Produit scalaire et orthogonalité. > 0. On dit aussi que q est une forme

Transcription

1 PSI Lycée Rabelas Podu scalae e ohogoalé Podu scalae e ohogoalé I Podu scalae Rappels das les espaces vecoels su R E désge u espace vecoel su R Déf : So ϕ fome bléae syméque su E O appelle fome quadaque assocée à l applcao q de E das R qu à ou veceu assoce q( ϕ( ϕ es posve s : E, ϕ ( O d auss que q es ue fome quadaque posve : E, q( 3ϕ es défe posve : E \ { }, ϕ( > O d auss que q es ue fome quadaque défe posve : E \ { }, q( > 4 U podu scalae su E es ue fome bléae syméque défe posve 5 So ϕ u podu scalae su E Le couple ( E,ϕ s appelle u espace péhlbee éel S de plus E es de dmeso fe, o pale d espace euclde Pop : So ϕ fome bléae syméque su E ( E, q( + q( + q( + ϕ ( (deé de polasao ( E, ϕ ( ( q( + q( 4 Pop 3 : L esemble S ( E des fomes bléaes syméques su E es u R- espace vecoel L esemble Q (E des fomes quadaques assocées es auss u R- espace vecoel, somophe au pécéde Pop 4 : Iégalé de Cauchy-Schwaz So ϕ ue fome bléae syméque posve su E Alos : ( E, ϕ ( q( q( Podus scalaes usuels : Das R : S (,, e y ( y,, Das ( p M, p R, ( A B AB 3 Das C ([ a,b ],R, ( g y, ( ( a b b f f ( d a 4 Das ( I, R, espace vecoel des focos à valeus éelles coues e de caé L C égable su l evalle I : ( g I,, f f ( d y

2 PSI Lycée Rabelas Podu scalae e ohogoalé 5 Das l ( R, espace vecoel des sues éelles u défes su N elles que la sée u covege : ( + v u u v Cas des espaces vecoels su C E désge maea u espace vecoel su C Déf 5 : U podu scalae su E es ue applcao ϕ de codos : ϕ es léae à doe E E das C véfa les os ϕ pésee ue symée hemee : (, E, ϕ ( y, ϕ( * ϕ es défe posve : E \ { }, ϕ( R + So ϕ u podu scalae su E Le couple ( E,ϕ s appelle u espace péhlbee complee S de plus E es de dmeso fe, o pale d espace hlbee NB : ϕ ( peu êe complee, mas ϕ ( es oblgaoeme éel Pop 6 : So ϕ u podu scalae su E O oe ecoe : q( ϕ( E, ϕ ( e y E, ϕ (, y E (, E, λ, ϕ( + λ, ϕ(, + λ (, C, ϕ 3 E, λ C, q( λ λ q( 4 (, E, q( + q( + q( + Re( ϕ( Podus scalaes usuels : Das C : S (,, e y ( y,, Das ( p M, p C : ( A B AB 3 Das C ([ a,b ],C : ( g y : ( ( a b b f f ( d a 4 Das L c ( I,C espace vecoel des focos à valeus complees coues e de caé égable su l evalle I : ( g I,, f f ( d 5 Das l ( C, espace vecoel des sues complees u défes su N elles que la sée u so absolume covegee : ( + v u u v y 3 Nome assocée à u podu scalae So E u espace péhlbee quelcoque, éel ou complee O oe : E, q( ϕ(

3 PSI Lycée Rabelas Podu scalae e ohogoalé Pop 7 : Iégalé de Cauchy-Schwaz ( E, y ( y De plus, l y a égalé s e seuleme s la famlle ( es lée Pop 8 : Iégalé agulae (, E, + y + y De plus, l y a égalé s e seuleme s y ou : λ R +, λy Pop 9 : L applcao de E das R qu à ou veceu assoce : q( ϕ( es ue ome su E, appelée ome assocée au podu scalae ϕ (s K R, o pale de ome eucldee Rq : ( E, + y + y + Re( ( y e y + y ( + y + II Ohogoalé Veceus ohogoau E es u espace vecoel péhlbee quelcoque (su R ou su C Déf : Deu veceus e y so ds ohogoau losque : ( y, ou y ca : ( ( y Ue famlle de veceus ( e I deu ohogoau : (, I, ( e e O oe alos : es ohogoale losque ses veceus so deu à 3 Ue famlle ohoomale es ue famlle ohogoale do ous les veceus so uaes ( I, e Eemples : La base caoque de K es ohoomée pou le podu scalae usuel La base caoque de M ( es ohoomée pou le podu scalae usuel, p K Pop : Théoème de Pyhagoe ue famlle ohogoale de veceus de E Alos : e e So ( e,,e NB : Das u espace vecoel éel, la écpoque es vae uqueme pou deu veceus Das u espace vecoel complee, elle es fausse même pou deu veceus E : O mu C du podu scalae usuel : ( z z' zz', e o ped : z +, z Pop : Toue famlle ohogoale de veceus o uls es lbe 3

