Chapitre 3 Dérivées et Primitives

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1 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() = Dérivée f () = Dérivée définie sur k +b n n n- = \ {} = \ {} n n n+ = \ {} [ ; + ] sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) + ln ( ) e = \ {} ] ;+ ] e = \ {} Remrques : Si on dmet n réel quelconque, l ème ligne du tbleu sert pour trouver les si premières lignes! n Il fut pour cel svoir que = n et que = ln() est le logrithme népérien de et e est l'eponentielle de (voir chpitres suivnts) Eemples : Clculer les dérivées de : ) f = 5 b) f = 4 c) f = ) Opértions sur les dérivées Opértion Formule de l dérivée u v u ' v ' ku ku' uv u ' v uv ' v v ' v u v u' v uv ' v n u, pour tout n nu' u Pge / n

2 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Eemples :Clculer les dérivées des fonctions suivntes : f ( )=cos( ) f = os f ( )= f = sin cos ( ) + f ( )= f ( )= + + ) Dérivtion d une fonction composée Théorème : (u(v())) = v () u (v()) Remrques : Cette formule permet de trouver l dérivée (u( + b))' = u ( + b) en posnt v = + b De même pour (un) = n u () un - () Eemples : Clculer l dérivée de : f ( )= sin( ) f ( )= + 4) Dérivées et tngentes On ppelle tngente en à l courbe représenttive d une fonction f l droite pssnt pr le point ( ; f()) et de coefficient directeur (pente) le nombre dérivé f () Théorème Soit f dérivble en l courbe de f dmet lors en une tngente d éqution : y = f () ( ) + f() En effet, cette droite psse visiblement pr ( ; f()) et s pente (coefficient directeur) est bien f ()! Eemples : Clculer l'éqution de l tngente à l courbe de f() en = ) f ( )= vec = (réponse : y = - ) 4 b) f ( )= vec = 9 c) f ( )=cos ( ) vec = π/ 5) Lien vec le tbleu de vrition Théorème Soit f une fonction dérivble sur I Si I, f ', lors f est strictement croissnte sur I Si I, f ', lors f est strictement décroissnte sur I Conséquence L étude du signe de l dérivée permet de déterminer le tbleu de vrition d une fonction Eemple : Fire le tbleu de vrition de l fonction : + ) f = 5 b) f ( )= Pge / c) f ( )= +

3 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives 6) Dérivées successives Soit f dérivble sur I et f' s dérivée Si f' est dérivble sur I, on nomme f'' s dérivée et on l ppelle d f dérivée seconde de f On l note ussi d d f Si f'' est dérivble, on nomme f''' s dérivée, dérivée troisième de f, notée ussi f() ou d dn f Ensuite, l dérivée nième ser notée f(n) ou d n (Ne ps confondre fn, puissnce nième de f, et f(n), dérivée de niveu n de f) Eemples : Clculer f, f'' et f() pour : f = f ( )= + + f =sin Prticulrité des polynômes : Les dérivées d'un polynôme de degré n sont toutes nulles à prtir de f(n+)() Eemple : Clculer toutes les dérivées de f() = 4 ² + 5 B) Les Primitives ) Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de On ppelle primitive F de f sur I, toute fonction dont l dérivée sur I est f ) Vérifiction Pour vérifier qu une fonction F() est une primitive de f(), il suffit de dériver F() et de vérifier que l on trouve bien f() Eemples Vérifier que F() = 5 ² + 7 est bien une primitive de f() = - ) Théorèmes ) Eistence d une primitive (théorème dmis) Soit une fonction f définie et dérivble sur un intervlle I = ] ; b[ Alors, f dmet des primitives sur I b) Reltion entre les primitives Soit f une fonction définie sur I et F() une fonction primitive de f sur I Alors, l ensemble des fonctions primitives de f sur I ser l ensemble des fonctions de l forme F =F vec c constnte : c On ppelle cette epression l forme générle des primitives de f En effet, si F() = F() + c, on ur F () = F () + = F () = f() Pge /

