THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PARIS XII VAL DE MARNE PRÉSENTÉE ET SOUTENUE PUBLIQUEMENT LE 03 JUILLET 2006 PAR : Diane BOROJÉNI

Transcription

1 THÈSE DE DOTOAT DE L UVESTÉ AS X VAL DE MAE ÉSETÉE ET SOUTEUE UBLQUEMET LE JULLET A : De BOOJÉ OU L OBTETO DU GADE DE DOTEU E SEES SÉALTÉ: MATHÉMATQUE ET OBOTQUE MODÉLSATO ÉMATQUE ET DYAMQUE DES SYSTÈMES OLY-ATULÉS À HAÎES OUVETES OU FEMÉES. AS DES OBOTS AALLÈLES. omposo du ur : résde : M. Wsm Khll, rofesseur à l Ecole erle de es pporeurs : M. Je-Gu Foe, rofesseur à l ES de Bourges M. Kouder cer M'Srd, rofesseur à l EUM e l Uversé d A-Mrselle Emeurs : M. Amr F, Dreceur de recherche, ASA s Je ropulso Loror, lfor sue of Techolog M. Krm Dou, Dreceur de hèse, Uversé rs X M. Georges Fred, o-dreceur de hèse, Uversé rs X

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3 À rof. der Agh, vec mes respecs e m grude

4 «L ossce es le prmoe de l'humé, ms ul e l reço s'l e l recherche vrme.» der Agh «L ossce s'cquer pr l'epérece, ou le rese 'es que de l'formo.» Aler Ese

5 «L ossce es le prmoe de l'humé, ms ul e l reço s'l e l recherche vrme.» der Agh «L ossce s'cquer pr l'epérece, ou le rese 'es que de l'formo.» Aler Ese

6 emercemes Je remerce respecueuseme Moseur le rofesseur der Agh pour so ecourgeme e so soue dur oues les ées de prépro de m hèse. Mes remercemes scères vo à mo dreceur de hèse, Moseur le Doceur Krm Dou, s qu à mo co-dreceur de hèse, Moseur le Doceur Georges Fred, qu m o ccuell u se du lorore LSS de l Uversé rs X e qu, mlgré mes olgos e Allemge, m o offer l chce de poursuvre m hèse à dsce. Je les remerce pour leurs cosels, leurs ecourgemes, leurs omreu coups de m, leur cofce, ou ce pr quo ls o su oreer mes recherches. Qu ls rouve c l epresso de m profode grude. Mes respecs e m grude vo égleme u memres de mo ur Moseur le Doceur Amr F, Messeurs les rofesseurs Je-Gu Foe, Wsm Khll e cer M Srd, qu m o f l hoeur de uger ce rvl e ve pour cers de for lo e qu ous, pr leur dspolé, leurs oservos e leurs rppors m o perms de l erchr. Je e peu couer ss eprmer oue m grude e mes remercemes à ous les memres du lorore vec qu eu à rvller e e prculer u Messeurs les rofesseurs Yce Amr e Je ou. Je erme pr remercer mes pres, mo mr, mes frères e m soeur qu m o soueu, ccuell e ecourgé ped ces derères ées. D. Boroé, rs le Julle

7 ésumé L compleé des rchecures des roos prllèles red souve les modèles éls dpés à ue commde dmque sous l core emps réel. ee core mplque ue opmso de l compleé des clculs des modèles cémque e dmque, d où l érê de prllélser les clculs pour les effecuer sur u ssème mul-processeurs. ee prllélso éé redue possle pr le développeme d ue ouvelle pproche. L pproche proposée es sée sur u formlsme glol. L eeso de ce formlsme éé rélsée sur des roos prllèles. E cosdér le roo prllèle comme ue eé composée de pluseurs roos sérels rspor ue chrge commue, cee pproche f ressorr ue epresso fcorsée de l mrce Jcoee cémque s que de l mrce erelle eprmée ds l espce rculre e opéroel. Elle perme e oure ue erpréo phsque de l cémque du mpuleur, e eprm l mrce Jcoee du roo prllèle comme l somme de l Jcoee d u segme cosdéré comme ouver, vec u erme correcf rdus l fermeure de l chîe cémque. es fcorsos représee les ses pour le développeme d lgorhmes prllèles, e vue d ue mplo sur ue rchecure formque de pe mul-processeurs. Mos clés : oos prllèles, rllélso, Modélso cémque e dmque, Mrce Jcoee cémque, Mrce erelle, Espce rculre e opéroel. Asrc Archecure of prllel roos s so comple h ofe mkes he eslshed models pplcle o rel me dmc corol. The rel me cosr mples opmo of he compuol comple of he kemc d dmc models. Therefore he eres s o prllelse clculos order o mpleme hem o mul-processor ssem. Ths prllelo s mde possle roducg ew pproch. The proposed pproch s sed o glol formlsm. The eeso of hs formlsm s performed for prllel roos. osderg he prllel roo s e composed of severl serl roos movg commo lod, he fcored epressos of he kemc Jco d er mrces epressed o d operol spce, re deermed. Ths pproch llows moreover phscl erpreo of he kemcs of he mpulor, epressg he Jco mr of he prllel roo s he sum of he Jco of segme cosdered s opeed, wh correcve erm represeg he closg of he kemc ch. These fcoros prese he se for developg prllel lgorhms wh he m of fuure mplemeo o mul-processors rchecure. Kewords : rllel oos, rllelo, Kemc d Dmc Modelg, Kemc Jco Mr, er Mr, Jo d Operol Spce.

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9 Tles des Mères ATE. TODUTO GÉÉALE... ATE. ÉLMAES... OMELATUE.... rmères lés u segmes e u rculos.... Qués sples.... Qués gloles (défes pour à )... OTATOS GÉÉALES... OTATOS OU DÉE U OBOT AALLÈLE... V OLUSO... ATE. MODÉLSATO ÉMATQUE DES OBOTS À AHTETUE AALLÈLE... TODUTO... MODÉLSATO GÉOMÉTQUE VESE... 7 JAOBEE ÉMATQUE VESE... 7 V EXESSO FATOSÉE DE LA MATE JAOBEE ÉMATQUE... 8 V ALATO AU OBOT... V. L descrpo du roo... V. Modèle géomérque... V... Le modèle géomérque verse... 7 V... Le modèle géomérque drece... 7 V. Le modèle cémque verse... 8 V. Déermo des mrces Π du roo... 9 V. Eude des cofguros sgulères... V ALATO AU OBOT LA... V. Descrpo du roo prllèle pl... V. Modèle géomérque verse du roo pl... V. Déermo de l mrce Jcoee verse du roo pl... 7 V. Epresso fcorsée de l mrce Jcoee du roo pl... 7 V... Déermo des mrces J du roo pl... 7 V... Déermo des mrces Π... 8 V Soluos du modèle géomérque drec... V OLUSO... ATE V. MODÉLSATO DYAMQUE DES OBOTS À AHTETUE AALLÈLE... TODUTO... ETAT DE L AT.... Approche lque Formlsme de d'alemer Formlsme de Lgrge Approche récursve.... ocluso...

10 MODÈLE DYAMQUE D UE LATEFOME DE GOUGH-STEWAT.... Descrpo du roo.... Modélso cémque d u segme lcul du erme v J k... B... lcul du erme B Modèle dmque verse lcul de l mrce M lcul des veceurs e..c. lcul des forces de coc B G... f.....d. omporeme dmque de l pleforme mole.....e. lcul du veceur des forces rculres Γ.....f. Smulo de modèle dmque verse.... Formulo dmque ds l espce opéroel Modèle dmque drec Epresso du modèle dmque drec Fcorso de M c. Fcorso de Λ sous forme de compléme de Schur d. lcul de Λ ocluso V OLUSO ATE V. ALGOTHMES AALLÈLES ET FATOSATO MATELLE. 79 TODUTO GÉÉALE ALGOTHME AALLÈLE OU LE ALUL DE LA DYAMQUE VESE DES OBOTS A HAÎES ÉMATQUES OUVETES ourquo le prllélsme? Sréges de cosruco d lgorhmes prllèles L pproche mplce L pproche eplce c. Srége de cosruco d lgorhme prllèle des équos récursves Algorhme de prllélso pour l dmque verse roduco Eude dmque pr le formlsme de ewo Euler c. Algorhme prllèle pour l dmque verse d. osruco d lgorhme prllèle de ewo Euler Approches eses... 9 ALGOTHME D UE HAÎE OUVETE QUELOQUE rélmres, défos e proecos Le clcul sérel O() de forces de cores Les épes du clcul e les performces de l lgorhme sére de F (Force de ore) rllélsme ds l lgorhme de F V FATOSATO SOUS FOME DE MATES EUSES DAS LE AS DES OBOTS À HAÎES OMLEXES V OLUSO... ATE V. OLUSO GÉÉALE...

