5. 1 Définition Propriétés

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1 5 Inégraion 5.1 Définiion Propriéés 5.2 Procédés de calcul d inégrales a Reconnaîre une dérivée b Inégrer par paries c Changer de variables d Inégrer des fracions raionnelles

2 5. 1 Définiion Propriéés Définiion: Soien I un inervalle de R e une foncion f:i R On appelle primiive de f sur I oue foncion F dérivable sur I e vérifian F xfx pour ou x de I On la noe Fx

3 Propriéés: Soi f une foncion coninue sur I 1. f adme des primiives sur I 2. Si F es une primiive de f sur I, oue primiive de f sur I es de la forme FxC où C es une consane réelle. 3. Si F es une primiive quelconque de f sur [a,b], alors b a f x dx [ F x ] b a F b F a

4 b a b f x dx [ F x ] F b F a a aire de la parie du plan délimiée par l axe des abscisses, les droies d équaions xa e xb e la courbe représenaive de f a - b

5 Relaion de Chasles soi f une foncion coninue sur I un inervalle conenan a, b e c b a c f d f d f d a Linéarié Soien f e g deux foncions coninues sur I conenan a e b b β g d α f d β a α f b a b c b a g d

6 5.2 Procédés d inégraion a Reconnaîre une dérivée >connaîre le ableau des dérivées usuelles

7 b Inégrer par paries Théorème: Soien f e g deux foncions dérivables sur [a,b] e elles que f g e fg soien coninues sur [a,b] alors b b b f ' x g x dx [ f x g x ] f x g' x dx a a a

8 c Changer de variable Théorème : Soi f une foncion coninue sur un inervalle [a,b] e soi u une foncion de classe C 1 elle que u[c,d] inclus dans [a,b] alors d c f u x u' x dx u d f l dl u c

9 d Inégrer des fracions raionnelles Définiion: Soien Px e Qx deux polynômes à coefficiens réels, alors FxPx/Qx es une fracion raionnelle.

10 Px/Qx peu s écrire de façon unique comme la somme d élémens suivans: Ax un polynôme des élémens du ype a 1 /x-x i n des élémens du ype a 2 xa 3 /x 2 bxc m où b 2-4c<

11 Pour calculer une primiive de P/Q, on es donc amené à déerminer des primiives du ype Ax dx où A es un polynôme a 1 /x-x i n dx 1/n-1 a 1 /x-x i n-1 C si n 1 ln x-x i C si n1 a 2 xa 3 /x 2 bxc m dx avec b 2-4c<

12 6. Equaions Différenielles Ordinaires EDO 6.1 Inroducion 6.2 EDO scalaires 6.3 Méhode de résoluion 1: uilisaion d une soluion pariculière 6.4 Méhode de résoluion 2: séparaion de variables 6.5. Model de Von Beralanfy 6.6 EDO du 2nd ordre linéaire

13 6.1 Inroducion Les équaions différenielles ordinaires son uilisées en biologie, en physique, en chimie, pour décrire l évoluion dans le emps de ceraines quaniés nombre d individus, concenraion de proéines, concenraion de réacan en chimies, ec. En praiques, l objecif es de quanifier les paramères du sysèmes pour pouvoir ensuie comparer «objecivemen» divers scénarios à l aide de méhode saisiques.

14 Variable d éa La variable d éa du modèle, conien l ensemble des quanié qui varien dans le emps e qui enre en jeu dans la dynamiques du sysème décri. Exemple: XCellules1, Cellules2, empéraure,. où es le emps

15 Exemple : loi exponenielle croissance Malhusienne [ ] 1 Modèle Malhusien : P M P P M P P P M P P aux de moralié : M aux de naalié : N : nombre d'individus P

16 d où P en faisan endre, on obien une Equaion Différenielle Ordinaire EDO: dp d P M P, M P, Pour calculer P on doi en plus connaîre la populaion au dépar i.e. à l insan : PP On peu alors déerminer le comporemen pour ou de la soluion en uilisan la formule explicie M,. P P exp

17 6.2 Equaion Différenielle Ordinaire scalaire Définiion: Une équaion différenielle es une équaion de la forme ' f,, Remarque: - Dans le cas du modèle de Malhus on a fx -Mx. - On di aussi que l EDO ci-dessus es une EDO die d ordre 1. - On peu aussi regarder l équaion différenielle ci-dessus dans un inervalle de emps quelconque.

18 Valeur e insan iniial Pour pouvoir calculer la soluion a un insan quelconque, il fau fixer la valeur de y a un insan arbirairemen choisi. L insan es appelé l insan iniial. C es l insan ou on commence l expérience, ou bien l insan ou on commence a faire les mesures. Pour calculer la soluion issue du modèle on fixe la valeur iniiale d d f,,.

19 On résume le problème dans le sysème appelé problème de Cauchy.,, y y y f d dy La soluion ne dépend que de la valeur de y, mais ne dépend pas de. Donc en praique lorsque f ne dépend pas du emps on prendra.

20 Flux de enran e soran du sysèmes Si on veu modéliser des flux enran e soran d une populaion avec un aux de croissance malhusien, on obien d λ d. f,, λ es le aux de croissance naalié mor f es la somme des flux enran e soran

21 Soluion saionnaire ou soluion à l équilibre: ce son les soluions consanes dans le emps. Donc N N,, avec λ N f.

22 Donc d d N - N d d d'où la formule e comme λn f dn d λ N - N, λ on obien N - N λ N - f λn f N,, N N e λ λ λ N N N 1 e N e

23 EDO non auonome Définiion: Une EDO non auonome es une équaion différenielle dans laquelle le second membre de l équaion f dépend aussi du emps. Auremen di, c es une équaion de la forme ' f,,, avec condiion iniiale. Sinon, on di que l équaion différenielle es auonome.

