XI. Géométrie dans l'espace.

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1 XI. Géométrie ns l'espce. 1. Rppel es notions vues en qutrième. 1.1 ositions reltives es plns et es roites onsiérons le prllélépipèe rectngle '''' ci-contre : eux plns peuvent être confonus. (ex. : ''' et ''') prllèles isjoints. (ex. : '' et '') sécnts. (''' et '') ' ' ' ' Une roite et un pln L roite peut être incluse ns le pln. (ex : '' ''') L roite et le pln peuvent être isjoints. (ex : l roite '' et le pln ) L roite et le pln peuvent être sécnts. (ex. : l roite ' et le pln ) eux roites peuvent être confonues prllèles isjointes (ex. : ' et ') ns ce cs elles sont coplnires. guches (ex. : ' et ) ns ce cs elles ne sont ps coplnires. sécntes (ex : '' et '') ropriété eux plns istincts et ynt un point commun ont u moins une roite commune comprennt ce point. 1.2 roites prllèles éfinition : eux roites e l'espce sont prllèles lorsqu'elles sont coplnires et non sécntes. ropriétés. eux roites prllèles à une même troisième sont prllèles entre elles : ( 1 // 2 et 2 // 3 ) 1 // 3 Il existe une et une seule roite pssnt pr un point onné et prllèle à une roite onnée. Si eux roites sont prllèles, tout pln qui coupe l'une coupe l'utre. 1.3 lns prllèles éfinition : eux plns sont prllèles lorsqu'ils ne sont ps sécnts. onséquence : Etnt onné 2 plns et, // = (plns confonus) ou = (plns isjoints) ropriétés. eux plns prllèles à un même troisième sont prllèles entre eux : 1 // 2 et 2 // 3 1 // 3 Il existe un et un seul pln pssnt pr un point onné et prllèle à un pln onné. Si 2 plns sont prllèles : ) toute roite e l'un est prllèle à l'utre ) toute roite qui perce l'un perce l'utre. c) tout pln qui coupe l'un coupe l'utre, et les roites 'intersection sont prllèles. 1.4 roite et pln prllèles éfinition : Une roite et un pln sont prllèles lorsqu'ils ne sont ps sécnts. onséquence : // (roite contenue ns ) ou = ( et sont isjoints) Exemples. On peut otenir une roite et un pln prllèles prtir e eux plns prllèles : toute roite e l'un est prllèle à l'utre (ex. : '''' // '' // cr '' ns '''') 4/01/2014 N Erpent - Géométrie ns l'espce XI - 1

2 prtir e eux roites prllèles : tout pln contennt l'une est prllèle à l'utre. (ex. : // '' et '' contient '' // '') ropriétés. Le prllélisme "roite - pln" est conservé lorsqu'on remplce l roite pr une roite prllèle et le pln pr un pln prllèle : ( // et // ' et // ' ) ' // ' 1.5 ritères. 1. ritère e prllélisme 'une roite et un pln Une roite est prllèle à un pln ssi elle est prllèle à une roite e ce pln c-à- : // ' // ' 2. ritère e prllélisme e eux plns eux plns sont prllèles ssi l'un 'eux contient eux roites sécntes respectivement prllèles à l'utre. c-à- : 1 // 2 1 et 2 1, 1 2 = {} 1 // 2 et 2 // 2 2. Exercices e révision. ' ' 1. ns le prllélépipèe ci-contre, les points I, J et K sont les milieux respectifs es rêtes, '' et '': 1 Montrer que,, K et J sont ns un même pln ésigné pr. 2 rouver que I' est prllèle à. ' ' 2. iméines 'un tétrère. Note : on ppelle rêtes opposées 'un tétrère, es rêtes n'ynt ps e sommet en commun. Montrer que, ns un tétrère, les trois segments joignnt les milieux es rêtes opposées sont concournts et se coupent en leurs milieux es roites sont ppelées iméines u tétrère. 3. émontrer que les igonles 'un cue se coupent en leur milieu 4. eux plns et se coupent selon une roite. et Q. et et. Q est ppelé quriltère guche. émontrer que les milieux es côtés e ce quriltère sont les sommets 'un prllélogrmme. 5. ns le cue stnr 'rête, émontrer que le tringle '' est équiltérl. lculer l'ire e ce tringle en fonction e ' ' ' ' 6. Soit et eux roites sécntes 'un pln et un point n'pprtennt ps à ce pln. onstruire l'intersection u pln, éterminé pr et et u pln éterminé pr et. 7. ns le tétrère, est le centre e grvité u tringle et Q est le centre e grvité u tringle. émontrer que Q est prllèle à. 8. ns le cue '''', M,N, et Q sont les milieux respectifs es rêtes, '', et '. émontrer que les roites MN et Q sont prllèles. 9. ns le tétrère : ', ', ' sont les milieux respectifs es rêtes, et. émontrer que les plns ', ' et ' se coupent en une seule roite. 10. émontrer que ns un tétrère régulier 'rête, les centres e grvité e chcune es fces sont les sommets 'un tétrère régulier. lculer l mesure e l'rête e ce tétrère en fonction e. XI - 2 N Erpent - Géométrie ns l'espce 4/01/2014

