CPGE Marrakech - Révisions de S.I Année Résumés des cours proposés par : OUIKASSI

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1 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Docume préparé par : OUIKASSI (Recueil de 30 pages) Merci de m evoyer, par , oues vos remarques e suggesios à l adresse : kami@yahoo.fr Ce résumé es dispoible sur le sie web du lycée Ibou Taymia. Chapire Page Chapire Page Chapire Page Mécaique Dyamique 9 Asservissemes 7 Ciémaique 3 Auomaique FAST SADT 7 Saique 6 Combiaoire 3 Grafce 9 Mobilié e Hyp. 8 Séqueiel 6 N.B : u résumé e peu s avérer bééfique que si le cours eier es assimilé

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3 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI. Torseur ciémaique : Le orseur ciémaique du solide S par rappor au repère R, rédui au poi A es : Ω ( S / R) : Veceur viesse de roaio de S/R ; V ( A S / R) : Veceur viesse liéaire du poi A das le mouveme de S/R, dom doé par : V ( A S / R) O es u poi du repère R. d R. Relaio de chageme du poi de réducio du orseur ciémaique : E u poi B, ce orseur devie : { } Ω { ν } ( S / R) Ω( S / R) V ( A S / R) A ( S / R) ν ( S / R) V B S R avec : V ( B S / R) V ( A S / R) BA Ω( S / R) ( / ) B 3. Relaios de composiio de mouveme : O cosidère u solide S e mouveme par rappor à u repère R, lui-même e mouveme par rappor à u repère R 0. Ω ( S / R0) ( S / R) Ω Ω ( R/ R0) V ( A S / R0) ( A S / R) V V ( A R/ R0) { ν } { } ( S / R0) ν { ν } ( S / R) ( R/ R0) Aeio : pour déermier le veceur viesse V ( M S / R), o e peu pas dériver si M es pas u poi fixe de S. 4. Veceur accéléraio : Γ ( A S / R) d OA d R dv d ( A S / R) R Pour deux pois liés au même solide : Γ dω BA d Composiio des veceurs accéléraio : Aeio : pour déermier u veceur accéléraio Γ peu pas dériver si M es pas u poi fixe de S. [ BA Ω( S / ) ] ( S / R) ( B S / R) ( A S / R) ( S / R) R Γ( A S / R0) Γ Γ( A S / R) Γ R Ω Ω ( A R / R0) ( R/ R0) V ( A S / R) ( M S / R), o e 3

4 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI 5. Veceur viesse de glisseme : Le veceur viesse de glisseme de S par rappor à S 0 e leur poi de coac I es : V ( I S/ S 0) Ce veceur es coeu das le pla age commu au deux solides coea le poi I. E l absece de glisseme e I ere ces deux solides, ce veceur es ul : V ( I S/ S 0) O 6. Mouveme pla sur pla : S es e mouveme pla par rappor à R si ous ses pois se déplace das des plas parallèles à u pla de R. Cere isaaé de roaio de S/R (I SR ) : V C es le poi I SR el que : ( S / R) Noa: à l isa cosidéré, S oure par rappor à R auour de I SR. Déermiaio graphique de I SR : Coaissa les suppors des viesses de deux pois A e B de S/R, I SR alors : I SR ( e A au suppor de V ( A S / R) ) ( e B au suppor de V ( B S / R) ) 7. Déermiaio graphique des veceurs viesses das le cas de mécaisme pla : V Première méhode : Equiprojecivié (Fig.) C es l exploiaio graphique de la relaio : A S / R) ( B S / ) Codiios d uilisaio : O doi coaîre complèeme le veceur viesse d u poi d u solide e le suppor de la viesse de l aure poi (les deux poi so liés au même solide). Deuxième méhode : CIR (Triagle ou champs des viesses) (Fig.) C es l exploiaio graphique de l exisece du CIR, sacha que : I SR S / R) O O AB. V ( AB. V R ( e que le mouveme de S/R à l isa cosidéré es ue roaio auour de I SR. Codiios d uilisaio : O doi coaîre la posiio du CIR e le veceur viesse d u poi de S/R. Troisième méhode : composiio (Fig.3) C es l exploiaio graphique de la relaio de composiio des veceurs viesse (Même poi mais des solides différes). Codiios d uilisaio : O doi coaîre, au mois, u veceur viesse e les suppors des deux aures. Fig. V ( A S / R) V ( A S / R) V ( A R/ R0) V ( A S / R0) S A V ( B S / R) B A B I S/R S A V ( A S / R) V ( B S / R) Fig. Fig.3 4

