Chapitre 7: Bandes d énergie. On ne fera pas le modèle de Kronig-Penney: p ,171-2

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Anne-Marie Malo
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1 Chpitre 7: Bndes d énergie On ne fer ps le modèle de Kronig-Penney: p ,171-

2 ppel Gz d électrons libres: Modèle le plus simple pour un métl Électrons libres dns une boîte de LLL On résout l éqution de Schrödinger Étts clssifiés pr k et d énergie Ekħ k /m Conditions u limites de périodicité k n/l Principe d eclusion de Puli Pourquoi certin mtériu sont métu et d utres isolnts? C est ce que nous llons répondre dns ce chpitre mis on peut dire tout de suite que c est à cuse de l diffrction de Brgg des électrons.

périodicité k n/l Principe d eclusion de Puli Pourquoi certin mtériu sont métu et d utres isolnts?

3 Énergie d électron en fonction de vecteur d onde électron qusi-libre Diffrction de Brgg d ondes d électrons vec vecteur d onde k en 1D

4 Métu, Isolnts et Semi-conducteurs L pluprt des éléments sont métlliques; les semi-conducteurs occupent une plce spécile entre les métu et les isolnts.

5 Comprendre les électrons dns un cristl Gz d électrons Modèle le plus simple Électrons sont complètement libres Les ions des tomes sont remplcés pr un niveu uniforme «Électrons dns une boîte» Cristl réel Vrition de potentiel à cuse des ions mis vec l périodicité du cristl Potentiel ttrctif négtif des ions

niveu uniforme «Électrons dns une boîte» Cristl réel Vrition de potentiel à

6 L éqution de Schrödinger L bse de l mécnique quntique Fonction d onde m + V r r E r Énergie cinétique Énergie potentiel Vleur propre Pour un cristl: V r + V r

7 L éqution de Schrödinger Comment peut-on résoudre cette éqution pour un potentiel périodique? m + V r r E r C est un problème très difficile qui est encore le sujet de recherche. Nous llons considérer le cs spécil: Modèle des électrons qusi libres

m + V r r E r C est un problème très difficile qui est encore

8 Prochine étpe pour comprendre les électrons dns un cristl Modèle des électrons qusi libres Vrition très fible du potentiel Commençons pr 1D

9 Électron en 1D 0 L E d d m Solution: m k E N n n L k ik,, 1, 0,, ; e ± ±

10 Électron en 1D vec potentiel i e e e e i i i i sin cos sin cos Ondes sttionnires:

11 Lrgeur de l bnde interdite G U d U E d U E E E E d U E d U E g g g cos sin cos sin ; cos ; cos ; cos G G du G U n G G G U U Pour un potentiel périodique en 1D: Évlution du gp d énergie à k/ L vleur du gp est égle u module de l composnte de Fourier du potentiel cristllin

un potentiel périodique en 1D: Évlution du gp d énergie à k/ L vleur

12 Fonction de Bloch Selon le modèle de conduction des électrons libre: l300 Å Cu à tempérture mbinte Question: Comment les électrons prviennent-ils pour se fufiler entre les tomes sous d ussi longues distnces? Feli Bloch en 198 pporté une solution à ce problème dns s thèse «J i trouvé, à mon propre émerveillement, que l onde des électrons différit des ondes plnes des électrons libres seulement pr une modultion périodique. Ceci étit tellement simple que je ne pensis ps que ç pouvit être une découverte, mis qund je l i montré à Heisenberg, il dit tout de suite : C est ç!» éférence: Mrder p. 155

Feli Bloch en 198 pporté une solution à ce problème dns s thèse «J i trouvé, à mon propre émerveillement, que l onde des électrons différit des ondes

13 Fonction de Bloch Si le potentiel est périodique Vr+Vr, est-ce que r+r? NON!!! Un contre eemple: les électrons libre e ik Preuve à l ide d opérteurs: Opérteur de trnsltion: ip T e opérteurs e e / / / r e dp e p dp p r r T ip ip r ip r ip Pour le potentiel nous vons: T r V T r V r V T lors T,V r [ ] 0

Opérteur de trnsltion: ip T e opérteurs e e / / / r e dp e p dp p r r T ip

14 Fonction de Bloch3 Aussi: ip ip e m P m P e m P T Alors: 0, m P T Nous vons donc : T,H [ ] 0 On peut ssocier un nombre quntique à T r C r T

15 Fonction de Bloch4 r + N r Condition de périodicité: T r C r r T N r C N r r N r C N 1 Solution: C e iθ ; e iθ N 1 Nθ n θ N n θ N n n k L C e ik

16 Énoncé du théorème de Bloch + e ik Si on écrit: ik k e u l epression ci-dessus pourvu que k nous stisfisons u + u k k ik + + e u + k e ik

17 Éqution d onde d électron dns un potentiel périodique Éqution centrle

18 Théorème de Bloch Séries Fourier sur les vecteurs du réseu réciproque, donc invrint à trnsltion T

19 Électrons libres dns un réseu hegonl

20 Électrons qusi libres dns un réseu hegonl

21 Nombre d orbitles dns une bnde Si nous vons une conditions de périodicité sur une longueur LN, lors: Nous vons donc: 4 N k 0 ; ± ; ± ; ; L L L L # étts L Chque étt peut recevoir électrons spin, lors une bnde peut contenir N électrons Il est souvent plus prtique de compter les électrons pr cellule, lors une bnde «peut» être remplie s il y deu électrons dns l cellule. N

22 Métu et isolnt

23 Hns Bethe Féli Bloch udolph Peierls Arnold Sommerfeld

24 Éqution centrle Éqution de Schrödinger pour un potentiel périodique: λ kb U U 4 U 6 U 8 Ck b Ck b U λ kb U U 4 U 6 Ck b Ck b U 4 U λ k U U 4 Ck ε Ck U 6 U 4 U λ k +b U Ck + b Ck + b U 8 U 6 U 4 U λ k +b Ck + b Ck + b

25 Éqution centrle: potentiel fible Si : U U cosb U0 0 ;U U ;U 4 0 ;... λ kb U Ck b Ck b U λ kb U 0 0 Ck b Ck b 0 U λ k U 0 Ck ε Ck 0 0 U λ k +b U Ck + b Ck + b U λ k +b Ck + b Ck + b

26 Éqution centrle: potentiel fible m k ; 0,1 λ k +G m k + G m Pour k 0 et m G n U 0.1 ; n est un entier + n + n C 4 C C C C0 ε C C C C 4 C 4 { , , , , } {1.0196, 1.0, }

27 m Éqution centrle: potentiel fible3 k ; 0,1 λ k +G m k + G m Pour k et m G n U 0.1 ; n est un entier + n + n C 3 C C C C ε C C 3 C C 5 C 5 {.555,.5475, , } {0.35, 0.15}

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