11 BBLOGAHE... AEXE A : Algorhme de fcorso de l mrce Jcoee s que de l mrce de msse pour u roo sére UMA AEXE B : Algorhme de fcorso de l mrce Jcoee du roo prllèle..... AEXE : Epresso fcorsée de l mrce Jcoee du roo Sewr.... AEXE D : Algorhme de fcorso du modèle dmque verse du roo prllèle Sewr AEXE E : Algorhme de Grevlle AEXE F : ésoluo d u ssème d équos à mrce r dgole SD d ue mère prllèle ésumé.... 8

12 Tles des llusros Fgures Fg.. : lcul du modèle géomérque verse... Fg... epères e veceurs de poso... Fg... epréseo d u roo prllèle... Fg... oo prllèle SSM... 8 Fg... Schém équvle du SSM... Fg... oo prllèle... Fg... L représeo du roo prllèle... Fg... Le dél de l rculo... Fg... L rrgeme sple de segme de l rculo du roo prllèle... Fg..7. roeco de Fg.. ds le pl YOZ... Fg..8. l représeo du roo prllèle l... Fg..9. Soluo de l pose cémque drece... Fg. V.. epréseo schémsée du MAE... 8 Fg. V.. epréseo du roo prllèle Gough-Sewr... Fg. V.. oso le/fle de l pleforme de Gough-Sewr... Fg. V.. Trecore de l pleforme mole... 7 Fg. V.. rofl de vesses de l pleforme mole... 7 Fg. V.. rofl des ccéléros de l pleforme mole... 8 Fg. V.7. Logueur des segmes u cours de l recore... 9 Fg. V.8. Vesse des rculos cves le log de l recore... 9 Fg. V.9. Accéléro des rculos cves le log de l recore... 7 Fg. V.. Forces rculres le log de l recore... 7 Fg. V.. Mche SMD sre... 8 Fg V.. Mche MMD à mémore prgée... 8 Fg V.. Mche MMD à pssge de messges... 8 Fg. V.. Srucure ouvere smple... 8 Fg V.. epréseo orps, epères, Dsces... 8 Fg V.. epréseo d ue chîe rchée Fg. A.. epréseo du roo UMA.... Fg. B.. epréseos du roo prllèle.. Fg.. : Agle de roo de l pleforme mole: Tleu Tleu.. omprf ere mpuleur sérel e mpuleur prllèle Tleu.. Le emps de clcul de l mrce Jcoee Tleu V.. Les prmères dmques de l pleforme de Gough-Sewr..8 Tleu V.. oû des clculs de l lgorhme de F ds ue pplco sére [7]..97 Tleu V.. omprso des lgorhmes séres 97 v

13 Tleu A.. Les prmères de DH modfés pour le clcul de l mrce Jcoee du roo um.. Tleu A.. Les prmères de DH modfés pour le clcul de l mrce de msse du roo um.. M v

14 re. TODUTO GÉÉALE U des oecfs de se e rooque es de pouvor déplcer des oes selo des recores prescres. Le u es de remplcer l homme lors de rélso de âches péles ou prése u rsque pour l orgsme. L cocepo des mpuleurs s es doc urelleme sprée d ue rchecure sérelle de hropomorphe, compre ue épule, u rs e u poge. Les crcérsques mécques qu e découle flue foreme sur les performces du roo. As, pour ces mpuleurs à rchecure sérelle, le rppor chrge ule/msse du roo e dépsse ps. pour u roo sphérque à degrés de leré e. pour des roos de pe SAA. es srucures sérelles présee d ures covées, do omme u mque de compcé e de précso ds le posoeme de l effeceur erml du esseelleme u ccumulos des erreurs u veu de chque segme compos le mpuleur. L recherche, ds l mmso de ces cores perms le développeme du cocep de roo à rchecure prllèle [], crcérsé pr ue se fe e ue pleforme mole relées ere elles pr des chîes cémques dépedes [], lu do s ue grde rgdé. e es que vers l f des ées 7 e u déu des ées 8, que les mpuleurs prllèles o commecé à rer l eo des mécces e des rooces e qu lerve possle u srucures sérelles. our ugmeer ecore les performces de ces mpuleurs, des rchecures hrdes se so développées qu lle les ous des mpuleurs sérels e prllèles ou e mms leurs défus [-7]. Qure specs fodmeu dfférece les roos à rchecure prllèle e les roos clssques sérels [8-] : ) Le volume de rvl : es le volume qu peu êre e pr l orge erml. Ds le cs d u roo prllèle ce volume ou cpcé d ccesslé es resre pr rppor u roos séres. es pourquo l redodce es u dome éress cocer les roos prllèles pour ugmeer l espce du rvl du roo [-].

15 ) Le rppor msse rsporle / msse du roo : Ds l rchecure sére clssque, l orge erml se rouve à l erémé de l chîe rculée. hque coeur do vor l pussce écessre pour mere e mouveme ous les corps e coeurs e vl. Ds les cs des roo prllèles, les coeurs se sue le plus souve u vosge des pos d rculo de l se, s ce es sur l se elle-même, ce qu doe u rppor msse rsporle / msse du roo eucoup plus élevé. ) L précso e l répélé : our les roos sérels ue erreur de posoeme sur ue ou pluseurs rculos ue répercusso sur l poso fle de l orge erml. e prolème d ccumulo des erreurs e se présee ps pour les roos prllèles pusque s morphologe leur ssure ue rgdé remrqule même vec des srucures moles rès llégées. v) Le comporeme dmque : ompe eu de leur srucure, les roos sérels o des performces dmques lmées. Avec les roos prllèles, le f de dmuer l ere du roo corue à dmuer les effes de couplge dmque. Les roos prllèles présee de omreu vges pour les âches de pck-d-plce (prse e pose d u oe), omme grâce à leur surpree vélocé. Le leu. résume les prcples dfféreces ere ces deu rchecures.

16 Mpuleur sérel oo prllèle Successo de segmes e sére de l se vers l effeceur Tou segme es u coc de l se e de l effeceur hîe cémque ouvere hîe cémque fermée mpor espce de rvl - Espce de rvl resre - Fle précso Grde précso - Fle chrge rsporle Lourde chrge rsporle - Fle rgdé Très rgde Tleu.. omprf ere mpuleur sérel e mpuleur prllèle Les pplcos des mpuleurs prllèles so mulples [][]. Be que leurs pplcos les soe les smuleurs de vol e les eseurs de peumques [][][7], ls o f leur ppro ds les domes où vesse, ccéléro e précso so esseelles. O rouve pr eemple ces mpuleurs ds le dome de l élé opéro [8]. Ue ure pplco, plus récee ecore, es l ulso pour les mches ouls de mpuleurs prllèles. E effe, pour ccroîre l produco des ceres d usge, les vesses d vce e les vesses de roo de roche o ugmeé cosdérleme. ee ouvelle echologe es «l usge grde vesse» [9]. rm ces ouvelles mches d usge, l Hepode [] es l ue des plus coue. D mpors prolèmes susse, u veu de l plfco de recores e de l mplo des logcels de smulo. eped, les qulés rsèques des mpuleurs prllèles dove permere d edre les oecfs de l usge grde vesse. Les roos prllèles so égleme coçus pour évoluer ds u espce de rvl lmé ce qu représee u vge de sécuré ds ceres pplcos médcles. L cocepo de ouveu roos médcu s oree vers le développeme de mcro-roos e roos de lle moee pour les pplcos médcles e uls les srucures prllèles e e ess de meu répodre u esos des chrurges. L plupr des ssèmes rooques prllèles, dédés à l médece, so sés sur des rchecures coveoelles e rooque prllèle (ple-forme de Sewr, hepode,