4 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Réciproquement si F () = f(), on ur, en posnt G() = F() F() : G () = F () F () = f() f() = donc G est une primitive de l fonction nulle, et seules les constntes ont une dérivée nulle G() est donc une constnte C) Recherche des primitives d une fonction ) En inversnt le tbleu des dérivées usuelles, on obtient : Fonction définie sur Fonction f() = Primitive F() = Primitive définie sur c n = \ {}, n> n = \ {} n+ n+ = \ {} ( n ) n = \ {} ] ; ] [ ; ] cos ( ) sin( ) sin( ) cos( ) π π ] ; [ =+tn ( ) cos ( ) tn ( )+ c π π ] ; [ = \ {} ln ( ) = \ {} e e Eemples Trouver les primitives de : ) f() = 7 b) f = 4 Cs spécil : On vu dns le tbleu que pour logrithmes que les primitives de n, il fut voir n > : on verr dns l chpitre sur les sont de l forme ln() + c, où ln() est le logrithme népérien de Pge 4/

5 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives ) Opértions sur les primitives ) Produit pr une constnte Si l primitive de f() est F() + c, celle de k f() ser k F() + c Remrquons qu'il est inutile de multiplier le c pr k, cr k c est ussi une constnte quelconque Eemples : Primitives de : I) f() = 5 III) f() = sin() F( )=5 + c F() = - cos() + c 6 6 F =4 = 6 II) f() = 4 5 b) Somme de deu fonctions De même que l dérivée d une somme est l somme des dérivées ((u + v) = u + v ), les primitives d une somme sont les sommes des primitives on ne mettr qu'une fois le "+ c") Eemples : Primitives de : I) ² + + III) + ² + + c IV) 6 cos V) cos 4 II) 5 5 ² - sin + c 8 sin 8 7 c) Primitives et fonctions composées En prtnt de l formule générle qui donne comme dérivée de u(v()) l fonction v'() u'(v()), donc de l primitive de v' u'(v) qui est u(v) + c, on trouve les cs prticuliers importnts suivnts : Fonction f() = Primitive F() = u'( + b) u b sin( + b) cos b cos( + b) sin b u'() (u())n u n n u' n n > u n u n u ' u u u' u ln(u()) + c b ln b Pge 5/

6 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Eemples I) sin ( + ) II) 5(5 )² III) sin() cos() tn cos 5 V) 5 VI) IV) cos 5 cos 4 4 cos 5 ln d) Primitive prennt une vleur donnée en un point Soit une fonction f, dérivble sur I, un nombre de I et un réel y Théorème : Il eiste une unique fonction F qui soit primitive de f et prenne l vleur y en (c est à dire telle que F() = y) En effet, soit F l forme générle des primitives de f, soit F() = F() + c Pour trouver F telle que F() = y et F () = f(), on fit : F() = F() + c et F() = y = F () + c, donc c = y F() On ppelle 'condition initile' l condition F() = y, cr elle correspond souvent à = Eemple : F() = ² - + Trouver l primitive de f prennt l vleur 7 pour = 6 Solution : Forme générle des primitives : Prise en compte des conditions initiles : D'où le résultt finl : F(6) = c = 7 d où c = - 85 F()= + 85 F = ) Recherche de primitives ) Fisbilité On ne peut ps toujours trouver fcilement les primitives d une fonction, en prticulier qund on ffire à des produits ou des quotients Pr eemple, l fonction inverse n ps de primitive dns les fonctions que vous connissez : on ppelle cette primitive le logrithme népérien et on l étudier dns un chpitre ultérieur Prfois, on peut y rriver vec les tbleu ci-dessus, prfois ce n'est ps suffisnt Dns certins cs, on peut lors y rriver en chngent l forme de l fonction Nous llons étudier quelques cs de ce genre Pge 6/

