Les lois de probabilités absolument continues.

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1 Probabltés. Chaptre 5. Les los de probabltés absolument contnues. Du dscret au contnu. Dans certans cas, l'ensemble des valeurs possbles pour une varable aléatore n'est plus dscret (ensemble de valeurs numérotables) mas contnu (ntervalle de IR). Il en est ans, par exemple, des temps, des dstances, des talles, des pods, etc. On peut alors dscrétser la stuaton, par exemple en arrondssant les temps à la seconde, les dstances au klomètre, les talles au centmètre, les pods au klogramme, etc. On peut auss conserver toute la fnesse du contnu. Le contnu apparaît comme la lmte d'une dscrétsaton de plus en plus fne. Les correspondances entre le dscret et le contnu. a) La densté de probablté d une varable aléatore absolument contnue. Dans le cas dscret, la lo de probablté d une varable aléatore X est défne par la donnée des valeurs x possbles pour X (dscrètes, en nombre fn ou nfn) et des probabltés p correspondantes (p P(X x )). La donnée des p équvaut à celle des probabltés cumulées P(X x ). Dans le cas contnu, la lo de probablté d une varable aléatore X est défne par la donnée d une foncton f, appelée densté de probablté, telle que : ( x IR) P(X x) x f (u)du ce qu peut s écrre : ( x IR) P(x < X < x + dx) f(x)dx Pour être une densté de probablté, une foncton dot être postve et d ntégrale sur IR égale à. b) Les correspondances entre le dscret et le contnu. Le premer tableau les résume. Le deuxème (à compléter) les explote. Dscret x p Contnu x f(x)dx R Dscret Contnu Dscret Contnu Foncton de répartton F P (X x) { / x x} p P (X x) x f (t)dt Moment d ordre p f (x)dx Espérance Mathématque µ x p f (x)dx Moment d ordre n (n IN*) E (X n ) n x p E (X n ) n x f (x)dx E (X ) Varance σ x p σ E (X ) [E (X)] E (X ) x f (x)dx σ E (X ) [E (X)] Moment centré d ordre n (n IN*) E [(X µ ) n ] µ n (x ) p E [(X µ ) n ] n (x µ ) f (x Probabltés Chaptre 5 Page

2 3 Quelques proprétés des los absolument contnues. Hypothèses. a et b sont deux réels tels que a < b. X est un varable aléatore absolument contnue. f est sa densté de probablté. F est sa foncton de répartton. Proprétés. ) S f est contnue, alors : F f. ) Les proprétés de l espérance mathématque, de la varance, de l écart-type et des moments sont les mêmes que pour une varable aléatore dscrète. 3) Dans le cas contnu, les valeurs solées ont une probablté nulle. Il n y a donc pas leu de dstnguer les négaltés strctes des négaltés larges. P(X a) ; P(X b) ; P(X a) P(X < a) F(a) a f (x)dx ; P(X a) P(X > a) F(a) f (x)dx ; P(a < X < b) P(a X < b) P(a < X b) P(a X b) F(b) F(a) b f (x)dx. Exemples de los absolument contnues : les los unformes. Une varable aléatore absolument contnue X obét à la lo unforme sur [a ; b] (a < b) s sa densté de probablté est constante sur [a ; b] et nulle à l extéreur de [a ; b]. L ntégrale de la densté de probablté devant être égale à, sa valeur constante sur [a ; b] est nécessarement : b a. Voc donc l hstogramme de X, c est à dre la courbe représentatve de sa densté de probablté : b a a a La foncton de répartton F de X est telle que : a b ( x [a, b] ) F(x) x a b a. On peut vérfer que X a pour espérance a + b et pour varance (b a) La lo de probablté unforme sur [, ] est smulable par le générateur de nombres aléatores d un ordnateur ou d une calculette. On peut dédure les smulatons de nombreuses autres los de probabltés à cause du résultat suvant : S la foncton de répartton F d une varable aléatore X est strctement crossante sur { x IR / < F(x) < } et s U est une varable aléatore unforme sur [, ] alors les varables aléatores X et F - ou ont la même lo de probablté. En effet, pour tout réel x, P(F - ou x) P(U F(x)) F(x) P (X x).. Probabltés Chaptre 5 Page