24 Cas pariculier 1 Si la variaion de N ne dépend pas de N, mais dépend du emps, on obien ds s f., D après le cours d inégraion on sai que la soluion es donnée par: On voi donc que même si on fixe la valeur de y, la valeur de la soluion y dépend de l insan iniiale Exemple: Flux migraoire en écologie!.,, y f d d

25 Exemple.,, cos 1 y y d dy ω l l l l y dl l y y sin cos 1 ω ω ω Si on considère La soluion es:

26 Cas pariculier 2.,, y f d d λ Si la variaion de y ne dépend pas de y, mais dépend du emps, on obien s ds s f e e., λ λ Nous allons démonrer que la soluion es donné par la formule: On peu regarder cee exemple que un cas où on a une populaion avec une croissance malhusienne e avec des flux enran e soran. Mais ici les flux enran e soran dépenden du emps. Exemple: Les migraion annuelles en écologie.

27 [ ] - dessus. ci on obien la formule enfin comme N on a 1, D'apres le cas pariculier., donc on obien En dérivan,. On pose z e dl l f e e dl l f e z z f e d dz f e e d d e e d dz e z l l λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

28 Cas pariculier 3 Si on regarde une populaion avec une croissance malhusienne, mais où le aux de croissance dépend du emps. Exemple, en écologie la moralié, ainsi que le aux de reproducion, dépenden des saisons i.e. de la empéraure. La empéraure joue un rôle déerminan sur la dynamique de beaucoup de sysèmes biologique. Pour résumer cela on écri que d λ, d., On a une soluion «explicie» qui es donnée par la formule: s ds e λ,

29 Cas «général»: Modèle malhusien dépenden du emps.,, f d d λ., dl l f e y e y ds s ds s l λ λ On peu résumé ous les cas précédan à l aide du l équaion suivane: On a encore une soluion «explicie» qui es donnée par la formule suivane: l'insan es la somme des flux enran e soran à l'insan à mor es le aux de croissance naalié f λ

30 6.3 Méhode de résoluion 1: Uilisaion d une soluion pariculière Dans l exemple concernan les flux enran e soran auonomes, i.e. consan en emps, nous avons uilisé une soluion d équilibre pour nous ramener au cas de l équaion linéaire de base. On peu faire la même chose dans la cas non auonome. En effe considérons d λ d. f,, Supposons que l on connaisse une foncion U saisfaisan du λ U f, d

31 Pour rouver la soluion N i.e. passan par N à l insan il fau de plus que. Pour cela on observe quev dv λ V d e on obien donc U vérifie l'équaion différenielle N U e λ s ds U.

32 6.4 Méhode de résoluion 2: séparaion des variables Définiion: les équaions à variables séparables son de la forme y' y s h g y, y s s, avec h e g coninues sur R e sur R respecivemen.

33 Noons y j les valeurs qui annulen la foncion g dans J alors la foncion consane yy j es une soluion de l équaion y hgy car y dérivée d une consane e gy j par définiion des y j

34 Mainenan, on suppose que y y j pour ou de I alors gy, l équaion de dépar peu s écrire y /gyh * si G es une primiive de 1/g alors la dérivée de Gy es y /gy dérivée d une composée Par conséquen, en inégran *, on obien GyHC où H es une primiive de h e C une consane. d où yg -1 HC où G -1 es la réciproque de G.

35 Exemple: y N-My hm-n e gyy g s annule en y: y es soluion Si y, on écri y /yn-m on inègre 1/g es 1/y donc G es ln lnyn-mc d où yk expn-m

36 y 1 2y h1 e gy12y g s annule en -1/2 donc y-1/2 es soluion si y -1/2, on écri y /12y1 en inégran, on obien ½ ln 12y C d où yexp2c-1/2kexp2-1/2

37 y 12y h e gy12y g s annule en -1/2 donc y-1/2 es soluion si y -1/2, on écri y /12y en inégran, on obien ½ ln 12y 2 /2C d où ykexp 2-1/2

38 6.4 Model de Von Beralanfy 1934 Croissance en aille On noe V volume du corps. On suppose que la croissance du corps es décrie par V FS-νV F nourriure, νcoû S es la surface du corps SγV 2/3

39 On obien donc V FγV 2/3 -νv On pose VL 3. On obien V 3L 2 L En remplaçan dans l équaion on obien 3L 2 L FγL 2 -ν L 3 D où L Fγ/3-ν/3 L

40 D où en uilisan le fai que VL 3 on obien ds F e L e L s γ ν ν ds F e V e V s γ ν ν

41 6.6 EDO du 2nd ordre à coefficiens consans Définiion: On appelle EDO linéaire du 2nd ordre à coefficiens consans les équaions du ype a y b y c yf où a, b e c son des consanes e f: R R coninue Dans ce cas on

42 EDO 2nd ordre à coef. consans sans second membre a y b y c y E Méhode : déerminer le discriminan de a r 2 b rc si > deux racines réelles disinces r 1 e r 2, une racine double rr 1 r 2 <, deux racines complexes conjuguées r 1 aib e r 2 a-ib

43 Toues les soluions de E s és écriven Si > ya expr 1 B expr 2 si yab expr si < yexpa A cosb B sinb où A e B son des consanes