3 3. Orthogonlité. 3.1 roites orthogonles éfinition eux roites sont orthogonles lorsque leurs prllèles menées pr un point quelconque e l'espce sont perpeniculires. Exemple. Sur le prllélépipèe stnr, consiérons les rêtes '' et '. Leurs prllèles respectives menées pr le point ' ('' et ') sont perpeniculires. Les roites '' et ' sont ites orthogonles. On noter : '' ' onséquences 2 roites perpeniculires sont orthogonles 2 roites guches sont orthogonles si l prllèle à l'une menée pr un point e l'utre est perpeniculire à l première. ropriétés. L'orthogonlité e eux roites est conservée lorsqu'on remplce chcune 'elle pr une prllèle. ( 1 2 et 1 '// 1 et 2 '// 2 ) 1 ' 2 ' ns un pln, il existe une et une seule roite comprennt un point onné et à une roite onnée. ns l'espce, il existe une infinité e roites pssnt pr un point onné et à une roite onnée. ppliction. ns le cue ci-contre, les roites et '' sont orthogonles. En effet, '' '' (igonles 'un crré ) e plus '' // (cr '' est un prllélogrmme cr ' et ' sont prllèles et e même longueur) Et nous vons ien '' 3.2 roites et plns orthogonux éfinition Une roite et un pln sont orthogonux lorsque l roite est orthogonle à toute roite u pln ' ' ' ' ' ' ' ' ette notion se conçoit isément en oservnt le mouvement 'une porte. Si nous consiérons une porte tournnt utour e s chrnière ette porte ne se éforme ps urnt le mouvement : les côtés et emeurent perpeniculires. Le côté glisse sur le plncher. On peut, sur le sol, essiner une roite M quelconque et fire coïncier le côté e l porte vec cette roite M (quel que soit le point M choisi) M Et l chrnière est perpeniculire à toute roite u plncher qui psse pr. Toute roite ns le pln u sol ne comprennt ps le point est prllèle à une roite ns le pln u sol et comprennt le point onséquence : si une roite est à un pln lors elle est à toute roite e ce pln. M ritère 'orthogonlité 'une roite et 'un pln Si une roite est orthogonle (ou perpeniculire) à eux roites sécntes 'un pln, lors cette roite est orthogonle à ce pln. Schém : 1 er cs : Hypothèse : Soit un pln et une roite = {} et c c = {} et c Soit une roite quelconque e comprennt 4/01/2014 N Erpent - Géométrie ns l'espce XI - 3

