Développement en série de Fourier

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Développement en série de Fourier"

Transcription

1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge uiformémet. Motrer que cette covergece a lieu vers la foctio f. Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio régularisée, périodique, impaire, costate égale à sur ] ; [. (a) Calculer ses coefficiets de Fourier trigoométriques. (b) Étudier la covergece simple ou uiforme de la série de Fourier vers f. (c) E déduire (d) Calculer p= ( ) p p + et (p + ) p= et ( ) Exercice [ 376 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio paire, -périodique, défiie par x si x [ ; /] f (t) = 8x 3 x sio (a) Motrer que f est de classe C et calculer exprimer sa dérivée. (b) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométrique de la foctio f. (c) E déduire la valeur de = ( ) ( + ) 3 Exercice 5 [ 95 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio périodique défiie par f (x) = cos x (a) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométriques de f. (b) E déduire la valeur ( ) + Exercice 3 [ 953 ] [Correctio] Soit f : R R l applicatio périodique, paire, telle que (a) Calculer la série de Fourier de f. x [ ; ], f (x) = x (b) Étudier la covergece simple ou uiforme de la série de Fourier de f. (c) Détermier (d) E déduire k= (k + ) et (k + ) k= et Exercice 6 [ 955 ] [Correctio] Soit f : R C, -périodique, impaire et vérifiat f (t) = t sur ] ; ] (a) Préciser la covergece de la série de Fourier de f. La covergece est-elle uiforme? (b) Calculer la série de Fourier de f. (c) E déduire la covergece et la valeur de (d) Calculer si

2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Exercice 7 [ 956 ] [Correctio] Soit la foctio f : R R périodique défiie par x ] ; ], f (x) = e x (a) Calculer les coefficiets de Fourier expoetiels de f. (b) E déduire la valeur des sommes = ( ) + et + Exercice 8 [ 957 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f : R R la foctio périodique défiie par = f (x) = cos(αx) sur ] ; ] (a) Détermier les coefficiets de Fourier a et b de f. (b) E déduire les valeurs des sommes (c) E déduire efi la valeur de ( ) α et α Exercice 9 [ 3695 ] [Correctio] Soit α u réel o etier et f la foctio -périodique doée par t ] ; ], f (t) = cos(αt) (a) Motrer que f est égale à sa somme de Fourier e précisat le type de covergece de celle-ci. (b) Calculer la somme de Fourier de f. Exercice [ 3598 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f : R R la foctio périodique défiie par f (t) = cos(αt) sur ] ; ] (a) Motrer que f admet ue série de Fourier covergete sur R. Quel type de covergece est-ce? (b) Expliciter les coefficiets de Fourier de f. (c) Pour tout x Z, motrer l égalité cotax = x + x x () Exercice [ 958 ] [Correctio] Soiet α R et f : R R la foctio périodique défiie par f (x) = ch(αx) sur ] ; ] (a) Détermier les coefficiets de Fourier a et b de f. (b) E déduire les valeurs des sommes Exercice [ 959 ] [Correctio] (a) Domaie de défiitio de ( ) + α et + α S (t) = k= k t? (b) Calculer les coefficiets de Fourier a et b de f (x) = cos(αx) défiie sur [ ; ] avec α R \ Z. (c) Sur quel domaie f coïcide avec so développemet e série de Fourier? (d) E déduire ue expressio de S (t). Exercice 3 [ 96 ] [Correctio] Existe-t-il ue suite (α ) de réels telle que t [ ; ], si t = = α cos(t)?

3 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés 3 Exercice [ 96 ] [Correctio] La série de Fourier de la foctio f paire -périodique qui vaut x pour x [ ; ] coverge-t-elle uiformémet? Que vaut sa somme? Exercice 5 [ 883 ] [Correctio] Soit α u réel o etier. (a) E utilisat la foctio -périodique coïcidat avec x cos(αx) sur [ ; ], calculer + α ( ) α (b) E déduire (c) Ici < α <. Motrer que ( ) t α + t dt = si Exercice 6 [ 88 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f α l uique foctio -périodique de R das R telle que pour tout x [ ; ], f α (x) = cos(αx) (a) Calculer les coefficiets de Fourier de f α. (b) Motrer que (c) Si < α <, motrer que Exercice 7 [ 885 ] [Correctio] Soit a >, x réel. O pose si() = + ( ) α α f (x) = = t α + t dt = si() a + (x ) (a) Motrer que f est défiie sur R et étudier sa parité. (b) Motrer que f est développable e série de Fourier. (c) Calculer, e utilisat u logiciel de calcul formel, l itégrale (d) E déduire les coefficiets de Fourier de f. (e) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. cos t b + t dt Exercice 8 [ 37 ] [Correctio] Soit f : R C, -périodique, impaire et vérifiat (a) Calculer < x < = f (x) = x S (x) = si(x) (b) Soit g: R C, -périodique, impaire, cotiue et défiie par Démotrer (c) Que vaut g est affie sur [ ; ] et x [ ; ], g(x) = S (x) ( ) si = si? si Exercice 9 [ 38 ] [Correctio] Former le développemet e série de Fourier de la foctio -périodique doée par f (t) = si t e précisat la ature de la covergece de cette série.

