ELEMENTS PROPRES D'UN ENDOMORPHISME

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1 lémets rores d' edomorhsme LMNTS PROPRS D'UN NDOMORPHISM * désge K esace vectorel de dmeso fe N Sos esaces stables défto Soet edomorhsme de, F sos esace vectorel de O dt qe F est stable ar s F F S F est sos esace stable ar, la restrcto de à F dt edomorhsme de F, oté F déf ar : F, F théorème caractérsato matrcelle d' sos esace stable Sot F sos esace vectorel o l de Sot e e,, e e base de obtee e comlétat e base e,, e de F Alors f est stable ar s et selemet s mat ; e est de la A B forme, avec A M K, C M, K, 0 état la matrce lle à - lges et 0 C coloes démostrato lémets rores d' edomorhsme désge c K esace vectorel, o écessaremet de dmeso fe défto valer rore Sot edomorhsme de O dt qe K est valer rore de s d est o jectf, c'est-à-dre s'l este {} 0 tel qe défto sectre O aelle sectre d' edomorhsme de, oté S, l'esemble des valers rores de défto vecter rore O dt qe est vecter rore d' edomorhsme s 0 et s'l este K tels qe défto sos esace rore Sot edomorhsme de et S O aelle sos esace rore de assocé à la valer rore, le sos esace Ker d S DUCHT - wwweslo000frst /5

2 lémets rores d' edomorhsme roosto Sot edomorhsme de Sot de dstctes Alors la somme e famlle de valers rores de de à est drecte démostrato Par récrrece sr Notos P : "s est e famlle de valers rores de de à de dstctes, alors la somme est drecte" Sot, de valers rores de avec Sot Alors et Doc 0 et doc 0 car 0 et doc + Doc { } P est doc vrae Sot N, Sosos P vrae Sot + e famlle de valers rores de de Sot à de dstctes O a car P est vrae + + Alors,, Or + + doc + 0 doc + 0, Or, N, + doc + La somme état drecte, la décomosto est qe vor chatre sr sommes et sommes drectes de sev doc : N, 0 doc N, 0 car + Doc 0 doc {} S DUCHT - wwweslo000frst /5

3 lémets rores d' edomorhsme + Doc + doc P+ est vrae Doc : N,, P est vrae Corollare U vecter rore est assocé à e sele valer rore S,, est e famlle de vecters rores assocé à des valers rores de à de dstctes, alors cette famlle est lbre roosto Sot edomorhsme de et S P K[ X ], P S P N, S démostrato P X est dvsble ar X car ce olyôme admet comme race Q K[ X ], P X X Q X Doc P d Q d doc Ker d Ker P d Comme Ker d { 0} car S, l e réslte qe Ker P d { 0} doc P d est o jectf doc P S P o alqe avec P X X roosto Sot edomorhsme de S est versble, alors 0 S et o a : S, S démostrato S est versble, alors est jectve doc { 0} S {} 0, {} 0, {} 0, {} 0, Ker et doc 0 S S DUCHT - wwweslo000frst 3/5

4 lémets rores d' edomorhsme 3 Polyôme caractérstqe * désge esace vectorel de dmeso fe N théorème Sot A M K det A X I est olyôme de degré S a et b sot semblebles, alors det A X I det B X I démostrato Notos A et a j j s j, a X, j N, s j, j a j A X I det A X I ε σ σ S σ, j j s σ d N, σ, a X doc σ, est olyôme de degré et de coeffcet domat s σ d N, σ, est olyôme de degré férer o égal à - doc det A X I est olyôme de degré, de coeffcet domat Soet A, B M K de matrces semblables P GL K, B P AP det B X I det P AP X I det P AP P X I P det P A X I P det P det A X I det P det A X I det P det P défto olyôme caractérstqe d'e matrce Le olyôme χ X det A X I est aelé olyôme caractérstqe de A A défto Sot edomorhsme de Sot e e base de et A mat ; e Le olyôme χ X det A X I est déedat de la base chose χ est aelé olyôme caractérstqe de théorème Sot edomorhsme de res A M K est valer rore de res de A s et selemet s est race d olyôme caractérstqe de res de A S DUCHT - wwweslo000frst 4/5

5 lémets rores d' edomorhsme démostrato S Ker d det d 0 χ 0 {} 0 défto O dt qe K est valer rore de d'ordre m s est race de χ d'ordre de mltlcté m roosto Sot edomorhsme de et e valer rore de d'ordre m Alors dm m démostrato est valer rore de Sot vecter rore assocé et 0 doc dm Sot v l'edomorhsme de dt ar Sot dm Sot e e base de mat v; e dag,,, aarassat fos χ v X X et χ v dvse χ doc m, c'est-à-dre dm m S DUCHT - wwweslo000frst 5/5