Algorithmique pour la conversion par approximation de courbes de Bézier degré élevé : Le modèle de rationnelle

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1 CIMA4 UM 3 Nov Dec 4 Algortmque pour la coverso par approxmato de courbes de ézer degré élevé : Le modèle de ratoelle Fard ASMA*, Idr ELAIDI*, Kamal MOHAMMEDI*, Guy ISCHIOMIN**, Moad Oulad CHALLALI *Laboratore LMMC, Equpe Productque, Uversté de oumerdès,, 35 (Algére) drbelad@yaoofr ** Laboratore LMSP-ENSAM CER-Pars 5 oulevard de l Hôptal Pars (Frace) Abstract: Potetal CADCAM applcatos of approxmate coverso of degree élévated curves ad surfaces may be umerous, but ts requer te mproved algortms To ts effect, we troduce ts paper developpemets of effcets algortms to covert degree elevated ézer ratoal curves, wc caractersed by a mmal approxmato error, reduced tme of calculatos ad restrcted umber of sple curves esdes, tey offer a sutable flexblty by model trasformatos, wtout sopstcated calculatos Te verse algortm for degree elevato of ezer curves ad te mmsato of te square orm te este polyomals bass are used for te degree reducto process, wc s resolved by varable separato strategy order to evod te use of olear metodes Keywords: ratoal ezer curves, approxmate coverso, degree reasg, subdvso, geometrc cotuty Itroducto Le développemet de métodes de coverso par approxmato de courbes et surfaces de ézer de degré élevé a suscté durat ces deux derères décees u tel egouemet qu se ustfe asémet par les multples applcatos potetelles evsageables e CFAO L écage de doées etre deux etreprses utlsat des systèmes de CFAO étérogèes et/ou au se même d ue etreprse dsposat de deux ou pluseurs systèmes de CFAO de degrés et de modèles dfférets [8], [9], [4],[5], [9], s mpose pour des rasos teccoécoomques évdetes et requert écessaremet ue réducto ou ue élévato de degré des ettés géométrques écagées La possblté de modfcato locale et l augmetato de la flexblté das le «desg» lors de la pase de costructo de courbes et surfaces de ézer de formes complexes, la smplfcato de la complexté géométrque des ettés terveat lors des pases de cocepto et de géérato des traectores d outls (stablté des calculs umérques, smplfcato des calculs d tersectos surfaces/surfaces et des maulatos fograpques, compatblté outl-pèce), et ef la recostructo de surfaces à partr d u réseau de pots ssus d ue dgtalsato, sot autat d autres applcatos potetelles e CFAO [],[3] La premère métode de coverso des courbes de ézer a été déà trodute par Forrest e 97 [], [3] avat que Far [], Watks et Worsey [9], Hoscek [4], [5], [6], esala [5], Peterso [7], pus Eck [8], [9], [], ruett [7] et Pegl [5] e proposet des algortmes de coverso par approxmato plus ou mos performates, mas accusat toutefos certaes lacues tels que : écessté d utlsato de métodes o léares produsat des temps de calcul relatvemet mportats, coeffcet de réducto fxé à pror [4], [5], [6], dffculté de respecter des ordres de cotutés géométrques aux raccordemets sas grad effort de calcul [5], [9], [8], [9], [], trop grad ombre de subdvsos des ettés rédutes et passage d u modèle à u autre écesstat des calculs souvet sopstqués [5], [9] Das cet artcle, ous trodusos les développemets d u algortme de coverso de courbes de ézers ratoelles de degré élevé, qu est e fat ue exteso de l algortme de coverso par approxmato des courbes de ézers o ratoelles, préseté das [], [] Le processus de réducto de degré est basé sur le prcpe verse de l algortme d élévato de degré [5], [8], [9], [],