4 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Exercice [ 367 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio -périodique et k lipschitziee. Pour Z, o pose (a) Pour tout h R, o défiit la foctio Calculer c ( f h ) pour tout Z. (b) E déduire que c ( f ) = f (t)e it dt f h : R C, x f (x + h) f (x) ( h si Z ) c ( f ) (kh) (c) E utilisat la cocavité de la foctio sius, motrer la covergece de la série c ( f ) (d) Que peut-o e coclure? Éocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Z Exercice [ 5 ] [Correctio] O cosidère la foctio f défiie sur R par f (t) = si t + si t (a) Préciser le mode de covergece de la série de Fourier de f. (b) E déduire et ( )

5 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios 5 Correctios Exercice : [éocé] Notos S la série de Fourier de f et S p les sommes partielles. Puisque la foctio f est cotiue, il y a covergece e moyee quadratique de (S p ) vers f. S p (t) f (t) dt Par hypothèse, il y a covergece uiforme de (S p ) vers sa limite que ous avos otée S et il y a aussi covergece e moyee quadratique S p (t) S (t) dt Par uicité de la limite pour la covergece e moyee quadratique, o peut affirmer f = S. Exercice : [éocé] (a) f impaire Pour N, b = b p = et b p+ = (p+). O a aussi c = et pour Z,. c = N, a = f (t) si(t) dt = ( ) f (t) e i.t dt = ( ( ) ) i. (b) La foctio f état C par morceaux, la série de Fourier coverge simplemet vers la régularisée de f. La covergece e peut pas être uiforme car la foctio limite est pas cotiue. (c) La covergece simple de la série de Fourier vers f (x) e x = / doe : d où p= si (p+) (p + ) = ( ) p p + = p= p= ( ) p p + = L égalité de Parseval doe (d) + existe et d où Aussi Exercice 3 : [éocé] (a) Puisque f est paire : Pour N, Pour = : a =. Pour > : Aussi et pour Z : 6 (p + ) = f (t) dt = p= p= = ( ) = p= a = c = a = [ t si(t) ] (p + ) = 8 p= (p + ) + p= = 3 (p + ) = 6 p= (p + ) p= N, b = f (t) cos(t) dt = c = f (t)e i.t dt = p p = 8 = t cos(t) dt si(t) dt = (( ) ) tdt = t cos(t) dt = ( )

6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios 6 Par suite S ( f )(t) = a + a cos(t) = k= cos(k + )t (k + ) (b) f est cotiue et C par morceaux, la covergece est ormale a fortiori simple et uiforme. (c) S ( f )(t) = f (t). Pour t =, o obtiet Par la formule de Parseval : Or (d) + existe et d où De même o obtiet Exercice : [éocé] (a) Sur [ ; /], o a k= ( f (t)) dt = a + (k + ) = 8 k= ( f (t)) dt = k= = a k+ = + 8 (k + ) = 96 k= [ ] 3 t3 = 3 (k + ) + k= = 6 = 9 f (x) = x et f est de classe C sur [ ; /] avec f d () = et f g(/) = k k= (k + ) Sur ]/ ; ], o a f (x) = 8x 3 x et cette relatio est aussi valable pour x = /. O e déduit que f est de classe C sur [/ ; ] avec f d (/) = et f g() = Par parité et périodicité, o peut affirmer que f est de classe C sur R (et u dessi serait sûremet très covaiquat... ) et f est ue foctio impaire, -périodique avec f 8x si x [ ; /] (t) = 8 8x sio (b) Puisque la foctio f est paire, les coefficiets b sot uls et ce qui doe a = f (t) cos(t) dt a = et a + = 3.( )+ ( + ) 3 après quelques calculs péibles, ou plus simplemet après exploitatio de la relatio voire de la relatio b ( f ) = a ( f ) a ( f ) = b ( f ) = a ( f ) et e cosidérat la pseudo dérivée d ordre de f. (c) Puisque la foctio f est de classe C, elle est égale à sa somme de Fourier et x R, f (x) = 3 E évaluat pour x =, o obtiet Exercice 5 : [éocé] = = ( ) + cos(( + )t) ( + ) 3 ( ) ( + ) 3 = 3 3

