aires, volumes : découpages

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1 L recherche à l'école pge 25 ires, volumes : découpges pr rc reton, ric Vsset, Ludovic irr deu, mmn uel ron tin, élèv es de 2 nde du Lycée rgonrd de l'sle-dm et rbr ouet, rinne Lucs, élèves de 2 nde du lycée lfred Kstler de ergy-ontoise enseignntes : nnick oisseu, lude tz et nnie Soismier chercheurs : ichèle Ve rgne et rnçois igne, de l'cole Normle Supérieure ocumenttion utilisée : L gzette des thémticiens n 52 vril 1992 spects clssiques du troisième problème de ilbert. ommentires des professeurs : 'est un sujet qui bien fonctionné tout u long de l'nnée. L présence des élèves été très régulière. On ne leur fourni qu'un seul document qu'ils ont su exploiter. ocument qui étit difficile, mis qund même bordble. Les élèves urient imé rriver à svoir pourquoi on ne pouvit ps trnsformer les utres solides (utres que ceux de ill) en cube. Le pssge du tétrèdre de ill u pvé posé des difficultés dns l lecture de l figure. l fllu u moins qutre tenttives pour boutir u découpge permettnt de psser du tétrèdre de ill u prisme droit puis u pvé. l est regrettble d'illeurs que leur rédction ne porte que sur le pssge du tétrèdre de ill u prisme. Nous pensons que ce groupe cquis une vision dns l'espce qui ser certinement réutilisble. LN : ntroduction. 1. les ires dns le pln. ssge de deux crrés à un seul crré. ssge de un tringle à un rectngle pr découpge. ssge de un rectngle à un crré pr découpge. ssge de un polygone quelconque à des tringles. Le Tngrm. 2. les volumes. Tétrèdre de ill, pssge du tétrèdre u prisme. ssge du pvé u cube.. conclusion. introduction Notre objectif étit de trnsformer une figure en une utre de même ire pour les figures plnes, ou de même volume pour les solides, pr découpges finis. les ires dns le pln. pssge de deux crrés à un seul crré de même ire On considère deux crrés et de côtés et b (on suppose < b). n découpnt les crrés on veut obtenir un seul crré de côté c, ynt pour ire l somme des ires des deux crrés (on doit voir c 2 = 2 + b 2 ). 2 c Soit le point de [] tel que =b. 1' b ontrons que : = 90 [ou () et () perpendiculires] et que = = c et c 2 = 2 + b 2. =. n effet : = + b, = b, [] donc = - =. c K 1 2' b = = c (tringles et rectngles). es tringles sont donc identiques. 'où : = et =. e plus + = = 90. onc = 90. ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199

2 L recherche à l'école pge 26 Le tringle est un tringle rectngle isocèle vec 2 = 2 + b 2. r l trnsltion de vecteur : et ( est un prllélogrmme : qudriltère ynt deux côtés prllèles et de même longueur). Soit K l'imge de pr l trnsltion de vecteur. est un crré de côté c, l'ire est c 2 donc égle à 2 + b 2. Le tringle K est bien l'imge du tringle pr l trnsltion de vecteur. 'où le découpge (voir l figure ci-dessus, pge précédente). pssge d'un tringle quelconque à un crré de même ire On veut psser d'un tringle à un rectngle de même ire pr découpges finis. * s numéro 1 : le tringle trois ngles igus (figure ci-dessous). On trce le segment [OO'] où O et O' sont les milieux respectifs de [] et []. ' O ' On effectue une rottion de 180 de centre O, qui trnsforme le tringle OO' en le tringle O. L trnsltion de vecteur trnsforme le tringle 'O' en le tringle '. On obtient donc un rectngle '' de même ire que le tringle (conservtion des ires pr rottion). pssge d'un rectngle quelconque à un crré On veut psser d'un rectngle de côtés et b quelconques à un crré de même ire pr découpges finis. Soit le rectngle (figure ci-dessous). Le crré cherché une ire de b donc son côté pour longueur b. O' ' O O' ' b On trce l huteur [] du tringle O'O. On effectue une rottion de 180 de centre O, qui trnsforme le tringle O en le tringle 'O. L rottion de 180 de centre O' trnsforme le tringle O' en le tringle O''. Nous vons trouvé une méthode pour construire l longueur b en n'utilisnt qu'un comps (figure ci-dessous). On obtient donc un rectngle '' de même ire que le tringle (conservtion des ires pr rottion). * s numéro 2 : le tringle un ngle obtus (figure ci-dessous). On trce le segment [OO'] où O et O' sont les milieux respectifs de [] et [], et l perpendiculire à [] qui psse pr et coupe [OO'] en un point '. b O b b ' b ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199

