notmment géogrphes, le présent

Plus en détail

VIBRATIONS COUPLEES AVEC LE VENT

VIBRATIONS COUPLEES AVEC LE VENT VIBRATIONS OPLEES AVE LE VENT Pscl Hémon Lbortoire d Hydrodynmique, LdHyX Ecole Polytechnique, Pliseu Octobre 00 Vibrtions couplées vec le vent Si vous pense que j i révélé des secrets, je m en ecuse.

Plus en détail

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure République Algérienne Démocrtique et Populire Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mentouri de Constntine Fculté des sciences et sciences de l ingénieur Déprtement

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive

Plus en détail

Conseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30

Conseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30 Conseils et stuces pour les structures de bse de l Ligne D30 Conseils et stuces pour l Ligne D30 Ligne D30 - l solution élégnte pour votre production. Rentbilité optimle et méliortion continue des séquences

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Modification simultanée de plusieurs caractéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de calcul de la variation de bien-être des ménages

Modification simultanée de plusieurs caractéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de calcul de la variation de bien-être des ménages Modifiction simultnée de plusieurs crctéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de clcul de l vrition de bien-être des ménges Trvers Muriel * Version provisoire Résumé : De nombreuses situtions

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

Pour développer votre entreprise LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI!

Pour développer votre entreprise LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI! Pour développer votre entreprise Gestion Commercile Gérez le cycle complet des chts (demnde de prix, fcture fournisseur), des stocks (entrée, sortie mouvement, suivi) et des ventes (devis, fcture, règlement,

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Intégrales généralisées

Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

Annexe II. Les trois lois de Kepler

Annexe II. Les trois lois de Kepler Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - Annexe II es tois lois de Keple Johnnes Keple (57-6), pulie en 596 son peie ouge, ysteiu Cosogphicu Teize nnées plus td, en 69, il pulie Astonoi No, dns

Plus en détail

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot

Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot Scence Indutrelle Précon de ytème erv Pncol Robert Lycée Jcque Amyot I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Poton du roblème 1. Préentton On vu que le rôle d un ytème erv et de fre uvre à l orte (t) une

Plus en détail

Compte rendu de la validation d'un observateur cascade pour la MAS sans capteurs mécaniques sur la plate-forme d'essai de l'irccyn

Compte rendu de la validation d'un observateur cascade pour la MAS sans capteurs mécaniques sur la plate-forme d'essai de l'irccyn Compte rendu de l vlidtion d'un oservteur cscde pour l MAS sns cpteurs mécniques sur l plte-forme d'essi de l'irccyn Mlek GHANES, Alin GLUMINEAU et Roert BOISLIVEAU Le 1 vril IRCCyN: Institut de Recherche

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

Algorithmes sur les mots (séquences)

Algorithmes sur les mots (séquences) Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Transfert. Logistique. Stockage. Archivage

Transfert. Logistique. Stockage. Archivage Trnsfert Logistique Stockge Archivge Trnsfert, logistique, stockge Pour fire fce ux nouveux enjeux, il est importnt de pouvoir compter sur l'expertise d'un spéciliste impliqué à vos côtés, en toute confince.

Plus en détail

Introduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8

Introduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8 Introduction à l modélistion et à l vériction Appliction ux systèmes temporisés Ptrici Bouyer LSV CNRS & ENS de Cchn Introduction à l modélistion et à l vériction p. 1/8 Modélistion & Vériction Introduction

Plus en détail

EnsEignEmEnt supérieur PRÉPAS / BTS 2015

EnsEignEmEnt supérieur PRÉPAS / BTS 2015 Enseignement supérieur PRÉPAS / BTS 2015 Stnisls pour mbition de former les étudints à l réussite d exmens et de concours des grndes écoles de mngement ou d ingénieurs. Notre objectif est d ccompgner chque

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Theorie des mrches Dns ce chpitre, on etudie l'interction de l'ore et de l demnde sur un mrche d'un bien donne. On etudier, en prticulier, l'equilibre du mrche. Etnt donne qu'on s'interesse uniquement

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU) 0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2

Plus en détail

I. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a.

I. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a. OURS 3 EME RINES RREES PGE 1/1 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES alculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail