Cours 1 - La numération

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1 Cours - L numértion I - éfinitions I-) Expression générle L se d'un système de numértion représente le nomre d'unités d'un certin rng, nécessires pour former une unité de rng imméditement supérieur. L'ensemle B =[,,...-], soit crctères (chiffres en se ) quntifie le nomre d'unités d'un rng quelconque. Tout nomre en se s'écrit N=n m et s'exprime en se à l'ide de l se : (E-) N = n. n + n-. n m m On peut ussi l'exprimer en se à l'ide de l se : (E-) N = n.() n + n-.() n () + -.() m.() m où i est un chiffre de se positionné u rng i. n et m sont les rngs extrèmes. n> pour l prtie entière et m< pour l prtie frctionnire. est un nomre écrit en se et i exprime le poids du rng i. Remrque : () =() et d'utre prt i est compris entre inclu et () exclu. I-) Rppels : l numértion décimle. L se =, donc B =[,,...,9]. Ici N et N sont confondus. Soient quelques exemples : N =(587) =( ) =(5+8+7) N =(4,75) =( ) =(4+,7+,5) II - Système de numértion inire. II-) Expression Ce système créé pr Leinitz (7e s) utilise l se donc B=[,]. Chque nomre se présente insi : N =(,) =( ) A prtir de l'équivlence =() =(), il vient : N=(,) =( ) Numértion inire : N = n. n + n-. n m. m II-) Conversion Binire-éciml Méthode : à prtir de l'équivlence donnée ci-dessus, l conversion de N s'otient en décomposnt le nomre en une somme de termes selon l'expression (E-). Exemple : N =(,) -> N = =(4+,5+,5) =(4,75) II-) Conversion éciml-binire. Méthode : On effectue une suite de divisions successives du nomre N pr l se, les restes otenus constitunt à chque rng le crctère i du nomre N. Exemple : N = (4).

2 it le moins significtif (LSB) 4 7 it le plus significtif (MSB) Autre présenttion quotients 4 7 restes rng rng onc (4) = () Conversion pr décomposition en puissnce de (cs des petits nomres) (4) = (.6) + (.8) + (.4) +(.) (+.) = (). II-4) Cs des nomres frctionnires. Méthode : On effectue une suite de multiplictions successives de N pr l se, de l prtie frctionnire seulement, l prtie entière des résultts otenus constitunt à chque rng le crctère i du nomre N. Exemple : N = (,)., x, 6 rng - x, ->, rng - x,4 rng - x,8 rng-4 quotients (,) = (,...) Autre représenttion mul x,,6,,4,8 prties entières rng - rng -4 etc... Remrque : cette conversion ne s'rrête ps cr dns l représenttion inire, on ne peut exprimer exctement tous les nomres frctionnires de N. Il fut donc se limiter à un formt en respectnt l précision décimle souhitée (ex -5 ). II-5) Précision frctionnire. Pour un nomre donné en se, vec une précision de -n près, on effectue une conversion inire telle que l'unité du rng du dernier chiffre otenu soit égle ou inférieure à celle du dernier rng donné en se. onc pour l se :. -m. -n log -m log -n Soit m n/log = n., Prenons un exemple. Soit (,) à -4 près. m 4., soit,8, c'est à dire 4 chiffres près l virgule. En inire : (,) = (,). II-6) Utilistion pour l longueur de conversion décimle-inire. Ce résultt peut être utilisé dns l détermintion du formt du nomre inire équivlent (occuption et longueur des registres inires). En effet, si N une longueur de n chiffres et si N une longueur de m chiffres, pour des nomres entiers on : m, n Exemples : () = () n= m=6 m/n= (5) = () n= m=9 m/n= (64) = () n= m=7 m/n=,5 ns ce dernier cs, le registre inire ser de longueur directement supérieure à (. n)

3 III - Autres systèmes de numértions. III-) Système de numértion octle. L se est =8 et l'ensemle B 8 = [,,,...7]. Il y équivlence entre : =8 = 8 =() et 8 n = n Expression : N 8 =(57) 8 =( )8 ou encore : N 8 =(65,4) 8 =( ) Conversion : à prtir des reltions d'équivlence ci-dessus donne (587) pour le premier et (8,55) pour le deuxième. Conversion décimle octle : L méthode est nlogue à celle employée pour l conversion décimle inire. On pourr ussi utiliser des tles de conversion. Exemple : Nomre entier div 8 (587) (587) =(57) 8 Nomre frctionnire x8,8 6,64 6 5, 5,96 7,68 7 (,8) = (,657) 8 Remrque : ) cette se qui est une puissnce de n'utilise souvent ps plus de chiffres qu'en déciml. ) L précision frctionnire est ici m n/log 8 =,.n III-) Système de numértion hexdécimle. L se est =6 et l'ensemle B =[,,...9,A,B,C,,E,F]. Chque lettre une équivlence décimle (voir tleu). Expression : Reltions d'équivlence : =6 = 6 = 8 =() et 6 n = 4n N 6 =(6AF) H = ( A. 6 +F. 6 ) N 6 = (B5,) H = (B ). Conversion hexdéciml-déciml : Une première méthode consiste à utiliser l'expression (E-). On trouve insi (587) et (8,7) pour les nomres proposés ci-dessus. Numértion hexdécimle : N = n.6 n + n-.6 n m.6 m Une deuxième méthode consiste à utiliser un tleu de conversion permettnt une rpidité de clcul insi qu'une simplifiction de celui-ci. Exemple : (A7F) H = (A F) H = ( ) = (4855).

4 Nomres entiers hexdécimux A B C E F 4 E 4 64 FF C F4 E8 FFF Equivlents en se nomres frctionnires hexdécimux,,,,4,5,6,7,8,9,a,b,c,,e,f,fff FFF... Equivlents en se,65,5,875,5,5,75,475,5,565,65,6875,75,85,875,975, Conversion décimle hexdécimle : l méthode est toujours l même, mis il fut convertir les restes des divisions ou les prties entières des produits en hexdéciml lorsqu'ils sont compris entre et 5. Exemple : Nomre entier F 6 A 6 N = (6AF) 6 6 Nomre frctionnire x 6 O, 66,, 56 A 8, , 6 F 5, 76 5 N = (,A8F5) 6 6 Une utre méthode consiste à utiliser le tleu de conversion. N = (587) = ( ) N 6 = ( ) 6 = (6AF) 6 l'ddition est fite ici en hexdéciml. On peut ussi psser pr le inire. Remrques : ) L se étnt ussi une puissnce de mis qui ne nécessite cependnt utnt ou moins de crctères que l se dix pour l même quntité d'unités. 4

5 ) L précision frctionnire est m n/log 6 =,8.n. ns l'exemple (,66) est à - près m,66 donc N 6 = (,A9) 6 III-) Conversions entre systèmes de numértion (, 8 ou 6). N 8 -> N 6 On remplce chque crctère de rng i de N 8 pr son équivlent inire. Exemple : (,76) 8 = (, ). N 6 -> N même méthode. Exemple : (A8) 6 = ( ). N -> N 8 On remplce chque groupe de its pr son équivlent octl. Exemple : (, ) = (5,64) 8. N -> N 6 même méthode mis pr groupe de 4 its de N. Exemple : (, ) = (7A,9C) H. Applictions : Ces conversions entre systèmes servent à : - écrire sous forme condensée des mots de 8, 6 et its dns les progrmmes, - convertir rpidement les nomres décimux en inire (pssge pr N 6 ou N 8 ), - effectuer des opértions. HEXAECIMAL ----> ECIMAL A A A A B C E F B C E F B C E F B C E F 4 5 ECIMAL ---> HEXAECIMAL E 75 9C4 C5 EA E8 7 BB8 FA B58 F C8 C 9 F4 58 BC A 4 E 8 C A 5