7 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios 7 (a) La foctio f est paire. O obtiet pour N et b ( f ) = pour N. a ( f ) = ( )+ ( ) et a +( f ) = (b) La foctio f est de classe C par morceaux, il y a covergece uiforme de la série de Fourier vers f. E x =, o obtiet : Exercice 6 : [éocé] f () = + ( ) + ( ) ( ) + = (a) f est C par morceaux et régularisée la série de Fourier de f coverge simplemet vers f e vertu du théorème de Dirichlet. La covergece e peut être uiforme car si telle est le cas f serait cotiue e e tat que limite uiforme d ue suite de foctios cotiues. (b) La foctio f est paire. O obtiet a = et par itégratio par parties b = /. La série de Fourier de f permet d écrire (c) Pour t =, o obtiet (d) Par la formule de Parseval f (t) = si = si(t) = f (t) dt = ( t) dt = [ ] ( t) 3 6 = 6 Exercice 7 : [éocé] (a) Par défiitio, pour Z, Après calcul, o obtiet c = f (t)e it dt c ( f ) = sh ( ) i (b) La foctio f est de classe C par morceaux (mais pas cotiue) la série de Fourier coverge simplemet vers la foctio f régularisée de f avec f e x si x ] ; [ (x) = ch() si x = Aisi Pour x =, o obtiet Or Par suite = x R, f (x) = sh = sh = = = ( ) i ( ) i eix ( ) ( i = + ( ) i + ) = + + i = De même avec x =, o obtiet Exercice 8 : [éocé] = ( ) + = ( + ) sh + = ( + coth ) (a) La foctio f est paire. O obtiet b = pour et α si() a = ( ) ( α ) = ( ) +

8 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios 8 pour N. La série de Fourier de f coverge ormalemet vers f car celle-ci est cotiue et C par morceaux. Par suite (b) Pour x =, o obtiet et pour x =, f (x) = si() + α si() ( ) ( α ) cos(x) ( ) α = ( ) α si() cot = α α (c) Il y a covergece ormale de + pour α [ ; /] quad α Quad x, quad α, d où Exercice 9 : [éocé] (a) Par périodicité Aisi = lim α α cot x = x 3 x + o(x) cot α = 6 6 f () = f () = cos() = cos( ) t [ ; ], f (t) = cos(αt) O peut affirmer que f est cotiue et de classe C par morceaux. O e déduit que la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f sur R. (b) La foctio f est paire. Après calculs et la série de Fourier de f est Exercice : [éocé] α si() a = ( ) ( α ) et b = si() + α si() ( ) ( α ) cos(t) (a) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux sur R car elle l est sur [ ; ]. O e déduit que la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f. (b) Après calculs, pour N, α si a = ( ) ( α ) et b = (c) Pour tout t =, la covergece de la série de Fourier de f doe cos() = et e posat x = o obtiet si cos x = si x x ce qui fourit la relatio demadée. Exercice : [éocé] + + α si() (α ) x si x x () (a) La foctio f est paire. O obtiet b = pour et a = ( ) α sh (α + ) pour N. La série de Fourier de f coverge ormalemet vers f car celle-ci est cotiue et C par morceaux. Par suite f (x) = sh + ( ) α sh cos x (α + )

9 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios 9 (b) Pour x =, o obtiet et pour x =, Exercice : [éocé] (a) S (t) est défiie sur R \ Z. ( ) + α = ( ) α sh() coth() = + α α α si (b) a = ( ) ( α ) et b =. (c) Puisque f est cotiue et C par morceaux, le théorème de covergece ormale assure que la série de Fourier de f coverge vers f sur R. (d) Pour x =, o obtiet : puis cos = si α si ( α ) α = cot α α S (t) = cot α α Exercice 3 : [éocé] Soit f la foctio périodique paire défiie sur [ ; ] par f (t) = si t. f est cotiue et C par morceaux. Sa série de Fourier coverge ormalemet vers f et cela permet d écrire d où le résultat. Si =, a ( f ) = t [ ; ], si t = a ( f ) + si t cos(t) dt = a ( f ) = a ( f ) cos(t) si( + )t si( )t dt Si, a ( f ) = [ ] cos( + )t [ + ] cos( )t = ( + ( ) ) ( ) Exercice : [éocé] Le problème est qu ici f est pas de classe C par morceaux puisqu elle admet de dérivée à droite et à gauche e. Pour >, o a b = et Or l itégrale a = [ ] x cos(x) dx = x si(x) a = si(x) dx = si(u) x 3/ du u si u u du si(x) x est covergete comme o peut le vérifier à l aide d ue itégratio par parties sur [ ; + [ Par coséquet, a = O ( / 3/) la série de Fourier de f est ormalemet covergete. État cotiue, la série de Fourier coverge e moyee quadratique vers f et sa somme est égale à f. Exercice 5 : [éocé] (a) La foctio -périodique étudiée est cotiue et de classe C par morceaux dot développable e série de Fourier. a = α( ) si() (α ) et b = La valeur e de ce développemet permet d établir : + α ( ) α = si() dx

