Exemples de champs électrostatiques

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1 Exemples de champs électostatques A. Exemples smples A.. Chage ponctuelle unque Le champ électque et le potentel absolu en un pont M nduts pa une chage ponctuelle q placée en O sont : q E 4 π u et V q 4 π où epésente le vecteu OM et u est le vecteu untae poté pa OM. Ce champ possède une syméte sphéque autou de O. Les équpotentelles sont des sphèes et les lgnes de champs des dotes ssues de O. Fg. : Chage ponctuelle en O. A.. Champ unfome Un champ électque unfome est tel qu l est dentque en tout pont de l espace : Ea u où a est une constante et u un vecteu untae fxe. Les lgnes de champ sont donc des dotes paallèles à u et les équpotentelles des plans pependculaes à u. Un champ unfome peut donc ête éalsé pa un condensateu plan nfn (cf. chapte 4). S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

2 Fg. : Champ unfome. Pou calcule le potentel nous pouvons chos un epèe catésen Oxyz avec l axe Ox paallèle à u. Dans ce epèe nous avons : x, y, z EM E x x, y, z x x, y, z E y x, y, z y x, y, z E z x, y, z z Le potentel ne dépend donc que de la vaable x et nous pouvons éce : dvx dx a Vx a xv La constante V epésente le potentel dans le plan x. Dans un condensateu plan défn pa deux amatues nfnes, mantenues aux potentels V et V sépaées d une dstance e, le champ électque est : E V V e le vecteu untae u étant dgé de V ves V. S dans une égon de l espace dépouvue de chages les lgnes de champ sont paallèles, le champ électque est unfome. Pou le monte chosssons un epèe Oxyz avec l axe Ox paallèle aux lgnes de champ. Dans ce epèe nous avons : u Le potentel absolu ne peut ête utlsé : l y a des chages à l nfn dans un condensateu plan nfn. S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

3 x, y, z EM E x x, y, z x x, y, z E y x, y, z y x, y, z E z x, y, z z Le potentel ne dépend donc que de la vaable x et l en est de même du champ électque. D aute pat, en l absence de chage la lo de Posson nous pemet d éce : Ce qu nous donne c : dv E dv E de x dx E xcste Le champ électostatque est unfome. B. Champ céé pa une couche plane cculae Nous consdéons une couche plane cculae unfomément électsée de ayon R et de densté sufacque σ. Nous chechons à calcule le champ et le potentel en un pont stué su l axe pependculae au dsque et passant pa son cente O. Fg. : Champ électque ndut pa un dsque unfomément chagé. L axe Ox est axe de syméte de la dstbuton de chage. En tout pont de cet axe le champ est donc poté pa celu-c. La stuaton pésentée su la fgue pécédente pemet de le véfe. Nous y consdéons la ésultante du champ ndut pa deux éléments de suface de même ae ds et damétalement opposés. Calculons l ntensté de la composante axale du champ céé en un pont M, de coodonnée x, su l axe pa un élément de suface ds du dsque : S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

4 de x σ ds 4 π a cosα où a epésente la dstance du pont M à l élément de suface et α l angle fomé pa le vecteu de et l axe (Fg. 4). Cette dstance et cet angle sont dentques pou tous les éléments de suface stués dans une couonne de ayon et de lageu d. Nous pouvons donc somme les contbutons d une telle couonne. Il vent : δe σ π d σ d 4 π a cosα a cosα Fg. 4 : Calcul dect du champ électque ndut pa un dsque chagé. Commençons pa asonne avec x >. Les tos vaables x, a et α sont elées pa deux équatons : a x et xtanα cosα Ans, à une lagueu d coespond une ouvetue dα telle que : dx dα cos α Ce qu nous donne pou le champ électostatque céé pa une couonne élémentae : δe σ snα dα Notons le dem-angle au sommet du cône défn pa le pont M et le dsque (Fg. 5). Pou calcule le champ ndut pa l ensemble du dsque nous devons donc somme su α ente et. Ce qu nous donne : Sot : E σ snα dα σ cosα S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 4