3 Exercces.. Le générateur de nombres aléatores d un ordnateur fournt, à chaque sollctaton, un nombre aléatore X comprs entre et. Quelle est la lo de probablté de X? Son espérance mathématque? Sa varance? Quelle est la probablté, lors d une sollctaton, d obtenr un nombre entre, et,7?. f est la foncton ans défne : f(x) x s < x < ; f(x) snon. X est une varable aléatore de densté de probablté f... Explquer pourquo f peut être une densté de probablté... Détermner la foncton de répartton F de X..3. Calculer l espérance mathématque et la varance de X... Calculer la probablté P(/3 < X < /3). 3. X est une varable aléatore de densté de probablté f ans défne : f(x) x + s < x < ; f(x) snon. Vérfer que f est ben une densté de probablté ; tracer sa courbe représentatve ; détermner la foncton de répartton F de X et tracer sa courbe représentatve ; calculer l espérance mathématque et la varance de X.. X est une varable aléatore absolument contnue telle que P( < X < ). Elle a pour densté de probablté f, pour foncton de répartton F, pour espérance mathématque E(X) et pour varance V(X). Détermner f, F, P( < X < 3 ), E(X) et V(X) dans chacun des cas suvants... Il exste un réel a (à détermner) tel que, pour tout réel x comprs entre et, F(x) ax... Il exste un réel b (à détermner) tel que, pour tout réel x comprs entre et, f(x) bx. 5. X est une varable aléatore absolument contnue. f est sa densté de probablté. f(x) 3 ( x ) s < x < ; f(x) snon. F est sa foncton de répartton. E(X) est son espérance mathématque. V(X) est sa varance. 5.. Tracer la courbe représentatve de f. On prendra 5 cm pour unté sur chaque axe. 5.. Prouver que f est acceptable comme densté de probablté Détermner F. 5.. Calculer E(X) Calculer V(X) Calculer la probablté P(/ < X < 3/) et matéralser cette probablté sur la fgure tracée à la queston. 6. X est une varable aléatore de densté de probablté f ans défne : f(x) /x s x > ; f(x) snon. On rappelle que la dérvée de ln x est /x et que la dérvée de /x est /x. a) Vérfer que f est une densté de probablté. b) Calculer la probablté P ( < X < 3). c) X possède-t-elle une espérance mathématque? 7. Hypothèse. X est une varable aléatore absolument contnue de densté de probablté f ans défne : f(x) x 3 / s < x < ; f(x) snon. Questons. 7.. Vérfer que f est acceptable comme densté de probablté. 7.. Calculer E(X) Calculer V(X). 7.. Calculer la probablté P( < X < ). 8. Hypothèses. f est la foncton ans défne : f(x) (8 x3 ) s x ; f(x) snon. X est une varable aléatore absolument contnue admettant la foncton f pour densté de probablté. Questons. 8.. Représenter f en repère orthonormé. On prendra 5 cm pour unté. 8.. Vérfer que f est acceptable comme densté de probablté a) Calculer la probablté P( < X < ). b) Représenter cette probablté sur la fgure dessnée en queston. 8.. Calculer l espérance mathématque de X et la varance de X. 9. On chost au hasard un pont B sur un segment de drote [A, C]. On désgne par X la plus pette (au sens large) des deux longueurs AB et BC et par Y la plus grande (au sens large) des deux longueurs AB et BC. Calculer la probablté P(X/Y < /). Probabltés Chaptre 5 Page 3

4 . Un cble crculare de rayon mètre est consttuée de n bandes concentrques de même largeur. Ces bandes sont numérotées de l'ntéreur vers l'extéreur de à n. Lorsqu'on tre une flèche vers la cble, la probablté d'attendre une bande est proportonnelle à l'are de cette bande pondérée par le complément à de son rayon ntéreur (en mètre). De cette façon, la probablté d'attendre la cble est égale à. Il n'y a jamas d'ambguïté : la flèche n'attent jamas la séparaton entre zones. On désgne par X le rapport /n où est le numéro de la bande attente. I On suppose n 5. ) Détermner la lo de probablté de X. ) Dessner le dagramme en bandes correspondant (unté : cm). La réunon des bandes dot avor une are de unté d are. 3) Détermner et représenter la foncton de répartton de X. ) Calculer l espérance mathématque de X et la varance de X. Mêmes questons. II On suppose n. III On suppose n quelconque. n n n n(n ) n(n )(n ) Rappels : a na ; ;. 6 On désgne par x le réel /n. ) Détermner la lo de probablté de X en foncton de x et de n. ) Multpler par n pus fare tendre n vers l'nfn. On obtent une expresson f(x) ( x ). 3) Etuder et représenter f (unté : cm). ) Détermner sa prmtve F qu s'annule en. Etuder et représenter F. 5) Calculer les réels m x.f(x)dx et v x.f(x)dx m.. Deux agents secrets se rendent ndépendamment l un de l autre sur la place du Marché chaque premer lund du mos, aléatorement entre 7 heures et 8 heures, dans le but de se rencontrer. La durée du séjour de chacun sur la place (la même pour les deux) est fxée de telle sorte que la probablté d au mons une rencontre par trmestre sot égale à,96. Calculer cette durée. Arrondr à la mnute. Réponses.. S le générateur de nombres aléatores état parfat, X serat unforme sur [ ; ]. On fat cette hypothèse. E(X) / ; Var(X) / ; P(, < X <,7,7,,3... f est postve et d ntégrale sur IR égale à... F(x) s x ; F(x) x s < x < ; F(x) s x..3. E(X) /3 ; Var(X) /8... P(/3 < X < /3) F(/3) F(/3 /3. x + x 3. F(x) s x < ; F(x) s x < ; F(x) s x. E(X) 7/6 ; Var (X) / a ; X est unforme sur [, ] ; f(x) s < x < ; f(x) snon ; F(x) s x ; F(x) x s < x < ; F(x) s x ; P( < X < 3 ) ; E(X) ; V(X)... b ; f(x) x s < x < ; f(x) snon ; F(x) s x ; F(x) x s < x < ; F(x) s x ; P( < X < 3 ) ; E(X) 3 ; V(X) 8. Probabltés Chaptre 5 Page