3 L recherche à l'école pge 27 l fut tout d'bord reporter l longueur dns le prolongement de l longueur b. On obtient insi un segment [] de longueur + b. nsuite, on détermine le milieu O du segment [] à l'ide du comps. On trce le demicercle de centre O et de ryon [O] et on prolonge le segment [] jusqu'u point, intersection vec le demi-cercle. Soit le tringle rectngle en (cr pprtient u cercle et [] est un dimètre). 'près le théorème de ythgore on : 2 = omme pprtient à [] : (+) 2 = ns le tringle rectngle en : 2 = ns le tringle rectngle en : 2 = 'où en remplçnt : ( + ) 2 = omme = et = b, lors : ( + b) 2 = b b 2 + 2b = b 2 2b = 2 2, b = 2 = b. onc le segment [] pour longueur : b. Nous llons psser du rectngle u crré ' (figures précédente et ci-dessous). On reporte à l'ide du comps l longueur du segment [] à prtir du point sur [] et à prtir du point sur [] de fçon à obtenir respectivement les points ' et. ' = b = On trce le segment [] insi que le segment ['], segment prllèle à [] et coupnt le segment [] en. On obtient finlement polygones ', ' et. (voir figures précédentes). On déplce le tringle rectngle ' pr l trnltion de vecteur qui trnsforme le point en le point, le point ' en le point et le point en le point. On déplce de même le tringle rectngle pr l trnsltion de vecteur qui trnsforme le point en le point. On obtient finlement un crré ' de côté b cr le crré une ire de b (conservtion des ires pr trnsltion) et deux côtés ['] et [] de longueur b. (voir figures précédentes). pssge d'un polygone à des tringles R e m rque : our tout polygone à x côtés, nous pouvons déterminer le nombre minimum de tringles que nous pouvons découp e r. insi, si nous vons un polygone à x côtés, lors son nombre minimum de tringles ser de : (x-2). n effet, un tringle l somme de ses ngles égle à 180 degrés, soit 180 pour un côté, et 0 pour les deux utres. insi, si un polygone quelconque l somme de ses ngles égle à y, lors il suffir de diviser y pr 180 pour connître le nombre de tringles minimum pour diviser ce polygone. xemples : Un crré (4 côtés) : nombre de tringles : 4-2 = 2 ; un pentgone (5 côtés) : nombre de tringles : 5-2 = ; un hexgone (6 côtés) : nombre de tringles : 6-2 = 4 ; un décgone (10 côtés) : nombre de tringles : 10-2 = 8. ' = ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199