5 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI 8. Rappels e complémes uiles Egreages : Rappor de réducio d u rai d egreages à axes fixes : k ω ω sorie ( ) ΠZ ΠZ meaes erée meées avec : es le ombre d egreages cylidriques parallèles exérieurs. Rappor de réducio d u rai épicycloidal : ω ω k ( ) ω ω ΠZ ΠZ Plaéaire de sorie pore saellie meaes plaéaire erée pore saellie meées Sige du rappor de réducio k d u egreage coique : ( k ± ) Soi C e C les ceres des deux roues e respeciveme, e I leur poi de coac. Si IC uuur e IC uuur so de mêmes siges, alors : k es égaif ; Si IC uuur e IC uuur so de siges différes, alors : k es posiif ; Sysème Vis-écrou Soi V la viesse de raslaio e w celle de roaio. P es le pas de P l hélice. O a la relaio : v ± w π Le ableau suiva perme de décider du sige de la relaio ci-dessus : La vis oure La vis raslae ω ω La vis oure l écrou raslae Hélice à droie - Hélice à gauche - z z Les liaisos : Das l espace Das le pla ( x, y) Torseur ciémaique ω x ω y ω z ω z Vx Vy V z Vx Vy Réciprocié O e garde que : - La roaio suiva la ormale ; - Les deux raslaios das le pla. Réciprocié Torseur saique X Y Z X Y L M N N Les liaisos pour lesquelles le cere es fixe par rappor aux deux solides liés so : Ecasreme Sphérique Pivo - sphérique à doigs. (Aureme di, ce so les liaisos qui auorise aucue raslaio) La forme des deux orseurs es gardée e : Tou poi de l espace : Ecasreme Glissière Appui pla.tou poi de l axe : Pivo Pivo. glissa Sphère pla hélicoidale Tou poi d u pla : Liéaire recilige.au cere : Sphère cylidre Sphérique Sphérique.. à. doigs 5

6 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI. Modélisaio des acios mécaiques de coac surfacique :.. Modélisaio locale : Soie deux solide e e coac suiva ue surface (S). L acio mécaique de sur es représeée e chaque poi M de (S) par : le veceur desié surfacique de coac f M ( ). Cosidéros le pla age commu π à e coea le poi M. O peu écrire : f f M( ) M ( ) M ( ) M( ).. Lois de coulomb : f f : Desié surfacique ormale ou pressio de coac ( à π ) ; f : Desié ageielle (Coeu das π ). M( ) π f M( ) M f M ( ) f M( ) er cas : froeme ( M /) 0 V f M( ) ^ ( M /) 0 V ème cas : Adhérece ( M /) 0 V f M( ) < k f M( ) f M( ). V ( M /) 0<0 f M( ) k f M( ) K : coefficie de froeme A la limie de glisseme (ou équilibre sric) o applique les lois de coulomb relaives au froeme..3. Modélisaio globale : L acio mécaique de sur peu êre représeée globaleme par le orseur : { τ } ( ) el que : ( ) R M ( S ) ( A, ) R f. ds S A e ( A, ) M ( ) M AM ^ f. ) ds S M ( Remarque : Les relaios précédees rese oues valables das le cas d u coac liéique ere e, à codiio de subsiuer : La surface de coac (S) par la lige de coac (L) ; L éléme de surface ds par l éléme de logueur dl ; La desié surfacique par la desié liéique.. Acio mécaique de coac pocuel :.. Modélisaio : Soie deux solides e e coac pocuel e u poi A. L acio mécaique de sur peu êre modélisée par u orseur : 6

7 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI { } ( ) R M ( ) ( A, ) τ avec : ( ) A R N T e M ( A, ) M N : à π : Effor ormal. T : coeu das π : Effor ageiel ; M : à π : mome de pivoeme. M : coeu das π :mome de rouleme... Lois aalogues aux lois de Coulomb : M Glisseme er cas : ( /) V ( A /) T 0 V ( A /).T < 0 T k. N V A 0 ème cas : ( /) T k. N V A 0 Pivoeme er cas : Ω ur (/) 0 Ω ur (/) ^ Ω ur (/). M 0 M < 0 M µ N µ : Paramère de résisace au pivoeme; ème cas : Ω ur (/) 0 M < µ N Rouleme er cas : Ω ( /) 0 Ω ( /) ^ M 0 Ω ( /). M < 0 M η N η: Paramère de résisace au rouleme; ème cas : Ω ur (/) 0 M < η N uur 3. Pricipe fodameal de la saique : 3.. Eocé : U sysème maériel Σ es e équilibre par rappor à u repère Galilée si e seuleme si le orseur des acios mécaiques exérieures es ul. { τ } { 0} ( Σ Σ) Noa : 3.. Théorèmes gééraux de la saique : Théorème de la résulae saique : R ( Σ Σ) 0 Théorème du mome saique : M A 0 ( Σ Σ) (A : poi quelcoque) Cas pariculiers : Equilibre sous l acio de forces O appelle force oue acio mécaiques représeable par u orseur glisseur Le poi de la surface (ou lige) de coac où le mome es ul es appelé : Cere de poussée. Equilibre sous l acio de deux forces : Si le sysème maériel es e équilibre sous l acio de deux forces alors elles so direceme opposées : Même suppor ; Même module ; ses opposés. Equilibre sous l acio de 3 forces : Si le sysème maériel es e équilibre sous l acio de 3 forces alors : Elles so coplaaires ; Leurs suppors so parallèles ou cocouras e u poi; La somme vecorielle des rois veceurs forces es ulle (Triagle fermé). 7

