1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice?

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1 UT2J Déprtement de Mthémtiques et Informtique Année Liene MIASHS 1 ère nnée Mthémtiques S2 (MI005AX) Chpitre III Les Déterminnts ve détermintion! emmnuel ureu GS256 tél : hllouin@univ-tlse2fr wwwmthuniv-toulousefr/ hllouin/eh-l1-s2-miashshtml hllouin 1 u'est-e que le déterminnt d'une mtrie? Nous générlisons ii l notion de déterminnt que vous onnissez déjà en dimension 2 et 3 L dénition que nous présentons, pr réurrene, n'est ps l dénition oielle Cette dernière, plus struturelle et sûrement plus stisfisnte, néessite l'introdution de nouvelles notions qu'il serit trop long de présenter ii D'où le hoix d'une dénition lterntive plus lultoire Rssurez vous les deux dénitions sont ien équivlentes! Rppelons l dénition du déterminnt d'une mtrie rrée de tille 2 ou 3 que vous vez vue u semestre dernier : = , = Si M désigne l mtrie, on note ussi det(m) e déterminnt Remrquons que le déterminnt 3 3 peut se ré-érire : = 11( ) + 12 ( ) + 13 ( ) = ( 1) ( 1) ( 1) Le déterminnt 3 3 peut don se rmener u lul de plusieurs déterminnts 2 2 ominés de fçon déqute En fit il en est de même du déterminnt 2 2, qui se rmène u lul de plusieurs déterminnts 1 1 ominés de l même fçon déqute Enore fut-il dénir e qu'est un déterminnt 1 1 ; rien de plus simple puisque, pr dénition, on pose 11 = 11 Ave ette dénition, l déterminnt 2 2 se ré-érit : = = ( 1) ( 1) En fit ei n'est que le pâle reet d'un phénomène générl Je seris tenté de vous lisser inventer vous même l dénition d'un déterminnt 4 4, puis n n Mis on, un soupçon de onsiene professionnelle m'olige à n'en rien fire Tout d'ord, quelques nottions Soit M = ( ij ) 1 i n M n (R) une mtrie rrée de tille n 2 n lui ssoie n 2 mtries 1 j n rrées de tille (n 1) : pour 1 i n et 1 j n, on note M ij l mtrie otenue à prtir de M en supprimnt l i-ème ligne et l j-ème olonne Voii les neuf mtries 2 2 ssoiées à une mtrie 3 3 : ( 13 M 11 = = ) ( 13 23, M 12 = = ) 21 23,

2 11 12 ( 13 M 13 = = ) ( 13 22, M 21 = = ) 12 13, ( 13 M 22 = = ) ( 13 13, M 23 = = ) 11 12, ( 13 M 31 = = ) ( 13 13, M 32 = = ) 11 13, ( 13 M = = ) Tout est prêt pour dénir le déterminnt pr réurrene Dénition 11 Soit M = ( ij ) 1 i n M n (R) une mtrie rrée de tille n 1 n dénit son 1 j n déterminnt, noté det(m), omme suit Si n = 1, 'est-à-dire si M = ( 11 ), on pose det(m) = 11 ; si n > 1, lors on pose : det(m) = 11 det(m 11 ) 12 det(m 12 ) + + ( 1) n 1 n 1 det(m 1 n 1 ) + ( 1) n+1 1 n det(m 1 n ) n = ( 1) 1+j 1j det(m 1j ) j=1 (les mtries M 1j sont rrées de tille (n 1), d'où le rtère réursif de l dénition) Listons les priniples propriétés stisfites pr le déterminnt roposition 12 Le déterminnt est linéire pr rpport à hune de ses olonnes : 11 λ 1 j + µ 1 j 1 n 11 1 j 1 n 11 1 j 1 n = λ + µ n1 λ n j + µ n j n n n1 n j n n n1 n j n n pour tout 1 j n reuve Je lisse ette preuve u leteur tout en lui onseillnt de se onvinre du résultt pour n = 2 et 3 puis d'essyer de générliser u s n quelonque En prtiulier, un déterminnt est nul dès lors qu'une des olonnes est identiquement nulle Il y d'utre s où un déterminnt s'vère nul, omme pr exemple : roposition 13 Le déterminnt d'une mtrie est nul dès lors que deux olonnes de ette mtrie sont identiques L preuve de ette proposition néessite deux résultts intermédiires Lemme 14 Le déterminnt d'une mtrie est nul dès lors que deux olonnes onséutives de ette mtrie sont identiques 2