17 del). L movo esseelle du cho d ue rchecure prllèle semle vor éé l rgdé e l précso [-7]. U eemple de roos prllèles e médece es le roo Surgscope [8], ue pplco du roo Del [9]. Le Surgscope, es u ssème roosé spécleme dédé à l eurochrurge so développeme déué e 987. l es cosué de deu modules, u pore mcroscope e u ssème de euro-vgo sé sur des mges de résoce mgéque (M) ou sur des mges de omodesomére (T, de l gls ompued Tomogrph). L ulso d u roo moorsé compc pour l chrurge orhopédque (GOS) es décre pr BADT e l []. L rchecure du roo proposée es celle d u roo prllèle du pe pleforme de Sewr, surmoée de pore-ouls spécfques. U mcrompuleur pour l mcrochrurge de l rée éé égleme développé []. Le roo es u roo prllèle à degrés de leré, sé sur l rchecure d ue ple-forme de Sewr. L cocepo d u roo prllèle pour l edoscope ppelé edo-pleforme es décre pr WEDLADT e SASTY []. Le roo perme u chrurge de réoreer e reposoer l edoscope d ue fço précse. MELET décr u mcro-roo vec ue srucure prllèle à degrés de leré ( rslo e deu oreos) qu perme de posoer u srume chrurgcl (edoscope) vec ue melleure précso que les ssèmes clssques []. Le ssème perme u chrurge de ser prelleme l mplude de force eercée. Le dome qu l es coveu d ppeler rooque prllèle es eeme mos développé que celu de l rooque sérelle. Touefos le omre mpor de pulcos r ce dome e cesse de croîre, prouv l érê grdss qu l susce. Les rvu pore esseelleme sur les pos suvs : ) L modélso géomérque L résoluo des modèles géomérques drec e verse es u prolème mpor de l rooque e plus géérleme de l éude des mpuleurs. Le modèle géomérque verse d u mpuleur prllèle do permere de rouver l esemle des cofguros rculres perme de plcer l pleforme du mpuleur ds l cofguro voulue. L résoluo ce pe de

18 modélso e pose géérleme ps de prolème. Ds le cs de cers mpuleurs posséd des rculos prsmques moorsées (Fgure..), l ese ue ucé de soluos pour le modèle géomérque verse. So, l peu eser pluseurs soluos à ce modèle [] (Fgure..). Fg.. : lcul du modèle géomérque verse our clculer le modèle géomérque verse, o écr u ssème d équos o léres, do chque équo es ssocée à ue me [-7] du mpuleur. hque me es crcérsée pr ue orge A e ue erémé B. L cofguro X de l pleforme mole perme de défr l poso des pos erêmes de chque me. O peu s écrre le modèle géomérque verse pour chque me A B Η (X ). Ds le cs de mpuleurs spu l srucure des mes peu êre complee. L résoluo de ce prolème es smplfée pr le f que géérleme, oues les mes d u mpuleur pleeme prllèle so deques. Le modèle géomérque drec do permere de rouver l esemle des poses (posos crésees e oreo) de l ple-forme mole du mpuleur e foco d ue cofguro rculre doée. L résoluo du modèle géomérque drec des mpuleurs pleeme prllèles es u prolème complee. S dffculé es comprle à celle du modèle géomérque verse pour les mpuleurs sérels. As, de omreuses recherches o éé rélsées pour résoudre les prolèmes suvs [] : l recherche du omre mml de soluos réelles

19 l recherche rpde d ue soluo à prr d ue cofguro coue l smplfco du modèle pr l ou de cpeurs ddoels. ) Le clrge L ulso prque de l cémque drece e verse demde ue cossce prfe de cers élémes géomérques du roo [][8]. Des erreurs ds les prmères géomérques du roo codu à u écr ere l poso réelle de l effeceur fl e celle désrée. ee dfférece peu êre évluée e mesur l poso de l effeceur fl, pus l ulser ds ue procédure d opmso qu déerme les vleurs des prmères, e rédus les erreurs de posoeme. l ese deu pes de méhodes de clrge [][8]: L méhode eere : u pprel de mesure eere es ulsé pour déermer (complèeme ou prelleme) l poso réelle de l pleforme pour des cofguros désrées dfférees de l pleforme. Les dfféreces ere les posos mesurées e celles désrées doe u sgl d erreur qu es ulsé pour le clrge [9-]. L méhode d uo-clrge : l pleforme des cpeurs supplémeres e seules les mesures du roo so ulsées pour le clrge [-7]. L premère méhode es dffcle à ulser ds l prque ms doe de os résuls. L secode méhode es peu êre mos précse, ms elle es fcle à ulser. U prolème éress es de déermer les cofguros mesurées de l pleforme qu coduse à de melleurs clrges, so e fe l recherche d ue recore ece. ) L éude du volume de rvl L espce de rvl déf le volume des cofguros ccessles de l pleforme mole. l ese pluseurs proecos de l espce de rvl : L espce de rvl mml, qu correspod à l esemle des posos ccessles pr l pleforme mole. L espce de rvl dere, qu correspod à l esemle des posos ccessles pr l pleforme mole pour oues les oreos de celle-c

20 L espce de rvl à oreo cose, qu correspod à l esemle des posos ccessles pr l pleforme mole pour ue oreo doée. our clculer ces dfféres pes d espces de rvl, o peu ulser les ros méhodes suves : Méhode géomérque [] Méhode lgérque [8][9] Méhode lgérque pr dscréso [] Les méhodes géomérques permee de clculer rpdeme l froère de l espce de rvl. Elles peuve égrer les cores lées u lmes rculres e des collsos ere segmes. Ds le cs des mpuleurs pls ou spu, l es possle de rouver l froère de l espce de rvl, pour ue oreo e ue hueur doée []. eped, l recosruco ole de l espce de rvl es dffcle. ee méhode es le plus souve ulsée pour clculer des espces de rvl de mpuleurs do les rculos moorsées so des rculos prsmques. Les méhodes lgérques so plus dffcles à pplquer cr elles ugmee l dmeso du prolème e rodus des vrles supplémeres. Elles cosse à résoudre u prolème d opmso e rodus des pélés u froères [8]. L rosème méhode, ulse le modèle géomérque drec e verse pour clculer l esemle des cofguros que le mpuleur peu edre. ee méhode e que coûeuse umérqueme e e plce mémore es rès fcle à progrmmer. v) L éude des cofguros sgulères our ous les mpuleurs, de pe sérel ou prllèle, o rouve des cofguros des sgulères où le omre de degrés de leré de l pleforme mole es dffére de l dmeso de l espce opéroel ds lequel l évolue [][-[]. As, u mpuleur pleeme prllèle peu gger ou perdre u ou pluseurs degré(s) de leré. De plus, ces cofguros peuve se suer sur l froère de l espce de rvl, comme pour les mpuleurs sérels, s qu à l éreur. e so ces sgulrés qu sero les plus perures pour l gééro de recores. As, u vosge de ces sgulrés, o recore les prolèmes suvs : 7