8 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Eude saique { τ Leq} Σ{ τ Li } (I) h Ns - rs (ce so les icoues saiques idéermiées) Formule de mobilié :mc h Nc - 6γ Liaisos e // C es le ombre de ddl de Leq N L -N P Iuiiveme Eude saique (I) Eude ciémaique :{ υ Leq} { υ Li } h Liaisos e série h 0 mc Nc Pour Leq Iuiiveme Eude saique :{ τ Leq} { τ Li } Eude ciémaique :{ υ } Σ{ } Leq υ Li Cycle ou Chaîe complexe Eude saique : o applique le PFS à chaque solide sauf le bâi : h Ns - rs Formule de mobilié : mc h Nc - 6γ Fermeures ciémaiques mcu mci C es le ombre de mouveme d erée C es le ombre de mouveme qui subsise quad o fixe les mouvemes d erée Noa : das le cas d u mécaisme pla, la formule de mobilié devie : mc h Nc - 3γ Pour déermier mc e Nc, o e compabilise que les raslaios das le pla e les roaios ormales au pla. Légede : Ns : ombre oal des icoues saiques ; Nc : ombre oal des icoues ciémaiques ; N L : ombre de liaisos ; N p : ombre de solides ; γ : ombre cyclomaique ; h : degrés d hpersaicié ; mc : mobilié ciémaique ; mcu : mobilié ciémaique uile ; mci : mobilié ciémaique iere ; ddl : degrés de liberé. 8

9 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI. CINETIQUE :.4. Cere de gravié d u sysème maériel Σ: Défiiio : C es le poi G / GP. dm 0 P Σ Propriéés : - G à l éléme de symérie de Σ ; - Soi - Σ U Si A poi quelcoque : i (S i solide de masse m i e de cere de gravié G i ) e AG miv ( Gi / R) V ( G / R) e m i m AG Γ m i i ( G / R) mi Γ ( m Gi / R) Théorèmes de GULDIN : - Premier Théorème : La surface egedrée par la roaio d ue courbe plae e homogèe, auour d u axe de so pla, e la raversa pas, es le produi de la logueur de la courbe par le périmère du cercle décri par so cere de gravié : S П R G L. - Deuxième héorème : Le volume egedré par la roaio d ue surface plae e homogèe, auour d u axe de so pla, e la raversa pas, es le produi de l aire de la surface par le périmère du cercle décri par so cere de gravié : V П R G S..5. Marice d ierie d u solide S e u poi Q : Défiiios A ( y P S z ) dm I ( Q, S ) A F E F B D E D C Telle que : ; B ( x z ) dm P S ( x, y, z) ; C ( x y ) dm E xzdm e F xydm. Sacha que : QP xx y y zz P S P S P S i ; D yzdm ; A, B e C so des momes d ierie ; D, E e F so des produis d ierie. ( E Kg.m ) Pour u sysème maériel Σ : Soi Σ U Si P S alors : ( Q, Σ ) ( Q, Si) Effe de la symérie maérielle sur la forme de la marice d ierie : - S possède u pla de symérie maérielle : L axe à ce pla es API (Axe Pricipal d Ierie) ; - S es ue plaque plae : L axe au à so pla es API, e le mome d ierie auour de ce axe es la somme des deux aures momes d ierie ; - S possède u axe de révoluio : La marice d ierie es diagoale e les momes d ierie auour des deux aures axes so ideiques. I I 9