6 IV - Exercices. ) Trouver le nomre représenté pr ces ouliers. Les écrire dns leur se et en se. oules utilisées ) On dénomre en se des éléments d'un ensemle. Ces nomres écrits en se sont notés N. ns quelle se sont-ils écrits? Soit 9 éléments ----> N = () ---> se =? Soit 7 éléments ---> N = (44) ---> se =? ) On compte en se un ensemle de chussures. Le nomre de pires est : N = (5). Le nomre de chussures est : N = (74). écouvrir dns quelle se s'est fit le dénomrement et quel est le nomre de chussures exprimé en se. 4) Etude de conversions : * Exprimer N, N, N 8 pour N 6 = (ABC) 6 ; () 6 ; (A7F) 6 ; (F6,B8) 6 ; (,BF) 6. * Exprimer N, N 6, N 8 pour N = 5 ; 9 ; 5 ; 465 ;,. * Exprimer N pour N 8 = (476) 8 ; (5,) 8 ; (,7) 8. 6

7 Cours - Représenttion des nomres. Un nomre est représenté en formt fixe pr l chiffres dns s se. Il s'écrit donc : N = n n-... vec l = n+. L quntité de nomres de l chiffres qu'il est possile de représenter s'ppelle : l cpcité de représenttion. C'est : C = N mx + représenttion du zéro soit C=N mx + = l et en exprimnt l (le formt) : l=log C=Ln(C)/Ln() (ser rrondie à l vleur supérieure) Soient quelques exemples : - L longueur des mots inires étnt l=, quelle est l cpcité de représenttion C? C= =48 (=K) - uelle doit être l longueur d'un mot inire pour voir une cpcité de représenttion C=64 kilo? = l=ln(c)/ln() soit 5,9 its => l=6 its. - Si C = Még, quelle doit être l longueur des mots inires écrits en se 6 (hexdéciml)? =6, l=5,8 soit l=6 crctères hex (ou octets). I - Représenttion des entiers positifs. L'ensemle des entiers positifs donnés en formt fixe est N=[,,,,...,Nmx]. S représenttion circulire est : Nmx. Pour une cpcité de représenttion C donnée.... l'utilistion de l'opértion INC (incrémenttion. de +) est possile. Mis on constte que Nmx + =. Cl signifie que pour le formt considéré, il y dépssement. Celui-ci étnt mrqué pr EC INC un indicteur V= (Overflow) - ns l'utilistion de l'opértion EC (décrémenter), on remrque que - = Nmx. Il fut lors prendre en compte l retenue dns l'opértion suivnte (C=, Crry). Exercice : Montrer que pour l=8 en inire l somme de A=6 (soit A H ) et de B=7 (soit 7F H ) est et V=. II - Représenttion des entiers reltifs. L'ensemle des entiers reltifs donnés en formt fixe est : N = [-Nmx,...,-,,,...,+Nmx]. Il est donc nécessire de coder le signe lgérique. Pour cel, plusieurs représenttions sont possiles. II-) représenttion pr it de signe et vleur solue. Si le nomre s'écrit N = (s n-... ) lors s représente le signe et n-... l vleur solue. Le it d'ordre n est lors réservé u signe et vut si s signe - et si s signe +. Représenttion circulire : 7

8 ... Nmx... < > Cette représenttion : -nécessite un tritement sépré du signe et de l vleur solue dns les opértions rithmétiques, -possède deux représenttions du zéro : - = + = - - +Nmx Exemples : Si =, l=8 => C=56. (+) = () = () H (-) = () = (8) H +N mx = () = (7F) H = (+7) -N mx = () = (FF) H = (-7) II-) Représenttion pr le complément restreint de N (complément à ). ns cette représenttion, le signe est trité vec l vleur. Il est cependnt représenté pr le it de poids fort. Le complément restreint C R N = ( l -) - N vec ( l -) plus grnd nomre que l'on puisse représenter vec le formt de l its. Il s'otient donc en inversnt chque it de N sns oulier le it de poids fort (signe). onc -N s'écrit N Représenttion circulire : Exemple : Si l=8 et = C=56. Alors Nmx=(7) =(7F) H Si B =75, lors -75=C R B=55-75=8 et A = ns ce cs A-B=(-75)=+8, c'est égl à 55+5=5 résultt positif. (-75) =() ;(-75) =() =/N < > +Nmx Nmx Remrques : - Il y deux représenttions du zéro + : () H et - (FF) H. - les instructions INC et EC ne sont ps utilisles prtout. - Connître le signe d'un résultt est prfois complexe : pr exemple, (-75) =(8), (-5) = () (-75-5)=(8+)=(4) =(55+55)=55 (>7) d'où 55-55=()=>(-). II-) Représenttion pr le complément vri de N (complément à deux). On le définit comme étnt l vleur : C v N = ( l ) -N = C R N + 8

9 Il s'otient donc en joutnt u complément restreint. Le premier it reste toujours le it de signe. Représenttion circulire... - EC < INC >... onc -N s'écrit N + Le demi-cercle s'otient (pour les nomres négtifs) en déclnt (INC) d'un ps de fçon à superposer + et -. Il y donc un seul zéro et il est possile d'utiliser les opérteurs INC et EC. Nmx- +Nmx Exemples de représenttion Vleur lgérique décimle Bit de signe et vleur solue Exemples : N = 75 -> () N = -75 -> () Représenttion des nomres pr : Complément restreint Complément vri =5 lecture directe du résultt le résultt est en complément à deux : 56- =5 Remrques : ) Pour effectuer une soustrction, il suffit de fire une ddition vec le complément à deux. Le résultt se lit directement en complément à deux : - si le signe est + l lecture est directe, - si le signe est - on convertit le résultt en recherchnt le complément à deux de celui-ci. 9

10 ) Il existe une utre méthode pour otenir le complément vri. On exmine le nomre inire en commençnt pr le it de poids file. On conserve les zéros s'il y en jusque et y compris le premier rencontré. On complémente ensuite les utres its. III - Représenttion des nomres frctionnires. L sitution de l virgule dns les nomres frctionnires se fit sur des conventions suivnt s position à l'intérieur de celui-ci. Elle n'est cependnt ps représentée. III - ) Virgule plcée à un rng fixe quelconque. ns cette convention, l virgule est plcée de fçon immule. Exemple de représenttion : (l=8) position conventionnelle de l virgule signe prtie entière Prtie frctionnire Exemples : (+4,75) = +(,) -> () (-7,5) = -(,) -> () =C v N (le complément vri est pris sur tous les its) (+) = +() -> () (+,5) = +(,) -> () Remrque : ns cette convention, il existe des limites ux dimensions des prties entière et frctionnire (ici 5 et its). 'utre prt, on n'utilise ps dns certins cs les its significtifs. III - ) virgule située à droite du dernier rng. ns cette convention, on rmène tous les nomres frctionnires à des entiers en les multiplint pr ( ) n, c'est à dire n. Représenttion (l=9) position conventionnelle de l virgule Signe nomre entier otenu fcteur de cdrge C Le ut de cette convention est de ne conserver que l prtie significtive du nomre. Afin de pouvoir fire l lecture de celui-ci, il est nécessire d'ssocier à ce nomre un fcteur de cdrge (d'échelle) qui n'est utre que c = n (+, - ou ). Exemples : (représenttion sur 8 its) -(+4,75) = +(,) =(.() - ) -->() et C=-. Cel signifie que l virgule réelle se trouve rngs à guche de l virgule conventionnelle. - (+8) = () = (. ) -->() et C= : virgule réelle rngs à droite. - (-,656) --> (+,656) = (,) = (. -6 ) donc --> () ; il vient : (-,656) --> () et C=-6 : virgule six rngs à guche. Remrque : Le fcteur de cdrge peut être modifié pour conserver certins its significtifs.