4 L recherche à l'école pge 28 les volumes L'objectif est de psser d'un solide à un cube de même volume pr découpges finis. O K X Y Q R Tétrèdre de LL e dernier en effet découvert en 1896, trois fmilles de tétrèdres de même volume qu'un cube pr découpges finis. Le Tngrm l'ide d'un jeu ppelé Tngrm nous pouvons ussi trnsformer un rectngle en un crré, pr mnipultions L W V U T [ est un rectng le et de plus : = 2 = 4 ] S ' ' z 1 N 2 2 Q ' ' ' ' y x L pièce 1 est un tringle rectngle isocèle d'hypoténuse 2. L pièce 2 et l pièce 5 sont des tringles rectngles isocèles de côté. L pièce est un crré de côté. L pièce 4 est un prllélogrmme de côtés et 2. Les pièces 6 et 7 sont deux tringles rectngles isocèles de côté 2. Trnsformt ion en un crré près mnipultions. r construction nous vons tout d'bord pu psser de l'un de ces tétrèdres à un prisme droit. On choisit un repère orthonorml pour lequel ( 0, 0, 1) ; (0, 0, 0) ; (1, 1, 0) et (1, 0, 0). On coupe l figure pr le pln z = 1/. On obtient les points ', ', '. On réédite vec le pln x = 1/ pour obtenir les points, N,, Q. On continue en trvillnt sur l bse de mnière nlogue à celle du pln. ' 1 N Q N ' L pièce 1 est coupée suivnt le pln ' et donne les pièces 4 et 5 : Q ' ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199

5 L recherche à l'école pge 29 Redisposition des pièces 2,, 4, 5 pour former le prisme droit : ' [NLR : dns le dessin ci-dessus, les chiffres entre prenthèses indiquent le numéro de l pièce dns lquelle le point porte le nom indiqué. () signifie que ce point est le point qund on le voit comme point de l pièce. Le lecteur devrit comprendre insi comment les pièces ont été réjustées pour former le prisme finl] ' ' 2 4 N [détil ci-dessous :] ' ' pssge d'un pvé à un cube ' ' 5 On v, pr découpges finis, trnsformer un pvé en un cube de même volume. Soit un pvé, tel que : s huteur =, s longueur = b, s lrgeur = c. Nous en déduisons que ce pvé un volume bc. Or, nous cherchons un cube ynt le même volume que ce pvé. onc, si nous prenons x le côté du cube obtenu près trnsformtion, nous obtenons l'églité suivnte : x = bc, donc : x = bc. 4 Q (2) = '(4) 5 () = '(5) = (4) (2) = N() 4 (2) = '(4) 5 () = '(5) = (4) (2) = N() Le côté du cube obtenu ser donc de : x = bc. our découper le pvé, et en fire un cube, nous utilisons une méthode nlogue à celle qui nous vit permis de psser d'un rectngle à un crré. insi, nous définissons un point, pprtennt u côté [] du pvé, et tel que : = x = bc. Nous pouvons lors couper le pvé suivnt un pln, lequel étnt défini pr les points,, et. Nous obtenons lors deux solides, résultnt de ce découpge : un prisme droit à bse tringulire ppelé prisme, un volume, qui correspond u pvé de déprt, uquel nous vons ôté le prisme. onsidérons mintennt le volume. Nous définissons un point, pprtennt u côté [] du volume, tel que : = x. Nous pouvons lors couper le volume suivnt un pln ', pssnt pr le point et étnt prllèle u pln défini pr les points, et. Nous obtenons lors deux nouveux solides, résultnt du découpge du volume : un prisme droit à bse tringulire ppelé prisme, un volume, qui correspond u volume uquel nous vons ôté le prisme. Nous vons mintennt trois volumes, issus du même pvé. Les deux découpges précédents peuvent se résumer pr l figure : ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199