5 E σ cos Fg. 5 : Cône de sommet M et ayant pou base le dsque. Nous pouvons expme cos en foncton de x et de R : Ce qu nous donne pou le champ : x cos x R Ex σ x pou x> x R Su la fgue 4 nous avons asonné avec x postf. Pou x négatf le champ seat de même ntensté mas de sens opposé. Ce que nous pouvons éce : Sot encoe : Ou : Exsgnx σ x x R Ex σ x x x x R Ex σ x x x x R La fgue 6 pésente l allue de E(x) pou σ >, avec E σ. Remaquons qu l y a une dscontnuté du champ électque à la tavesé du dsque chagé. Calculons le potentel électostatque en M. Celu-c ne dépend que de la vaable x (y z ) nous pouvons donc éce : Sot : Ex dvx dx Vx Ex dx S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 5

6 Ce qu nous donne pou le potentel absolu : Vx σ x x x R dx x Vx σ x R x Fg. 6 : Intensté du champ céé pa un dsque unfomément chagé postvement. La fgue suvante lluste l allue du potentel pou σ > et V σ R. Il n y a pas de dscontnuté du potentel. Fg. 7 : Potentel ndut pa un dsque unfomément chagé postvement. C. Dpôle électque Un dpôle électque est un ensemble de deux chages ponctuelles de sgnes opposés sépaées d une dstance d. Nous allons étude le potentel et le champ électostatques céés pa un dpôle en un pont M stué à une gande dstance ( >> d). Consdéons un dpôle électque consttué d une chage q placée en un pont A et une chage q placée en B. Nous défnssons son moment dpolae p pa : pq AB S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 6

7 Dans le système ntenatonal l unté est C m. On utlse également une unté, adaptée à l échelle moléculae, le debye (symbole : D) avec : D C m C.. Potentel électque Calculons le potentel électostatque céé pa un dpôle en un pont M. Fg. 8 : Etude d un dpôle électque. Explctons nos notatons. L ogne O est chose au mleu du segment AB. u est le vecteu untae oenté de O ves M, l fome avec le vecteu AB un angle : AB,u. Nous supposons que la dstance OM, notée, est tès gande devant la longueu a du segment AB. Le potentel céé en M pa les deux chages s éct : VM q 4 π B A q 4 π A B A B En pemèe appoxmaton nous avons A B. Ce n est cependant pas suffsant, l nous faut évalue la dfféence ente les dstances aux deux chages. Pou cela patons de la elaton vectoelle suvante : BM AM AB Ce qu nous donne : Avec nos notatons : Sot : BM AM.AB AM AB AM.AB A a cos B A a A cosa S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 7

8 Au peme ode nous pouvons néglge le teme en a : Donc : B A a A cos A B a A cos D aute pat en développant : l vent : Ce qu nous donne : A B A B A B A B A B a cos A B acos Le potentel électostatque céé pa un dpôle en un pont élogné a donc pou expesson : VM q acos 4 π Nous econnassons le moment dpolae au numéateu : Sot encoe sous fome vectoelle : C.. Champ électque V VM pcos 4 π p u p 4 π 4 π Nous allons étude le champ électque céé pa un dpôle en utlsant des coodonnées sphéques. Nous chosssons un epèe othonomé dect O,e x,e y,e z avec le vecteu untae e z paallèle au moment dpolae : pp e z En coodonnées sphéques (,, ϕ) le gadent a pou expesson : gad V V V V snφ Ce qu nous donne pou le champ électostatque : S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 8

9 E E V E V E φ V φ pcos 4 π psn 4 π Comme la composante E ϕ est nulle le champ est toujous dans le plan défn pa le moment dpolae p et le pont M. Dans ce plan nous pouvons nous lmte aux coodonnées polaes : E E E p π cos p 4 π sn Calculons l ntensté du champ électque : Sot : E E E p 4 π 4cos sn E p 4 π cos C.. Postons pncpales de Gauss Les postons pncpales de Gauss coespondent à, π/, π et π/. Nous avons alos : E E E E et Eπ E E E avec : Eπ/ E E E et p E 4 π Eπ/ E E E La fgue 9 epésente le champ électque pou ces postons pncpales dans un plan contenant le moment dpolae. Revenons au epèe (Oxyz) avec l axe Oz défn pa p et le plan Oxz contenant le pont M. Expmons les coodonnées du champ électostatque dans ce epèe, nous avons : Ce qu donne : E E x E sne cos E y E z E cos E sn S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 9