11 III-) Virgule située à droite du it de signe. ns cette convention, on rmène tous les nomres frctionnires à un nomre frctionnire inférieur à un (,...) en les multiplint pr n ( n ). Représenttion (l=8) position conventionnelle de l virgule Signe Nomre frctionnire otenu fcteur de cdrge C Le fcteur de cdrge est choisi tel que le premier it derrière l virgule soit. Exemples : - (+4,75) = (,) = (,. 4 ) -->() et C=4. L virgule est située 4 rngs à droite de l virgule conventionnelle. - (+8) = () = (,. 9 ) -->() et C=9. l virgule est u 9 rng à droite. -(-,5) --> (+,5) = (,) = (,. - ) donc --> () et C=-. (-,5) --> () c'est à dire (,. - ) pour l prtie frctionnire qui se normlise pr : () et C'=C-=- (nouveu fcteur de cdrge). L virgule est ici plcée rngs à guche de l virgule conventionnelle. Remrque : ns cette convention, on peut modifier, si c'est nécessire, le fcteur de cdrge fin d'utiliser u mieux tous les its significtifs. On dit lors que l'on trville en virgule flottnte III-4) Norme ANSI IEEE stndrd 754 pour l représenttion des réels. III-4-) Simple précision. S signe E exposnt iisé (8 its) M mntisse ( its) type flot du lngge C (compilteur 6 it sur IBM PC). vleur : (-) sign x,m...m x (E-7) III-4-) oule précision. 6 S signe E exposnt iisé ( its) 5 M mntisse (5 its) type doule du lngge C. vleur : (-) sign x,m 5...M x (E-) IV - Exercices. ) ns un micro-ordinteur une vrile entière simple est représentée sur octets. uelle est l cpcité de représenttion? ) Représenter en inire sur 8 its les nomres (+98) et (-98) dns les trois conventions de représenttion. Les écrire en hexdéciml.

12 ) Une clcultrice trville en inire sur un formt de its vec l convention du complément vri et donne ses résultts en hexdéciml. uelles sont en se les nomres équivlents ux résultts suivnts : (B46) 6 ; (7F) 6 ; (FF8) 6. 4) A prtir des conventions des nomres entiers et frctionnires, donner les représenttions inire et hexdécimle dns un formt de 8 its, des nomres +(48,65) puis -(48,65) représentés pr le complément vri. 5) -- Pour un système de numértion dns l se de l chiffres de longueur, quelle est l cpcité de représenttion. -- le coût de l représenttion est environ : p=.l ; pour une cpcité C donnée, quelle est l se de représenttion l moins coûteuse? -c- comprer pr rpport à cette se théorique le coût de l se, puis, 4,, 6, pour une cpcité de ) Pour effectuer des opértions rithmétiques, on utilise l méthode du complément vri sur des nomres de chiffres s'écrivnt. )Le formt étnt donné, est un nomre dont l'écriture est comprise entre et 99. Si C V N = - N, le signe du nomre N dépend de. Si (> ou =)5 lors N< ; si <5 N>. Représenter de - à + les nomres signés. uelles sont les vleurs de -Nmx et + Nmx. ) Effectuer 7+ ; 7- ; -7 ; --7. Expliquer vos résultts. c) Effectuer 4-5 ; -48;-5-;5-5. 7) Si on effectue l'ddition de nomres signés N et N de signes respectifs s et s, le résultt possède un signe s. A prtir des étts ou des vriles s,s et s, donner l'étt du clcul schnt qu'il y 8 cominisons possiles. Etts possiles : signe réel du résultt : positif N=, négtif N= éordement V= Il y ur donc deux vriles d'étt N et V = f(s,s,s). onner les équtions de N et V. Proposer un schém à NANs.

13 Cours - Les Codes I - éfinitions Un code inire est une convention permettnt de trduire une donnée quelconque en une grndeur ne comportnt que des et des. Il dpte le lngge humin u lngge de l mchine électronique et inversement. L numérottion inire, ien connue, est un code permettnt de trnsformer les nomres décimux en nomres inires et inversement : c'est le code inire nturel (CBN). Il convient pour effectuer des opértions rithmétiques sur des nomres à se, mis on peut voir à prtiquer sur des nomres d'utres opértions (mise en mémoire, comptge, trnsmission), et dns ce cs, le code inire nturel n'est ps forcément le meilleur procédé à utiliser. On peut ussi voir à triter des données quelconques utres que des nomres (lettres de l'lphet, ordre de télécommnde...). L numértion inire est lors crrément impossile. On devr donc utiliser des codes prticuliers, insi que des opértions permettnt de psser d'un code à l'utre. données (utilisteur clvier ) grndeur inire code grndeur inire codge > trnscodge > décodge > grndeur inire grndeur inire code lngge compréhensile à l'utilisteur (visu...) Exemple : Télécommnde d'une mquette de teu. On dispose de 4 commndes : mrche vnt, âord, mrche rrière, triord. Pour simplifier le système de télécommnde, on choisit de n'utiliser que its pour trnsmettre les ordres à l mquette. codge en code A o o o o c d trnscodge en code B décodge AV AR B T clvier c d x y M SM G SG M= moteur rrêt AV X M= moteur mrche AR X G= gouvernil centre B X G= âord/triord T X SG : sens gouvernil En sence d'ordre AV ou AR : M= B ou T : G= x y voie de trnsmission SM M SG G } } sens moteur gouvernil II - ifférents types de codes Il existe un certin nomre de codes qui possèdent chcun leurs prticulrités et qui correspondent à une ppliction précise.