10 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios (b) Par covergece ormale, la foctio α + ( ) α passat à la limite quad α, o obtiet (c) t α + t dt = = ( ) = lim α ( α ( si() t α + t dt = t α + t dt + N ( ) t α + dt = Par le critère spécial des séries alterées, ( ) t α + dt Par u = /t, =N+ t α + t dt = = = t α + t dt = par la même démarche qu au dessus. Par suite Exercice 6 : [éocé] t α + t dt = α + α est cotiue sur [ ; /]. E )) = t α + t dt ( ) t α + dt+ t α+n dt = ( ) t α + = u α u + du = (a) La foctio f est paire b = pour et E exploitat o obtiet au terme des calculs pour N. a = =N+ N + α + = ( ) α = cos(αt) cos(t) dt ( ) + α ( ) α si() cos(a) cos(b) = (cos(a + b) + cos(a b)) α si a = ( ) ( α ) ( ) t α + dt (b) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux sa série de Fourier coverge uiformémet vers elle-même. O peut alors écrire ce qui doe Pour x =, o obtiet f (x) = puis la relatio voulue. (c) La foctio x R, f (x) = a + a cos(x) = si si + α si ( ) ( α ) cos(x) si ( ) + α α f : t tα + t est défiie et cotiue par morceaux sur ] ; + [. O vérifie f (t) f (t) t + /t α ce qui assure l itégrabilité de f. Par sommatio géométrique E décomposat la somme e deux D ue part t α dt == + t t α + t dt = ( ) t +α dt = N = N ( ) t +α dt = = ( ) t +α dt + N = ( ) + α =N+ t tα et ( ) t +α dt ( ) N + + α = la covergece de la série état acquise par le critère spécial des séries alterées. D autre part ( ) t +α dt t N+α dt = N + + α =N+ [;[

11 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios la majoratio de la somme état obteue par majoratio du reste d ue série vérifiat le critère spécial des séries alterées. O peut alors affirmer e passat à la limite quad N + Puisque par chagemet de variable o a aussi O e tire et fialemet t α + t dt = ( ) + α t α + t dt = u=/t = u α u + du t α + t dt = ( ) + ( α) = t α + t dt = α + = t α + t dt = α + α ( ) + α + ( ) α = ( ) α si() (d) f est paire b = pour tout N. Pour N, (e) a = f (t) cos(t) = cos(t) a + t dt+ cos(t) a + (t ) + Par covergece de la série des itégrales des valeurs absolues, E traslatat les itégrales, a = a = avec b = a pour et a = a. f (t) = a + a k= cos(t) a + (t k) dt cos(t) a + t dt = cos u b + u du cos(t) a + (t + ) dt e a cos(t) = ( ) + Re a e a+it = e a (cos t e a ) a e a cos t + e a Exercice 7 : [éocé] (a) Les séries est défiie sur R. est paire. a +(x ) f (x) = et a + x + sot absolumet covergetes f a +(x+) ( ) a + (x ) + a + (x + ) (b) Par traslatio d idice, o observe que f est -périodique. Posos f (x) = a + (x ) + a + (x + ) (c) f est de classe C, f coverge simplemet et f coverge ormalemet sur [ ; ] f est cotiue et C par morceaux développable e série de Fourier. cos t eb dt = b + t b Exercice 8 : [éocé] (a) La foctio f est de classe C par morceaux et régularisée développable e série de Fourier. a = et par itégratio par parties b = /. Le développemet e série de Fourier de f s écrit (b) Pour x =, o obtiet f (x) = si si(x) = = S (x) La foctio g est de classe C par morceaux et cotiue développable e série de Fourier. a = et b = t si(t) dt + t si(t) dt