4 Thèse : émonstrtion : Sur, on choisit les points et Q, e prt et 'utre e, à égle istnce e. ns, on trce une roite s, ne comprennt ps, coupnt en, c en et en. Nous llons montrer que le tringle Q est isocèle. 1. Les et Q sont isométriques cr : ) Q (pr constr.) ) Â = QÂ = 90 (pr hyp.) et c) est un côté commun Q (1) 2. Les et Q sont isométriques cr : ) Q (pr constr..) ) Â = QÂ = 90 (pr hyp.) et c) est un côté commun Q (2) 3. Les et Q sont isométriques cr : ) Q(1) ) Q (2) et c) est un côté commun Ĉ = Q Ĉ (4) 4. Les et Q sont isométriques cr : ) Q (2) ) = côté commun et c) Ĉ = Q Ĉ (4) Q Et nous vons insi prouvé que le tringle Q est isocèle L méine issue u sommet est ussi huteur reltive u côté Q cqf! 2 ème cs :, c et sont quelconques ns r on trce ', c' et ' respectivement prllèles à, c et. ' cr et ' // c ' c' cr c et c' // c ' (pr le premier cs) c' cr ' et // ' onséquence : our prouver qu'une roite est orthogonle à un pln, on peut se contenter e prouver qu'elle est orthogonle à eux roites sécntes e ce pln. Exemple. Soit à prouver sur le cue ci-contre que l roite '' est orthogonle u pln ''. émonstrtion : ' '' et ' '' (cr rêtes consécutives u cue) ' ''' (cr ' 2 roites sécntes e ce pln) ' à toute roite e ce pln. En prticulier, ' '' Or '' '' (igonles 'un crré) '' est onc orthogonle à eux roites sécntes u pln '' '' pln '' N.. on peut ussi en conclure '' ', '' '... ropriétés L'orthogonlité "roite - pln" est conservée lorsqu'on remplce l roite pr une roite prllèle et le pln pr un pln prllèle : (, // ' et // ' ) ' ') Il existe une et une seule roite pssnt pr un point onné et orthogonle à un pln onné. Il existe un et un seul pln pssnt pr un point onné et orthogonl à une roite onnée. eux roites orthogonles à un même pln sont prllèles : ( et ' ) // ' eux plns orthogonux à une même roite sont prllèles : ( et ' ) // ' s c ' Q ' ' ' ritère 'orthogonlité e eux roites eux roites sont orthogonles si l'une 'elles est incluse ns un pln perpeniculire à l'utre. Hypothèse : Soit les 2 roites et et le pln Thèse : émonstrtion à toute e roite e XI - 4 N Erpent - Géométrie ns l'espce 4/01/2014

5 3.3 lns perpeniculires éfinition eux plns sont perpeniculires ssi tout pln perpeniculire à leur roite 'intersection coupe ces plns selon eux roites perpeniculires Si = et, = et = lors : Remrque r extension, l'ngle formé pr eux plns ( et ) est l'ngle formé pr les roites 'intersection ( et ) 'un pln perpeniculire à, vec les plns et Sur l figure ci-contre, l'ngle entre le pln et le pln est l'ngle ritère 'orthogonlité e 2 plns Une conition nécessire et suffisnte pour que eux plns soient perpeniculires est que l'un 'eux contienne une roite orthogonle à l'utre. utre formultion : eux plns sont perpeniculires l'un 'eux contient une roite orthogonle à l'utre. 1 ère prtie : l conition est nécessire.() Hypothèse Soient les plns, et = Thèse ' ' émonstrtion Soit = et = à toute roite e (cr une roite à un pln est à toute roite e ce pln) r hypothèse : et (cr une roite à 2 roites sécntes 'un pln est à ce pln) Et nous vons insi trouvé une roite ' = ns le pln perpeniculire u pln : cqf 2 ème prtie : l conition est suffisnte () Hypothèse Soient les plns, = p et p Thèse émonstrtion = et = (une roite perpeniculire à un pln est perpeniculire à toute roite e ce pln) p (pr hyp) p (une roite perpeniculire à un pln est perpeniculire à toute roite e ce pln) ns le pln, p et p // (cr ns un pln, eux roites perpeniculires à une même troisième sont prllèles entre elles) Or, p (cr si eux roites sont prllèles et que l'une 'elles est perpeniculire à un pln, lors l'utre est ussi perpeniculire à ce pln) à toute roite e : en prticulier à : Le pln coupe onc les plns et selon eux roites perpeniculires : : cqf p 4/01/2014 N Erpent - Géométrie ns l'espce XI - 5