14 - codes rithmétiques qui permettent de fire les clculs : codes pondérés, codes décimux, codes uto-complémentés. - codes lphnumériques qui n'ont ucune propriété rithmétique mis qui servent à représenter des lettres, des chiffres, des signes typogrphiques. Code télégrphique interntionl ASCII (Americn Stndrd Code for Informtion Interchnge). - codes de position mécnique {code djcent sns régime trnsitoire prsite } - codes de trnsmission codes détecteurs d'erreur, codes utocorrecteurs. II-) Codes rithmétiques * codes pondérés : chque it de ces codes représente un poids dont l'équivlent en se de chque cominison est donné pr l somme des poids de tous les its de l cominison égux à. Chcune des cominisons à un équivlent déciml, supérieur d'une unité à celui de l cominison précédente. * codes décimux : ce sont des codes à cominisons représentnts les chiffres décimux. Ils comportent u moins 4 its et ils sont pr conséquent redondnts (toutes les cominisons inires ne sont ps utilisées). Exemple : déciml code inire nturel 84 (poids) éciml Code Binire (CB) plutôt ppelé Binry Coded eciml (BC) (poids) Non codé Non codé Non codé Non codé 4 Non codé 5 Non codé Les codes décimux servent à l'ffichge ou à l'impression des nomres. Pour entrer ou sortir en mchine un nomre déciml, on le trnscode en pssnt pr le code BC. (7) >( ) BC > () L'rithmétique en code BC est compliquée (voir ddition plus loin dns le poly). II-) Codes de position : (réfléchis ou reflex) Une position ngulire thêt nlogique est trnsformée en grndeur numérique u moyen d'un disque codé lié à l pièce dont on veut repérer le mouvement. Le disque est divisé en p couronnes correspondnt à p its et repérnt insi p positions ; chque couronne présente des prties soit opques et trnsprentes (lecture optique) soit conductrices et isolntes (lecture électrique). A chque position du disque correspond lors un nomre inire. 4

15 prtie trnsprente 4 5 prtie opque photo cpteur GRAY 6 Le numéro inire correspondnt ne peut être que ou soit 5 ou BINAIRE NATUREL 6 On peut ien sûr coder insi un déplcement linéire vec une plque formée de pistes prllèles. Le code le plus utilisé est le code Gry. Il existe ussi des codes (BR. BR xs ) où les chiffres décimux sont codés séprément et juxtposés (code qui se prête mieux à l'ffichge). ns ces codes, un seul it chnge d'étt à l fois qund on psse d'une cominison à l suivnte, de fçon à limiter les erreurs. En inire nturel on otient ou ou ou soit 4 ou 5 ou 6 ou 7. éciml Gry Bin. ec. Refl. BR xs Ces codes ne sont ps pondérés. Ils sont cycliques si un seul it chnge d'étt entre l dernière cominison et l première. (Les codeurs ngulires sont oligtoirement cycliques). II-) Codes détecteurs ns l trnsmission d'une grndeur numérique peuvent se glisser des erreurs ( trnsformé en ou en ) quelque soit le moyen de trnsmission (nde mgnétique, crte perforée, procédés optiques) S'il peut se produire une erreur sur un it (proilité d'erreur p : ex / ; p = -4 ), il est eucoup plus rre que deux erreurs se produisent simultnément (proilité p ). En prtnt de ce principe, on utiliser pour trnsmettre les données, des codes dont toutes les cominisons ont une crctéristique commune : - chque cominison ne comprend pr exemple que its égux à un et tous les utres à zéro. - chque cominison contient un nomre pir de. Les cominisons reçues qui n'ont ps cette crctéristique n'pprtiennent ps u code et sont donc erronées. Ces codes sont tous redondnts. Exemples : code " prmi 5 " code BC + it de prité 5

16 déciml, pondéré (suf ) On joute cinquième it de telle sorte redondnce : que chque cominison contienne un ( cominisons. utiles) nomre pir de poids 84 poids (dernière colonne : it de prité) Soit à trnsmettre (4) dns les codes précédents : (4) (4) uel que soit le it sur lequel se produit l'erreur, l cominison n'pprtient ps u code. Erreur sur Nre de Nomre de impir impir impir impir impir erreur sur A l réception du code, on vérifie l prité. Si elle est correcte le mot est vlidé. (Voir TP : codeur de Hmming). Codes utocorrecteurs : und on sit qu'on une erreur dns un mot, il est intéressnt de l locliser pour pouvoir l corriger : il suffit lors d'inverser le it futif). On otient insi une trnsmission prfite. On construit ces codes en joutnt ux its d'informtions des its de "contrôle". II-4)Codes lphnumériques : Ils n'ont ucune propriété rithmétique mis ils servent à coder des chiffres, des lettres et des signes. On trville pr comprison et non pr clcul. Exemple : code télégrphique interntionl N 5 (dit code ASCII) Chque symole y est représenté pr 8 its (dont de prité) précédés d'un signl de déut (START) et d'un signl de fin (STOP). START STOP 9,9 ms symole x9,9 ms 9,9ms Prité Ce code est utilisé pr les réseux informtiques ssurnt les connexions entre les ordinteurs et les orgnes périphériques (clviers, visu., imprimntes). 6

17 Le Bud étnt l'inverse de l durée d'un signl élémentire, le code ASCII fonctionne à une vitesse de /,99 = uds. III - Exercice Construire un code déciml pondéré 64. 7

18 Cours 4 : Le lngge ABEL I - Le lngge ABEL (spécifictions) I-) Crctères vlides -z lettres minuscules A - Z lettres mjuscules - 9 chiffres <espce> # $? + * ( ) - _ = [ { } ] ; : ' " + ` ~ \, < >. / ^ % I-) Identificteurs Ce sont des noms qui identifient les composnts, les roches les signux d'entrée et de sortie... Il peuvent voir jusqu'à crctères de long. Il existe comme dns tout lngge des identificteurs réservés ou mots-clefs : cse goto property declrtions if stte device in (osolete) stte_digrm else istype test_vectors enle (osolete) lirry then end mcro title endcse module trce endwith node truth_tle equtions options when flg (osolete) pin with fuses I-) Constntes Constntes description.c. entrée d'horloge s-hut-s (monostle).. front descendnt d'une entrée horloge.f. signl d'entrée ou de sortie flottnt.k. entrée d'horloge hut-s-hut (monostle).p. préchrgement dns un registre.svn n vrint de à 9. Commnde l'entrée pour une tension de à 9.U. front d'horloge montnt.x. vleur indéterminée à clculer.z. vleur trois étt. I-4) Blocs Ce sont des crctères ASCII se trouvnt entre des ccoldes : { ceci est un loc } I-5) Commentires Les commentires commencent pr des guillemets et finissent soit pr des utres guillemets soit pr une fin de ligne. I-6) Nomres Toutes les opértions en ABEL invoqunt des vleurs numériques sont fites vec une précision de its. Nom de l se se symole inry ^ octl 8 ^o 8

19 deciml ^d (pr défut) hexdeciml 6 ^h I-7) Chînes de crctères Les chînes de crctères sont des crctères ASCII entourés pr des postrophes : 'ceci est une chîne' I-8) Opérteurs expressions et équtions Les opérteurs logiques sont : Opérteur description priorité! non ou complément à et # ou $ ou exclusif!$ identité (non ou exclusif) Les opérteurs rithmétiques peuvent permettre de définir des opértions rithmétiques entre plusieurs memres d'une expression. Opérteur exemple description priorité - -A négtion ou complément à deux - A-B soustrction + A+B ddition * A*B multipliction / A/B division entière non signée % A%B reste de l division (opérteur modulo) << A<<B déclge guche de A de B its >> A>>B déclge droit de A de B its. Les opérteurs reltionnels sont : opérteur description priorité == églité 4!= différent 4 < inférieur 4 <= inférieur ou égl 4 > supérieur 4 >= supérieur ou égl 4 Les opérteurs d'ffecttion sont de deux sortes : = ffecttion comintoire := ffecttion séquentielle. Tous les opérteurs sont ssocitifs guche-droite. On peut utiliser des prenthèses pour chnger l priorité. I-9) Les ensemles Une ensemle est une collection de signux et constntes qui opèrent comme un seul. Un ensemle est représenté comme une liste de signux et constntes séprées pr des virgules et entourés pr des crochets. [B7,B6,B5,B4,B,B,B,B] est un ensemle de huit signux. On peut réliser des opértions sur les ensemles à condition qu'ils ient le même nomre d'éléments. Exemples : Addr = [A5,A4,A]; "déclrtion d'ensemle (A est considéré comme le poids file) chip_sel = Addr==[,,]; est équivlent à chip_sel=a5!a4 A ou chip_sel = Addr==5; Il existe une déclrtion simplifiée lorsque les roches sont numérotées : Addr = [5..] déclre 6 entrées de à 5. I-) L structure de progrmme 9