10 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Théorème d HYGHENS : Soi u solide S de masse m e de cere d ierie G. Q poi quelcoque : I ( Q, S ) ( G, S ) I I ( Q, { ms, G}), el que : I ( Q, { ms, G}) Avec : QG ax b y cz b c m ab ac a ab b bc Mome d ierie d u solide S par rappor à u axe (Q,δ ) : J (S/ (Q,δ ) δ. I ( Q, S ). δ.6. Torseur ciéique d u sysème maériel Σ / repère R : Défiiio : { C } ( Σ / R) R σ C ( Q, Σ / R) Q avec : Expressios praiques : R C Σ. V ( GΣ / R) R C V P / R). dm P Σ ( e σ ( Q, Σ / R) P Σ a ac bc b QP ^ V ( P / R). m e, pour u solide, σ ( Q, S / R) I ( Q, S ). Ω( S / R) m. QG^V ( Q S / R) Noa : Pour u sysème maériel Σ U Si ( σ ( Q, Si / R) : σ Q, Σ / R).7. Torseur dyamique d u sysème maériel Σ / repère R : Défiiio : { D } ( Σ / R) R δ d ( Q, Σ / R) Q avec : Expressios praiques : R d R d Γ P / R). dm P Σ ( e δ ( Q, Σ / R) P Σ ( x, y, z) dm QP ^ Γ( P / R). dm dσ ( Q, Σ / R) mσ. Γ( GΣ / R) e, δ ( Q, Σ / R) mσ. V ( Q / R) ^V ( GΣ / R) d.8. Eergie ciéique d u sysème maériel Σ / repère R : Défiiio : Expressio praique : T ( Σ / R) P R V ( / ). P Σ - Pour u solide S : T { V } { C } - Pour u sysème maériel. P.F.D :. Eocé: { } { τ } ( Σ / Rg ( Σ Σ ) ( Σ / R ) Σ U Si ( S / R ) dm R ( S / R ) : T( Σ / R) T( Si / R) { V ( Si / R ) } { C ( Si / R ) } D Rg : repère galilée. Thérèmes gééraux de la Dyamique (T.G.D): Théorème de la résulae Dyamique T.R.D : ( G Σ / Rg ) ( Σ Σ) m Σ Γ Théorème du Mome Dyamique T.M.D : Q po i : δ ( Q, Σ / R) M ( Q, Σ Σ).3 Equaio de mouveme : C es oue équaio issue des T.G.D, e coea aucue composae icoue d acio mécaique (Si l équaio de mouveme es de premier ordre alors, elle sera appelée : Equaio iégrale première de mouveme). R 0

11 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI 3. ENERGETIQUE : 3. Puissace d acio mécaique exérieure : La puissace développé par l acio mécaique du sysème maériel Σ sur le sysème maériel Σ, das le mouveme de Σ par rappor au repère R, es : P( Σ Σ / R) V ( P / R). f. dm M Σ M ( Σ Σ ) Avec : f M ( Σ Σ ) es la desié massique de l acio mécaique de Σ sur Σ. Expressio praique : si Σ es u solide S alors : P { V } { τ } ( Σ S / R) ( S / R) ( Σ S ) 3. Puissace d ier effors ere Σ e Σ : P ( Σ Σ ) P( Σ / R) P Σ ( Σ Σ/ R) Propriéé : cee puissace es idépedae du repère R. Pour deux solides S e S : P ( S S ) P( S S / S) P( S S / S) Défiiio d ue liaiso parfaie : la liaiso L S-S es parfaie si e seuleme si : P L Eergie poeielle : ( S S ) Associée à ue acio mécaique exérieure : C es le scalaire V (Σ Σ/R) el que : Exemple : P ( Σ Σ / R) dv ( Σ Σ / R) V(pesaeur Σ / R) - mσ g. OGΣ avec O es u poi de R. Associée à des ier effors : C es le scalaire V (Σ Σ) el que : Exemples : ressor. V Ressor de racio k. L ( Σ Σ ) V Ressor de orsio c. θ ( Σ Σ ) P ( Σ Σ ) dv( Σ d d Σ) avec K es la raideur du 3.4 Théorème de l Eergie Ciéique (T.E.C) : Pour u solide S : dt avec c es la raideur du ressor. ( S / Rg ) d P Pour u esemble de solides ( S S / Rg ) Σ U Si dt ( Σ / Rg ) : P P ( Σ Σ / Rg ) i Avec : P i es la puissace de ous les ier-effors ere les solides de Σ. Redeme d u mécaisme : C es le rappor de la puissace à la sorie du mécaisme par la puissace à so erée. d