4 PSI Lycée Rabelas Podu scalae e ohogoalé Bases ohoomées Das ce paagaphe, o suppose que E es u espace de dmeso fe o ulle TH 3 : S E es de dmeso fe o ulle, alos E possède ue base ohoomée Pop 4 : Calculs das ue base ohoomée Soe e y deu veceus de E de coodoées (,, e ( y,, y base ohoomée B ( e,,, de maces X e Y das cee base S K R, alos : ( y XY e S K C, alos : ( y XY Pop 5 : So B ( e,, e e e ue base ohoomée Alos : E, ( e e S f es u edomophsme de mace M das B, alos :,,,, m e f ( e { } ( (, Rq : So B ( e,, e XX das ue XX ue base quelcoque d u espace vecoel E de dmeso L applcao ϕ défe e posa : ( E, ϕ( y es u podu scalae su E pou lequel la base B es ohoomée 3 U eemple pou l aalyse de oue Pop 6 : Das l espace vecoel complee C péodques e à valeus complees, la foco : podu scalae, e les focos e pou ce podu scalae π fomé pa les focos coues su R, π - π ( f, g a π f ( d es u : a e Z fome ue famlle ohoomée, La ome assocée à ce podu scalae es défe pa : es ulsée das l éude des sées de oue f π π f ( d Cee ome π O a alos : ( e f e f ( d c ( f epoeels de f π : l s ag des coeffces de oue 4

5 PSI Lycée Rabelas Podu scalae e ohogoalé 4 Sous-espaces vecoels ohogoau Déf 7 : U veceu es ohogoal à ue pae A de E losque : A, ( Deu sous-espaces vecoels e G so ohogoau losque : (, G y,( y 3 L ohogoal d ue pae A es l esemble des veceus ohogoau à A, oé o ou A Pop 8 : { } E ; { E } e G so ohogoau G G I e ( 3 { } 4 So A ue pae de E ( Vec( A A e A A es u sous-espace vecoel de E Csq : S es u sous-espace vecoel de dmeso fe, l ohogoal de es l ohogoal d ue famlle gééace So u,, u U veceu de E es ohogoal à s e seuleme s : {,, p},( u Pop 9 : S somme,, p p so des sous-espaces vecoels deu à deu ohogoau alos la +L+ p es dece III Poecos ohogoales Supplémeaes ohogoau Pop : Soe e G deu sous-espaces vecoels supplémeaes Les popéés suvaes so équvalees : e G so ohogoau G 3 G O oe pafos : E G TH : So E péhlbee quelcoque e u sous-espace vecoel de dmeso fe Alos e so supplémeaes das E O oe pafos : E Pop : Coséquece e dmeso fe S E es de dmeso fe e es u sous-espace vecoel de E, alos : E dm + dm dm E 3 ( 5

6 PSI Lycée Rabelas Podu scalae e ohogoalé Poecos ohogoales Déf 3 : So E péhlbee quelcoque e sous-espace vecoel de dmeso fe La poeco ohogoale su es la poeco su suva O la oea p La symée ohogoale pa appo à es la symée pa appo à suva O la oea s Das le cas pacule où E es de dmeso fe e où es u hypepla, ue elle symée es auss appelée ue éfleo Rq : O a la elao habuelle : s p d E Pop 4 : E, p ( + p ( TH 5 : Epesso du poeé ohogoal q So ( e,,e q ue base ohoomée de Alos : E, p ( ( e e Coollae 6 : Iégalé de Bessel q So ( e,,e q ue famlle ohoomale das E Alos : E, ( e Déf 7 : So das E La dsace de à es défe pa : d( f y y TH 8 : S es de dmeso fe, l ese u uque veceu y das el que : d( y, e : y p ( O a doc : d( p ( p ( 3 Pocédé d ohogoalsao de Schmd ue famlle lbe de veceus de E O pose : v u e pou ou ee e q : v u p ( u, où p es la poeco ohogoale su Vec ( v,, v Alos la famlle ( v,,v q,, q, vec u,, u vec v,, v So ( u,,u q es ohogoale e : { } ( ( Das la paque, cela eve à cheche v sous la fome : v u λ v, les scalaes λ éa els que : {,, }, ( v v, c es-à-de : ( u v O obe as le héoème suva : v λ TH 9 : So ( u,,u q ue famlle lbe de veceus de E Alos l ese ue famlle ohogoale ( v,,v q elle que : {,, q}, vec( u,, u vec( v,, v 6

7 PSI Lycée Rabelas Podu scalae e ohogoalé Remaque : S K R, o peu de plus mpose la codo :,( u v > Csq : S E es de dmeso fe, alos oue famlle ohoomée de E peu êe compléée pou fome ue base ohoomée de E Méhodes pou calcule le poeé ohogoal d u veceu : S o coaî ue base ohoomée de, o peu calcule p ( avec la fomule de poeco ohogoale S ( u,,u q es u base quelcoque de, o peu ohoomalse cee base pa le pocédé de Schmd O peu auss éve l ohoomalsao e écva ( sous la fome p q ( λ u Pus o adu les codos :, ( u p ( u sysème d équaos léaes pemea de déeme les coeffces λ p, ce qu doe 7