20 MULE OPTIONS Module source Options '-trce wve' Title 'Exemple de fichier source pr truc much eclrtions dev EVICE 'p6r4' ; in, in, in, clk pin ; ll, none, other pin istype 'reg' ; out = [ll, none, 'eclrtion completed' Equtions out.clk = clk; none := in in in ; other := (in!in in) # (in!in in) # (in!in!in) # (!in in in) # (!in in!in) # (!in!in in) ; Test_Vectors ([in, in, in, clk] -> [ll, none, other]) [,,,.c.] -> [,, ]; [,,,.c.] -> [,, ]; [,,,.c.] -> [,, ]; [,,,.c.] -> [,, ]; [,,,.c.] -> [,, ]; End source Le module donne un nom u module et indique si des rguments sont utilisés. FICHIER SOURCE ABEL-HL EN les options contrôlent l compiltion du fichier source utilisnt les options de l ligne de commnde On finit le module vec cette directive. TITRE Le titre peut être utilisé pour donner un titre ou une description du module ECLARATIONS Les déclrtions ssocient des noms vec des circuits des roches des noeuds des constntes des mcros et des ensemles. IRECTIVES Les directives permettent des mnipultions vncées du fichier source et du compilteur et peut être plcée n'importe où c'est utile dns le fichier. EUATIONS Vous pouvez utiliser Equtions Stte_igrms, des Truth_Tles pour decrire une conception logique TEST_VECTORS Les vecteurs de tests sont utilisés en simultion pour s'ssurer que le trvil de conception est conforme à ce qu'on en ttend I-) Les points extensions Il s'git de mettre un crctère point suivi d'une extension qui une significtion déterminée. On donne quelques unes de ces extensions pour l scule l scule RS et l scule JK ci-près. Celles de l Ltch et de l scule T ne seront ps détillées.

21 .OE.OE.CLK.FB.CLK.FB.PIN.PIN Point-extensions dns une rchitecture inversée Point-extensions dns une rchitecture non inversée.oe.re..clk.pr..pin RESET PRESET Point-extensions détillées Pour une rchitecture en scule.oe.oe.ar.ar CLEAR.R R.J J.CLK.CLK.S S.K K PRE.AP.AP...PIN.PIN CLEAR PRE Point-extensions détillées Pour une rchitecture en scule RS Point-extensions détillées Pour une rchitecture en scule JK I-) Les mcros es exemples seront plus prlnt qu'un grnd discours. Nnd MACRO (A,B,C) {!(?A?B?C)} ; s'utilise comme : = Nnd(Clock,Helle,Busy) ; syntxe : id_mcro MACRO [(rg_fux [,rg_fux]...)] { loc } ; Remrque : une mcro dns un lngge est toujours du remplcement de texte pr du texte (et ceci vnt l compiltion). Cel des conséquences sur les priorités. Pr exemple : Y mcro { B # C } lors X = A Y s'interpréter A B # C donc (A B) # C (ce qui peut surprendre!) II) Applictions Nous donnons un ensemle de progrmmes destinés à l compréhension des notions que nous venons d'exposer.

22 II-) Pssge tle de vérité -> équtions L compiltion de ce fichier exo.l que l'on vous demnde de réliser donne : out = ( B C #!A B ) que l'on interprète comme : out = B. C + A. B _ " : est le déut d'un commentire qui se termine en fin de ligne istype 'com' : signifie sortie comintoire II-) Simultion Notre ut est de comprendre comment sont interprétées les lignes de l tle de vérité non spécifiées. Nous vons entrées, il devrit donc y voir 8 spécifictions (8 = ). L prtie test_vectors est destinée à l simultion : on lui demnde de simuler le résultt pour toutes les possiilités sur les entrées (8 lignes) et le.x. signifie qu'on lui demnde de clculer l sortie. Il est possile de mettre des ou des à l plce des.x. pour vérifier un résultt. II-) Introduction des équtions logiques On progrmme mintennt directement des équtions logiques vec les opérteurs : NON :! (priorité ) ET : (priorité ) OU : # (priorité ) OU EXCLUSIF : $ (priorité ) IENTITE :!$ (priorité ) ffecttion comintoire : = Une compiltion pourr simplifier ces équtions. II-4) Plusieurs sorties. Nous vons mélioré notre mnière de progrmmer de différentes mnières : définition de nom : X et Xs spécifiction d'une entrée pr des chiffres en se. On peut fire de même pour les sorties et on peut ussi chnger de se vec ^h (hexdéciml), ^ (inire), ^o (octl), ^d (déciml). Les vecteurs tests peuvent ussi être spécifiés vec des chiffres. MOULE EXO title 'exercice pr LeProf' "entrées A,B,C pin; "sortie out pin istype 'com'; truth_tle ( [A, B, C] -> out) [,, ] -> ; [,, ] -> ; [,, ] -> ; [,, ] -> ; end MOULE EXO title 'exercice ' A,B,C pin; "entrées out pin istype 'com'; "sortie truth_tle ( [A, B, C] -> out) [,, ] -> ; [,, ] -> ; [,, ] -> ; [,, ] -> ; test_vectors ( [A, B, C] ->out) [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; end MOULE EXO4 title 'exercice 4' A,B,C pin; "entrées out pin istype 'com'; "sortie equtions out =!ABC # ABC; test_vectors ( [A, B, C] ->out) [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; end MOULE EXO5 title 'exercice 5' A,B,C pin; "entrées out,out pin istype 'com'; "sortie truth_tle ( [A, B, C] -> [out, out]) -> [, ]; "entrées spécifiées -> [, ]; "pr des chiffres 4 -> [, ]; " en se 7 -> [, ]; test_vectors ( [A, B, C] ->[out, out]) [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; [,, ] ->.X.; " joutez vos vecteurs tests ici [,, ] ->.X.; end II-5) Méthode SI-ALORS (voir T 5)