2 CIMA4 UM 3 Nov Dec 4 [], [], [3], [9] et la mmsato de la orme carrée das la base des polyômes de erste [4], [5], [6] L orgalté de otre démarce résde das la stratége de séparato des varables qu permet d évter l utlsato de métodes o léares pour la résolutos des systèmes d équatos tels que recotrés das Hoscek [4], [5], [6], syoyme de réducto des temps de calcul, as que la stratége de subdvso adoptée, mmsat le ombre de segmets des ettés équvaletes Prcpe de la coverso par approxmato A l star des développemet trodut das [], [], le processus de coverso par approxmato s effectue e deux étapes, à savor la réducto de degré d ue courbe mère de degré élevé e ue courbe équvalete de degré féreur, moyeat ue erreur d approxmato que le costructeur peut maîtrser e mposat à pror ue tolérace (au pot, aux tagetes, aux courbures) Le respect de cette tolérace prescrte dut u processus de subdvsos successves de la courbe mère e deux ou pluseurs courbes équvaletes de degré plus fable Subdvso Ue courbe de ézer ratoelle C () t, de degré, défe par ses ( + ) pôles { P }, cargées par les pods { w }, peut être subdvsée au pot de valeur paramétrque t e deux courbes de ézer ratoelles R () t et () t, de même degré et ayat le pot commu R ( t ) C( t) (fgure ) L expresso de l équato des carges est doée d après [] [5] par l expresso: wr(t) r c est-à-dre : w +, r (t) wr r + (t) (t)wr (t) + tw (t) () L algortme de récurrece pour les courbes de ézer ratoelles s écrt alors : wr(t) wr(t) (t) (t) C r (t) t Cr + + (t) w r(t) w (t) + () Cr r avec : () () C t P ; w t w Le polygoe { R } et ses carges { α } défssat la courbe R ( t) ) et le polygoe { } ses carges { } et recercés sot alors calculés de faço récursve par les relatos : R C (t ) ; α w (t);,, C(t ) ; w (t);,, où les C q p (t) et w q p (t ) sot obteus respectvemet à partr des équatos () et () w,75 α,88 α,94 α 3,94 α w α 4,94 w,5,96,98 α 5,96 w 3,5,3 w 4,5 Fgure : Courbe de ézer ratoelle de degré 5 (de pods w) subdvsée e deux courbes ratoelles de degré 5 (de pods α et k )b Réducto de degré A partr des relatos exprmat l élévato dedegré d ue courbe de ézer ratoelle de degré [], [], [8] et par aaloge au rasoemet adopté pour la réducto de degré des courbes de ézer o ratoelles [], [], ous pouvos détermer les pôles coues R et les S et leurs carges respectves de pods α et, as: Pour :,, R + + α w P R (3a) + + α α + α w α (4a) Pour :,, S + w + + P S (3b) + w + (4b) 5 w 5 4,5 3,3

3 CIMA4 UM 3 Nov Dec 4 L expresso du polygoe moye (Fgure ) doat l approxmato de Far [], pour le cas ratoel devet alors : α µ µ R S (5a) µ α (5b) P 6 5 P - Détermato des pods fluat sur la cotuté géométrque Cosdéros pour cela ue courbe de ézer ratoelle de degré, de carges w, exprméé par : P(t) P G,(t) que l o se propose de rédure e ue courbe de ézer ratoelle de degré ( ), de carges Ψ e respectat la cotuté C α- (t) G,(t ) P P 3 P 5 4 où :, G,(t), (t)w, (t)w P 4 sot les foctos de erste ratoelles P 3 3 Détermato des pôles et des carges fluat sur la cotuté géométrque : Fgure : Courbe de ézer ratoelle de degré 6 rédute au degré 5 par la métode du polygoe moye W{,,8,5,8,,}; W {,34,56,56,34,} 3 Algortme de réducto de degré La métode de réducto proposée se base sur l approxmato au ses des modres carrés qu pose pour les courbes ratoelles u problème o léare à résoudre, dépedammet de l ordre de cotuté géométrque à respecter Nous adoptos de ce fat la même stratége de séparato des varables que pour la coverso par approxmato des courbes de ézer o ratoelles, ce qu ous permet d aboutr à u systèmes d équatos léare à résoudre La démarce se déroule alors e tros étapes: Par aaloge au cas o ratoel, pour respecter ue cotuté géométrque C α-, l sufft de predre les α premers pôles R (3a) et les α premères carges α (4a) as que les? derers pôles S (4b) et les α derères carges (4b) de l'algortme de Forrest [] Nous obteos alors : P et Ψ w Pour :,,, α w (6a) w P (7a) - Détermato séparée des pôles et de leurs pods pour évter l approxmato o léare due au modèle o ratoel, - Détermato séparée des pôles fluat sur la cotuté géométrque pour évter la résoluto d équatos o léares mposées par l ordre de cotuté à respecter, - P et Ψ - w Pour:,,, α + w (6b)