7 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives b) Polynômes trigonométriques os cos et sin = Plus générlement, les formules de Moivre permettent de "linériser" les puissnces des sinus et cosinus, c'est à dire à fire disprître ces puissnces en utilisnt des combinisons de sin(n) et cos(n) On les formules cos = On peut donc trnsformer toutes les puissnces de cos() et sin() en sinus ou cosinus de multiples de, plus fciles à intégrer, c'est à dire qu'il est plus fcile d'en trouver les primitives Eemples : ) f() = 6sin² ) f() = 4cos4 F = sin f() = ( + cos())² = + 4 cos + cos²() f() = + 4 cos() + + cos(4) = + 4 cos() + cos(4) sin 4 F = sin 4 f() = cos() d'où Remrque : Pour les puissnces impires, on peut ussi utiliser u' u n et se servir de cos² + sin² =, d où cos²() = sin²() et sin²()= cos²() Eemple : f() = sin() + sin5() f() = sin() ( cos²()) + sin() ( cos²())² f() = sin() sin() cos²() + sin() ( cos²() + cos4()) f() = 4 sin() 7 sin() cos²() + sin() cos4() D'où cette fois l primitive : 5 7 cos ( ) cos () F( )= 4 cos ( )+ 5 c) Avec les formules du tbleu des fonctions composées Qund on peut fire pprître u' un, u' u ' u' et, on peut trouver des primitives n, u u u Eemple : Trouver les primitives des fonctions suivntes : I) f() = ( + ) (² + 6 7)² II) f() = (4 + 6) (5 + + ) III) f() = sin() cos7() 4 V) f = VI) f = 5 IV) f = F() = (4 + + )² + c cos 8 F = 8 F = 8 4 F = F = 4 F = ln 5 d) Fonctions rtionnelles Il eiste un moyen générl de trnsformer les fonctions rtionnelles de fçon à pouvoir en trouver Pge 7/

8 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives les primitives Nous ne prlerons ici que de quelques cs simples er cs : f = b c d : ( +) 7 = On ur f ( )=, soit f ()= D'où l primitive qui ser : Soir pr eemple f = F() = 7 ln( + ) + c Eemple : = = On ur f = ln ( ) + c soit On trouve donc finlement F( )= 8 Trouver l primitive de f = ème cs : F ( )= 4 ln( )+ c b d e c' d e On procède soit pr division polynomile, soit pr identifiction des numérteurs en écrivnt f() sous ses deu formes et en réduisnt u même dénominteur On dmet qu'on peut toujours mettre ce genre de fonction sous l forme f = ' b ' Le pssge à l primitive est lors possible en procédnt comme ci-dessus Eemple : = 9+ On trouve d'bord f ( )= +, + + Et on en déduit fcilement l primitive générle : Trouver l forme générle des primitives de f = F() = ² 9 + ln( + ) + c D) Une ppliction simple : l loi de l grvité et l chute d'un corps Depuis Newton, on sit que les pommes (et les urus) tombent des rbres prce qu ils sont ttirés pr l terre (l plnète, ps l humus) A une ltitude donnée, cette force induit une ccélértion constnte u objets qui tombent Comment, à prtir de cette ccélértion (ppelée g et de vleur à peu près égle à 9,8m/s² à l surfce de l terre), peut-on retrouver l formule donnnt l vitesse d un objet en chute libre? On l'ccélértion (t) = g qui vut à peu près 9,8 m/s², on voudrit trouver v(t) On sit seulement que (t) = v (t), dérivée de l vitesse v(t) Le chemin inverse de l dérivtion, trouver une fonction F dont f est l dérivée, s ppelle l recherche de primitives Pge 8/