23 T - Logique et lgère de Boole. L logique utilise les lois de l'lgère de Boole, philosophe et mthémticien nglis (85-864). L'lgère de Boole est pplicle à l'étude des systèmes inires, c'est à dire possédnt deux étts s'exclunt mutuellement : c'est le cs des circuits logiques, se des systèmes numériques. L'étude de ces systèmes (nlyse et synthèse des mchines numériques) est l'ojectif premier de ce cours. I - éfinitions. - Les étts logiques sont représentés pr {,} ou pr une réponse en tout ou rien {FALSE,TRUE} - Une vrile ooléene (ou vrile logique) est une grndeur, représentée pr un symole qui peut prendre les vleurs et suivnt certines conditions. - Une fonction logique est représentée pr des groupes de vriles reliées pr des opérteurs logiques : il existe trois opérteurs élémentires (réunion : OU (OR), intersection : ET (AN), complément : NON (NOT) ). Les vriles de sortie sont fonction des vriles d'entrée et sont ooléenes, nous prlerons de logique comintoire. F y= F(,) entrées fonction sortie y=. > y= + ET OU NON y= II - Représenttion des fonctions logiques - Tle de vérité : Une fonction logique ser définie pr s tle de vérité. C'est un tleu comportnt les vleurs des vriles d'entrée et fisnt correspondre celle de l fonction (vrile de sortie).elle donne tous les cs de sitution d'entrée. Pour éviter les oulis, les cominisons des vleurs logiques sont données dns l'ordre inire (Code Binire Nturel). eux fonctions qui ont l même tle de vérité sont identiques. - igrmme de Wenn : Chque vriles logiques divisent l'espce en deux sous-espces :celui où l vrile est vrie () et son complément, celui où elle est fusse ().Ce type de digrmme ser peu employé. - igrmme de Krnugh : c'est un tleu dérivnt du digrmme de Wenn et de l tle de vérité. Chque ligne de l tle de vérité est représentée pr une cse dont les coordonnées (lignes, colonne) sont des cominisons de vriles d'entrée. y Tle de vérité igrmme de Wenn y y=f(,) y=. igrmme de Krnugh Tleu de Krnugh - Logigrmmes : ce sont des schéms logiques représentnt les fonctions désirées, ils utilisent des opérteurs élémentires (ET, OU, NON, ET-NON, OU-NON, OU-EXCLUSIF), ils sont rélisles physiquement vec des circuits électriques, électroniques ou pneumtiques plus ou moins complexes, c'est l concrétistion des mchines numériques.

24 - Chronogrmmes : ce sont des grphiques représentnt l'évolution des vriles d'entrée et de sortie (signux logiques) en fonction du temps. L onne interpréttion de ces signux est fondmentle pour le technicien qui disposer d'un oscilloscope à l mise u point du montge. y=. y=. fem y y t t t Logigrmme schém électrique chronogrmmes III - Fonctions élémentires.,, y pprtiennent à {,},y=f(,) III-) Fonction d'une vrile - Fonction identité ou OUI : y= y y= y= y CE(,) - Fonction complément ou NON : y = / (se lit " rre") (noté y=! en lngge ABEL) (noté le plus souvent vec une rre pr dessus _ ) y - Fonction vri: y= quelque soit. y y= y= y y = y= ex: défut u +Vcc - Fonction fux: y= quelque soit. (les deux fonctions vri et fux existent dns les circuits progrmmles UAL, cr elles ont un sens en rithmétique). ex: défut à l msse y y= y= III-) Fonction de deux vriles : f(,) y - Fonction OU: ("ddition" logique, réunion) y= + = U = V (y=# en ABEL) y E y y = + à compléter en cours: - élément neutre + = pour =: pour =: > y y 4

25 - élément sornt + = - idempotence + = - complément + / = - commuttivité + = - Fonction ET: ("produit" logique, intersection) y=. (y = en ABEL) y=a B=A B y y y y y E y =. - élément neutre. = pour =: pour =: - élément sornt. = - idempotence. = - complément. / = - commuttivité. = - Fonction OU-NON : (NOR) (NI) (y =!(#) en ABEL) y = + =. y y y > y y E - Fonction ET-NON : (NAN) (ON) (y =!() en ABEL) y =. = + y y y E y y Les opérteurs OU-NON et ET-NON sont très importnts, cr ce sont des opérteurs complets, ils permettent l synthèse de toutes les fonctions à eux seuls, ce n'est ps le cs du ET ni du OU. - Fonction OU-EXCLUSIF : (X-OR) y = (y = $ en ABEL) y = /. +./ =( + ).(/ + /) y v vient y E y = y y Le OU-EXCLUSIF joue un rôle très importnt en rithmétique ( / dditionneur). - Fonction IENTITE : c'est le complément du OU-EXCLUSIF, son emploi en temps qu'opérteur est rre. Il est noté y =!$ en lngge ABEL. 5

26 y y E y =/./ +. = (/+).(+/) y = v vient y = y y - Les 6 fonctions à vriles d'entrée: y=f(,) (voir T) :,,, /,, /,., /.,./, /./, +, /+, +/, /+/,, /( ) IV - Exercice : les 6 fonctions F(,) vriles Intersection (ET) Non ilemmes d'entrées n K Expression F Complément /F symole Ansi Equivlent d'près /F symole normlisé vriles Réunion (OU) Oui Permnent d'entrées n K Expression F Complément /F symole Ansi Equivlent d'près /F symole normlisé 6

27 T - Les fonctions Booléennes. Le ut ultime de l logique est de mtériliser à l'ide de composnts des fonctions ooléennes. Avnt d'pprendre à le fire, il nous fut pprendre à mnipuler ces fonctions. I - éfinitions. Une fonction ooléenne est une fonction qui à un ensemle de vriles d'entrées ooléennes fit correspondre une vrile ooléenne. Elle se représente en générl comme une ssocition de sommes (ou logique ou conjonction) et de produits (et logique ou disjonction). Si l'expression est une somme de produits, l forme est dite disjonctive. Pr exemple : /..d+./+.c (noté! d #! # c en lngge ABEL) Si l'expression est un produit de sommes, le forme est dite conjonctive. Pr exemple : (/+c+/d).(+).(/c+d) (noté (!#c#!d)(#)(!c#d) en ABEL) Une fonction ooléenne est dite sous forme normle ou cnonique si chque terme contient toutes les vriles. /././c+..c+./.c : est sous forme normle disjonctive, (/+/+/c).(++c).(/++c) : est sous forme normle conjonctive. Lorsqu'une fonction ooléenne n'est ps sous forme normle, elle est dite sous s forme simplifiée. II - Les représenttions. II-) Tle de vérité. Cette représenttion été définie précédemment, elle suffit à définir complètement l fonction à réliser. Si nous ne définissons que les cs où l fonction est vrie, implicitement les cominisons mnquntes seront celles où l fonction est fusse et réciproquement. Pour les esoins d'un utomtisme une tle peut ne ps être complète, les cominisons non utilisées pourront être remplcées pr ou u choix du concepteur en vue d'une meilleure simplifiction. Ces cs seront repérés pr l lettre phi (φ) ou pr l lettre X. c Remrque : En lngge ABEL une tle de vérité s'écrit comme ci-contre. Il s'git ici d'une fonction de vriles d'entrées A, B et C et d'une vrile de sortie : out. n f y y y y y4 y5 y6 y7 f= y+y+y+y6+y7 f={,,,6,7} f={,4,5} truth_tle ( [A, B, C] -> out) [,, ] -> ; [,, ] -> ; [,, ] -> ; [,, ] -> ; n=c =.+.+c.4 II -) Représenttion numérique. 7