4 CIMA4 UM 3 Nov Dec 4 w P 3 Détermato des carges restates (7b) Les courbes ratoelles état ue gééralsato des courbes o ratoelles obteue par trasformato proectve, o peut cosdérer les deux foctos suvates: w (t) w,(t) (8a) (t), (t) (8b) Ψ (t) état ue approxmato de degré ( ) de la focto scalare w () t de degré L approxmato au ses des modres carrés revet à mmser la focto δ exprmée par: A b E posat : γ,,,, α w γ α b le système () se ramèe alors à : α α b 33 Détermato des pôles termédares : () (3) (4) (5) (6) δ [ ] avec : w e (9) ( ) e w t () L serto de (8a) et de (8b) das (9) doe alors : e w,, U développemet aalogque au cas o ratoel, des codtos :, permet d obter: La mmsato de la focto δ défe par la relato suvate : δ [ ] P e (7) avec : e PG, G, et u développemet des codtos : pour α, α -,, - α - permet d aboutr à l expresso :, ( e) c est-à-dre : δ e () Ce qu permet d aboutr à u système d équatos d ordre (- α), de la forme : G, L serto de (8) das : δ ( e ) e, (8)

5 CIMA4 UM 3 Nov Dec 4 permet d écrre : δ e G, (9) Ce qu doe le système fal suvat à résoudre: P G, Μ G α α α α ( t )G, ( t ) G, G, ( t ), ( t )G, ( t ) G, ( t )G, ( t ) () Il s agt doc d u système d équatos d ordre (-α de la forme : U v E posat : ρ G, G, () () - P et - w,,, α + w P w Pour α, α+,,α Pour α, α+,,α α Résoudre le système : b α α Résoudre le système : σ v α L applcato successve de cette procédure produt as ue réducto d u degré à u autre degré m< (Fg3) σ G, G, (3) P 8 6 α P ρ σ σ α v le système () s écrt falemet: α α (4) σ v (5) La procédure algortmque se ramèe alors aux étapes de tratemet suvates: P et w,,, α P P P 3 P 4 P 4 P 5 P6 5 Fgure 3 : Courbe de ézer ratoelle de degré 8 rédute au degré 6, avec respect de C w{,,8,,5,,8,,}, w {,7,4,,4,7,} 4 Algortme de coverso Les résultats de l applcato de l algortme de sub-réducto sot llustrés par les 4,5 et 6 P 7 w w P