3 reuve Montrons le résultt pr réurrene sur l tille n du déterminnt C'est vri pour n = 2 omme nous l'vons déjà vu Supposons que el soit vri pour les déterminnts de tille (n 1) et onsidérons un déterminnt de tille n Supposons pour xer les idées que les deux premières olonnes sont identiques (les utres s se tritent de l même fçon) r dénition du déterminnt, on : n n n = n 1 n 1 n 3 n n n 1 n 3 n n n 1 n 3 n n n n ( 1) n+1 1 n 21 n 1 n 4 n n 21 n 1 n 3 n n 1 Les deux premiers termes de l somme s'nnulent ; qunt ux utres, ils sont tous nuls pr hypothèse de réurrene Lemme 15 Un déterminnt hnge de signe lorsque l'on permute deux olonnes onséutives reuve L preuve se fit enore pr réurrene Une onne fçon de voir si vous vez ompris l préédente preuve, 'est d'essyer de fire elle-i C'est l même à quelques détils près! reuve de l proposition 13 En permutnt, éventuellement plusieurs fois, des olonnes onséutives, on se rmène u s où les deux olonnes identiques sont onséutives ; e fisnt seul le signe du déterminnt peut-être été modié n onlue en utilisnt le lemme 14 Dns les énonés préédents, prééminene été donnée ux olonnes des déterminnts u détriment des lignes ourtnt, il n'y ps lieu de le fire En eet, tous les résultts de ette setion sont enore vris qund on remple le mot olonne pr le mot ligne n peut retenir l mxime : our e qui onerne les déterminnts, tout e qui est vri pour les lignes l'est ussi pour les olonnes our étlir e phénomène, on fit ppel à un rtie : l trnsposée d'une mtrie Si M = ( ij ) 1 i n est une mtrie rrée d'ordre n, s trnsposé, noté t M, est l mtrie otenue en 1 j n symétrisnt les oeients de M pr rpport à l digonle qui prt du oin en hut à guhe pour desendre vers le oin en s à droite Un petit exemple pour lever tout équivoque : Trnsposée de l mtrie = Autrement dit, les olonnes de l mtrie M deviennent les lignes de s trnsposée roposition 16 Le déterminnt d'une mtrie est égl à elui de s trnsposée : si M M n (R), lors det(m) = det( t M) Non preuve C'est le point file de l dénition du déterminnt hoisie : elle ne permet ps d'étlir filement l'églité det(m) = det( t M) L seule fçon de fire que je onnisse est de retrouver, à prtir de l dénition 11, l dénition plus struturelle de lquelle on déduit ssez filement l'églité souhitée Je ne le feri ps et renvoie le leteur pointilleux à l'ouvrge de Grifone, théorème 412 pge 116 3

4 En remplçnt une mtrie pr s trnsposée, on montre que : roposition 17 Les énonés 12, 13, 14, et 15 sont enore vris qund on remple le mot olonne pr le mot ligne Une dernière formule onernnt les déterminnts ; je l'dmets roposition 18 Soit M et N deux mtries de M n (R) lors det(m N) = det(m) det(n) (noter que le premier produit est un produit de mtries tndis que le seond est un produit de slires) Corollire 19 Le déterminnt d'une mtrie M n (R) inversile est non nul et on det( 1 ) = det( ) 1 (où le premier inverse est elui d'une mtrie tndis que le seond est elui d'un slire) reuve Notons l'inverse de est inversile, si ien que = I n En prennt le déterminnt de hque ôté, on en déduit que det( ) = det(i n ) = 1 et d'près l proposition 18, il vient det( ) det() = 1 2 Comment on lule un déterminnt? L fçon l plus intelligente pour luler un déterminnt est de s'ider des deux propositions qui suivent roposition 21 Un déterminnt n'est ps hngé lorsque l'on joute à une de ses olonnes (respetivement lignes) une ominison linéire des utres olonnes (respetivement lignes) reuve our e qui onerne le résultt sur les olonnes, 'est une onséquene direte de l linérité pr rpport à hque olonne (proposition 12) et du fit qu'un déterminnt est nul qund deux de ses olonnes sont égles (proposition 13) unt u résultt sur les lignes, il résulte de elui sur les olonnes en remplçnt l mtrie pr s trnsposée roposition 22 Soit M = ( ij ) 1 i n 1 j n i n, on : M n (R) une mtrie rrée de tille n 2 our tout 1 det(m) = ( 1) i+1 i1 det(m i1 ) + ( 1) i+2 i2 det(m i2 ) + + ( 1) i+n i n det(m i n ) n = ( 1) i+j i j det(m i j ) j=1 ( ) De même, pour tout 1 j n, on : det(m) = ( 1) 1+j 1j det(m 1j ) + ( 1) 2+j 2j det(m 2j ) + + ( 1) n+j n j det(m n j ) n = ( 1) i+j i j det(m i j ) i=1 ( ) reuve our étlir l formule, l'idée de l preuve est de se rmener u s où i = 1 En eet, dns e s l'églité souhitée est vrie pr dénition même du déterminnt! our e fire, on permute les lignes en prennt veillnt u fit que l'éhnge de deux lignes onséutives hnge le signe du déterminnt omme 'est le s pour les olonnes (lemme 15) unt à l formule, elle résulte de l mxime du prgrphe préédent Si on ne roit ps ux mximes, on utilise l trnsposée! 4