21 Ue ugmeo mpore des effors ds les rculos pouv edommger l srucure du mpuleur. Ue pere de rgdé du mpuleur, qu peu se rdure pr ue slé de l pleforme mole. es-à-dre des mouvemes corôlés de celle-c lors que les rculos moorsées so loquées. our rechercher ces cofguros sgulères, l ese deu pproches. L premère méhode es ue méhode lque fodée sur l éude des mrces Jcoees du mpuleur [-7]. L secode méhode es ue méhode géomérque uls l géomére de Grssm []. v) L modélso dmque U des vges des roos prllèles es s cpcé à edre de grdes ccéléros e des vesses élevées, grâce à l fle msse de l pre mole [8-]. Ms le corôle de ce gere de roo es ue âche dffcle, c es pourquo de omreu rvu o préseé des méhodes pour le clcul du modèle dmque d u roo prllèle [][-7]. U prolème mpor es de déermer le emps de clcul du modèle dmque. D où l érê de rouver des méhodologes pour dmuer le coû e erme de clcul, pour ue mplo possle d ue commde dmque rélse, sous l core emps réel. Ds ce mémore, ous ordos les prolèmes de l modélso cémque e dmque des roos prllèles. L oecf cosse à mere e œuvre les élémes écessres à ue commde dmque des mpuleurs prllèles ds l espce opéroel, sous l core emps réel. L dée es doc de fre ressorr u prllélsme ds le clcul des dfféres ermes du modèle dmque, à prr du formlsme glol développé pr FJAY e pplqué u roos sérels [8-7]. e mémore es rculé uour de qure pres : L pre es coscrée à l préseo des dfférees oos ulsées ds ce mémore, pour mere e plce le formlsme glol. L pre es coscrée à l modélso cémque des roos prllèles. ous proposos, à prr du formlsme glol, ue fcorso de l mrce Jcoee cémque. E cosdér le roo prllèle comme u ssème mul roos [], so e f, ue eé composée de k roos sérels (les k segmes du mpuleur) 8

22 rspor ue chrge commue (l pleforme mole), ous élssos ue relo l les mrces Jcoees cémques relves à chque segme à l mrce Jcoee cémque de l eé roo prllèle. ee pproche es pplquée à deu srucures prllèles, à svor u roo spl à lsos [][7-7] e u roo pl [-][7-77]. ee pproche f égleme ressorr ue lse plus sée des cofguros sgulères (pour le roo ), e ue déermo des soluos du modèle géomérque drec (pour le roo pl). L pre V de ce mémore es dédée à l modélso dmque des roos mpuleurs prése des rchecures prllèles. L éude es rélsée sur ue pleforme de Gough-Sewr [-7][][][7][78-8], qu représee à ore cossce, u des roos prllèles les plus éudé ds l lérure. L méhodologe ulsée, pour l élsseme des modèles dmques verse e drec, es celle proposée pr KHALL [][78]. ore ppor cosse, e pplqu ore formlsme, à fre ressorr les mrces d ere ds l espce rculre e opéroel e leur verse. es dfférees mrces sero esue eprmées sous ue forme fcorsée, perme s de poser les ses pour le développeme d lgorhmes prllèles, f de mmser leur emps de clcul ds l opque d ue commde dmque rélsée sous l core emps réel.. L pre V de ce mémore es coscrée à l lse de l compleé lgorhmque. Ds cee pre o v éuder l mse e oeuvre d ue srége pour mélorer l lgorhme de ewo Euler [8] e l eploo du prllélsme pour rédure le emps de clcul d u O() ds le cs séqueel à u O(log()) ds le cs prllèle vec O() processeurs. 9

23 re. ÉLMAES omeclure ous préseos ds ce chpre le formlsme ulsé ds l sue de ce mémore. e formlsme compred d ue ue omeclure défss les prmères lés u segmes e u rculos, e d ure pr, les oos ulsées pour défr les qués sples e gloles. Les oos spécfques pour décrre les roos prllèles so doées e f de chpre.. rmères lés u segmes e u rculos O cosdère u omre de degrés de leré e u omre d rculos deques pour ous les segmes. : Veceur poso de O ào eprmé ds le repère lé à l rculo. O oer, k : omre de segmes compos le roo prllèle. : omre de degrés de leré de chque segme. M : omre de lsos de chque segme. S : Veceur poso ere le po, O e le cere de grvé du corps ppre u segme. θ, θ, θ : oso, vesse e ccéléro de l rculo du segme, eprmées ds le repère lé à l rculo. ω, ds le repère lé à l rculo. ω : Vesse e ccéléro gulres du corps ppre u segme, eprmées ν, ds le repère lé à l rculo. ν h, segme. : Vesse e ccéléro léres du corps ppre u segme, eprmées k : remer e deuème mome d ere du corps clculés u po Γ : Force pplquée à l rculo du segme. f, : Force e mome d erco ere les corps - e du segme m : Msse du segme J : Secod mome de l msse du segme uour de so cere de msse O, ppre u

24 c (, ) : Mrce décrv l oreo du repère pr rppor u repère. Qués sples Z Η : Ae spl du corps ppre u segme. H pour ue X rculo à deu degrés de leré, ue roo uour de l e Z e ue rslo suv l e X. ω V, ω V : Vesse e ccéléro sples du corps ppre u ν ν segme, clculées pr rppor u repère lé à l rculo du segme. F : Forces d erco sples du corps ppre u segme. f ω V : Vesse sple de l orge erml clculée pr rppor u repère solu. ν F : Force eere pplquée à l orge erml.. Qués gloles (défes pour à ) Dg { } { } H H : Mrce glole des es spu du segme, Dg H M : Mrce glole des eres sples du segme. ol k θ : Veceur glol des vesses rculres du segme. ol k θ : Veceur glol des ccéléros rculres du segme. Γ ol : Veceur glol des forces pplquées u rculos cves. V ol { Γ } { } V M : Veceur glol des vesses sples du segme. ol V M : Veceur glol des ccéléros sples du segme. M F ol : Veceur glol des forces d erco du segme. V { } F M : Mrce d ere du segme, défe ds l espce rculre. J : Mrce Jcoee cémque du roo.

25 Fg... epères e veceurs de poso oos géérles our chque veceur V, o ssoce ue mrce smérque V défe pr : V V V V V V V où V, V e V so les composs de V. Le eseur V possède les propréés suves : V V e V V V V So Vˆ l mrce ssocée u veceur V pr : U V V U e Vˆ U V U ˆ U e représee respecveme les mrces deé e ulle de dmesos pproprées. emrque : S o oe A,B le veceur poso de B vers A, l mrce suves : ˆ A, B B, ˆ ˆ e A, ˆ A, B ˆ B, A ˆ A, B ur les propréés (.)

26 O ppelle e, les eres sples du segme clculées u po O e à so cere de grvé. es eres sples so défes pr : m U J, (.) e S S ˆ ˆ, m U h h k (.) Avec : U S U S ˆ So l mrce loc dgole défe pr : U U U U U ˆ ˆ ˆ (.) L verse de es ue mrce rdgole féreure, défe pr : U U U U U U,,,,,, ˆ.. ˆ ˆ.... ˆ ˆ ˆ (.) oos pour décrre u roo prllèle Le roo prllèle cosdéré ds cee éude, es u roo d pleeme prllèle (compor u de chîe cémque que de degrés de leré), à logueur de segme vrle. e roo es composé de k segmes l ue se fe à ue pleforme mole. hque segme compore rculos e corps. Les lsos pourro êre des rculos e roo, e rslo ou e roo-rslo, vec comme degrés de leré mmum (lso pocuelle) e comme degrés de leré mmum.

