Janvier 09 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Page 1/8

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1 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 1/8 Exercice 1 Enoncé. Trois chuves sont en file indienne. Le 2ème voit le 1er et le 3ème voit les 2 utres. Dns un sc, connu des trois chuves, il y 3 perruques londes et 2 noires. On tire sns remise 3 perruques successivement. L 1ere est plcée sur l tête du premier chuve, l 2eme sur l tête du deuxième et l troisième sur l tête du troisième. 1. Clculer l proilité que le 1er recoive une perruque londe. 2. Clculer l proilité que le 2ème recoive une perruque londe. 3. Clculer l proilité que le 1er it une perruque londe si le troisième dit Je ne suis ps certin de celle que j i. 4. Idem si le 2ème joute Moi non plus. Solution. Première version 1. On Ω {B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 N 3 B 1 N 2 B 3 N 1 B 2 B 3 B 1 N 2 N 3 N 1 B 2 N 3 N 1 N 2 B 3 } Cs NON équiproles. (On pourrit voir 6 cs équiproles en numérotnt les perruques de 1 à 5). 2. Il vient P r[b 1 ] 3 5 Pr[B 2 ] P r[(b 1 B 2 ) (N 1 B 2 )] (Prtition) P r[b 1 B 2 ] + P r[n 1 B 2 ] P r[b 1 ].P r[b 2 B 1 ] Ce que dit le 3ème permet de svoir qu on n ps N 1 N 2 B 3, donc [N 1 N 2 ]. Pr[B 1 N 1 N 2 ] Pr[B 1 N 1 N 2 ] Pr[N 1 N 2 ] Pr[B 1] Pr[N 1 N 2 ] Pr[B 1 ] 3 5 Pr[N 1 N 2 ] Pr[B 1 B 2 B 1 N 2 N 1 B 2 ] Pr[B 1 N 1 N 2 ] On sit déjà que N 1 N 2 (et le deuxième le sit). S il voit N 1, il sit que c est B 2 donc qu il une perruque londe. Vu ce qu il dit, on sit N 1. Pr[B 1 N 1 ] 1

2 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 2/8 Deuxième version Désignons pr B i l événement : l perruque du ième chuve est londe Pr(B 1 ) 3.A2 4 A 3 5 Pr(B 2 ) 3.A2 4 A Si le 3ème n est ps certin de l couleur de s perruque, c est que l une des deux premières perruques est londe. Il s git donc de clculer 3 5 Pr(B 1 B 1 B 2 ) Pr(B 1 (B 1 B 2 )) Pr(B 1 B 2 ) Pr(B 1 ) Pr(B 1 B 2 ), 6 Pr(B 1 ) + Pr(B 2 ) Pr(B 1 ) Pr(B 2 B 1 ), 6, 6 +, 6, 6., 5, 6, Si le 2ème chuve ne connit ps l couleur de s perruque, c est que l 1ère est londe : l proilité de B 1 dns ces conditions est de 1.

3 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 3/8 Exercice 2 Enoncé. Soit f(x) l fonction définie, pour, pr : 8 < si x <, f(x) 1 (x ) : e si x 1. Vérifier que f(x) représente l densité de proilité d une V.A. X 2. Clculer E(X) et ET(X) 3. Déterminer l fonction de réprtition de cette V.A. X 4. Déterminer l proilité pour que X pprtienne à l intervlle dit norml. 5. Un trin A doit rriver à Liège à 1h. Un utre trin B doit quitter Liège à 1h. Le retrd d rrivée de A et le retrd de déprt de B sont indépendnts et suivent tous les deux une loi définie pr l fonction f(x) pour et 1. Il fut 1 minute à un pssger du trin A pour se rendre u déprt du trin B. Quelle est l proilité qu un pssger de A puisse prendre le trin B? Solution. 1. ) On doit voir f(x) x R. Cette condition est vérifiée si >. ) 2. ) Poser t x f(x)dx 1 1 (x ).e dx 1 E(X) e (x ) dx + 1 x e. 1 1 et > x. 1 x.e dx E(X) ( + t).e t dt... + en intégrnt pr prties ) E(X 2 )... x 2 x e dx ( + t) 2.e t dt en intégrnt pr prties V r(x) E(X 2 ) [E(X)] 2 2 ET (X)

4 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 4/8 3. F (t) P (X t) ) t ) < t < + F (t) Z t dx F (t) F (t) 1 Z t Z t f(x)dx e (x ) dx 1 h.e (x ) e t 1 1 e t i t 1 e t si < t < + si t 4. Intervlle norml I [E(X) ET (X), E(X) + ET (X)] [, + 2] 5. X retrd de A. Y retrd de B. X est indépendnt de Y P (X I) P ( x + 2) f (X,Y ) (x, y) Le pssger prendr l trin B ssi Y > X + 1. F ( + 2) F () 1 e +2 1 e 2 (1 e ) 1 e 2 f X (x) f Y (y) si x < e x si x si y < e y si y (1 e ) hors [; + [ [; + [ e x e y dns [; + [ [; + [

5 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 5/8 ZZ Pr [Y > X + 1] Pr((X, Y ) E) E 1 2 f X,Y (x, y)dxdy dx e (x+y) dy x+1 e x e y + x+1 dx e x.e (x+1) dx e (2x+1) e 1, 18