6 L recherche à l'école pge 0 ns ce nouveu pvé, nous llons effectuer les mêmes découpges que précédemment. insi, sur le coté [K], nous plçons un point L, tel que : KL = x = bc. Nous llons mintennt ssembler ces trois solides, de mnière à obtenir un nouveu pvé, dont l'un des côtés mesurer le côté du cube à obtenir, soit x. Nous déplçons le prisme, de mnière à ce que le point du prisme soit confondu vec le point du volume, et que le point du prisme soit confondu vec le point du volume. Nous déplçons mintennt le prisme, de mnière à ce que l fce du prisme soit incluse dns le pln ' (ce dernier étit prllèle à l fce du volume, et pssit pr le point ). Nous obtenons lors l figure : Nous pouvons mintennt couper le pvé suivnt un pln, défini pr les points,, et L. Nous obtenons lors deux nouveux solides : un prisme droit à bse tringulire ppelé prisme, un volume, qui correspond u pvé uquel nous vons ôté le prisme. onsidérons mintennt le volume. Nous définissons un point, pprtennt u coté [], tel que : = x. Nous pouvons mintennt couper le volume suivnt un pln ', prllèle u pln défini pr les points, et, et pssnt pr le point. No us o bteno ns lors deux no uv eux volumes : un prisme droit à bse tringulire ppelé prisme, un volume ', qui correspond u volume, uquel nous vons ôté le prisme. Nous vons mintennt trois solides. K Les deux découpges précédents peuvent se résumer à l figure suivnte : Nous vons donc obtenu un nouveu pvé, de dimensions : huteur = b / bc, longueur = bc, lrgeur K = c. (Le volume de déprt est conservé). ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199

7 L recherche à l'école pge 1 Nous llons mintennt ssembler ces trois solides, de mnière à obtenir un cube de coté x. insi, nous déplçons le prisme, de mnière à ce que le point du prisme soit confondu vec le point L du volume ', et que le point du prisme soit confondu vec le point du volume '. Nous déplçons mintennt le prisme de mnière à ce que l fce K soit incluse dns le pln ' (ce dernier étnt défini pr les points,, et du volume ', et pssnt pr le point ). Nous obtenons lors l figure : Nous vons obtenu un nouveu pvé, dont le volume est identique u volume du pvé initil. omme il y conservtion du volume, les dimensions du nouveu pvé sont : K l h u t e u r, l longueur, N l lrg e u r. t on : K = = N = bc. Tous les cotés de ce nouveu pvé étnt identiques, nous en concluons que ce pvé est un cube, de volume bc. conclusion : l est donc possible de psser d'un pvé à un cube de même volume, pr découpges finis. Le côté de ce cube mesurer l rcine cubique du volume du pvé. conclusion K l est désormis fcile de psser d'un polygone quelconque à un crré de même ire pr découpges finis. n revnche, dns l'espce, il n'est ps toujours possible de psser d'un solide quelconque à un cube de même volume pr découpges finis. Nous n'vons trouvé que deux cs : sser d'un pvé à un cube. sser d'un tétrèdre de ill à un prisme, et même à un cube ; à vous de trouver comment ommentires du chercheur : remière (petite) remrque : < b (ou > b) n' ps l'ir de servir dns le pssge : 2 crrés 1 crré. euxième re m rque : le cs numéro 1 (tringle crré) mrche même s'il y un ngle obtus, à condition de mettre l'ngle obtus en. ssge d'un rectngle à un crré : il y eu confusion entre le problème posé (existe-t-il un découpge etc ) et le problème de construction (à l règle, u comps, ou pr un quelconque utre moyen). Les problèmes de constructions sont un tout utre domine qu'il serit peut être intéressnt d'explorer une prochine fois. ssge d'un polygone à un tringle. L formule x - 2 n'est ps prouvée. e qui est prouvé est y/180 et on ne fit ps le rpport entre y et x. ssge du pvé u cube. L preuve serit plus clire si les élèves s'étient perçus que ce qu'ils font est un découpge pssnt d'un pvé à un utre pvé dont un côté est donné (inférieur à l'un des côtés du pvé d'origine). e découpge étnt fit de prismes, on pourrit fire toutes les figures dns un pln, c'est-à-dire qu'on en fit trité le problème du pssge d'un rectngle à un utre : ç urit vlu l peine de l'expliquer. our le pvé, il y qu' utiliser l méthode pour deux rêtes successives. ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199

8 L recherche à l'école pge 2 ongrès Th.en.NS à l'cole olytechnique les 2, 24, 25, 26 vril 199