27 Arculo pssve Arculo cve e rslo Arculo pssve Fg... epréseo d u roo prllèle Les oos pour décrre le roo prllèle so les suves : : repère solu lé à l se fe : (O,,,) p : repère solu lé à l se mole : p (, p, p, p ) O : Orge du ssème de coordoées solues (ou O ) : cere du repère mole lé à l pleforme mole: O / [ ] c c c A (ouo ) : rculo ere le segme e l se fe : OA / [ ] B (ouo ) : rculo ere le segme e l pleforme mole: B / [ ] : mrce de roo, eprmé ds le formlsme Y, d élémes géérques r perme de psser du repère mole u repère fe :

28 cos β cosγ cos β sγ s β sγ cosα cosγ s β sα cosα cosγ sα s β sγ cos β sα (.) sα sγ s β cosα cosγ cosγ sα s β cosα sγ cosα cos β Les gles α, β, γ so défs de l mère suve : o oure d u gle α uour de l e, pus d u gle β uour de e d u gle γ uour de. es ros gles (gles de Br) décrve l roo de l pleforme mole pr rppor u repère solu es le repère lé u segme : ( A,,, ) es l mrce de roo ds le formlsme Y, décrv l oreo du repère rppor u repère., β γ so les gles décrv l roo du repère α,. pr rppor u repère solu pr p es l mrce de roo ds le formlsme Y, décrv l oreo du repère lé à l pleforme mole pr rppor u repère p p p p. α, β, γ so les gles décrv l roo du repère p pr rppor u repère. V ocluso Les dfférees oos préseées ds ce chpre, so ulsées ds l sue de ce mémore. e formlsme glol cosue l se de ore pproche. l perme omme ue écrure plus compce des équos régss l cémque e l dmque, perme s ue mpulo mhémque plus sée.

29 re. MODÉLSATO ÉMATQUE DES OBOTS À AHTETUE AALLÈLE roduco Le modèle cémque drec él ue relo ere le veceur vesse des coordoées V opéroelles ( [ ] ω ν ) représe l vesse sple de l orge erml clculée u po ds le repère solu, e les vesses de déplceme des coeurs ( k ). Le prolème se résume doc à clculer le orseur cémque de l orge erml e foco de l vesse d llogeme ou de roo des coeurs. e modèle es oeu à prr de l relo V J k, où J représee l mrce Jcoee cémque. L modélso cémque cosse doc à déermer les élémes de cee mrce. Ds le dome de l rooque prllèle, l déermo d ue epresso lque de l mrce Jcoee cémque demeure u prolème ouver. Quelques méhodes géérles o éé développées pour cers proopes [8-8]. Le clcul de l mrce Jcoee es géérleme oeu pr ue soluo umérque uls les lgorhmes clssques d verso de mrce, ou des méhodes sées sur des schéms érfs. Ds le u de rédure so emps de clcul, ue soluo cosse à eprmer l Jcoee cémque e ue poso omle, e à l cosdérer comme cose e éme l hpohèse d ue ulso du mpuleur uour de ce po oml prs comme référece [7] [8]. Après u rppel sur l oeo du modèle géomérque verse e de l mrce Jcoee cémque verse, ous proposos, e cosdér le mpuleur prllèle comme é u ssème mulple-roos, ue fcorso de l mrce Jcoee cémque, sée sur le formlsme glol décr ds le chpre précéde. ee méhodologe perme d oer ue epresso lque de l mrce Jcoee cémque sous ue forme fcorsée, perme s de clculer chque erme de l fcorso sépréme. Le coû e erme de clcul es de f dmué, erî ue mplo possle d ue commde e vesse, sous l core emps réel. Ue pplco

30 de cee méhode sur ue srucure roo prllèle à lso [7][8] e sur u roo prllèle plre à degrés de leré [-][87], es proposée e f de cee pre. ee pproche f ressorr ue lse plus sée des cofguros sgulères (pour le roo ), e ue déermo des soluos du modèle géomérque drec (pour le roo pl). Modélso géomérque verse Le modèle géomérque verse es l esemle des relos eprm les vrles rculres du roo prllèle, e foco des coordoées opéroelles (poso e oreo de l pleforme mole). ee relo es doée pr l équo suve [][-][7][88-89] : θ A B A O O B (.) / / / / p So : θ X Y Z (.) Avec : X c r r r Y c r r r Z c r r r (.) Jcoee cémque verse Ds le cs des roos prllèles, le clcul de l mrce Jcoee cémque verse J, rese ds le prcpe relveme smple. e clcul psse ou d ord pr l déermo de l vesse du po d rculo B (cere de l rculo l l pleforme mole d u roo prllèle u segme ) [7][88-89]: OB ν B ω (.) Ds le cs des mpuleurs prllèles à logueur de segmes vrles, l relo suve es vérfée : θ OB (.) é le veceur ure du segme, déf pr : A B (.) θ 7

31 A é le cere de l rculo l le segme à l se fe d u roo prllèle. E sér l équo (.) ds (.), o oe lors : θ ν ω ( B ) (.7) L ème lge de l Jcoee cémque verse s écr doc : [( B ) ] (.8) V Epresso fcorsée de l mrce Jcoee cémque Du f de l compleé de l epresso de l Jcoee cémque verse, l oeo de l mrce Jcoee cémque pr verso smolque semle dffcle, même vec l de des ssèmes de clcul formel [7]. L déermo d'ue epresso fcorsée de l Jcoee cémque peu êre oeue e cosdér le roo prllèle comme ue eé composée de k roos sérels (les k segmes) déplç l pleforme. Le prcpe de cee ouvelle pproche cosse ds u premer emps à clculer les Jcoees cémques relves à chque segme (J ), cosdéré lors comme des chîes cémques sérelles e ouveres. Ds u deuème emps, o déerme l core de fermeure de l chîe, perme s de déermer l Jcoee cémque glole de l'eé roo prllèle. Fg... oo prllèle SSM L vesse de l'orge erml V pr rppor u repère lé u segme (cee vesse ser oée V / ) : V Θ V (.9) 8

32 où Θ (.) Le clcul des gles, β γ de l mrce de roo α, ere l se fe e le segme. déped du pe d'rculo our llusrer ces propos, ous preos l'eemple du roo SSM de MELET [7]. e roo prllèle à degrés de leré, représeé e Fgure., es cosué d'ue pleforme mole e d'ue se fe, relés ere elles pr s segmes, moorsés pr s coeurs léres. Les rculos ere les segmes e l pleforme mole so des rculos pssves de pe sphérque ( ddl e roo). Les rculos ere l se fe e les segmes so égleme pssves de pe crd ( ddl e roo). L modélso géomérque de ce pe de roo peu êre rouvée e [7]. L'rculo u po A es de pe crd ( ddl e roo). Les repères é choss comme le more l Fgure., o pour cee rculo, ue roo d'u gle α uour de l e epresso ds [ ] :, e ue roo de β uour de. Le veceur ure à pour (.) / So epresso ds es doée pr : X Y Z / / (.) θ θ θ E développ cee équo, o oe : X Y Z s, cos α cos β (.) θ s β, α cos β θ θ E cosdér ces ros relos les glesα e β so doés pr: α Y rc Z, X β rc cosα (.) Z L vesse sple de l pleforme mole (orge erml du segme ), pr rppor u repère lé à l'rculo es doée pr : V / V ˆ (.) 9

33 E cosdér l'équo (.9), o eprme l vesse V ds pr: V V Θ ˆ (.) L propgo des vesses pour ue chîe cémque sérelle e ouvere (le segme ), es doée pr [8] [7-7]: V ˆ V H (.7) θ θ es l vesse de l'rculo (ppre u segme ). ee rculo peu êre ue rculo cve (o oer lors s vesse pr θ ) ou pssve (o oer lors s vesse pr p θ ). H es l mrce de proeco (e spl) lée à l'rculo du segme. our ue rculo équvle à u pvo glss (pr eemple: l ddl e roo uour de l e e ddl e rslo suv l e ), l mrce H s'écrr lors: H (.8) Les ros premères lges so des roo uour des es, e e les ros derères lges so des rslos suv les es, e. ˆ es ue mrce (de dmeso ) de propgo (l propgo de O - à O pour le segme ). D'u po de vue phsque, l'équo (.7) veu dre que l vesse du corps (ppre u segme ) clculée ds le repère lé à O : V, es égle à l somme de l vesse de l'rculo : θ (l mrce H serv à homogééser les dmesos des veceurs) vec l propgo u po O de l vesse du corps - clculée ds le repère lé à O - : ˆ ). ( V our llusrer ces propos, o repred l'eemple du roo prllèle SSM. E sol u segme, o oe le schém équvle représeé e Fgure..