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13 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI. Gééraliés :.. Variable logique : C es ue gradeur qui e peu predre que éas possibles (Vraie ou Faux). O associe à ces deux éas le ombre 0 ou... Focio logique : Elle es représeée par des groupes de variables logiques reliées ere elles par des opéraeurs logiques, e qui e peu predre que deux valeurs 0 ou.. Algèbre de BOOLE :.. Opéraeurs logiques : Opéraeur EGALITE ou OUI : F (a) a Table de vérié : a 0 0 Chroogramme : a F (a) Schéma élecrique à coacs : Symboles logiques : a Coveio : Ierrupeur o acioé : 0 Ierrupeur acioé : F (a) Opéraeur COMPLEMENT ou NON : F(a) a Table de vérié : a 0 0 F (a) Schéma élecrique à coacs : a Chroogramme : a Symboles logiques : F (a) Opéraeur ADDITION ou OU : F(a,b) a b 3

14 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Table de vérié : a b F (a,b) Schéma élecrique à coacs : a b Symboles logiques : Opéraeur PRODUIT ou ET : F(a,b) a. b Table de vérié : Schéma élecrique à coacs : a b F (a,b) a b Chroogramme : a Symboles logiques : & b F (a,b) Opéraeur OU EXCLUSIF : F(a,b) a b Table de vérié : a b F (a,b) Symboles logiques : Remarques :. a b si a b ;. a b a. b a. b ;. a a a e (bi de parié) e es si le ombre de das la combiaiso a a a es impair Opéraeur NAND : F(a,b) a. b.opéraeur NOR : F(a,b) a b Symboles logiques : & Symboles logiques : 4

15 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI.. Théorème de DEMORGAN : a. b a b a b a. b.3. Relaios fodameales de l algèbre de BOOLE : Somme Produi Commuaivié ab ba a.b b.a Associaivié abc a(bc) a.b.c a.(b.c) Disribuivié ab.c (ab).(ac) a.(bc) a.b a.c Eléme eure a0 a a. a Complémeaio a a a.a 0 Idempoece aa a a.a a Absorpio d u erme aa.b a a.(ab) a Muliple de compléme aa.b ab a.( ab) a.b Eléme absorba a a.0 0 Double complémeaio 3. Simplificaio des équaios : 3... Méhode algébrique : a a Pricipe : Cee méhode cosise à appliquer les relaios de l algèbre de BOOLE Méhode graphique (ableau de KARNAUGH) : - Pour ue focio à variables, le ableau de KARNAUGH coie cases. D ue case à la suivae ue seule variable chage à la fois. - Porer la valeur de la focio à l iérieur de chaque case. - Faire les regroupemes des (Ou des 0). Coseils : O e peu regrouper qu u ombre de cases correspoda à ue puissace de ; Rechercher les regroupemes maxi ; Rechercher les regroupemes e commeça par les cases qui e peuve êre regroupées que d ue seule maière ; Miimiser le ombre des regroupemes. 4. Sysèmes combiaoires : 4.. Défiiio : O appelle sysème combiaoire, ou sysème pour lequel les variables logiques de sorie e dépede que des variables logiques d erée. 4.. Méhode de résoluio d u sysème combiaoire : Trois éapes so écessaires : Ideifier les variables d erée e de sorie ; Dresser la able de vérié ; Simplifier les équaios. 5

16 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI. Défiiio : U sysème es di séqueiel si l éa des sories déped o seuleme de l éa des erées, mais aussi de leur ordre chroologique das le emps. U sysème séqueiel possède doc ue mémoire qui eregisre ses éapes d évoluio.. Mémoires : (Bascules) (Noa : Q - es l éa précéde de la variable Q ) Bascule RS Bascule RST Bascule D Bascule JK R S Q 0 0 Q / T R S Q 0 Φ Φ Q Q Ierdi T D Q 0 Φ Q j k Q 0 0 Q Q 6

17 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI U sysème es di asservi lorsqu ue gradeur de sorie (Acio) sui aussi préciséme que possible les variaios de la gradeur d erée (Cosige ou Ordre), quelque soie les effes perurbaeurs exérieurs. B-. Diagramme focioel Schéma bloc : Eléme Schémaisaio Erée Sorie Perurbaio Sysème ou processus physique Sommaeur ou comparaeur Nom du sysème ± B-. Trasformée de Laplace : Défiiio : A oue focio du emps f ( ) ulle pour < 0, o fai correspodre ue focio F (P) qu o appelle : Trasformée de Laplace de f ( ), elle que : F L f f. e p. d ( P) ( ) ( ) 0 Propriéés de la rasformée de Laplace : Superposiio liéaire : λ e µ cos a es réelles, f e g focios : L λ f µ g λ F µ G Dérivaio : ( ) ( ) ( ) ( ) ( p ) ( p ) ' df ( ) L f ( ) pf( p ) f Avec des codiios iiiales ulles : L (0 ) p F ( p) d 7

