Développement en série de Fourier

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1 [ édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge uiformémet. Motrer que cette covergece a lieu vers la foctio f. Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio régularisée, périodique, impaire, costate égale à sur ] ; [. (a) Calculer ses coefficiets de Fourier trigoométriques. (b) Étudier la covergece simple ou uiforme de la série de Fourier vers f. (c) E déduire (d) Calculer p= ( ) p p + et (p + ) p= et ( ) Exercice [ 376 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio paire, -périodique, défiie par x si x [ ; /] f (t) = 8x 3 x sio (a) Motrer que f est de classe C et calculer exprimer sa dérivée. (b) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométrique de la foctio f. (c) E déduire la valeur de = ( ) ( + ) 3 Exercice 5 [ 95 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio périodique défiie par f (x) = cos x (a) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométriques de f. (b) E déduire la valeur ( ) + Exercice 3 [ 953 ] [Correctio] Soit f : R R l applicatio périodique, paire, telle que (a) Calculer la série de Fourier de f. x [ ; ], f (x) = x (b) Étudier la covergece simple ou uiforme de la série de Fourier de f. (c) Détermier (d) E déduire k= (k + ) et (k + ) k= et Exercice 6 [ 955 ] [Correctio] Soit f : R C, -périodique, impaire et vérifiat f (t) = t sur ] ; ] (a) Préciser la covergece de la série de Fourier de f. La covergece est-elle uiforme? (b) Calculer la série de Fourier de f. (c) E déduire la covergece et la valeur de (d) Calculer si

2 [ édité le septembre 6 Eocés Exercice 7 [ 956 ] [Correctio] Soit la foctio f : R R périodique défiie par x ] ; ], f (x) = e x (a) Calculer les coefficiets de Fourier expoetiels de f. (b) E déduire la valeur des sommes = ( ) + et + Exercice 8 [ 957 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f : R R la foctio périodique défiie par = f (x) = cos(αx) sur ] ; ] (a) Détermier les coefficiets de Fourier a et b de f. (b) E déduire les valeurs des sommes (c) E déduire efi la valeur de ( ) α et α Exercice 9 [ 3695 ] [Correctio] Soit α u réel o etier et f la foctio -périodique doée par t ] ; ], f (t) = cos(αt) (a) Motrer que f est égale à sa somme de Fourier e précisat le type de covergece de celle-ci. (b) Calculer la somme de Fourier de f. Exercice [ 3598 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f : R R la foctio périodique défiie par f (t) = cos(αt) sur ] ; ] (a) Motrer que f admet ue série de Fourier covergete sur R. Quel type de covergece est-ce? (b) Expliciter les coefficiets de Fourier de f. (c) Pour tout x Z, motrer l égalité cotax = x + x x () Exercice [ 958 ] [Correctio] Soiet α R et f : R R la foctio périodique défiie par f (x) = ch(αx) sur ] ; ] (a) Détermier les coefficiets de Fourier a et b de f. (b) E déduire les valeurs des sommes Exercice [ 959 ] [Correctio] (a) Domaie de défiitio de ( ) + α et + α S (t) = k= k t? (b) Calculer les coefficiets de Fourier a et b de f (x) = cos(αx) défiie sur [ ; ] avec α R \ Z. (c) Sur quel domaie f coïcide avec so développemet e série de Fourier? (d) E déduire ue expressio de S (t). Exercice 3 [ 96 ] [Correctio] Existe-t-il ue suite (α ) de réels telle que t [ ; ], si t = = α cos(t)?