34 Fg... Schém équvle du SSM Ds ce cs, le segme es composé de corps e rculos ( ). L vesse de l'orge erml V V clculée pr rppor u repère solu, es doée pr l relo : V Θ ˆ V (.9) E défss α p, β p, γ p les gles décrv l roo ere l pre mole e le segme, le veceur θ s'écr : [ θ αp βp ] γp (.) e l mrce H : H (.) L vesse du corps, clculée pr rppor u repère lé à O V H θ ˆ V : V es eprmée pr: (.) So : [ V αp βp γp ] ˆ V E uls l oo glole défe précédemme, o peu écrre l'équo (.7) sous ue forme glole :

35 k V H (.) O e dédu : V k ( ) H (.) E défss l mrce : [ Θ ˆ ] β Λ (.) L équo (.) deve: V β V (.) So e sér 'équo (.) : V k β ( ) H (.7) L mrce Jcoee cémque du segme es défe pr l relo l l vesse sple de l'orge erml u vesses rculres : V J k (.8) O e dédu, e cosdér l équo (.7) : J β ( ) H (.9) Le clcul de l mrce Jcoee cémque J de l eé roo prllèle psse pr l déermo d'ue core rdus l fermeure de l chîe cémque. elle c peu k de êre oeue e eprm le veceur des vesses rculres [ θ θ Λ ] l'eé roo prllèle, e foco des veceurs So Π M k l mrce crcérsée pr : k k θ k ( l,..., k) ssocés à chque segme. k (.) k Π E sér l'équo (.) ds (.7), o oe : β ( ) Π k (.) V H Ue epresso fcorsée de l mrce Jcoee cémque du mpuleur prllèle peu lors êre dédue : J β ( ) O e dédu: H Π (.) J J Π (.) our les mpuleurs ds "pleeme prllèles", compor u de chîes cémques élémeres que l'orge erml présee de degrés de leré (k ), ce qu

36 es le cs des mpuleurs de pe pleforme de Sewr [79], l'équo (.) peu s'écrre : J J Π (.) vec : Π J ( Π U ) (.) D u po de vue phsque, o : ó c V V V où (.) V o J k représee l vesse de l orge ermle du segme, cosdéré comme ue chîe ouvere e cémque. V c k Π représee u erme de correco due à l core de l chîe l 'ese ps de méhode géérque pour déermer l mrce Π, qu déped de l'rchecure propre du mpuleur. Ds l sue ous ous proposos d eplcer le clcul de cee mrce e r le cs du mpuleur prllèle à lsos, développé ds ore lorore e d u roo pl de pe. Le cs de l pleforme de Gough- Sewr es préseé e ee.

37 V Applco u roo V. L descrpo du roo Le roo prllèle [7] cosse e ue pre sque e ue pre mole qu so coecées ere elles pr segmes cve (Fgure.). hque segme es ecsré à l pre sque u po A e lé à l pre mole pr ue rculo pssve ( ddl e roo e ddl e rslo) u po B (Fgure.7). hque rculo es composée d ue roule couplée à deu les crosées qu rélse deu rslos orhogoles. Le roo éé éudé pr DAFAOU e l [7] s que pr KHALL e l []. L rculo Les deu les crosées L roule L pre mole Fg... oo prllèle

38 Le roo crése à ddl L pre sque L pre mole L rculo ecsrée L cueur lére L rculo Fg... L représeo du roo prllèle L rculo roule ( ddl e roo) Les deu les crosées (ddl e rslo) Fg... Le dél de l rculo V. Modèle géomérque Ds cee pre, o décrr rèveme l méhodologe ulsée pour oer le modèle géomérque drece e verse. Les coordoées des pos A ds le repère so doées pr :

39 [ ] [ ], [ ], [ ] [ ], [ ] OA OA OA OA OA OA (.7) Fg... L rrgeme sple de segme de l rculo du roo prllèle Les deu les crosées L roule L pre mole L pre sque Fg..7. roeco de Fg.. ds le pl YOZ

40 Les coordoées des pos B ds le repère p so doées pr : [ ] [ ], [ ] [ ], [ ], [ ] B B B B B B (.8) V... Le modèle géomérque verse Le modèle géomérque verse rele les vrles d rculo cve (.e. k ) u vrles opéroelles de l effeceur fl (.e. X). ee relo es doée pr l équo suve : A B A O / O / [ ] B / p θ (.9) doc : θ X Y Z (.) où : X c r r r Y c r r r Z c r r r (.) Ds le cs du roo, ous oeos [7]: θ r ( c L) c r r c θ r ( c L) c r r c θ θ r ( c L) c r r ( c L) c r où : r r c c θ r ( c L) c r r ( L) r r c c c θ c (.) r L OA OA OA OA OA OA V... Le modèle géomérque drece Géérleme pour les roos prllèles, ue soluo lque du modèle géomérque drece es dffcle à oer. Des méhodes umérques so souve ulsées pour résoudre le prolème. eped cee soluo é ps ouours uque, résule de mulples suos pour l orge erml. 7

41 Le modèle géomérque drec du roo prllèle éé déermé pr DAFAOU e l [7]. rmères d oreo : α ( ) (.) β γ où : cosα sα ( ) sα s β cosα ( cosα ) sα s β cos β (.) (.) θ θ L pour,, rmères de posos crésees : [( θ θ ) r ( θ θ ) r r ( θ θ ) r r ] c (.) c [( θ θ ) r r ( θ θ ) r ( θ θ ) rr ] (.7) c [( θ θ ) r r ( θ θ ) r r ( θ θ ) r ] (.8) V. Le modèle cémque verse L mrce Jcoee cémque verse es oeue à prr de l équo (.8) : ( [ ] ) B/ p ( [ ] B/ ) p ( [ ] ) B/ p ( [ ] B ) / p ( [ ] ) [ ] B/ p ( B ) J (.9) /p Avec : [ ] [ ] [ ] (.) 8

42 V. Déermo des mrces Π du roo So [ ] ( ):, le veceur de l propgo de B à ds le repère lé u segme / B / p B (.) our le cs du roo prllèle, les repères fe (chque segme es ecsré). O doc : L équo (.) s écr : r r r r r r r r r so choss comme é prllèles u repère (.) E cosdér le ssème d équo doé ds (.), o oe : X Y c c c Z (.) L rrgeme spl des segmes es comme su : (vor Fgure.7) Les segmes e so ds l dreco des es des Y Z pour, Les segmes e so ds l dreco des es des X Z pour, Les segmes e so ds l dreco des es des X Y pour, Doc, o e dédu les relos suves : c c c Le veceur vesse des coordoées rculres du segme es doé pr : [ w γ β α θ ] p u p p p p (.) k (.) où u, w so les vesses de rslo dues u pleu glsss. p p 9

43 Le veceur de l vesse de coordoée géérlsée es doé pr : [ θ θ θ θ θ ] k (.) θ Le u de cee pre es de déermer les mrces ssème suv : w p π u p π γ p π β p π α p π θ π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π θ π θ π θ π θ π θ π θ Π doées ds l équo (.). So le (.7) Les élémes π so clculés pr l équo (.7). ee équo es vre pour à, doc : k pour e à. β ( ) H k β ( ) H (.8) k Développ cee équo (.8), o oe les relos suves : α α p p γ p p β β p p γ (.9) ( ) β p ( ) γ p ( ) α p ( ) γ p ( ) α ( ) β θ θ θ θ θ (.) p p θ ( ) α p ( ) γ p θ ( ) α ( ) β u p (.) wp p p θ Ds l sue, l mrce Π es clculée à l de des équos (.), (.), (.9), (.) e (.). O oe :