6 4. ln méiteur éfinition On ppelle pln méiteur 'un segment [] ( ), le pln perpeniculire à l roite pssnt pr le milieu u segment [] Le pln méiteur ns l'espce joue un rôle nlogue à celui e l méitrice ns le pln. L propriété suivnte l'exprime. ropriété Soit le pln méiteur 'un segment [] ) Tout point e est équiistnt e et e ) et réciproquement : tout point e l'espce situé à égle istnce es extrémités e [] est un point e. ) Hypothèse : : le pln méiteur e [] et {I} = Thèse : (, ) = (, ) émonstrtion :, et I I ns le pln, I est l méitrice e. (, ) = (, ) (pr l propriété e l méitrice ) (cqf.) I ) Hypothèse : : le pln méiteur e [] {I} = (, ) = (, ) Thèse : émonstrtion : ns le pln, (, ) = (, ) méitrice e I I et onc nous vons ien (cqf) L propriété ci-essus peut églement s'énoncer : ns l'espce, le pln méiteur 'un segment est le lieu es points équiistnts es extrémités u segment. 5. En résumé : comment émontrer? Qu'une roite est perpeniculire à un pln : - émontrer que cette roite est perpeniculire à 2 roites sécntes u pln - Ou émontrer que le pln est le pln méiteur 'un segment e l roite (ce qui revient à montrer que 3 points u pln sont à égle istnce es extrémités u segment) Que 2 roites sont orthogonles : - émontrer que l'une 'elles est ns un pln perpeniculire à l'utre - ou montrer que l'une 'elles est ns le pln méiteur 'un segment e l'utre (ce qui revient à montrer que 2 e ses points sont à égle istnce es extrémités u segment) Que 2 plns sont perpeniculires : - Montrer qu'un 3 ème pln perpeniculire à l roite 'intersection es 2 plns coupe ceux-ci selon 2 roites perpeniculires - Montrer que l'un 'eux contient une roite perpeniculire à l'utre. XI - 6 N Erpent - Géométrie ns l'espce 4/01/2014

7 6. rojections - istnces 6.1 rojeté 'un point Soit une roite et un pln non prllèles. r un point e l'espce menons l prllèle à pssnt pr : cette roite est sécnte vec en un point ' qui, pr éfinition est le projeté e sur prllèlement à. L projection sur selon ssocie à tout point son projeté '. ' 6.2 rojection orthogonle L roite orthogonle à menée u point perce le pln en ' qui est le projeté orthogonl e sur (ou l projection orthogonle e sur ) ' 6.3 istnces istnce 'un point à une roite L question se résume à un prolème e géométrie plne : (, )= (, ') où ' est le pie e l perpeniculire à menée pr le point ' istnce 'un point à un pln. (, ) = (, ') où ' est le point e percée e l perpeniculire u pln issue e (ou encore où ' est le projeté orthogonl e ) ' istnce 'une roite à un pln ) Si l roite est sécnte u pln, le prolème n' ps e sens. ' ) Si l roite est prllèle u pln, lors (, ) = istnce 'un point quelconque e à ' 4/01/2014 N Erpent - Géométrie ns l'espce XI - 7