18 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Iégraio : Avec des codiios iiiales ulles : L f( ) d F ( p) Théorème de la valeur iiiale e fiale : f pf e f ( ) lim pf ( p ) (0 ) lim ( p) p Théorème du reard : g f alors G e F pt Soi ( ) ( T ) ( P ) ( p ) Trasformées de Laplace des sigaux usuels : a L δ ( ) L u ( ) L u ( ) L u ( ) L e u 3 ( ) p p p p a ω p L si ( ω ) u ( ) L cos ( ω ) u ( ) p ω p ω p p 0 B-3. Focio de rasfer : Défiiio : La focio de rasfer F.T (ou Trasmiace) d u sysème liéaire coiu es le rappor de sa sorie sur so erée e rasformée de Laplace avec des codiios iiiales ulles. Forme caoique e Caracérisiques d ue focio de rasfer : Forme caoique : a p a p... ( p).. α... H k p b p b p Ordre : c es le degré de so déomiaeur ; Classe α : c es le ombre de pôles uls à l origie ; k lim p α H Gai : ( p ) p 0 B-4. Relaios fodameales des sysèmes bouclés : Schéma bloc miimal (forme caoique) : E (p) _ ε (p) G (p) S (p) S r R (p) FTCD : ( p ) S r G ; FTCR : R (p) ; FTBO : H BO ( p ) ( p) ( FTCD ). ( FTCR ) ε S FTCD FTBF : H BF ( p ) ( p) E FTBO 8

19 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Pour u sysème à reour uiaire : ( ) p Théorèmes de rasformaio usuels : R H BF ( p ) FTBO FTBO Théorème Schéma iiial Schéma rasformé Associaio d élémes e série e H H s e H.H s Associaio d élémes e parallèle e H ± s e H ± H s H Déplaceme de poi de dérivaio e amo d u éléme e H s e H H s Déplaceme de poi de dérivaio e aval d u éléme e H s e H H s Déplaceme d u éléme e aval d u comparaeur e H ± e s e ± H H e s Déplaceme d u éléme e amo d u comparaeur e ± H s e H ± H s e e Permuaio de deux comparaeurs e ± ± s e ± ± s e e 3 e 3 e 9

20 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI B-5. Réposes idicielles des sysèmes élémeaires : Amplificaeur : H ( p ) s () k k.e o Iégraeur de premier ordre : ( p ) e 0 : ampliude de l échelo à l erée. H p s () e o Premier ordre fodameal : ( p ) H k τ p k.e o 0.95ke o s () τ 3τ k z p p ω ω Deuxième ordre fodameal : ( p ) H k.e o s () k.e o s () D D k. e. e 0 π Z z π ω z z > z < k.e o s () k.e o s ().05ke o z : sysème rapide e sas dépassemes z : sysème, absolume, le plus rapide 0

21 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI B-6. Diagrammes de Bode des sysèmes élémeaires : Amplificaeur G db Iégraeur G db 0LogK -0 Log Log Ø Ø Logω Logω -90 0LogK G db 3dB Premier ordre fodameal 0LogK G db Pour z Ø -45 /τ /τ Log -0 Logω Ø -90 ω R Pour ω z ω Log -40 Logω Deuxième ordre fodameal C-. Rapidié : Elle es caracérisée par T 5%, ou par la largeur de bade passae. U sysème es d aua plus rapide que so T 5% es faible ou que sa bade passae es large. Remarques : U sysème de premier ordre fodameal es rapide quad sa cosae de emps τ es faible ; U sysème de deuxième ordre fodameal es rapide quad sa pulsaio propre ω es grade. Méhodes de déermiaio graphique de T 5% : Par la défiiio : T 5% es el que T 5% : 0.95 s ( ) s ( ).05 s ( )

22 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Par la répose idicielle : s () s () k.e ke.05 ke o o k.e ke o T 5% Par l abaque T 5%.ω f(z) : (Pour u deuxième ordre fodameal) T 5% 3τ : (pour u premier ordre fodameal) T 5% C-. Précisio : La précisio es caracérisée par le sigal d erreur ε ( ). U sysème es d aua plus précis que so sigal d erreur es faible. O se limiera à l éude de la précisio saique, défiie par : εs lim ε ( ) O appelle : Erreur de posiio (ou idicielle) : erreur saique pour ue erée échelo ; Erreur de raîage (de poursuie ou de viesse) : erreur saique pour ue erée rampe. Erreur saique pour l erée pricipale : Erée Nombre d iégraios e BO Echelo : e 0. u () Rampe : e 0..u () α BO 0 α BO α BO eo k Accéléraio : e 0..u () BO e k 0 0 o BO 0 e k o BO Erreur pour ue erée perurbaio cosae : Cee erreur saique serai ulle (doc l asservisseme serai isesible à la perurbaio), s il exise au mois ue iégraio e amo du poi d ijecio de la perurbaio. C-3. Sabilié : Défiiios : Défiiio : u sysème es sable si à ue erée borée correspod ue sorie borée.