44 Π (.) Ue comprso, d u po de vue emps de clcul (sous evroeme MATLAB), vec l méhode de dérvo oeue pr DAFAOU e l [7] es effecué e leu.. Les mrces Π écessres pour le clcul de l mrce d ere so défes ds l ee (vor l ee B) V. Eude des cofguros sgulères our ous les mpuleurs, de pe sérel ou prllèle, o rouve des cofguros des sgulères où le omre de degrés de leré de l pleforme mole es dffére de l dmeso de l espce opéroel ds lequel l évolue. As, u mpuleur pleeme prllèle peu gger ou perdre u ou pluseurs degré(s) de leré. De plus, ces cofguros peuve se suer sur l froère de l espce de rvl, comme pour les mpuleurs sérels s qu à l éreur. e so ces sgulrés qu sero les plus perures pour l gééro de recores. As, u vosge de ces sgulrés, o recore les prolèmes suvs : Ue ugmeo mpore des effors ds les rculos pouv edommger l srucure du mpuleur. Méhode clssque Techque de fcorso, ms,9 ms Tleu.. Le emps de clcul de l mrce Jcoee

45 Ue pere de rgdé du mpuleur qu peu se rdure pr ue slé de l pleforme mole, c es-à-dre des mouvemes corôlés de celle-c lors que les rculos moorsées so loquées. our rechercher ces cofguros sgulères, l ese deu pproches. L méhode géomérque e l méhode lque. L méhode lque es fodée sur l éude des mrces Jcoees du mpuleur e e ls le rg de l verse de l mrce Jcoee, ds ce cs l ese deu pes de sgulré [] [7]: Les sgulrés du premer pe, qu pprsse lorsque le déerm de l mrce J deve f. Ds ces cofguros, o peu rouver des veceurs Q o uls pour lesquels V ser égl à éro. Les sgulrés du secod pe, qu pprsse lorsque le déerm de l mrce J es égl à éro, ce qu correspod à des déplcemes corôlles de l pre mole lorsque oues les rculos cves so loquées. De omreuses éudes ulse les mrces Jcoees pour déermer les cofguros sgulères des mpuleurs prllèles [-] [9]. rm celles-c, o peu égleme cer [-7][9] pour les mpuleurs pls e [][9-9] pour les mpuleurs spu. As, SEFOU représee les sgulrés d u mpuleur pl smplfé pour des oreos doées [7]. KHALL représee les sgulrés prllèles d ue pleforme de Gough pour ue poso doée ou pour ue oreo doée de l pleforme mole []. eped, l es dffcle de clculer oues les cofguros sgulères de ce mpuleur e surou de les représeer. O peu égleme cer MELET [89] qu proposé ue méhode géomérque sée sur l géomére de Grssm. ee méhode cosse à défr les codos de dépedce lére ere les veceurs de lücker des lges ssocées u segmes du mpuleur. ee dépedce lére codu à ue dégéérescece de l verse de l mrce Jcoee pusqu elle es formée vec ces veceurs. Ds ore cs, o déerme les cofguros sgulères à prr de l epresso fcorsée de l mrce Jcoee. L équo (.) ous doe cee epresso e pour, o :

46 J J Π Doc : de( J ) de( J )de( Π) D près l équo (.), o : J O dédu doc le déerm de cee mrce : de( J ) L mrce Π es doée pr l équo (.). O dédu : de ( Π ) ( )( )( ) Les cofguros sgulères so doc défes lorsque : ou ou E cosdér l défo de l mrce de roo [], l équo (.) e les cosdéros géomérques,, doées ds Fg.., o dédu : Les cofguros pour : ( ) cos β cosγ π π β ± ou γ ± Les cofguros pour : ( α cosγ sα s β sγ )( ) cos

47 π α ± e ( γ ou β ) π γ ± e ( α ou β ) π π π α e γ e β π π π α e γ e β π π π α e γ e β π π π α e γ e β Les cofguros pour : ( ) cos β cosα π π β ± ou α ± Doc ds le cs du roo o des sgulrés so pour α ±Π so pour β ±Π so pour γ ±Π ou so pour ue comso de ces ros vleurs. L pproche préseée perme doc d oer ue epresso fcorsée de l mrce Jcoee cémque. L lse des cofguros sgulères s e rouve fclé e éud sépréme les déerms des mrces cosu l epresso fcorsée de l Jcoee cémque.

48 V Applco u roo pl V. Descrpo du roo prllèle pl Le roo cosdéré ds cee pre es smérque e es composé de ros segmes l l se fe à l effeceur fl de forme rgulre (vor Fgure.8). hque segme es de pe, vec deu rculos pvos pssves e ue rculo prsmque cve. es ros rculos léres so ulsées pour déplcer le rgle mole déf pr B, B e B. Arculo vo ssve Arculo rsmque Acve Arculo vo ssve Fg..8. l représeo du roo prllèle l Ds le cs du roo pl les prmères géomérques so défs pr A (ou O ) es le cere de l rculo ere le segme e l se fe : OA / [ ]

49 B (ou O ) es le cere de l rculo ere le segme e l pre mole : B / p [ ] [] es l mrce de roo u élémes r (ds le formlsme Y), eprm l oreo du ssème de coordoées p pr rppor u ssème de coordoées. L epresso de l mrce es doée pr : cosγ sγ [ ] (.) sγ cosγ X es le veceur de coordoées de âche : [ γ ] X c c (.) es le repère lé u segme. ( A, ), (.) γ es l gle, ds le Y formlsme, décrv l roo du repère pr rppor u repère solu. [ ] es l mrce de roo d élémes r k, ds le Y formlsme, décrv l oreo de ssème de coordoées pr rppor u ssème de coordoées. L epresso de l mrce es doée pr : cosγ sγ [ ] γ p sγ cosγ (.) es l gle, ds le Y formlsme, décrv l roo du repère p pr rppor u repère solu. [ ] es l mrce de roo d élémes p r p k, ds le Y formlsme, décrv l oreo de ssème de coordoées p pr rppor u ssème de coordoées. L epresso de l mrce es doée pr : cosγ p sγ p [ ] p sγ p cosγ p (.7) V. Modèle géomérque verse du roo pl Le modèle géomérque verse du roo pl éé déermé pr GOSSEL [][]. ee relo es doée e réécrv l équo (.9) : θ A B A O / O / [ ] B / p

50 7 Y X θ (.8) Avec : c r r X c r r Y (.9) Les gles γ e p γ des rculos pssves ermédres so défs pr : X Y rc γ π γ γ γ p, π π γ γ γ p, π π γ γ γ p (.7) V. Déermo de l mrce Jcoee verse du roo pl L mrce Jcoee cémque verse es oeue à prr de l équo (.8) : ( ) ( ) ( ) B B B J (.7) So : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s cos cos s s cos cos s s cos cos s γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ J (.7) V. Epresso fcorsée de l mrce Jcoee du roo pl V... Déermo des mrces J du roo pl D près l relo (.9), l mrce Jcoee d u segme s écr : ( ) H J β our le roo pl cee mrce es doc doée pr : ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p θ γ γ γ γ γ γ θ γ γ γ γ γ γ cos cos s cos s s cos s J (.7)

51 V... Déermo des mrces Π L mrce Π es oeue e eprm les veceurs de l vesse de l rculo cve du roo prllèle k : k ssocés à chque segme e foco γ p π θ π γ π π π π π θ π θ π θ (.7) Où :,, so les élémes du veceur de l vesse de l rculo du segme : γ p θ γ [ γ θ γ ] k (.7) p θ, θ, θ so les élémes du veceur de l vesse de l rculo cve du ssème : [ θ θ ] k (.7) θ π so les élémes de l mrce Π k À prr de l équo du modèle cémque verse doée ds (.7), o oe pour à : ( ( γ γ ) cos( γ γ ) ) γ cosγ V V θ s s γ (.77) E sér l relo doée ds l équo (.7) ds l équo (.77), o oe : θ A B θ (.78) Doc :, γ p, γ, θ A B (.79) Où :, θ, γ p, γ ( γ γ ) ( ) ( ) cos γ γ γ p γ γ θ ( γ γ ) ( γ γ ) A, s s (.8) B, A s (.8),, cos p (.8) lcul de l mrce Π L mrce Π es oeue pr : 8