5 Dénition 23 (Développement selon une ligne ou une olonne) L'opértion qui onsiste à déomposer le déterminnt omme dns s'ppelle le développement du déterminnt selon l i-ème ligne L'opértion qui onsiste à déomposer le déterminnt omme dns s'ppelle le développement du déterminnt selon l j-ème olonne Évidemment, développer un déterminnt selon une ligne ou une olonne est d'utnt plus intéressnt du point de vue des luls que ette ligne ou olonne ontient des oeients nuls En eet, hque oeient nul pporte une ontriution nulle à l somme, e qui diminue le nomres de déterminnts de tille inférieure à luler Le s le plus fvorle est elui où tous les oeients d'une ligne ou olonne sont nuls suf un (s'ils le sont tous, on sit que le déterminnt est nul et il n'y plus uun lul à fire) L strtégie pour luler eement un déterminnt à l min est don l suivnte n hoisit une ligne (ou une olonne) ; grâe à l proposition 21, on essye de fire pprître le plus de zéros possiles sur ette ligne (ou olonne) en lui joutnt une ominison linéire des utres lignes (ou olonnes) ; ensuite, grâe à l proposition 22, on développe selon ette ligne (ou olonne) ; puis on reommene ve les déterminnts de tille inférieure qui sont pprus dns le développement Exemple Voii un exemple de lul de déterminnt en suivnt ette strtégie : = C 2 C 2 2C 1, C 3 C 3 3C = développement selon l 1-ère ligne = C 2 C 2 2C 1 = 0 une olonne nulle 3 A quoi sert un déterminnt? 31 Le déterminnt tient son rng L'une des pplitions priniples des déterminnts est de mesurer l lierté d'une fmille n déjà vu omment, grâe ux déterminnts de tille 2 2 ou 3 3, il est file de svoir si une fmille onstituée de deux éléments de R 2 ou de deux ou trois éléments de R 3 est lire ou non Ce phénomène se générlise très ien en dimension supérieure et 'est l'ojet de ette setion Commençons pr introduire une terminologie ommode Soit M une mtrie (non néessirement rrée) n ppelle sous-mtrie ou mtrie extrite de M toute mtrie onstruite à prtir de M en en séletionnnt des lignes et des olonnes r exemple de : M =