12 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios Après calculs O a alors (c) Par la formule de Parseval g() = si = b = si si si = S () = g(t) dt = ( ) 6 Exercice 9 : [éocé] La foctio f est paire, cotiue et de classe C par morceaux. Sa série de Fourier coverge uiformémet vers elle-même. Après calculs, o obtiet Exercice : [éocé] (a) Par -périodicité (b) O a f (t) = f (t + h)e it dt = p= +h h ((p) ) cos(pt) f (u)e iu e ih du = c ( f h ) = (e ih )c ( f ) c ( f h ) = ie ih/ si h c ( f ) c ( f h ) = si h c ( f ) puis par la formule de Parseval et la lipschitziaité de f ( h si Z ) c ( f ) = f (u)e iu e ih du f h (t) dt (kh) (c) Par la cocavité de la foctio sius sur [ ; /], le graphe est au dessus de la corde Aisi pour h o a et Aisi h h x [ ; /], si x x h c ( f ) si c ( f ) h Z ( ) h c ( f ) ( ) h si c ( f ) (kh) c ( f ) (k) Ceci valat pour tout h >, o peut e cosidérat h + assurer que les sommes partielles de la série c ( f ) sot borée et que cette série coverge. (d) Pour tout t R, sup t R c ( f )e it = c ( f ) ( ) + c ( f ) e vertu de l iégalité ab a + b. Par comparaiso de séries à termes positifs, o peut affirmer la covergece ormale de la série des foctios t c ( f )e it. Cette covergece ormale etraîe ue covergece e moyee quadratique qui e peut avoir lieu que vers f (qui est cotiue car lipschitziee). O peut coclure que la série de Fourier de f coverge ormalemet vers f sur R. Exercice : [éocé] (a) La foctio f est cotiue, -périodique et de classe C par morceaux. La série de Fourier de f coverge uiformémet vers f. (b) Après calculs et La série de Fourier de f est a ( f ) = ( ), a +( f ) = b ( f ) = / et b ( f ) = pour > + si(t) + ( ) cos(t)

13 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Correctios 3 E calculat e t =, o obtiet = (ce qui aurai pu aussi s obteir par décompositio e élémets simples puis télescopage). Par la formule de Parseval = ( ) et ( ) = 6

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit f : R C continue et 2π-périodique. Montrer que f est constante si, et seulement si,

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit f : R C continue et 2π-périodique. Montrer que f est constante si, et seulement si, [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 6 Eocés Séries de Fourier Polyômes trigoométriques Exercice [ 945 ] [Correctio] Soiet a, a,..., a N R o tous uls et (a) Établir (b) E déduire que P(z)

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 22 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE : ormes équivaletes. Soit f E. f est de classe C sur [,]. Doc la foctio f est cotiue sur le segmet [,] et par suite la foctio

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA PREMIERE PARTIE

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA PREMIERE PARTIE SESSION 99 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIERE PARTIE a Pour x R et N, u x Doc, N, u Comme la série de terme gééral coverge, la série de foctios de terme gééral u coverge

Plus en détail

1 Séries trigonométriques

1 Séries trigonométriques Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, / ANALYSE Fiche de Mathématiques 9 - Séries de Fourier Séries trigoométriques Défiitio O appelle série trigoométrique toute série dot le

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

Exercices corrigés sur les séries de fonctions

Exercices corrigés sur les séries de fonctions Eercices corrigés sur les séries de foctios Eocés Eercice Motrer que la série ( ) est uiformémet covergete mais o ormalemet covergete sur [, ] Eercice 2 Étudier la covergece sur R + de la série de foctios

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Concours Commun des Mines 1. MATHÉMATIQUES Première épreuve. Options M et P. ( 1) k ζ(k)x k k

Concours Commun des Mines 1. MATHÉMATIQUES Première épreuve. Options M et P. ( 1) k ζ(k)x k k Cocours Commu des Mies MATHÉMATIQUES Première épreuve. Optios M et P Objet du problème : Etude de la foctio F défiie par : Coaissaces requises : Séries umériques. Itégrales gééralisées. Séries de foctios,

Plus en détail

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα)

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα) [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 26 Eocés Séries etières Calcul de rayo de covergece cocret Exercice [ 97 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : Exercice 6

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

Développements limités

Développements limités [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Eocés Développemets limités Calcul de développemets limités Eercice [ 0447 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (π/4)

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Chapitre 4 Séries trigonométriques

Chapitre 4 Séries trigonométriques MVA Aalyse et calcul matriciel Chapitre 4 Séries trigoométriques Foctios périodiques Soit f ue foctio défiie sur R. Le ombre θ est ue période de f si f (t + θ) = f (t) quel que soit t R. Quad f admet ue

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

Feuille d Exercices : Suites, suite!