8 6.3.4 istnce entre eux plns. ) Si les plns sont sécnts, le prolème n' ps e sens. ) Si les plns sont prllèles, lors (, ) = istnce 'un point quelconque e à Et on est insi rmené u prolème e l istnce 'un point à un pln 6.4 istnce entre eux roites. ) Si les eux roites sont sécntes, lors le prolème n' ps e sens ) Si les eux roites sont prllèles, lors ( 1, 2 ) = istnce 'un point quelconque e 1 à l roite 2 c) Si les eux roites sont guches, on construir l perpeniculire commune à ces eux roites: c et c tel que : c = {} et c = {} lors (, ) = (, ) Il nous reste onc à pouvoir trcer l perpeniculire commune à eux roites guches. c 7. Quelques prolèmes e construction 7.1 r un point onné, construire une roite orthogonle à une roite onnée ' 1. r, trcer l roite ' // 2. onstruire un pln contennt ' 3. ns, trcer l roite ' Il y une infinité e plns, onc une infinité e roites 7.2 r un point onné, construire un pln à une roite onnée En utilisnt l construction précéente, on trce eux roites et istinctes orthogonles à l roite et comprennt Le pln cherché est le pln éterminé pr les roites et. 'est l'unique solution 7.3 r un point onné, construire une roite perpeniculire à un pln 1. On trce ns eux roites sécntes et 2. On trce, pr, les plns et et (pr l construction 2) 3. On consière l roite = : c'est l roite cherchée. (En effet : ( ) et ( ) u pln comprennt et c.-à-. ) ette solution est unique. XI - 8 N Erpent - Géométrie ns l'espce 4/01/2014

9 7.4 onstruire l perpeniculire commune à eux roites guches et 1. Figure (1) : hoisir un point e et construire, pr, l roite ' // et soit le pln éterminé pr les roites et ' 2. figure (2) : onstruire, pr un point quelconque e l roite, l roite ' et soit le pln éterminé pr les roites et ' 3. Figure( 3) : éterminer Q, le point e percée e l roite ns le pln et trcer pr Q et ns l roite // à l roite ': l roite est l roite cherchée. en effet : // ' ; ' et ( et sont coplnires : ns ) // ' ; // ' ; ' ') or [ coupe en Q] ' ' ' ' ' Q fig. 1 fig. 2 fig Exercices. 8.1 Vri ou fux? 1. eux roites orthogonles à une même troisième sont prllèles. 2. eux roites orthogonles à un même pln sont prllèles. 3. eux plns perpeniculires à un même pln sont prllèles. ns les 3 exercices suivnts, on consière le cue stnr '''' 4. Les roites ' et sont orthogonles. 5. Le tringle ' est rectngle. 6. Les roites ' et ' sont sécntes et orthogonles. 7. ns un prllélépipèe rectngle e imensions 1 cm, 4 cm et 8 cm, l imension 'une grne igonle est un nomre entier e centimètres. 8.2 Orthogonlité 1. Les tringles et, non coplnires, sont rectngles en. émontrer que les roites et sont orthogonles. 2. Sur trois emi-roites 'origine O et perpeniculires eux à eux, on porte les points, et équiistnts e O. émontrer que les trois pires 'rêtes guches u tétrère O sont orthogonles. 3. ns le cue stnr '''' on note I, J et K les milieux es rêtes ['], [''] et [']. Montrer que ' est orthogonle u pln IJK. (utiliser le prllélisme e ' et ') 4. Les plns et se coupent suivnt l roite i. et sont es roites e et ( et ) et i et i en I. et étnt es points respectivement e et, émontrer que est orthogonle à i. 5. Les 3 perpeniculires. Un point se projette orthogonlement en sur un pln Le point se projette orthogonlement en sur une roite contenue ns. Montrer que les roites et sont orthogonles. 6. Une pyrmie pour se un crré e centre O et son sommet S est sur l roite orthogonle u pln u crré issue u point O. ) réciser les positions reltives es plns S et S? émontrer ) Soit I le milieu e [] et J celui e [] Montrer que le pln SIJ est perpeniculire ux plns S et S. 4/01/2014 N Erpent - Géométrie ns l'espce XI - 9 ' ' ' '