10 E x E z p 4 π cossnsncos p 4 π sncos p 4 π cos sn p 4 π cos Nous pouvons dentfe une contbuton paallèle à u et une aute à l axe Oz : Sot encoe : E pcos u p 4 π pcosp u E p u u p 4 π Fg. 9 : Postons pncpales de Gauss pou un dpôle. C.4. Sufaces équpotentelles et lgnes de champ Les sufaces équpotentelles sont défnes pa : Ce qu nous donne une équaton du type : V pcos 4 π V a cos Pou a > nous avons -π/ π/ et pou a < nous avons π/ π/. S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

11 L ntesecton avec un plan contenant le moment dpolae est llustée su la fgue. Les deux coubes en bleu coespondent à deux potentels opposés. En supposant le moment dpolae oenté selon l axe Oz, les potentels postfs se stuent à dote et les potentels négatfs à gauche. Fg. : Une lgne de champ (en vet) et deux équpotentelles (en ouge : V > et en bleu V<) dans un plan contenant le dpôle (poté pa l axe Oz). Les lgnes de champ sont tangentes au champ électque. S nous notons dm un déplacement élémentae le long de la lgne de champ passant pa un pont M nous avons : En coodonnées polaes nous avons : dmk E dm d d et sndφ E E E E φ Nous avons donc dϕ le long d une lgne de champ. Chaque lgne de champ se stue dans un plan contenant le moment dpolae. De plus nous avons : dk E dk E d d E cos E sn Ce qu nous condut à l équaton dfféentelle : d cos d sn S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

12 Ce qu nous donne : Sot : lnlnsncste lnlnbsn avec b> Les lgnes de champ ont donc pou équaton polae : bsn La fgue monte l allue d une telle lgne de champ (coube vete en fome de 8) dans un plan contenant le moment dpolae (poté pa l axe Oz). Rappelons cependant que ces ésultats ne sont valables que suffsamment lon du dpôle. D. Dstbutons de chages à syméte sphéque D.. Couche sphéque unfomément électsée Consdéons une sphèe de cente O et de ayon R unfomément chagée en suface avec une densté σ. De pat la syméte de évoluton de la chage nous pouvons affme qu en tout pont M le champ électostatque est poté pa OM. De même le module de ce champ est dentque en tout pont d une sphèe de cente O. Le champ se lmte à sa composante adale qu ne dépend que de. Pou étude le champ électostatque nous pouvons applque le théoème de Gauss à toute sphèe de cente O et de ayon. Le champ étant nomal à la suface de la sphèe, flux sotant est facle à calcule : Φ () 4π E() Consdéons un pont à l ntéeu de la sphèe ( < R). Comme l n y a pas de chage à l ntéeu de la sphèe de ayon, le flux sotant est nul. Donc : E () pou < R Pou un pont à l extéeu de la sphèe ( > R) le théoème de Gauss nous pemet d éce : Ce qu nous donne : 4πR Φ Φ E() 4π σ 4π Le champ électostatque à l extéeu de la sphèe chagée est dentque à celu pa céé pa une chage ponctuelle placée en O. Nous avons également : E() σ R pou > R S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

13 Fg. : Champ et potentel pou une sphèe unfomément chagée en suface. Etudons mantenant le potentel électostatque. Compte tenu de la syméte sphéque celuc ne dépend que de. A l ntéeu de la sphèe chagée nous avons : d V() E () d Le potentel est constant. Plaçons nous au cente O. Toutes les chages sont à une dstance R. Donc s nous chosssons le potentel absolu céé pa cette dstbuton sphéque nous avons : V V() 4 π R σ R Pou un pont à l extéeu l équaton dfféentelle devent : d V() d Ce qu nous donne pou le potentel absolu : E() 4π V() 4 π σ R Nous pouvons constate qu l y a contnuté du potentel à la tavesée de la couche électsée. La fgue lluste l allue du champ et du potentel pou σ >, avec : E σ et σ R V. S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