3 [ édité le septembre 6 Eocés 3 Exercice [ 96 ] [Correctio] La série de Fourier de la foctio f paire -périodique qui vaut x pour x [ ; ] coverge-t-elle uiformémet? Que vaut sa somme? Exercice 5 [ 883 ] [Correctio] Soit α u réel o etier. (a) E utilisat la foctio -périodique coïcidat avec x cos(αx) sur [ ; ], calculer + α ( ) α (b) E déduire (c) Ici < α <. Motrer que ( ) t α + t dt = si Exercice 6 [ 88 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f α l uique foctio -périodique de R das R telle que pour tout x [ ; ], f α (x) = cos(αx) (a) Calculer les coefficiets de Fourier de f α. (b) Motrer que (c) Si < α <, motrer que Exercice 7 [ 885 ] [Correctio] Soit a >, x réel. O pose si() = + ( ) α α f (x) = = t α + t dt = si() a + (x ) (a) Motrer que f est défiie sur R et étudier sa parité. (b) Motrer que f est développable e série de Fourier. (c) Calculer, e utilisat u logiciel de calcul formel, l itégrale (d) E déduire les coefficiets de Fourier de f. (e) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. cos t b + t dt Exercice 8 [ 37 ] [Correctio] Soit f : R C, -périodique, impaire et vérifiat (a) Calculer < x < = f (x) = x S (x) = si(x) (b) Soit g: R C, -périodique, impaire, cotiue et défiie par Démotrer (c) Que vaut g est affie sur [ ; ] et x [ ; ], g(x) = S (x) ( ) si = si? si Exercice 9 [ 38 ] [Correctio] Former le développemet e série de Fourier de la foctio -périodique doée par f (t) = si t e précisat la ature de la covergece de cette série.

4 [ édité le septembre 6 Eocés Exercice [ 367 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio -périodique et k lipschitziee. Pour Z, o pose (a) Pour tout h R, o défiit la foctio Calculer c ( f h ) pour tout Z. (b) E déduire que c ( f ) = f (t)e it dt f h : R C, x f (x + h) f (x) ( h si Z ) c ( f ) (kh) (c) E utilisat la cocavité de la foctio sius, motrer la covergece de la série c ( f ) (d) Que peut-o e coclure? Éocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Z Exercice [ 5 ] [Correctio] O cosidère la foctio f défiie sur R par f (t) = si t + si t (a) Préciser le mode de covergece de la série de Fourier de f. (b) E déduire et ( )

5 [ édité le septembre 6 Correctios 5 Correctios Exercice : [éocé] Notos S la série de Fourier de f et S p les sommes partielles. Puisque la foctio f est cotiue, il y a covergece e moyee quadratique de (S p ) vers f. S p (t) f (t) dt Par hypothèse, il y a covergece uiforme de (S p ) vers sa limite que ous avos otée S et il y a aussi covergece e moyee quadratique S p (t) S (t) dt Par uicité de la limite pour la covergece e moyee quadratique, o peut affirmer f = S. Exercice : [éocé] (a) f impaire Pour N, b = b p = et b p+ = (p+). O a aussi c = et pour Z,. c = N, a = f (t) si(t) dt = ( ) f (t) e i.t dt = ( ( ) ) i. (b) La foctio f état C par morceaux, la série de Fourier coverge simplemet vers la régularisée de f. La covergece e peut pas être uiforme car la foctio limite est pas cotiue. (c) La covergece simple de la série de Fourier vers f (x) e x = / doe : d où p= si (p+) (p + ) = ( ) p p + = p= p= ( ) p p + = L égalité de Parseval doe (d) + existe et d où Aussi Exercice 3 : [éocé] (a) Puisque f est paire : Pour N, Pour = : a =. Pour > : Aussi et pour Z : 6 (p + ) = f (t) dt = p= p= = ( ) = p= a = c = a = [ t si(t) ] (p + ) = 8 p= (p + ) + p= = 3 (p + ) = 6 p= (p + ) p= N, b = f (t) cos(t) dt = c = f (t)e i.t dt = p p = 8 = t cos(t) dt si(t) dt = (( ) ) tdt = t cos(t) dt = ( )