6 on peut extrire les sous-mtries suivntes : ( 4 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) séletion de l 2-ère ligne et des olonnes 1 et 3 séletion de l 1-ère ligne et des trois olonnes séletion des trois lignes et de l 1-ère olonne séletion des lignes 1 et 3 et des olonnes 2 et 3 séletion des lignes et olonnes 1 et 3 séletion des deux premières lignes et des trois olonnes n ppelle mineur de tille r ou mineur r r d'une mtrie M M m,n (R) le déterminnt d'une mtrie rrée de tille r extrite de M ; pour qu'un tel mineur existe il fut que r min{m, n} Ave e lngge, le premier point de l rtéristion d'une fmille liée pour une fmille de deux éléments de R 3, peut s'énoner insi : deux veteurs de R 3 sont liés si et seulement si tous les mineurs 2 2 de l mtrie fite de l juxtposition de es deux veteurs sont nuls Cel se générlise insi : Théorème 31 Soit (( 11 n1 ) ( 1r )),, une fmille de r éléments de R n, ve r n Cette nr fmille est : liée si et seulement si tous les mineurs r r de l mtrie : 11 1r n1 nr sont nuls ; lire si et seulement si u moins un de es mineurs r r est non nul reuve Il sut de montrer le premier point, le seond s'en déduisnt pr ontrposée Supposons l fmille liée, lors il existe λ 1,, λ r non tous nuls tels que : λ 1 11 n1 Supposons, pr exemple, que λ 1 0 lors : 11 n1 + + λ r = λ 2 λ 1 12 n2 1r nr = λ 2 λ r nr Montrons que le mineur r r formé ve les r premières lignes est nul our el, posons µ j = λ j λ 1 pour 2 j r et remplçons l première olonne de e mineur pr son expression déduite de 6

7 l'églité préédente : 11 1r r j=2 µ j 1j 12 1r = r1 rr r j=2 µ j 1j r2 rr r 1j 12 1r = µ j j=2 rj r2 rr (linérité pr rpport à l 1-ère olonne) = 0 (déterminnts ve2 olonnes identiques) L preuve de nullité des utres mineurs est identique L preuve néessite un lemme préprtoire énoné et prouvé i-dessous D'près e lemme, si tous les mineurs de tille r sont nuls, lors el fournit plusieurs reltions linéires nulles du type : δ 1 11 n δ r 1 r n r = 0 0 où hque slire δ j est un mineur de tille (r 1) de l mtrie De plus tous les mineurs de tille (r 1) pprissent u moins une fois dns une des reltions De deux hoses l'une u ien l'un des mineurs de tille (r 1) est non nul uquel s, le lemme i-dessous permet d'exhier une reltion linéire nulle non trivile entre les r éléments de R n Cel prouve que l fmille est liée u ien tous les mineurs de tille (r 1) sont nuls uquel s toutes les reltions linéires nulles fournies pr le lemme i-dessous sont triviles u'à el ne tienne, puisque tous les mineurs de tilles (r 1) sont nuls, on v montrer que les (r 1) premiers éléments forment une fmille liée, e qui montre qu'il en est de même des r éléments our el, on reommene le même risonnement Si à hque fois, on onlue que tous les mineurs de tille un de moins sont enore nuls, on reommene Ce proessus s'rrête soit qund on trouvé une ominison linéire nulle non trivile entre quelques uns des premiers éléments, soit qund on onlu u fit que tous les mineurs de tille 1 de l mtrie où il ne reste plus que deux olonnes sont nuls Cel veut dire qu'un des éléments de l fmille est nul Dns tous les s, el montre que l fmille de déprt est liée Lemme 32 Soit M = ( ij ) 1 i n M n,r (R) ve 2 r n Si tous les mineurs de tille r de 1 j r ette mtrie sont nuls, lors on est en mesure d'exhier plusieurs ominisons linéires nulles des olonnes de ette mtrie dont les slires sont tous des mineurs (r 1) (r 1) de l mtrie De plus, hun de es mineurs pprît u moins une fois dns une des ominisons linéires insi onstruites reuve Choisissons les (r 1) lignes prmi les n our xer les idées, on hoisit les (r 1) premières Alors pour tout 1 i n, on : i1 i r 11 1 r = 0 r 1 1 r 1 r pour 1 i r 1, 'est dû u fit que deux lignes sont identiques, pour i r, el résulte de l'hypothèse sur l nullité des mineurs r r osons : ( ) déf δ j = ( 1) 1+j le mineur de tille (r 1) otenu en séletionnnt les (r 1) premières lignes et toutes les olonnes suf l j-ème 7