Feuille d Exercices : Suites, suite! ECS 1 Dupuy de Lôme Semaie du 6 décembre 004 Feuille d Exercices : Suites, suite! Exercice 1 : Pour tout etier, o défiit u = 1. Motrez que u est mootoe.. Motrez que v est géométrique. k= 3. E déduire l

Plus en détail

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale. Uiversité Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 10 (semaie du 2 au 6 décembre 2013 Covergece e loi. Théorème de la limite cetrale. Covergece e loi 1. Soiet (X N ue

Plus en détail

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même.

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même. CCP 8. Filière MP. Mathématiques. Corrigé pour serveur UPS par JL. Lamard (jea-louis.lamard@prepas.org I. Gééralités. Pour > la série défiissat F coverge absolumet, pour < elle coverge par le critère spécial

Plus en détail

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques Cocours commu Mies-Pots Corrigé de la secode épreuve de mathématiques a Nous pouvos appliquer le critère de d Alembert : doc le rayo R est égal à /4 C+ + + + C = + 4, + b O sait que h est de classe C avec

Plus en détail

Feuille d exercices 11

Feuille d exercices 11 Mathématiques Aalyse I M. Samy Modeliar Feuille d eercices Itégratio Correctio Eercice Détermier, si elle eiste, la ite e + de la suite de terme gééral si ( π + ) d + Correctio. Pour tout etier, la foctio

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Sommaire. 2. Séries réelles ou complexes. Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre

Sommaire. 2. Séries réelles ou complexes. Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre 1. Espaces vectoriels ormés A. Normes et distaces............. 8 B. Étude locale des applicatios Cotiuité..... 19 C. Cotiuité des applicatios liéaires....... 25 D. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie...

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015 CORRIÉ : MATH 1 ; MP ; Mies-pots_15 A. Opérateur de Volterra 1) Soiet f, g E, c est clair que Vf et V f sot deux primitives de f. Vf, g / Vf xgx / Vf xv g x Vf xv gx / et Vf, g / fxv gx f, V g. Vf xv gx

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Exercices corrigés sur les séries entières

Exercices corrigés sur les séries entières Exercices corrigés sur les séries etières Eocés Exercice Détermier le rayo de covergece des séries etières a z suivates : a l, a l, a, a e /3, a +!, a arcsi + π 4. Exercice Détermier le rayo de covergece

Plus en détail

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ).

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ). Colle PC Semaie 3 0-03 Séries Etières Voir : http://www.mimaths.et/img/pdf/s5.pdf http://www.mimaths.et/img/pdf/sem5.pdf EXERCICE :. Doer u exemple de série etière de rayo de covergece π.. Détermier le

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 7 août 07 Eocés Calcul asymptotique Comparaiso de suites umériques Eercice [ 08 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates et doer leur limite :

Plus en détail

Concours Commun Polytechnique. Epreuve de Mathématiques 1 option MP

Concours Commun Polytechnique. Epreuve de Mathématiques 1 option MP Cocours Commu Polytechique Epreuve de Mathématiques optio MP A propos de l hypothèse de classe C par morceau du théorème de covergece ormale d ue série de Fourier... Partie I. Résultats prélimiaires I..a

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul de limites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = +

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

Partie I. ² Sur [0;¼=2] la restriction de µ est C 1 et de dérivée 2x : µ décroît de ¼2

Partie I. ² Sur [0;¼=2] la restriction de µ est C 1 et de dérivée 2x : µ décroît de ¼2 Partie I Questio 1 1.1. La foctio µ est dé ie deux fois e = mais o véri e que les deux fois µ (=) =. L étude des graphes demade ue étude partielle des dérivées. La suite demade, pour les théorèmes de Dirichlet,

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Calcul de rayon de convergence concret

Calcul de rayon de convergence concret [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 207 Eocés Calcul de rayo de covergece cocret Exercice [ 0097 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : (a 0 2 + 3 z (b 0 e 2 z Exercice

Plus en détail

Polynômes de Bernstein

Polynômes de Bernstein Polyômes de Berstei Sergei Nataovic Berstei est é e 1880 et est mort e 1968. 1) Défiitio. Soit f ue foctio défiie et cotiue sur [0, 1] à valeurs das. Pour etier aturel o ul doé, le -ième polyôme de Berstei

Plus en détail

C.B. Analyse : solutions

C.B. Analyse : solutions l( ) ) La foctio f C.B. Aalyse : solutios Partie I : Etude de la foctio L a) Par théorème géérau, f est de classe C sur ], [ {}. E, o motre simultaémet les deu propriétés e obteat u D.L. de f e. O sait

Plus en détail

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série.