28 Si nous ffectons à chque vriles un poids inire, nous effectuerons l réunion des cominisons où F=, nous écrirons F = {,,,6,7}, nous pouvons ussi définir le complément /F = {,4,5}. II-) Chngement de représenttion. * Lecture des de l tle de vérité: nous otenons l première forme cnonique. Cette présenttion de l'éqution est ien dptée à l synthèse vec des ET/OU ou des ET-Non. f= y+y+y+y6+y7 f= c.. + c.. + c.. + c.. + c.. * Lecture des de l tle de vérité : nous otenons l deuxième forme cnonique. Cette présenttion de l'éqution est ien dptée à l synthèse à OU/ET ou OU-Non. f={,4,5} f=y+y4+y5 f=y+y4+y5 =y.y4.y5 f = c... c... c.. f=(c++).(c++).(c++) III - Exercices. ) onnez les expressions ooléennes représentées pr : x u S S y v c z w S > c S x y z S u v w S c S4 c Ecrire ensuite ces expressions en utilisnt l syntxe ABEL. S5 c S6 Hors T ) Exprimer les équtions suivntes sous l forme cnonique disjonctive (somme de produits) : y = +, y =..c + /. ) Même question, mis sous forme conjonctive (produit de somme) : y = ++/./.c, y4 = (++c).(/+). Indiction : on peut utiliser les zéros de l tle de vérité. 4 ) Soient les trois fonctions ooléennes : F = (/.+./)./c + (/./+.).c F =./ +./c + c./ +..c F = (++c).(++/c).(+/+/c).(+/+c).(/++c).(/+/+c). ) Ecrire les tles de vérité correspondntes (dont une vec l syntxe ABEL). ) Ecrire ces fonctions sous formes cnoniques disjonctives et conjonctives. c) onner les représenttions numériques de ces fonctions. 8

29 T - Simplifiction des fonctions logiques. Les formes cnoniques ne sont ps dptées à l synthèse directe des fonctions, seules quelques technologies (réseux progrmmles,... ) utilisent ces présenttions. Il fut simplifier ces fonctions pour en otenir une forme minimle et donc minimiser les coûts de production. Pour simplifier une expression, il existe des méthodes lgériques et des méthodes grphiques. I - Tleux de Krnugh. L'emploi de ce tleu est possile jusqu'à six vriles, u delà il ne reste que les méthodes lgériques, c'est un outil puissnt et c'est souvent le plus rpide. f y y y y vriles:4 cses c f y y y y y4 y5 y6 y7.. y y. y. y. c y y y y y4 y5 y7 y6 vriles:_8 cses d c f y y y y y4 y5 y6 y7 y8 y9 ya yb yc y ye yf d.c. y y y y y4 y5 y7 y6 yc y yf ye y8 y9 yb ya 4 vriles:6 cses Appliqué à l'expression f=+./c, cel donne le résultt ci-contre. L simplifiction s'opère de l fçon suivnte : - Fire des regroupements de cses les plus grnds possiles (intersections premières) - Réunir ces intersections en ne conservnt que ceux qui sont indispensles (éliminer les consensus). c f. c f={,,,6,7} f= +.c Le résultt est sous l forme de somme de produit, cr nous vons porté notre risonnement sur les. Si nous trvillons sur les, nous trvillons vec le complément de f, pr l complémenttion du résultt et l'emploi de e Morgn, le résultt ser sous l forme d'une somme de produit. Le choix d'une des deux méthodes dépend du nomre de et de dns le tleu. Les regroupement de cses ne peuvent se fire que si l'djcence lgérique existe, ces cses doivent être en ligne ou en crré. 9

30 Exemple : f(,,c) ={,4,5,7} solution pr les : f=(,7)+(5,7)+(4,5) (5,7)est redondnt (consensus) f =. + c. solution pr les : f =. +.c c. L'expression est iforme en, le groupe (5,7) est ien le consensus de. f =. +.c =...c = (+).(+c) résolution lgérique : f(,,c) = {,4,5,7} =..c +..c +..c +..c f =..(c+c) +.c.(+) =. +.c = (+).(+c) Exercice : soit f(,,c,d) = {,6,E} défini pr les et f = {5,} défini pr les, le reste n'est ps déterminé. Représentez le tleu de Krnugh, résoudre pr les et pr les. d c f. d.c II - Méthodes lgériques. II-) Emploi des théorèmes de l'lgère de Boole : Le tleu ci-dessous résume les principux théorèmes de l'lgère de Boole que l'on utiliser cette nnée. En résumé et à retenir : ) ET ) OU ) Elément neutre.= += ) Elément sornt.= += ) Idempotence.= += 4) Complément./= +/= 5) Commuttivité.=. +=+ 6) Associtivité.(.c)=(.).c=..c +(+c)=(+)+c=++c 7) istriutivité.(+c)=.+.c +(.c)=(+).(+c)

31 8) Reltions diverses.(+)=.(/+)=../(+)=./(.)=./ 9) e Morgn /(.)=/+/.=/(/+/) +(.)= +(/.)=+ +/(.)= +/(+)=+/ /(+)=/./ +=/(/./) ) Fonction iforme.+/.c=(+c).(/+) (+).(/+c)=.c+/. ) Consensus.+/.c+.c=.+/.c (+).(/+c).(+c)=(+).(/+c) ) Consensus générlisé.+/.c+.c.d=.+/.c (+).(/+c).(+c+d)=(+).(/+c) dulité Il est importnt de remrquer l dulité entre le OU et le ET, en trnsposnt les ET vec les OU et les vec les. Exercice : vérifiez chque reltion sur un Tleu de Krnugh ou lgériquement. istriutivité, éliminer les redondnces, emploi judicieux de e Morgn, consensus, fonction iforme crrée, djonction d'élément neutres et mise en fcteur, tenir compte éventuellement de l nture des portes servnt à l rélistion,..., voir T. II-) Méthode du consensus Il fut prendre tour à tour chque vrile, rechercher ses consensus s'ils existent, nous pouvons supprimer les termes contennt ces consensus. Le résultt finl est l'pprition d'intersections premières,...voir T. III - Exercices. ) Vérifiez vec les tleux de Krnugh les théorèmes de distriutivité. ) Simplifiez : y= _..c +.c + (+).c _ y =.c +.c +. + y = (./+c)(+/).c y4 = (.c+./c).(+/c). y5 = (!#!)(#!!) ) Complémentez puis simplifiez : A =. +.c+.c B = c _. d _ + _. _ + c. d _ +. _ HORS T y6 =..c +.. c _ + _.. c _ +. _.c y7=././c +../c +..c +../c

32 T4 - Rélistion des circuits. Selon les technologies électroniques (TTL,CMOS, ECL,...), nous rencontrerons plus fréquemment des ET-Non ou des OU-Non, cr une version peut être plus fcile à réliser, ou ien elle peut être plus rpide. 'utre prt, les montges sont souvent très complexes et doivent réliser de grnde quntité d'opértions en une seconde ; il est donc nécessire d'économiser le nomre des fonctions et d'méliorer si possile l rpidité. Selon les technologies l rpidité de résolution d'une porte vrie de quelques ns à quelques ns, l mise en prtique des technologies rpides est difficile. Notre ojectif est de résoudre de fçon optimle les schéms. I - Synthèse vec l structure ET/OU. Après simplifiction lgérique ou pr Krnugh, l fonction doit être mise sous forme de somme de produit (ps nécessirement cnonique). Les schéms insi otenus possèdent u mximum trois couches de circuits. Cel est importnt pour minimliser le temps de propgtion. synthèse à ET/OU. c y=.+c.d+e.f.g c.d d e f g e.f.g couches synthèse à ET/OU c d e f g. c.d e.f.g > couches y=.+c.d+e.f.g II - Synthèse à ET-Non. L structure précédente mène nturellement à celle à ET-Non. Le théorême de e Morgn permet cette trnsformtion. Le montge reste constitué de trois couches. synthèse à ET-Non u v w y > u v w y = u + v + w = u.v.w e Morgn y c d e f g. c.d e.f.g couches y=. + c.d +e.f.g