10 8.3 ln méiteur. 1. émontrer que eux rêtes guches 'un tétrère régulier sont orthogonles. 2. ns un tétrère régulier, chque rête est perpeniculire u pln éterminé pr son milieu et les eux sommets qui ne lui pprtiennent ps. émontrer. 3. ns le cue représenté ci-contre, montrer que l igonle ' est orthogonle u pln u tringle ''. ' ' ' ' 4. Etnt onné un pln, éterminer le lieu géométrique es points e ce pln équiistnts e eux points onnés et quelconques. 5. On onne un tringle. ) émontrer que les plns méiteurs es côtés u tringle ont une roite commune ) émontrer que tout point e est le centre 'une sphère comprennt les points, et. c) émontrer que le centre e toute sphère comprennt les points, et est un point e ) En éuire un lieu géométrique. 6. ns un pln, éterminer un point équiistnt e trois points onnés, et 7. On onne qutre points non coplnires,, et. ) réciser le lieu es points équiistnts e, et et le lieu es points équiistnts e, et ) émontrer que les lieux précisés en ) ont un point commun. c) En éuire une propriété intéressnte es tétrères. 8. émontrer que ns un tétrère régulier, l perpeniculire u pln 'une fce menée pr le point e rencontre e ses huteurs compren le qutrième sommet. ' 9. L'hexgone es milieux. M L ' ns l figure ci-contre, les points I, J, K, L, M et N sont les milieux respectifs es ' rêtes,, ', '', '' et ' u cue ''''. ' K ) Montrer que chcun e ces six points est à égle istnce e et e '. Que N pouvez-vous en éuire? ) omprer l longueur es segments [IJ], [JK], [KL], [LM], [MN] et [NI] J c) En éuire l nture e l'hexgone IJKLMN. I 10. Un crré inscrit ns un cue.: on consière un crré e côté 1 et on plce les points I, J, K et L respectivement sur les côtés [], [], [] et [] tels que 0.75 ) Montrer que IJKL est un rectngle. ) omme l'illustre l figure ci-contre, l construction précéente été effectuée sur l fce inférieure 'un cue 'rête 1. Les points I', J', K', L' sont lors les projetés orthogonux e I, J, K et L sur l fce ''''. Quelle est l nture u solie IJKLI'J'K'L'? c) Montrer que JKL'I' est un rectngle. ) lculer I'J et JK et en éuire que JKL'I' est en fit un crré. I L J K = Informtion : Le crré précéent pour côté ,0607..Il est plus grn qu'une fce u cue. Mis c'est surtout le plus grn crré que l'on puisse inscrire ns le cue (ont les sommets sont sur les fces u cue). 8.4 istnces 1. Sur un cue ont l'rête mesure, clculer : ) les longueurs es igonles es fces ) les longueurs es igonles c) l istnce 'un sommet u centre 'une fce qui ne le compren ps. ) l istnce 'un sommet u milieu 'une rête qui ne le compren ps (plusieurs cs!) e) l istnce es milieux e eux rêtes guches. ' ' L' L K' I' I K ' J' J ' XI - 10 N Erpent - Géométrie ns l'espce 4/01/2014

11 f) l istnce 'un sommet à un pln igonl qui ne le compren ps. g) l istnce 'un sommet u pln éterminé pr les extrémités es rêtes comprennt ce sommet. 2. Sur un tétrère régulier 'rête, clculer ) l huteur e chcune es fces ) l huteur u tétrère c) l istnce es milieux e eux rêtes guches. 3. Soit le cue '''' 'rête e longueur. ) Montrer que le tétrère '' est un tétrère régulier. lculer l longueur e son rête en fonction e. ) Soit F et G les centres e grvité es fces '' et '. lculer l longueur u segment [FG] en fonction e. 8.5 erpeniculires communes à eux roites guches 1. Sur un cue '''' 'rête, éterminer l perpeniculire commune ux roites suivntes. éterminer ensuite l istnce entre ces roites ) eux rêtes guches (p. e. et ') ) une rête et une igonle e fce (p. e. et ') c) eux igonles e fces opposées (p. e. et '') ) une rête et une igonle (p.e. ' et ') e) une igonle et une igonle e fce (p.e. ' et '') f) eux igonles e fces sécntes (p.e. ' et ') 2. éterminer l perpeniculire commune à eux rêtes guches 'un tétrère régulier 'rête. lculer, en fonction e, l istnce entre ces rêtes. 3. onstruire un cue ont eux rêtes sont portées pr eux roites guches orthogonles onnées. 4/01/2014 N Erpent - Géométrie ns l'espce XI - 11