23 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Défiiio : u sysème es sable si sa répose impulsioelle ed vers zéro e régime permae. Codiio de sabilié : U sysème es sable ssi ous les poles de sa FTBF so à paries réelles sriceme égaives. Remarques : Remarque : ou sysème de premier ordre ou de deuxième ordre fodameal es sable. Remarque : si u sysème asservi es sable pour la cosige alors il l es pour la perurbaio. Crières de sabilié : Crière de ROUTH : Noa : o appellera équaio caracérisique d u sysème asservi, le déomiaeur de sa F.T.B.F égalé à zéro. Eocé du crière de ROUTH : Première codiio (écessaire mais pas suffisae) : Tous les coefficies de l équaio caracérisique doive êre du même sige. Deuxième codiio : Le sysème es sable si ous les ermes de la coloe des pivos so sriceme posiifs. Cosrucio du ableau de ROUTH : D B p B p B p... B p B m m m ( p ) m m m 0 p m B m B m- B m-4 p m- B m- B m-3 B m-5 p m- C m- C m-4 C m-6 p m-3 D m-3 D m-5 D m-7... P Coloe des pivos avec: C m- B m m m B B B ; C m-4 B m m 3 B m m 4 m B B B B m m 5 3

24 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Crière du revers : Crière du revers das le pla de Nyquis : U S.A es sable e boucle fermée, si e parcoura so lieu de rasfer e boucle A - Im H BO ( jω ) Re H BO ( jω ) ouvere, das le ses des ω croissas, o laisse le poi criique A(-,0) sur la gauche. Isable Sable Crière du revers das le pla de Black-Nichols : G db BO ( ω) U S.A es sable e boucle fermée, si e parcoura so lieu de rasfer e boucle ouvere, das le ses des ω croissas, o Isable A -80 Φ BO ( ω ) laisse le poi criique A(-80,0 db), sur la droie. Sable Crière du revers das le pla de Bode : U S.A es sable e boucle ouvere, si à la pulsaio ω -80 pour laquelle la phase e boucle ouvere es de -80, le gai e décibels e BO es < 0. G db - BO (ω) -80 Φ BO(ω) Sable Isable ω-80 ω-80 Log (ω) Log (ω) Marges de sabilié : Déermiaio aalyique des marges de sabilié : La marge de phase MP es défiie à la pulsaio ω 0, pour laquelle 0Log H BO(jωo) 0 db, par : MP 80 Arg H BO(jωo). La marge de gai MG es défiie à la pulsaio ω -80, pour laquelle Arg H BO(jω-80) -80, par : MG - 0Log H BO(jω-80). 4

25 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Déermiaio graphique des marges de sabilié : G db - BO (ω) Sur Black-Nichols Sur Bode Sur Nyquis -80 MP MG G db BO ( ω ) Φ BO ( ω) ω o MG Log(ω) ζ ( o,) - Im a o H BO ( jω ) Re H BO ( jω ) Φ BO(ω) MP ω -80 Log (ω) -80 MP MG 0 log a Correceur proporioel : c ( ) b Toue augmeaio du gai e BO provoque ue : Amélioraio de la rapidié e de la précisio de l asservisseme ; Déérioraio de sa sabilié e de so amorisseme. Correceur iégraeur : c( ) p p p L augmeaio de la classe e BO provoque ue ee amélioraio de la rapidié e de la précisio de l asservisseme, mais so effe pour la sabilié es éfase. Correceur proporioel-iégraeur (P.I): c( p ) τ p τ p τ p Ce correceur perme d améliorer la précisio e la rapidié de l asservisem sas gêer sa sabilié. 5

26 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI 6

27 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI. Méhode FAST Pricipe : U diagramme FAST se présee sous la forme d u «Arbre» de focios para de la focio globale ou d ue focio de service qu o décompose e plusieurs aures focios, pour déboucher fialeme sur les soluios echiques permea de les saisfaire. Forme géérale : Focio de service Niveau Niveau Niveau 3 Niveau 4 Soluio echologique FP FT FT ec FT ec FT3 FT3 FT3 S 3 FT ec FT3 S3 FT3 ec Lecure d u diagramme FAST : Sa lecure es basée sur ue echique ierrogaive : «Pourquoi cee focio doi- elle êre assurée? Comme? Quad?». Quad? Pourquoi? Focio echique Comme? Pariciper à la réalisaio de la focio echique Quad? Soluio cosrucive Simulaéme aux focios echiques e 3 Quad «OU» Quad «ET» FT FT FS FT FS FT 7