8 En développnt selon l première ligne, on otient les reltions : δ 1 i1 + + δ r i r = 0 1 i n Cei étnt vri pour tous 1 i n, on en déduit l ominison linéire nulle suivnte : 11 1 r 0 δ δ r = 0 n 1 En hoisissnt (r 1) utres lignes, on otient, ve le même risonnement d'utre reltions linéires nulles fisnt intervenir d'utre mineurs de tille (r 1) Il n'est ps diile de se onvinre du fit que l'on otient insi plusieurs reltions linéires nulles et que hque mineur de tille (r 1) de l mtrie de déprt pprît dns u moins une de es ominisons Remrques 1 L démrhe que l'on vient de suivre ne fit que générliser elle déjà vue dns R 3 ; on retrouve extement les mêmes lterntives 2 Il ne serit ps ien diile de ompter le nomre de reltions linéires que l'on otient ; mis peu nous importe! n1 nn En prtiulier, qund on onsidère n éléments de R n, on otient : (( 11 ) ( 1n )) Corollire Soit,, une fmille de n éléments de R n n les équivlenes : 11 1n = 0 l fmille est liée ; n1 nn 11 1n 0 l fmille est une se n1 nn (( ) ( ) ( )) Exemples 1) L fmille,, est liée r = 0, tndis que l (( ) ) )) fmille,, est une se r = ( ( n r ) Le déterminnt d'une mtrie de pssge est forément non nul 32 Le déterminnt prend du volume En vleur solue, le déterminnt est une quntité ynt une signition géométrique très forte : 'est une longueur en dimension n = 1, une ire en dimension n = 2, un volume en dimension n = 3 et un hyper-volume en dimensions supérieures C'est file à voir qund n = 1 ; nous llons nous ontenter de montrer ette rmtion qund n = 2 roposition 34 lçons dns le pln muni d'un repère orthonormé (, ı, j) En vleur solue, le déterminnt d est l'ire du prllélogrmme dont deux ôtés sont les segments [ ] et [], où est le point de oordonnées (, ) et elui de oordonnées (, d) reuve L preuve en imges 1! L'ire herhée n'est rien d'utre que le doule de l somme des ires des trois tringles oloriés suivnts : 1 Sur le we, en herhnt ien, sûrement que vous llez trouver des imges nimées illustrnt ette preuve eut-être même pouvez-vous trouver des imges en 3D 8

9 d n rppelle que l'ire d'un tringle reste inhngée qund on fit ouger l'un de ses sommets en suivnt une diretion prllèle u ôté opposé Nous llons déformer les deux tringles les plus fonés en déplçnt le sommet en suivnt dns les deux s l diretion du ôté opposé Voii quelques instntnés ; notez que les ires des tringles oloriés restent inhngées d d d d L'ire du prllélogrmme de déprt est don le doule de l somme des ires des trois derniers tringles oloriés C'est don ussi l somme des ires des trois retngles oloriés i-dessous : d Sur e dessin, il pprît lirement que l'ire herhée n'est rien d'utre que l'ire d du grnd retngle réunion des trois oloriés plus le petit en s à guhe, à lquelle on retrnhé l'ire du dit petit retngle en s à guhe Autrement dit, l'ire du prllélogrmme vut d, e qu'il fllit montrer De l même fçon, en vleur solue, un déterminnt 3 3 n'est rien d'utre que le volume du prllépipède retngle dont trois ôtés sont donnés pr les segments [ ], [] et [R] où désigne l'origine d'un repère orthonormé de l'espe et où,, R sont les points dont les oordonnées sont données pr les olonnes du déterminnt Cette vision géométrique du déterminnt nous permet de réinterpréter géométriquement les résultts onernnt les rtéristions du rtère lié d'une fmille d'éléments de R 2 ou R 3 n omprend mieux pourquoi le déterminnt est un outil de mesure de l lierté d'une fmille En eet, on sit ien que pour que l'ire d'un prllélogrmme soit nulle, il fut et il sut qu'il soit plt, 'est-à-dire (ve les nottions préédentes) que les points,, soient lignés (ontenus 9