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série. Les calculatrices sot autorisées **** NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler

Plus en détail

Compléments sur les suites Suites adjacentes

Compléments sur les suites Suites adjacentes DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:3 Complémets sur les suites Suites adjacetes I Ecadremet d ue suite EXERCICE ) Motrer que pour tout k N et pour tout x [k ; k+], o a : k+ k+ k x dx k ) O pose u

Plus en détail

ANALYSE DE FOURIER ( )

ANALYSE DE FOURIER ( ) ANALYSE DE FOURIER (768-83) ANALYSE DE FOURIER Séries .Défiitio Série de Fourier: Soit f ue foctio périodique de période π/ω, so développemet e série de Fourier est doé par: Les coefficiets a et b dépedet

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Séries de Fourier. III 1 - Séries trigonométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Convergences.

Séries de Fourier. III 1 - Séries trigonométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Convergences. Séries de Fourier III - Séries trigoométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Covergeces. III - Séries de Fourier a. Défiitio. b. Exemples. c. Covergece das d. Covergece

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

C.C.P TSI Mathématiques 1

C.C.P TSI Mathématiques 1 CCP TSI Mathématiques Eercice -) L'éocé e dit pas que f est défiie sur IR O pourrait doc cosidérer que f est défiie sur IR πz et, das ce cas, f() et f(π) 'eisteraiet pas Si f est défiie sur IR, par imparité

Plus en détail

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque

Plus en détail

E3A PC 2007 Math B Exercice 2

E3A PC 2007 Math B Exercice 2 a) D t \ (; y) R : y t 3 + y 3 3y E3A PC 7 Mat B Eercice o reporte y t o obtiet : : 3 ( + t 3 ) 3t qui admet pour solutios : (double) et si t 6, 3t + t 3 si t 6 ; Dt \ fo; '(t)g 3t Doc e otat '(t) ( si

Plus en détail

Feuille d exercices 4

Feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 2009/200 MIME 22 LM5-Suites et Itégrales Groupe 22 Feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ecrire l éocé qui traduit : (u ) N est pas croissate Cet

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

MAT 452 Analyse Fonctionnelle ( ) Correction exercice 5 / Feuille d exercices n 3

MAT 452 Analyse Fonctionnelle ( ) Correction exercice 5 / Feuille d exercices n 3 MAT 45 Aalyse Foctioelle (6-7) Correctio exercice 5 / Feuille d exercices 3 Soit H u espace de Hilbert complexe séparable et D u sous-espace quelcoque de H. O se doe u opérateur liéaire A : D H. O appelle

Plus en détail

par Robert Rolland n=1

par Robert Rolland n=1 EXEMPLE DE LÉOPOLD FEJÉR par Robert Rollad Résumé. Paul Du Bois-Reymod a doé e 873 u exemple de foctio cotiue périodique dot la série de Fourier diverge au poit. L exemple suivat doé par Léopold Fejér

Plus en détail

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Comparaiso des suites Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire Sommaire Sommaire I Gééralités sur les séries......................... 2 I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes.... 2 I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes....

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Corrigé. D08M On dénit la suite de polynômes (T n) n N de R[X] par : BCPST2 16/12/2014 T 2 = 2XT 1 T 0 = 2X 2 1 T 3 = 2XT 2 T 1 = 4X 3 3X

Corrigé. D08M On dénit la suite de polynômes (T n) n N de R[X] par : BCPST2 16/12/2014 T 2 = 2XT 1 T 0 = 2X 2 1 T 3 = 2XT 2 T 1 = 4X 3 3X Corrigé BCPST 6//4 D8M O déit la suite de polyômes T N de RX] par : T, T X et N, T + XT + T Pour tout de N, T s'appelle le -ième polyôme de Tchebychev. Calculer les polyômes T et T 3. T XT T X T 3 XT T

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

Module et argument. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

Module et argument. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés 1 Module et argumet Exercice 1 [ 0030 ] [correctio] Détermier module et argumet de z = + + i Exercice 8 [ 0646 ] [correctio] Si x, y, z) R 3

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires Problème 1 : costructio de triagles Das u pla affie euclidie orieté, o cosidère deux poits disticts B et C et u poit M apparteat pas à la droite BC). Pour chacue des assertios suivates, détermier s il

Plus en détail

Feuille 2 : Séries numériques.