6 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 6/8 Exercice 3 Enoncé. En mesurnt les dimètres de 65 roues dentées issues d un échntillon létoire non exhustif, on otient une vleur moyenne de,824 cm et un écrt-type de,42 cm. 1. Déterminer les limites de confince à 95% du dimètre moyen de toutes les roues dentées de l popultion. 2. A quel niveu de confince peut-on dire que ce dimètre est de,824cm±,84cm. 3. Peut-on ffirmer que le dimètre moyen d une roue dentée est supérieur à,82cm u seuil de significtion α, 5? 4. Clculer le risque de 2ème espèce si le dimètre moyen réel d une roue est de,837cm. Solution. Désignons pr X le dimètre d une roue dentée. On m X, 824 ; s nc, 42 ; n Comme Il vient D où 2. On doit voir D où z 1 α 2 s LC 1 α (µ) m X ± z 1 α c 2 n s c n z 1 α z 2,975 1, 96, 42 8 s nc n 1, 525 LC,95 (µ), 824 ±, 129 IC,95 (µ) [, 81371;, 83429] s c, 84, 84 z 1 α n 2, 525 1, 6 1 α 2 F Z(1, 6), 9452 soit α, 196. Le niveu de confince est donc de 1 α 1, 196, , 4% 3. Il s git de tester les hypothèses (H ) µ, 82 u niveu de significtion α, 5. Sous (H ), on Déterminons D fin que Comme on c est-à-dire ˆµ m X N P (H 1 ) µ >, 82 s c, 82; N (, 82;, 525) n P (m X D), 95 P (Z 1, 645), 95 mx, 82, 525 1, 645, 95 P (m X, 829), 95 Comme m Xos, 824, on ccepte (H ). Le test n est ps significtif. L échntillon oservé ne permet ps d ffirmer que le dimètre moyen de l popultion est supérieur à,82cm u seuil de significtion de 5%. 4. Le risque de 2ème espèce vut Soit β Pr(m X, 829) si m X N (, 837;, 525) β Pr Z, 829, 837 Pr(Z 1, 52), 643, 525

7 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 7/8 Exercice 4 Enoncé. 1. Dns une entreprise, 5 terminux (sns interction mutuelle) sollicitent un ordinteur centrl et ce, pour chcun d eux, vec une proilité.4 à un instnt donné. Désignons pr NT, le nomre de terminux sollicitnt l ordinteur centrl à un instnt donné. 1) Quelle est l loi de proilité de NT? (justifier) 2) Montrez qu elle peut être pprochée pr une loi normle que vous déterminerez et que vous utiliserez pour évluer l proilité pour qu u plus 22 terminux sollicitent l ordinteur centrl à un instnt donné 2. Cet ordinteur centrl reçoit en outre des requêtes du réseu externe à l entreprise, dont le nomre, X, u cours d une minute est une vrile létoire de loi inconnue. Une oservtion sur une période de 3 trnches d une minute fournit l échntillon rut suivnt : L loi de Poisson est-elle envisgele pour X? Fites le test pproprié u seuil de confince de 5% Solution. 1. 1) Soit X i, l VA indictrice de l événement Le terminl i sollicité l ordinteur centrl à un instnt donné Pour tout i 1,..., 5, il s git d une VA de Bernoulli B(1;.4). Ces 5 VA sont indépendntes (puisque les terminux n ont ps d interction). NT X 1 + X X 5 C est l somme de 5 VA de Bernouilli, indépendntes. Dns ces conditions, NT est une VA de loi de proilité inomile B(5;.4). 2) n 5, p.4, q.6. On npq 12 9 et p 4.5. L pproximtion pr l loi normle N (np, npq) N (2, 12) est envisgele et P r B ( N 22) P r N (.5 N 22.5) P r G Z P r G ( Z.7217) Soit X le nomre de requêtes externes reçues pr minute pr l ordinteur centrl. Rélisons le test d hypothèse suivnt : (H ) X suit une loi de Poisson (H 1 ) X ne suit ps une loi de Poisson.

8 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 8/8 Test d justement u seuil de confince de 5% Nomre de requêtes : ou + Nomre oservé de minutes : Clculons les ttendus théoriques. Estimtion du prmètre m pour une loi de Poisson : moyenne du nomre de requêtes pr minute Il vient m mk Pr(X k) e k! et t k 3. Pr(X k) Pr(X ).188 et t 5.65 Pr(X 1).314 et t Pr(X 2).262 et t Pr(X 3).146 et t Pr(X > 3) et t > Regroupons les 2 dernières vleurs de fçon à ce que tous les effectifs théoriques soient 5 (suf éventuellement un), on otient lors le tleu suivnt : X 2 os Nomre de requêtes : Nomre oservé de minutes : Nomre théorique de minutes : (6 5.65) (9 9.43) (7 7.87) (8 7.5)2 7.5 Comprons cette vleur vec celle du X 2 à degré de lierté à svoir 5.99 (α 5%)..265 Comme.265 < 5.99, on ne rejette ps H : l justement pr une loi de Poisson est risonnle pour X.