6 CIMA4 UM 3 Nov Dec 4 Fgure 5 : Courbe de ézer ratoelle de degré 8 coverte e 3 courbes de degré 6 pour ue cotuté d ordre 3 et ue tolérace de posto mposée de mm ε d approxmato mmale produte est proce de celle obteue avec d autres métodes (Forrest [], [3], Watks et Worsey [9], esala [5], et Hoscek [4], [5], [6] pour des temps de calcul relatvemet plus réduts, car évtat le recours à l utlsato des métodes o léares pour la résoluto du problème d approxmato E outre, le respect des toléraces géométrques prescrtes (au pot, à la taget et à la courbure) pour u ombre mmal de courbes compostes équvaletes de degré plus fable, la flexblté offerte lors du passage d u degré élevé vers u degré quelcoque plus fable m, l asace et la faclté de passage aux courbes - sple et aux surfaces de ézer sas calculs sopstqués, représetet autat de proprétés apprécables que présete l algortme par rapport à la proposto de Eck (Eck [8], []) qu reste ue référece apprécable du pot de vue temps et précso 6 Référeces Fgure 5 : Varato de l erreur de posto de la courbe de ézer ratoelle coverte de la Fgure 4 κ Fgure 6 : Varato des courbures de la courbe de ézer ratoelle coverte de la Fgure 4 5 Cocluso A l star des performaces de l algortme pour le cas des courbes o ratoelles exposé das [], l algortme proposé das cet artcle se caractérse par ue mse e œuvre formatque relatvemet facle et écesstat peu d espace mémore; l erreur t t [] Asma F «Métodes de réducto de degré des courbes de ézer Etude comparatve et Applcato à l'écage de doées etre systèmes de CFAO», Mémore de Magster ; Uversté de oumerdès (Algére), Jul999 [] elad I, Asma F, Isom G, «Réducto de degré des courbes de ézers o ratoelles Applcato potetelles e CFAO», 5 ème Cogrès Fraças de Mécaque - CFM -, Nacy (Frace), [3] elad I, «Réducto de degré des courbes de ézer ualté d équvalece e relato avec des paramètres d usage», Tèse de Doctorat, LMS- ENSAM, CER de Pars, 998 [4] elad I, Isom G, «crtères d équvaleces géométrques e relato avec des paramètres d usage», er Colloque Iteratoal sur la Productque, UMMTO (Algére) et INI de elfort (Frace), ma 998 [5] esala S, «Equvalece et algortmque des trasformatos das les modèles matématques pour la cocepto et la fabrcato assstées par ordateur des courbes et des surfaces», Tèse de doctorat, ENSAM, 99 [7] ruett G, ScHreber T, rau J, Te geometry of optmal degree reducto of ézer curves, Computer Aded Geometrc Desg, Vol3, pp , 996 [8] Eck M, Degree reducto of ézer curves Computer Aded Geometrc Desg, Vol, pp37-5, 993 [9] Eck M, Hadefeld J, A stepwse algortm for covertg -Sples, Curves ad surfaces

7 CIMA4 UM 3 Nov Dec 4 JPLauret Edto, Le Méauté ad LLScumacer, pp3-38, 994bb [] Eck M, Least squares degree reducto of ézer curves, Computer Aded Desg, Vol7, pp845-85, 995 [] FARIN G, Algortms for ratoal ezer curves, Computer Aded Desg, Vol5, N, pp73-77, 995 [3] Forrest A, Iteractve terpolato ad approxmato by ézer polyomals, Computer Aded Desg, Vol, N 9, pp57-537, 99 [4] Hoscek J, «Approxmate coverso of sple curves», Computer Aded Géometrc Desg, Vol4, pp59-66, 987 [5] Hoscek J, Itrsec parametrsato for approxmato, Computer Aded Geometrc Desg, Vol5, pp7-3, 988 [6] Hoscek J, Exact approxmate coverso of sple curves ad sple surfaces, Computato of Curves ad Surfaces, WDame et al Edtos, Kluwer, Neterlads, pp73-6, 99 [7] Peterso J, «Degree reducto of ezer curves», Computer Aded Desg, Vol3, N 6, pp46-46, 99 [8] Pegl L, Tller W, Software egeerg approac to degree elevato of -sple curves, Computer Aded Desg, Vol6, N, pp7-8, 994 [9] Watks, MA, Worsey AJ, Degree reducto of ézer curves, Computer Aded Desg, Vol, N 7, pp398-45, 988 Pseudo-codes des algortmes de coverso par approxmato des courbes ratoelles de ézer de degré élevé