14 D.. Sphèe unfomément chagée en volume Consdéons une sphèe de cente O et de ayon R unfomément chagée en volume avec une densté ρ. Comme dans l exemple pécédent, la syméte de évoluton de la chage nous pemet d affme qu en tout pont M le champ électostatque est adal et de même module en tout pont d une sphèe de cente O. Pou étude le champ électostatque nous pouvons applque le théoème de Gauss à toute sphèe de cente O et de ayon. A l extéeu de la sphèe nous avons encoe : avec : Ce qu nous donne : E() et V() 4 π 4 π R E() ρ et 4 π R ρ R V() ρ pou > R Plaçons nous à l ntéeu de la sphèe. Le flux sotant est popotonnel à la chage à l ntéeu de la sphèe de ayon, sot : Φ () q() 4 π ρ Nous en dédusons l expesson du champ : ρ E() L équaton dfféentelle pemettant de calcule le potentel s éct : Ce qu nous donne : d V() d ρ E() ρ V() 6 cste Pou détemne la constante nous pouvons calcule le potentel céé en O pa l ensemble des chages. Pou cela consdéons une couche sphéque de ayon et d épasseu d. Toutes les chages de cette couche étant à une dstance, celle-c contbue au potentel en O pou : Sot : dv ρdτ 4 π avec dτ 4 π d S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 4

15 dv ρ d Nous avons donc pou le potentel en O céé pa l ensemble de la sphèe : V() R ρ d ρ R En epotant dans l expesson du potentel l vent : V() ρ R ρ 6 ρ 6 (R ) Fg. : Champ et potentel pou une sphèe unfomément chagée en volume. Nous pouvons constate qu l n y a aucune dscontnuté du potentel n du champ à la suface de la sphèe chagée. En effet pou R nous avons : E ρ R et E ρ R La fgue pécédente lluste l allue de la vaaton du champ et du potentel en foncton du ayon pou une densté de chage postve. E. Dstbutons de chage à syméte cylndque E.. Fl ectlgne nfn unfomément électsé Consdéons un fl ectlgne nfn potant une chage lnéque λ. Calculons le champ et le potentel électostatques en un pont M stué à une dstance du fl. Compte tenu de la syméte cylndque du poblème nous pouvons de que le champ est adal et que son module ne dépend que de la dstance au fl. En effet tout plan contenant le fl est plan de syméte et content donc le champ électque. De même tout plan nomal au fl est S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 5

16 plan de syméte. En un pont M le champ électque se touve donc su l ntesecton du plan passant pa M contenant le fl et du plan nomal au fl passant pa M. Le champ est donc adal. D aute pat les nvaances pa appot à toute tanslaton paallèle au fl et à toute otaton autou du fl font que le champ est ndépendant de ϕ et de z. Fg. : Fl nfn unfomément chagé. Pou calcule ce champ nous pouvons applque le théoème de Gauss à un cylnde de évoluton autou du fl de ayon et de hauteu h (Fg. ). Le champ étant paallèle aux deux dsques fomant les bases de ce cylnde le flux sotant pa ces deux faces est nul. Nous avons donc pou le flux sotant du cylnde : Φ ( ) E() π h Ce flux est popotonnel à la chage contenue dans le cylnde : Nous avons donc pou le champ : λ h Φ λ E() π Nous pouvons éce l équaton dfféentelle pemettant de calcule le potentel : Sot apès ntégaton : d V() d λ E() π λ V() π ln cste S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 6

17 La pésence de chages à l nfn ntedt le chox du potentel absolu. On chost alos abtaement le potentel en un pont. Pou la dfféence de potentel ente deux ponts nous avons : λ V(M ) V(M ) V( ) V( ) ln π Elle ne dépend que des dstances des ponts au fl. E.. Cylnde de évoluton unfomément chagé en volume Consdéons un cylnde de évoluton autou d un axe (D) de longueu nfne, de ayon R unfomément chagé en volume de chage volumque ρ. Calculons le champ et le potentel électostatques en un pont M stué à une dstance du fl. Compte tenu de la syméte cylndque du poblème nous pouvons à nouveau de que le champ est adal et que son module ne dépend que de la dstance au fl. Pou calcule ce champ nous pouvons applque le théoème de Gauss à un cylnde de évoluton autou de l axe du cylnde de ayon et de hauteu h. Le champ étant paallèle aux deux dsques fomant les bases de ce cylnde le flux sotant pa ces deux faces est nul. Nous avons donc pou le flux sotant du cylnde : Φ ( ) E() π h Ce flux est popotonnel à la chage contenue dans le cylnde : Φ S le pont M est stué à l extéeu du cylnde nous avons : π R h ρ pou > R Ce qu nous donne pou le champ électque : E() π h π R h ρ E() ρ R pou > R S le pont M est à l ntéeu du cylnde nous avons : Sot : () π π h ρ E() π h h ρ pou < R ρ E() pou < R Remaquons que le champ est contnu en R. S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 7