10 dns une même droite) Autrement dit, il fut que les veteurs et soient olinéires, e qui revient à dire que les éléments ( ) et ( d ) sont liés dns R 2 De même, pour que le volume d'un prllépipède retngle soit nul, il fut et il sut que les points,,, R soient oplnires (ontenus dns un même pln) Autrement dit, il fut et il sut que R soit ominison linéire de et, e qui revient à dire que les trois olonnes du déterminnt forment une fmille liée de R 3 Le déterminnt inverse l vpeur Grâe u déterminnt, on peut exprimer l'inverse d'une mtrie M M n (R) inversile our el, on utilise enore les mtries extrites de M ; on rppelle que M ij désigne l mtrie rrée de tille (n 1) otenue à prtir de M en supprimnt l i-ème ligne et l j-ème olonne Dénition 35 (ofteur & omtrie) Soit M M n (R) our i et j ompris entre 1 et n, on ppelle (i, j)-ème ofteur de l mtrie M, et on note δ ij, le slire déni pr : déf δ ij = ( 1) i+j det(m ij ) n ppelle omtrie, et on note M, l mtrie rrée de tille n dont les oeients sont les déf ofteurs de M : M = (δ ij ) 1 i n 1 j n Théorème 36 our M M n (R), on l'identité : où I n désigne l mtrie identité de tille n M t M = det(m)in, reuve Je me propose de fire l preuve pour n = 3 et je lisse le soin ux leteurs de l générliser à tout n (exellent exerie!) Il s'git de vérier que : δ 11 δ 21 δ 31 det(m) δ 12 δ 22 δ 32 = 0 det(m) 0, δ 13 δ 23 δ 0 0 det(m) en prennt soin de le fire le plus stuieusement possile pour filiter l générlistion lissée ux leteurs Il y neuf véritions à eetuer en tout n distingue les trois véritions onernnt les oeients digonux égux à det(m), des utres our les oeients digonux, il s'git de vérier les églités : 11 δ δ δ 13 = det(m), 21 δ δ δ 23 = det(m), 31 δ δ 32 + δ = det(m) ; elles sont toutes vries, omme on s'en perçoit en développnt respetivement le déterminnt de M pr rpport à l 1-ère, 2-ème et 3-ème ligne Vérions, pr exemple, l nullité du oeient du produit en position (1, 2) Il s'git de prouver que : 11 δ δ δ 23 = 0 C'est le s, omme on peut s'en perevoir en développnt le déterminnt : selon l première ligne Notons que e déterminnt est ien nul, puisque ses deux premières lignes sont identiques L nullité des utres oeients se montre ve l même stue 10

11 Corollire 37 Si M M n (R) est telle que det(m) 0, lors on M 1 = 1 t M det(m) Cette identité, ussi expliite soit-elle, se prête peu ux luls à l min (et même en mhine) r le lul des ofteurs est très lourd En prtique, ette formule ne permet de luler l'inverse d'une mtrie que pour n = 2 ou 3 En prtiulier, pour n = 2 et M = ( d ) telle que det(m) = d 0, on retrouve l lssique formule de l'inverse, à svoir : ( ) 1 M 1 = = d 1 d 4 Déterminnt d'un endomorphisme ( ) d Dns le titre de l setion 1 gure l'djetif mtriiel entre prenthèses L rison est que jusqu'à présent, nous n'vons prlé que de déterminnts de mtries Nous llons voir que l'on peut ussi dénir le déterminnt d'un endomorphisme roposition 41 Soit E un K-espe vetoriel de dimension nie et u : E E un endomorphisme Alors toutes les mtries de u dressées dns une se quelonque de E (ve le même hoix de l se u déprt et à l'rrivée) ont le même déterminnt reuve Soit B et B deux ses de E Il s'git de prouver que : det (Mt(u, B)) = det (Mt(u, B )) n utilise évidemment l formule du hngement de ses, où l'on pprend que les deux mtries sont reliées pr le reltion : Mt(u, B ) = 1 B,B Mt(u, B) B,B où B,B désigne l mtrie de pssge de B à B En prennt le déterminnt de hque ôté, il vient : det (Mt(u, B )) = det ( ) 1 B,B Mt(u, B) B,B D'où le résultt = det ( 1 B,B ) det (Mt(u, B)) det (B,B ) proposition 18 = det ( B,B ) 1 det (Mt(u, B)) det ( B,B ) orollire 19 = det (Mt(u, B)) det ( B,B ) det ( B,B ) 1 les slires ommutent = det (Mt(u, B)) Il est don légitime de dénir : Dénition 42 Soit E un K-espe vetoriel de dimension nie et u : E E un endomorphisme n ppelle déterminnt de u, et on note det(u), l vleur ommune prise pr n'importe quel déterminnt d'une mtrie de u dressée dns une se quelonque de E (ve le même hoix de l se u déprt et à l'rrivée) 11