28 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI. Méhode SADT Pricipe : C es ue méhode d aalyse descedae modulaire e hiérarchisée, cosruie sur des focios. Para de la focio globale d u produi, elle e cosrui ue décomposiio par iveaux successifs. Représeaio graphique : Les diagrammes SADT so représeés par u esemble de boies recagulaires iercoecées par des flèches, qui raduise les liaisos ere elles (Boies). A-O A A A3 A0 La représeaio me e œuvre le code «MECS» : M : Moyes E : Erée C : doées de Corôles S : Sorie Doées de Corôle : Eergie Commade Décisio de l opéraeur Iformaio sur l éa du sysème Erée : Eergie Iformaio Service Acivié : Faire sur les doées d erée Sorie Comme? Moyes : Maériels Logiciels Persoels Sur quoi? Que faire? Pourquoi? Avec quoi? 8

29 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI Pricipales règles de syaxe d u SADT : La décomposiio es faie par emboîeme ; La première boie disigue la focio globale, elle es codée A-0 ; Il es recommadé de décomposer cee boies e 3 à 6 boies ; La uméroaio des boies perme de coaîre le iveau d emboîeme (L acivié A3, par exemple, es la première de la décomposiio de l acivié A3 elle-même roisième acivié de la décomposiio A qui es la deuxième acivié de A0 issue de l acivié pricipale A-0) ; La décomposiio peu êre poursuivie jusqu à u iveau de déail jugé écessaire. 3. GRAFCET : Srucure graphique du grafce Le grafce es uilisé pour décrire e commader l évoluio du sysème ; Il perme de représeer : D ue par les variables de sorie placées das les recagles liés aux éapes ; ( ce so les «Acios» ou «ordres» qui so les élémes à réaliser par le sysème : valeur ajouée à obeir, évèemes souhaiés ), (T0) (T) D aure par les variables d erée placées à droie du rai représea les rasiios (elles caracérise l éa du sysème ou les évoluios réalisées par le sysème ; elles so appelées «Récepiviés» du grafce). Règle de cocepio du grafce : l alerace Eape Trasiio devra oujours êre respecée. Vocabulaire : Ue éape es soi "acive", soi "iacive" ; Variable d éape : o associera la lere «X» au uméro d ue éape pour défiir ue «variable d éape» ; exemple : X4 es la variable d éape associée à l éape 4 ; la variable X4 vau si l éape 4 es acive, e «0» si l éape 4 es iacive. Ue rasiio peu êre «validée» ou o ; «frachissable» ou o. L'esemble (ou la lise) des éapes acives, défii la "siuaio" du grafce à u isa doé ; Les règles d évoluio Règle : Siuaio iiiale La siuaio iiiale d'u grafce caracérise le comporeme iiial du acio A 9

30 CPGE Marrakech - Révisios de S.I Aée 0 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI sysème lors de la mise e éergie ; elle radui gééraleme u comporeme de repos. Elle correspod aux éapes acives au débu du focioeme ; les symboles de celles-ci so racés e rai double sur le grafce Règle : Frachisseme d'ue rasiio Ue rasiio es die validée lorsque oues les éapes immédiaeme précédees reliées à cee rasiio so acives. Le frachisseme d'ue rasiio se produi: - Lorsque la rasiio es validée, - ET QUE la récepivié associée à cee rasiio es VRAIE. Règle 3 : Evoluio des éapes acives Le frachisseme d'ue rasiio eraîe simulaéme l'acivaio de oues les c 4 d 5 b A éapes immédiaeme suivaes e la désacivaio de oues les éapes immédiaeme précédees. Règle 4: Evoluios simulaées Plusieurs rasiios simulaéme frachissables so simulaéme frachies. Règle 5 : Acivaio e désacivaio simulaées d'ue éape Si, au cours du focioeme, ue éape acive es simulaéme acivée e désacivée,alors elle rese acive. LES STRUCTURES SIMPLES DU GRAFCET Les srucures divergees E covergees Les sélecios de séqueces (divergeces ou covergeces e «OU»): Les macro-éapes Défiiio Ue macro-éape (par ex. : M30 sur la figure --a) placée das u grafce (di grafce «pricipal») es l uique représeaio d u esemble uique d éapes e de rasiios ommé «expasio de la macro-éape». Iérê : Améliorer la lisibilié des grafces ; améliorer la descripio des spécificaios focioelles auxquelles doi répodre la parie commade d u sysème auomaisé. 30