18 Calculons mantenant le potentel. Commençons à l extéeu du cylnde. Nous avons : d V d ρ R E() ρ R V() ln() A La pésence de chages à l nfn nous ntedt de chos un potentel nul à l nfn. Pa conte nous pouvons chos le potentel en un pont patcule de l espace. Chosssons le potentel nul à la suface du cylnde : V(R). Nous avons alos : ρ R V() ln R pou > R A l ntéeu du cylnde nous avons : d V d ρ E() ρ V() 4 B Utlsons la même condton pou chos la constante B, l vent : V() ρ 4 (R ) pou < R F. Moments multpolaes Dans ce paagaphe nous evenons au cas de dstbutons dscètes de chages. Consdéons une dstbuton de chages ponctuelles {q },,n que nous étudons à gande dstance. Pa appot à une ogne O nous epéons pa un vecteu, de module, la poston de chaque chage q. De même nous notons la poston du pont M d obsevaton. Nous chosssons l ogne O dans le volume contenant les chages de telle sote que : où epésente le module du vecteu. << Nous pouvons éce le potentel électostatque ndut pa la dstbuton de chages au pont M : V (M) 4π n q d où d epésente la dstance sépaant le pont M de la chage q. Calculons cette dstance : d d S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 8

19 S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III - 9 S nous notons l angle, nous pouvons éce : d cos / d cos / Comme les dstances sont pettes devant la dstance d obsevaton nous pouvons éce : d cos / / avec : cos << Avec cette notaton nous avons : / ) ( d Effectuons un développement lmté au deuxème ode en utlsant : ) o( 8 ) ( / / o cos 8 cos ) ( Ce qu nous donne en ne gadant que les temes en / et / : / o cos cos ) ( Sot : ( ) / o cos cos ) ( Nous avons donc pou le potentel en M : ( ) π n n n cos q cos q q 4 (M) V Le potentel appaaît comme la somme de tos temes. S nous notons la somme des chages de la dstbuton nous avons pou le peme teme :

20 n q V (M) 4 π Consdéons le deuxème teme : Notons u le vecteu untae poté pa OM : V (M) q 4 π cos n Nous avons alos : u n n n q cos uq u P avec Pq Le vecteu P epésente le moment dpolae de l ensemble des chages. Avec ces notatons nous avons pou le deuxème teme du potentel : V M P u 4 π P 4 π Intéessons nous mantenant au tosème teme. Consdéons tout d abod le teme : cos cos u Il est possble d expme cette quantté en foncton des coodonnées spatales des vecteus. Pa exemple : u u a a Et : a u u a a a u b b a b u a u b b ab D aute pat nous pouvons éce : u u a a δ ab u a u b ab où δ ab est le symbole de Konecke : δ ab s a b s a b S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

21 En epotant ces deux expessons l vent : Sot : ( cos ) ( ) a ( ) b u a u b a b a b ( cos ) [ ( ) a ( ) b δab ] a b u a δ u ab b u a u b En sommant su toutes les chages de la dstbuton, nous pouvons donc éce le tosème teme sous la fome : V π (M) ab u a b 4 u a b où {u a } a,, epésentent les tos composantes du vecteu untae dgé de l ogne O ves le pont d obsevaton M et ab les 9 composantes du moment quadupolae de la dstbuton de chages défnes pa : ab n q [ ( ) ( ) δ ] a b ab Il est facle de véfe que le moment quadupolae est un tenseu symétque et de tace nulle : ba ab et aa a Il ne possède donc que 5 composantes ndépendantes. Avec ces notatons nous avons pou le potentel céé pa une dstbuton de chages en un pont élogné : V (M) 4 π 4π a P a u a 4π a b ab u a u b Ce ésultat se généalse aux dstbutons contnues de chages, avec pa exemple pou les moments dpolae et quadpolae : P ρ dτ ab ρ a b δ ab dτ S. Tsseant PHY : Electomagnétsme III -

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