52 Π π π π π π π (.8) L équo (.79) es écre pour e à sous ue forme mrcelle comme su :, A, B, γ p, k A, B, (.8) γ, A, B, ξ D Deu soluos peuve êre oeues pr le clcul de l mrce Π : π π π ) ξ π π π D (.8) ) π π π π π ξ π ( D ) (.8) Où X es l mrce verse Moore-erose de l mrce X. Le clcul de cee mrce pseudo verse es oeu e uls l lgorhme de Grevlle [9]. lcul de l mrce Π L mrce Π es oeue pr : Π π π π π π π (.87) L équo (.79) es écre pour e à sous ue forme mrcelle comme su :, A, B, γ p, k A, B, (.88) γ, A, B, ξ D Deu soluos peuve êre oeues pr le clcul de l mrce Π : π π π ) ξ π π π D (.89) 9

53 π ) π π π π ξ π ( D ) (.9) lcul de l mrce Π L mrce Π es oeue pr : Π π π π π π π (.9) L équo (.79) es écre pour e à sous ue forme mrcelle comme su :, A, B, γ p, k A, B, (.9) γ, A, B, ξ D Deu soluos peuve êre oeues pr le clcul de l mrce Π : π π π ) ξ π π π D (.9) ) π π π π π ξ π ( D ) (.9) V Soluos du modèle géomérque drec Le prolème de l modélso géomérque drece es le suv : So le veceur des coordoées géérlsées [ θ θ ] (posos crésees e oreo) [ ] k O veu clculer l pose θ X γ c c de l orge erml. Ue pproche pour résoudre ce prolème es d pplquer l méhode de ewo phso. e lgorhme es sé sur le clcul de l mrce Jcoee comme su : O lse X O clcule k pr le modèle géomérque verse doé ds l équo (.8) O clcule l erreur : e k k O clcule : X X J Π e

54 L epresso J Π peu vor soluos, doées pr les équos (.8), (.8), (.89), (.9), (.9) e (.9). e qu correspod u omre de soluos du modèle géomérque drec doé pr MELET [] [7][7][89][9] e GOSSEL []. U eemple d mo sous MATLAB es doé ds l fgure suve. e eemple more ue cofguro vec soluos pour l pose. Fg..9. Soluo de l pose cémque drece

55 V ocluso Ds ce chpre, ous vos préseé ue méhode de fcorso de l mrce Jcoee cémque. ee echque, sée sur u formlsme glol, éé géérlsée u roos prése des rchecures prllèles. Le roo prllèle es vu ds cee éude comme u ssème mul roos. Les segmes so cosdérés comme des roos sérels, déplç ue chrge commue (l pleforme mole du roo prllèle). our ue melleure erpréo phsque des effes lés à l géomére du mpuleur, l mrce Jcoee cémque ( J ) éé séprée e deu composes, compre d ue pr l Jcoee cémque d u des segmes J cosdéré comme ue chîe cémque ouvere, e d ure pr u erme correcf Π ' rdus l fermeure de l chîe. ee pproche éé esée sur deu mpuleurs prllèles, à svor, u roo spl à lsos, e u roo pl de pe. Le cs de l pleforme de Gough-Sewr es égleme ré e ee. eped le emps de clcul de l mrce Jcoee, pr cee echque de fcorso, es rop mpor pour l mplo d ue commde e vesse emps réel. Ds le cs de ce roo, l ous semle préférle d ulser les méhodes umérques eses pour verser l mrce J. Ds le cs du roo prllèle à lsos, l pproche préseée perme d ue pr de dvser le coû de clcul de l Jcoee pr deu, e d ure pr ue déermo des cofguros sgulères pour ue poso e oreo quelcoque de l effeceur erml. Ds le cs du roo pl, l echque de fcorso egedré s soluos pour le clcul de l mrce Jcoee. e qu peu êre eplqué pr les dfférees soluos du modèle géomérque drec. ous vos s pu, à prr de l lgorhme de ewo-phso déermer les dfférees soluos du modèle géomérque drec, pour ue seule cofguro rculre. L sue de ce mémore cocere l modélso dmque des roos prllèles. ee modélso ser fe à prr du formlsme glol pour fre ressorr les dfférees mrces d ere (espce rculre e opéroel).

56 re V. MODÉLSATO DYAMQUE DES OBOTS À AHTETUE AALLÈLE roduco L commde de roos mpuleurs, sous l core de mouvemes rpdes e/ou précs, mplque ue modélso mhémque sse fe, reoç à u mmum d'hpohèses uopques smplfcrces, comme l églgece des effes dus à l'ere de l srucure ou des ercos vec 'evroeme, suppuée lors de l'élsseme des modèles géomérques e cémques. l es lors dspesle d'élr u modèle dmque pre e compe les forces de couplge, ds le u de rédure l'écr ere le comporeme recherche e celu réelleme rélsé; e d'mélorer l vesse du ssème. Le modèle dmque d'u mécsme rculé peu êre déf comme é ue comso d'équos dfféreelles géérleme o léres, l les vrles d'é du ssème u forces eéreures dsspves ou o, gss sur chque corps du mécsme. So oeo, ds le cs de srucures sérelles, peu êre dédue de pluseurs pes de représeos [9] : - focos de Gs [9], - rvu vruels d'alemer [97], - od - grphs [98-], - équos de ewo-euler [], - équos de Lgrge []. L'élsseme du modèle dmque des srucures prése des chîes cémques complees fermées es plus délc à résoudre. eres méhodes o ouefos éé développées uls omme le prcpe de d'alemer [8] ou le formlsme d'euler [7][8][]. eped, e rso des dffculés recorées pour dper ces dfférees pproches u chîes fermées, des hpohèses resrcves (mouvemes rélsés à. fles vesses) e smplfcrces (msses des segmes cosdérées comme ulles) dove êre posées. Ue ure pproche uls le clcul des mulplceurs de Lgrge, f de er compe de l dépedce ere les coordoées rculres due à l fermeure des oucles cémques, éé pprofode [][-].

57 Touefos, l compleé des clculs red ces dfférees modélsos eploles e vue d ue smulo ou d ue commde dmque rélsée sous l core emps réel. L réduco de l compleé du modèle, d'u po de vue emps de clcul, psse pr l déermo due epresso fcorsée du modèle dmque. L'ulso du clcul prllèle sur du mérel formque ppropré, els que les rchecures mul processeurs, devr lors permere 'mplo de los de commde dmque performe, comme le feedck dmque lérs [7]. Ds cee opque, près vor préseé les prcples méhodologes de modélso dmque des roos mpuleurs prllèles, ue ouvelle pproche, sée sur l fcorso de l mrce Jcoee cémque e des mrces erelles (ds l'espce rculre e opéroel) es proposée. ee pproche dérve d'u formlsme glol, décr u prgrphe précéde, qu llège les équos régss l dmque des roos, perme de ce f ue mpulo e ue erpréo phsque des équos plus sées. our l descrpo, l'lse e l commde des ssèmes mpuleurs, KHATB [7-8] suggère ue formulo des crcérsques dmques de l'orge erml, ds 'espce opéroel, perme s de décrre l dmque du ssème e les sréges de corôle u veu de l'orge erml. Touefos, le schém de commde ds l'espce opéroel (OS) écesse ue phse de clcul mpore, comprveme à celle ds l'espce rculre (JS). Le schém JS requère le clcul de l dmque verse du mpuleur u veu rculre, qu peu êre effecué effcceme pr l'lgorhme récursf O() de ewo-euler [9] ( représe le omre de corps compos le mpuleur). E plus de l dmque verse, le schém OS écesse le clcul de l mrce d'ere ds l'espce rculre e de celle ds 'espce opéroel, demd de ce f u coû de clcul de O( ),ce qu représee u oscle meur pour l'mplo de ce pe de schém, e vue d'ue commde sous core emps réel. Le développeme d'u lgorhme prllèle, pour l commde dmque des mpuleurs représee u prolème délc. Avec l'epérece e l muré cquses sur les lgorhmes sérels, l oo de prllélsme peu cosuer u ppor cosdérle ds l recherche d'u clcul effcce.