Feuille 2 : Séries numériques. Feuille 2 : Séries umériques. Master Eseigemet Spécialité Maths Coseils O accordera ue importace toute particulière aux démostratios des théorèmes du cours. Certais exercices de cette feuille sot ispirés

Plus en détail

S n = u u n. S = u k. k=0

S n = u u n. S = u k. k=0 Chapitre 3 Séries umériques 3. Défiitios et exemples 3.. Défiitios Défiitio 3.. Soit (u ) ue suite réelle. O lui associe (S ) ue ouvelle suite défiie par S = u 0 + + u. O appelle série de terme gééral

Plus en détail

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

Mardi 10 janvier h-13h

Mardi 10 janvier h-13h Mardi javier 27 8h-3h Il sera teu compte de faco importate de la qualité de la rédactio et de l argumetatio. E particulier, répodre juste à ue questio est valorisé, répodre faux est péalisé et e pas répodre

Plus en détail

UNIVERSITE D ANGERS Mathematiques L2. Devoir. Corrigé sur le web le 31/10/2014

UNIVERSITE D ANGERS Mathematiques L2. Devoir. Corrigé sur le web le 31/10/2014 UNIVERSITE D ANGERS Mathematiques L. Devoir. Corrigé sur le web le 1/10/014 O traitera au choix l u des deux exercices ou. Exercice 1 : ci-dessous : Détermier la ature de chacue des 6 séries dot le terme

Plus en détail

Chapitre : Séries numériques.

Chapitre : Séries numériques. ESI. Math. 009/00. Chapitre : Séries umériques. Itroductio géérale: Le but de ce chapitre est de défiir ce qu est ue série umérique et ce que veut dire qu elle coverge, o doera otamet u ses à ue somme

Plus en détail

Exercices sur les suites de fonctions

Exercices sur les suites de fonctions ercices sur les suites de foctios océs ercice Étudier la covergece simple et uiforme des suites de foctios de R das R suivates : f ) = ), g ) = si, ϕ ) = e si, ψ ) = e cos. ercice 2 Étudier la covergece

Plus en détail

Partie I - Préliminaires

Partie I - Préliminaires SESSION 25 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PC Partie I - Prélimiaires I.A - I.A. Soit N. Pour N, Puisque la série de terme gééral +... + + 2. coverge, il e est de même de la série de terme

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2 Exercices Exercice (Suites adjacetes) O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par: u 3, k3 k 2 + v u + 2 2 Motrer que (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Exercice 2 Soiet les deux suites (u ) et (v

Plus en détail

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé Plache o 6 Séries umériques Corrigé Exercice o Pour, o pose u l ère solutio u l ++, u existe + + + l + +O +O O Comme la série de terme gééral,, coverge série de Riema d exposat α >, la série de terme gééral

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Suites et séries de fonctions. Bachir Bekka, Cours L3 Rennes 2015/2016

Suites et séries de fonctions. Bachir Bekka, Cours L3 Rennes 2015/2016 Suites et séries de foctios Bachir Bekka, Cours L3 Rees 215/216 13 décembre 215 ii Notes Cours SSF-215/216-B.Bekka Table des matières 1 Itroductio 1 2 Suites et séries de foctios 3 2.1 Covergece simple........................

Plus en détail

Suites et limites. Chapitre Exercices. 1. Calcul des limites I. (r) Calculer. sin 1 2 n. (l) Calculer lim n( n 4 + 4n + 5 n 2 ).

Suites et limites. Chapitre Exercices. 1. Calcul des limites I. (r) Calculer. sin 1 2 n. (l) Calculer lim n( n 4 + 4n + 5 n 2 ). Chapitre Suites et ites Exercices Calcul des ites I (a) Calculer (b) Calculer (c) Calculer (d) Calculer (e) Calculer (f) Calculer (g) Calculer (h) Calculer (i) Calculer (j) Calculer (k) Calculer + + 4

Plus en détail

Devoir à rendre le 4 janvier 2017

Devoir à rendre le 4 janvier 2017 Uiversité Paris-Dauphie, L MIDO, groupe Aalyse (206-207) Devoir à redre le javier 207 Eercice Soit D u domaie o vide de R et f : D!R.. O souhaite démotrer la caractérisatio séquetielle de l uiforme cotiuité

Plus en détail

Séries entières. Plan de cours

Séries entières. Plan de cours 5 Séries etières «U mathématicie qui est pas aussi quelque peu poète e sera jamais u mathématicie complet.» Extrait d ue lettre de Karl Weierstrass à Sophie Kowalevski (883) Pla de cours I Rayo de covergece

Plus en détail