9 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Dns le tbleu des primitives usuelles, on voit que v() = g + c On rrive donc ici à une vitesse de l forme v(t) = g t + c Cependnt, l'ccélértion est orientée vers le bs, donc pour être cohérent, on noter v(t) = - g t + c Si on connît l vitesse à l instnt t = (pr eemple une pierre qu on lâche à l instnt ), et qu on l nomme v, on ur v(t) = v - g t, puisque v() = v = + c ce qui implique c = v D'où : v t = g t v Pour remonter enfin à l'ltitude, on refit l même opértion : dns le tbleu on voit que pour une fonction de type k t, l primitive ser de l forme k t²/ + c Qunt à v(t), s primitive ser donc h(t) - g t² / + v t + c Si h est l huteur initile, on ur h() = c = h h t = g t v t h D'où : On retrouve bien ici l formule de l huteur h prcourue lors d une chute libre Remrquons que l'on n' ps tenu compte de l résistnce de l'ir, qui fit qu'un kilo de plomb tombe plus vite qu'un kilo de plumes Le même cheminement se fit courmment en physique, prce que les lois de l physique portent le plus souvent sur des dérivées de grndeurs Eemple : En électricité, vec un condensteur "prfit" on i t =C et C l cpcité du condensteur Pge 9/ du t, où u est l tension, i l'intensité dt

10 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Fiche de révision (/) : Dérivées Définition : f ()= ( f (+ h) f () df ( )=lim d h h ) Dérivées de bse : Fonction définie sur Fonction f() = Dérivée f () = Dérivée définie sur k +b n n n- = \ {} = \ {} = \ {} n n n+ = \ {} [ ; ] sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) + ln ( ) = \ {} e e Opértions sur les dérivées ] ; ] Dérivées des fonctions composées Opértion Formule de l dérivée Fonction composée Formule de l dérivée u v u ' v ' sin(u) u ' cos (u) ku ku' cos (u) u ' sin(u) uv u ' v +u v ' u b u ' b u u' u ( + b)n n( + b)n u v u' v uv ' v ( + b)n n ( + b)n+ un n u ' u n sin( + b) cos( +b) un nu ' u n+ cos ( + b) sin( +b) Dérivée d une fonction composée : Formule générle : ( u(v ( )) ) ' = v ( ) u (v ()) d'où : ( u( +b) ) ' = u ( + b) Éqution de l tngente en à l courbe de l fonction f() de dérivée f'() : y = f () ( ) + f() Pge /

11 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Fiche de révision (/) : Les primitives Primitives des fonctions usuelles f() définie sur Fonction f() = Primitive F() = F() définie sur c (vec ) n+ n+ n = \ {} vec n> n n ( n ) = \ {} ] ; ] [ ; ] cos( ) sin( ) sin( ) cos ( )+ c π π ] ; [ = (+ tn ( )) cos ( ) tn( )+ c π π ] ; [ = \ {} ln ( ) = \ {} e e Quelques primitives de fonctions composées Fonction f() = u v (u) Primitive F() = v(u) Fonction f() = v ( + b) u ' sin(u) u ' cos (u) u' u n u'() (pour n > ) (u ( ))n - cos(u) sin(u) sin( + b) cos ( +b) n+ u + c n+ ( n )(u( ))n n ( + b) (pour n > ) ( + b)n Primitive F ( )= - v ( + b) cos ( + b)+ c sin( + b)+ c ( + b)n+ ( n+) (n )( + b) n u '( ) u ( ) u( ) +b + b+ c u' () u ( ) ln (u ( )) +b ln ( + b) tn (u)+ c cos ( + b) tn( +b) u' cos (u) Pge /

12 Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Fiche de révision (/) : Rppel, signe de ² + b + c Pour étudier le signe d'une dérivée, on souvent besoin de connître ceci : Courbe et signe du polynôme du second degré f() = ² + b + c Un polynôme du second degré du type f() = ² + b + c pour signe : le signe de en dehors de ses rcines (qui sont les solutions de l éqution f() = ), et prend le signe contrire entre les rcines, u cs où elles eistent (c est à dire si Δ >) - ² + b + c ² + b + c Soit, si > : + - Si < : Schnt que si Δ <, ² + b + c est toujours du signe de Pge /

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