6 [ édité le septembre 6 Correctios 6 Par suite S ( f )(t) = a + a cos(t) = k= cos(k + )t (k + ) (b) f est cotiue et C par morceaux, la covergece est ormale a fortiori simple et uiforme. (c) S ( f )(t) = f (t). Pour t =, o obtiet Par la formule de Parseval : Or (d) + existe et d où De même o obtiet Exercice : [éocé] (a) Sur [ ; /], o a k= ( f (t)) dt = a + (k + ) = 8 k= ( f (t)) dt = k= = a k+ = + 8 (k + ) = 96 k= [ ] 3 t3 = 3 (k + ) + k= = 6 = 9 f (x) = x et f est de classe C sur [ ; /] avec f d () = et f g(/) = k k= (k + ) Sur ]/ ; ], o a f (x) = 8x 3 x et cette relatio est aussi valable pour x = /. O e déduit que f est de classe C sur [/ ; ] avec f d (/) = et f g() = Par parité et périodicité, o peut affirmer que f est de classe C sur R (et u dessi serait sûremet très covaiquat... ) et f est ue foctio impaire, -périodique avec f 8x si x [ ; /] (t) = 8 8x sio (b) Puisque la foctio f est paire, les coefficiets b sot uls et ce qui doe a = f (t) cos(t) dt a = et a + = 3.( )+ ( + ) 3 après quelques calculs péibles, ou plus simplemet après exploitatio de la relatio voire de la relatio b ( f ) = a ( f ) a ( f ) = b ( f ) = a ( f ) et e cosidérat la pseudo dérivée d ordre de f. (c) Puisque la foctio f est de classe C, elle est égale à sa somme de Fourier et x R, f (x) = 3 E évaluat pour x =, o obtiet Exercice 5 : [éocé] = = ( ) + cos(( + )t) ( + ) 3 ( ) ( + ) 3 = 3 3

7 [ édité le septembre 6 Correctios 7 (a) La foctio f est paire. O obtiet pour N et b ( f ) = pour N. a ( f ) = ( )+ ( ) et a +( f ) = (b) La foctio f est de classe C par morceaux, il y a covergece uiforme de la série de Fourier vers f. E x =, o obtiet : Exercice 6 : [éocé] f () = + ( ) + ( ) ( ) + = (a) f est C par morceaux et régularisée la série de Fourier de f coverge simplemet vers f e vertu du théorème de Dirichlet. La covergece e peut être uiforme car si telle est le cas f serait cotiue e e tat que limite uiforme d ue suite de foctios cotiues. (b) La foctio f est paire. O obtiet a = et par itégratio par parties b = /. La série de Fourier de f permet d écrire (c) Pour t =, o obtiet (d) Par la formule de Parseval f (t) = si = si(t) = f (t) dt = ( t) dt = [ ] ( t) 3 6 = 6 Exercice 7 : [éocé] (a) Par défiitio, pour Z, Après calcul, o obtiet c = f (t)e it dt c ( f ) = sh ( ) i (b) La foctio f est de classe C par morceaux (mais pas cotiue) la série de Fourier coverge simplemet vers la foctio f régularisée de f avec f e x si x ] ; [ (x) = ch() si x = Aisi Pour x =, o obtiet Or Par suite = x R, f (x) = sh = sh = = = ( ) i ( ) i eix ( ) ( i = + ( ) i + ) = + + i = De même avec x =, o obtiet Exercice 8 : [éocé] = ( ) + = ( + ) sh + = ( + coth ) (a) La foctio f est paire. O obtiet b = pour et α si() a = ( ) ( α ) = ( ) +

8 [ édité le septembre 6 Correctios 8 pour N. La série de Fourier de f coverge ormalemet vers f car celle-ci est cotiue et C par morceaux. Par suite (b) Pour x =, o obtiet et pour x =, f (x) = si() + α si() ( ) ( α ) cos(x) ( ) α = ( ) α si() cot = α α (c) Il y a covergece ormale de + pour α [ ; /] quad α Quad x, quad α, d où Exercice 9 : [éocé] (a) Par périodicité Aisi = lim α α cot x = x 3 x + o(x) cot α = 6 6 f () = f () = cos() = cos( ) t [ ; ], f (t) = cos(αt) O peut affirmer que f est cotiue et de classe C par morceaux. O e déduit que la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f sur R. (b) La foctio f est paire. Après calculs et la série de Fourier de f est Exercice : [éocé] α si() a = ( ) ( α ) et b = si() + α si() ( ) ( α ) cos(t) (a) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux sur R car elle l est sur [ ; ]. O e déduit que la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f. (b) Après calculs, pour N, α si a = ( ) ( α ) et b = (c) Pour tout t =, la covergece de la série de Fourier de f doe cos() = et e posat x = o obtiet si cos x = si x x ce qui fourit la relatio demadée. Exercice : [éocé] + + α si() (α ) x si x x () (a) La foctio f est paire. O obtiet b = pour et a = ( ) α sh (α + ) pour N. La série de Fourier de f coverge ormalemet vers f car celle-ci est cotiue et C par morceaux. Par suite f (x) = sh + ( ) α sh cos x (α + )