5 ( x IR) f(x) ; f (x)dx 3 ( x )dx 3. 3 x x / S x alors F(x) ; s < x < alors F(x) (3x x3 ) ; s x alors F(x). 5.. E(X) xf (x)dx 3 (x x )dx 3 3 3/8. x / x / 5.5. E(X ) x f (x)dx 3 (x x )dx 3 V(X) E(X ) [E(X)] /5 9/6 9/ P(/ < X < 3/) F(3/) F(/) 35/6. / x / 3 x / 5 6. P ( < X < 3) /6. X ne possède pas d espérance mathématque. 7.. f est acceptable comme densté de probablté parce qu elle est postve ou nulle et que son ntégrale sur IR est égale à. 7.. E(X) / x dx 8/ E(X ) / x 5 dx 8/3 ; V(X) 8/3 6/5 8/ P( < X < ) / 3 x dx 5/6 8.. P( < X < ) Probabltés Chaptre 5 Page 5

6 8.. f est postve sur IR et f (x)dx 3 (8 x ) dx f est donc acceptable comme densté de probablté. 3 (8 x ) dx a) P( < X < ) 8.. E(X) xf (x)dx 3x x 8 (8x x ) dx E(X ) x f (x)dx 9. P(X/Y < /) /5 5 (8x x ) dx x x 6 3x x , x x V(X) ,89.. I (n 5) ) x /5 /5 3/5 /5 P(Xx) ( )aa ( - )a,89,6a (6 - )a,6a (8-6 )a,,a ( -8 a,7,a P(X x) a 3,6a 5,6a 36,8a a a/ x /5 /5 3/5 /5 P(Xx),9,,7,6,6 P(X x),9,3,58,8 ) Table de valeurs : x 6 8 y,5,9 3,6,7 8, L are de la premère bande est la probablté que la flèche attegne la cble à mons de centmètres du centre ; l are de la bande suvante est la probablté que la flèche attegne la cble à une dstance du centre comprse entre cm et cm, etc. Probabltés Chaptre 5 Page 6

7 3) ) E(X),36 ; Var(X),579. II (n ) x,,,3,,5,6,7,8,9 P(Xx) a,7a a,9a 5,a 5,5a 5,a,5a 3,a,9a P(X x) a 3,7a 7,7a,6a 8a 3,5a 8,7a 33,a 36,6a 38,5a a/38,5 x,,,3,,5,6,7,8,9 P(Xx),6,7,,7,,3,35,7,88,9 P(X x),6,96,,37,67,6,75,86,95 E(X),78 ; Var(X),57736 Probabltés Chaptre 5 Page 7

8 III (n quelconque) ) ( {,,..., n-}) P(nX ) a[( + ) ]( /n) a(- + (n ) + n) n n( n + )( n + ) P(nX ) a. 6 6 Donc a et ( x {, /n,..., (n )/n}) P(X x) 6 ( nx + )( x). n( n + )( n + ) ( n + )( n + ) ) 3) f(x) 6x( x) ; f (x) 6( x) ; f attent en ½ son maxmum égal à 3/. Courbe représentatve de f : ) 5) F(x) x (3x-) ; m,5 ; v,5. Courbe représentatve de F :. On chost l heure pour unté de temps. On ramène l ntervalle [7,8] à l ntervalle [,]. On désgne par T et T les nstants d arrvée de chacun des agents et par t la durée de leurs séjours. T et T sont deux varables aléatores ndépendantes unformes sur [,]. Calcul de la probablté de non rencontre un lund sor donné : P(T >T +t)+p(t >T +t) P(T >T +t) t t P(t <T <t +dt ).P(T >t +t) t P[(t <T <t +dt ) (T >t +t)] dt.(-t -t) Probablté de non rencontre durant un trmestre donné : (-t) 6. t ( t)t t (-t). Calcul de t pour que cette probablté sot égale à, : (-t) 6, ; t- 6,,5. L arrond en mnutes de la durée cherchée est 5. Probabltés Chaptre 5 Page 8