33 REMARUE : Il est importnt de psser pr une forme " somme de produit " simplifiée, ps nécessirement cnonique (cr ps simplifiée). Il ne fut ps prtir d'une expression quelconque et chercher à supprimer les OU pr un emploi usif de e Morgn. y=. +.c + d y =... c. d y=.(+c)+d éqution type somme de produits construction ET-Non emploi systémtique de E Morgn pour supprimer les OU y =.( + c). d y =. (. c). d y c c d d 4 couches 4portes ( ou entrées) 4 couches 6 portes ( entrées) y OUI NON III - Portes ET-Non limitées pr le nomre d'entrée. Lorsqu'on choisit un circuit intégré, il comporte plusieurs portes du même type (ex. en TTL :le 74 possède 4 portes à deux entrées). Prfois, il n'est plus possile de réliser l synthèse en trois couches, on trviller lors sur des groupes de termes égux u nomre d'entrée des portes choisies. portes ET-Non à entrées: d entrées entrées y =. +. c + d = (. +. c). (d) c ( ).( ) ( ).( ).( ) y = ((. ). (. c)). (d) 4 couches 6 portes à entrées y IV - Synthèse vec l structure OU/ET. C'est l méthode dule de celle à ET/OU. Aprés simplifiction lgérique ou pr Krnugh, l fonction doit être mise sous forme de produit de somme (ps nécessirement cnonique). Les schéms insi otenus possèdent u mximum trois couches de circuits. Cel est importnt pour minimliser le temps de propgtion. c d e f g synthèse à OU/ET > > > y=( + + c).(d + e).( f + g) couches y V - Synthèse à OU-Non. L structure précédente mène nturellement à celle à OU-Non. Le théorème de e Morgn permet cette trnsformtion. Le montge reste constitué de trois couches.

34 synthèse à OU-Non u y u y v v > w w y = u. v. w = u + v + w e Morgn c d e f g > > > y = ( + + c).(d + e). (f + g) y > couches y=.( + c.d) REMARUE : Il est importnt de psser pr une forme "produit de somme" simplifiée, ps nécessirement cnonique (cr ps simplifiée). Il ne fut ps prtir d'une expression quelconque et chercher à supprimer les ET pr un emploi usif de e Morgn. éqution type produit de somme emploi systémtique de e Morgn construction OU-Non pour supprimer les ET y =. ( + c.d) = + ( + c.d) y=.(+ c.d)=.(+c).(+d) y = + ( + c + d) > > > > > > 4 couches 4 couches 4 portes ( ou entrées) 6 portes ( entrées) OUI NON VI - Portes OU-Non limitées pr le nomre d'entrée Lorsqu'on choisit un circuit intégré, il comporte plusieurs portes du même type (ex. en TTL :le 74 possède 4 portes à deux entrées). Prfois, il n'est plus possile de réliser l synthèse en trois couches, on trviller lors sur des groupes de termes égux u nomre d'entrée des portes choisies. portes OU-Non à entrées : y =. ( + c.d) = () +(+ c.d) y = () + (() +(c.d)) y = () + (() + ((c)+(d))) c d > 4 couches 6 portes ( entrées) > > y VII - Optimistions 4

35 Optimistion des fonctions à ET-Non c mettre en commun des termes y c z c mettre en commun des ET-Non en utilisnt. =.. ex : z =. +..c = c (théorème 8-4) z c c Optimistion des fonctions à OU-Non > > mettre en commun des termes > y w fire ppritre un ET-Non c w =. +. c =. ( + c) =..c > > z c c mettre en commun des ET-Non en utilisnt + = + + ex : z = (+).(++c) = (+ + ).( c) (théorème 8-4) > > > > > w z > > w fire ppritre un ET-Non w = ( + ).( + c) = + (. c) =+ +c c > > w c > VIII - Exercices ) Elorez les schéms à ET-Non puis à OU-Non en couches mxi. et optimum en n. de portes : solution : : y=.(+c) : y=. + /c : y= /. +.c 4: y= /. +./ 5: y= ((/+).(+c) +.c).(++c) 6: y= /../c +./.c 7: y=!(c# d) 8: y= (!#!)(c#d) 9: y= /. +./.c :y=.(/+/c) + /.c :y= /A.E + A.E (multiplexeur) :y=./ +.c +./c :y= /. +./ +.c 4:y=./c +./c 5:y= (/+).(+/) ET-Non OU-Non Vcc ) Rélisez vec des ET-Non à entrées seulement: : : : y=. +.c + c.d y=..c y= ++c Gnd TTL: 74 (rochge ci-dessus) cmos: 4(utre rochge) 5

36 T 5 - Méthode du SI-ALORS. Nous vons ppris jusqu'à présent à simplifier, et à réliser de mnière mtérielle les fonctions logiques. Mlheureusement, dns les prolèmes concrets, les fonctions logiques ne sont ps souvent données directement pr des équtions logiques. Nous llons donc mintennt exminer comment psser d'un chier des chrges à des fonctions logiques. I - Présenttion du tleu SI-ALORS I-) Tle de vérité Nous vons déjà eu l'occsion de prler des tles de vérité. Ici, nous llons nous contenter de remrquer qu'une tle de vérité peut être vue sous un utre ngle. Pr exemple écrire : s peut s'interpréter : SI = et = ALORS s= SI = et = ALORS s= Nous concluons : une tle de vérité est équivlente à une éqution ooléenne, une tle de vérité est équivlente à une liste de conditions SI... ALORS... Nous nous demndons : Si nous ppelons une tle de vérité un tleu dns lequel ne figurent que des uns et zéros, est-il possile d'inventer un tleu dns lequel figurent des uns, des zéros et des vriles? I-) Tleu SI-ALORS Un tleu SI-ALORS ser un tleu composé de deux prties : une prtie condition (SI) et une prtie conclusion (ALORS). L prtie conditions pourr être composée pr des équtions ooléennes quelconques ynt comme vriles les entrées (et les entrées seulement), mis pour simplifier nous prendrons pr l suite cette prtie comme celle d'une tle de vérité c'est à dire ne comportnt que des uns et zéros. L prtie conclusion ser composée d'équtions ooléennes simples (du genre s=) ou sorties en fonction des entrées. 'utre prt lorsqu'ucune spécifiction n'est fite pour certines entrées, il ser supposé que l sortie est lors nulle, suf dns le cs où l sortie est spécifiée à zéro. Exemple : SI ALORS Soit un circuit comprennt comme entrée e et e et comme sortie s. e e s Une éqution SI pourrit être e=e, une éqution ALORS pourrit être s=. (On suppose nturellement que si l condition n'est ps vérifiée l sortie ser s=) 'un tleu SI-ALORS, il est toujours possile de trouver une éqution ooléenne. onner ici une méthode systémtique pour psser d'un tleu SI-ALORS à une éqution ooléenne serit trop long et fstidieux. Nous llons plutôt donner les exemples les plus cournts que l'on rencontrer pr l suite. II - Exemples Les entrées seront notées e, e,... ei et l sortie s. Les exemples générliseront l tle de vérité pr ordre de difficulté croissnte. SI ALORS (les = ne sont ps écrits pr simplifiction) Eqution logique (E.L.) e e s SI e.e lors s donne s=e.e (Si l condition n'est ps vérifiée s=) 6