9 [ édité le septembre 6 Correctios 9 (b) Pour x =, o obtiet et pour x =, Exercice : [éocé] (a) S (t) est défiie sur R \ Z. ( ) + α = ( ) α sh() coth() = + α α α si (b) a = ( ) ( α ) et b =. (c) Puisque f est cotiue et C par morceaux, le théorème de covergece ormale assure que la série de Fourier de f coverge vers f sur R. (d) Pour x =, o obtiet : puis cos = si α si ( α ) α = cot α α S (t) = cot α α Exercice 3 : [éocé] Soit f la foctio périodique paire défiie sur [ ; ] par f (t) = si t. f est cotiue et C par morceaux. Sa série de Fourier coverge ormalemet vers f et cela permet d écrire d où le résultat. Si =, a ( f ) = t [ ; ], si t = a ( f ) + si t cos(t) dt = a ( f ) = a ( f ) cos(t) si( + )t si( )t dt Si, a ( f ) = [ ] cos( + )t [ + ] cos( )t = ( + ( ) ) ( ) Exercice : [éocé] Le problème est qu ici f est pas de classe C par morceaux puisqu elle admet de dérivée à droite et à gauche e. Pour >, o a b = et Or l itégrale a = [ ] x cos(x) dx = x si(x) a = si(x) dx = si(u) x 3/ du u si u u du si(x) x est covergete comme o peut le vérifier à l aide d ue itégratio par parties sur [ ; + [ Par coséquet, a = O ( / 3/) la série de Fourier de f est ormalemet covergete. État cotiue, la série de Fourier coverge e moyee quadratique vers f et sa somme est égale à f. Exercice 5 : [éocé] (a) La foctio -périodique étudiée est cotiue et de classe C par morceaux dot développable e série de Fourier. a = α( ) si() (α ) et b = La valeur e de ce développemet permet d établir : + α ( ) α = si() dx

10 [ édité le septembre 6 Correctios (b) Par covergece ormale, la foctio α + ( ) α passat à la limite quad α, o obtiet (c) t α + t dt = = ( ) = lim α ( α ( si() t α + t dt = t α + t dt + N ( ) t α + dt = Par le critère spécial des séries alterées, ( ) t α + dt Par u = /t, =N+ t α + t dt = = = t α + t dt = par la même démarche qu au dessus. Par suite Exercice 6 : [éocé] t α + t dt = α + α est cotiue sur [ ; /]. E )) = t α + t dt ( ) t α + dt+ t α+n dt = ( ) t α + = u α u + du = (a) La foctio f est paire b = pour et E exploitat o obtiet au terme des calculs pour N. a = =N+ N + α + = ( ) α = cos(αt) cos(t) dt ( ) + α ( ) α si() cos(a) cos(b) = (cos(a + b) + cos(a b)) α si a = ( ) ( α ) ( ) t α + dt (b) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux sa série de Fourier coverge uiformémet vers elle-même. O peut alors écrire ce qui doe Pour x =, o obtiet f (x) = puis la relatio voulue. (c) La foctio x R, f (x) = a + a cos(x) = si si + α si ( ) ( α ) cos(x) si ( ) + α α f : t tα + t est défiie et cotiue par morceaux sur ] ; + [. O vérifie f (t) f (t) t + /t α ce qui assure l itégrabilité de f. Par sommatio géométrique E décomposat la somme e deux D ue part t α dt == + t t α + t dt = ( ) t +α dt = N = N ( ) t +α dt = = ( ) t +α dt + N = ( ) + α =N+ t tα et ( ) t +α dt ( ) N + + α = la covergece de la série état acquise par le critère spécial des séries alterées. D autre part ( ) t +α dt t N+α dt = N + + α =N+ [;[

11 [ édité le septembre 6 Correctios la majoratio de la somme état obteue par majoratio du reste d ue série vérifiat le critère spécial des séries alterées. O peut alors affirmer e passat à la limite quad N + Puisque par chagemet de variable o a aussi O e tire et fialemet t α + t dt = ( ) + α t α + t dt = u=/t = u α u + du t α + t dt = ( ) + ( α) = t α + t dt = α + = t α + t dt = α + α ( ) + α + ( ) α = ( ) α si() (d) f est paire b = pour tout N. Pour N, (e) a = f (t) cos(t) = cos(t) a + t dt+ cos(t) a + (t ) + Par covergece de la série des itégrales des valeurs absolues, E traslatat les itégrales, a = a = avec b = a pour et a = a. f (t) = a + a k= cos(t) a + (t k) dt cos(t) a + t dt = cos u b + u du cos(t) a + (t + ) dt e a cos(t) = ( ) + Re a e a+it = e a (cos t e a ) a e a cos t + e a Exercice 7 : [éocé] (a) Les séries est défiie sur R. est paire. a +(x ) f (x) = et a + x + sot absolumet covergetes f a +(x+) ( ) a + (x ) + a + (x + ) (b) Par traslatio d idice, o observe que f est -périodique. Posos f (x) = a + (x ) + a + (x + ) (c) f est de classe C, f coverge simplemet et f coverge ormalemet sur [ ; ] f est cotiue et C par morceaux développable e série de Fourier. cos t eb dt = b + t b Exercice 8 : [éocé] (a) La foctio f est de classe C par morceaux et régularisée développable e série de Fourier. a = et par itégratio par parties b = /. Le développemet e série de Fourier de f s écrit (b) Pour x =, o obtiet f (x) = si si(x) = = S (x) La foctio g est de classe C par morceaux et cotiue développable e série de Fourier. a = et b = t si(t) dt + t si(t) dt

12 [ édité le septembre 6 Correctios Après calculs O a alors (c) Par la formule de Parseval g() = si = b = si si si = S () = g(t) dt = ( ) 6 Exercice 9 : [éocé] La foctio f est paire, cotiue et de classe C par morceaux. Sa série de Fourier coverge uiformémet vers elle-même. Après calculs, o obtiet Exercice : [éocé] (a) Par -périodicité (b) O a f (t) = f (t + h)e it dt = p= +h h ((p) ) cos(pt) f (u)e iu e ih du = c ( f h ) = (e ih )c ( f ) c ( f h ) = ie ih/ si h c ( f ) c ( f h ) = si h c ( f ) puis par la formule de Parseval et la lipschitziaité de f ( h si Z ) c ( f ) = f (u)e iu e ih du f h (t) dt (kh) (c) Par la cocavité de la foctio sius sur [ ; /], le graphe est au dessus de la corde Aisi pour h o a et Aisi h h x [ ; /], si x x h c ( f ) si c ( f ) h Z ( ) h c ( f ) ( ) h si c ( f ) (kh) c ( f ) (k) Ceci valat pour tout h >, o peut e cosidérat h + assurer que les sommes partielles de la série c ( f ) sot borée et que cette série coverge. (d) Pour tout t R, sup t R c ( f )e it = c ( f ) ( ) + c ( f ) e vertu de l iégalité ab a + b. Par comparaiso de séries à termes positifs, o peut affirmer la covergece ormale de la série des foctios t c ( f )e it. Cette covergece ormale etraîe ue covergece e moyee quadratique qui e peut avoir lieu que vers f (qui est cotiue car lipschitziee). O peut coclure que la série de Fourier de f coverge ormalemet vers f sur R. Exercice : [éocé] (a) La foctio f est cotiue, -périodique et de classe C par morceaux. La série de Fourier de f coverge uiformémet vers f. (b) Après calculs et La série de Fourier de f est a ( f ) = ( ), a +( f ) = b ( f ) = / et b ( f ) = pour > + si(t) + ( ) cos(t)

13 [ édité le septembre 6 Correctios 3 E calculat e t =, o obtiet = (ce qui aurai pu aussi s obteir par décompositio e élémets simples puis télescopage). Par la formule de Parseval = ( ) et ( ) = 6