Diérents points d'équilibre des triangles

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Tiphaine Aubin
il y a 7 ans
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1 Diérents points d'équilire des tringles. mnes Niveu : Première et préprtion de l Terminle S Diulté : Ps trop dur Durée : 1 h Rurique(s) : Géométrie ( ryentres - Tringles) L petite histoire...tout et exerie est une histoire d'équilire. Si vous prenez une rre de fer en position horizontle et que vous voulez l poser en équilire sur votre doigt, vous svez qu'il fut que votre doigt se trouve u milieu de l rre. Si mintennt vous mettez un poulet à un out et un poids en plom à l'utre out, vous vous retrouvez ve une lne romine et l position du point d'équilire vous donne le poids du poulet (onnissnt le poids de l msse de plom). Supposons mintennt que vous yez un tringle ve des poids à hun des sommets. Nous llons voir dns et exerie que, si les poids sont ien hoisis, les points d'équilire sont les points remrqules du tringle. En rohnt les poids P, P et P respetivement ux sommets, et, nous svons que le point d'équilire est E donné pr P E + P E + P E = 0. Dns tout et exerie, il ne fut ps hésiter à dessiner des gures sur votre rouillon. Exerie 1. On onsidère un tringle non dégénéré ('est-à-dire qu'il n'est ps plt et que les trois sommets ne sont ps onfondus). On note (resp., ) l longueur du ôté [] (resp. [], []). On ppelle α (resp. β, γ) l'ngle Ĉ (resp. Ĉ, ). On suppose que les trois ngles α, β, γ sont des ngles igus. 1) Dessinez e tringle en fisnt pprître les grndeurs rtéristiques dérites idessus. 1

2 ) En érivnt de trois mnières diérentes l'ire du tringle, montrer l formule des sinus sin α = 3) Soit G le point du pln qui stisfit sin β = sin γ =. G + G + G = 0. Montrer que G est le point d'intersetion des médines du tringle. Quels poids sut-il de xer en les sommets,, pour que le tringle suspendu pr le point G se trouve en équilire? G est ppelé l'isoryentre (ou le entre de grvité) du tringle. 4) On suppose que l'on suspend u sommet un poids de msse kilogrmmes, u sommet un poids de kilogrmmes et on sommet un poids de kilogrmmes. On v montrer que le point I d'intersetion des issetries du tringle stisfit l reltion I + I + I = 0. Pour el, on note 1 (resp. 1, 1 ) l'intersetion de l issetrie issue de (resp., ) ve le ôté [] (resp. [], []). ) Montrer, en utilisnt l formule des sinus, que 1 = 1. En déduire que 1 est le ryentre des points pondérés = 0. ) Soit M 1 le ryentre des points pondérés ((, ), (, ), (, )). Montrer que M 1 est le point de onours des issetries et en déduire l reltion nnonée. I est églement le entre du erle insrit u tringle. 5) On suppose que l'on suspend u sommet un poids de msse m 1 = os β os γ kilogrmmes, u sommet un poids de msse m = os α os γ kilogrmmes et u sommet un poids de msse m 3 = os α os β kilogrmmes. On v montrer que le point H d'intersetion des huteurs du tringle stisfit l reltion m 1 H + m H + m3 H = 0. On note le pied de l huteur issue de, le pied de l huteur issue de et le pied de l huteur issue de. ) Montrer que os α os γ + os α os β = 0. ) Notons M le ryentre des points pondérés ((, m 1 ), (, m ), (, m 3 )). Montrer que M est le point de onours des huteurs et en déduire l reltion nnonée. H est ppelé l'orthoentre. 6) On suppose que l'on suspend u sommet un poids de msse M 1 = os α kilogrmmes, u sommet un poids de M = os β kilogrmmes et u sommet un poids de M 3 = os γ kilogrmmes. On v montrer que le point O d'intersetion des méditries stisfit M 1 O + M O + M3 O = 0.

3 On ppelle 3 le milieu du segment [], 3 le milieu du segment [] et 3 le milieu du segment []. ) Montrer que le tringle est semlle u tringle. ) Notons O le point de onours des méditries. Montrer que O stisfit l reltion souhitée. O est églement le entre du erle ironsrit u tringle. Inditions et ommentires : 4.) Utiliser plusieurs fois l formule des sinus de l question ). 6.) Pensez u théorème de Thlès. 6.) Question diile, utilisez l formule d'l-kshi. orretions. 1) α β γ ) Dns le tringle, l huteur issue de mesure sin γ, elle issue de mesure sin α et elle issue de mesure sin β. En rppelnt que l'ire d'un tringle est égle u produit de l se pr l huteur divisé pr deux, l'ire du tringle vut : insi, en notnt l'ire du tringle, 1 sin γ = 1 sin α = 1 sin β. sin α = sin β = sin γ =. 3) Notons I (resp. J, K) le milieu du segment [] (resp. [], []). On rppelle que I + I = 0 J + J = 0 K + K = 0 insi, omme G + G + G = 0, GK + G = 0. insi, G pprtient à l droite (K) qui est l médine du tringle issue de. On montre de mnière nlogue que G pprtient à hune des méditries du tringle et pprtient don à leur intersetion. En suspendnt des msses égles en hun des sommets du tringle, on peut le poser en équilire sur le point G. Fites l'expériene en posnt en équilire un tringle de ppier sur votre omps! 4.) En ppliqunt l formule des sinus de l question préédente u tringle 1, 1 sin α En ppliqunt l formule des sinus u tringle 1, 1 sin α = 1 sin γ. = 1 sin β. 3

4 insi, en utilisnt églement l question ), on otient 1 1 = sin β sin γ =. Les veteurs 1 et 1 étnt olinéires et de même sens, et 1 = ((; )(; )). ) On montre de mnière nlogue que 1 = = 0, = 0, = 0. Notons M 1 = ((; )(; )(; )). En utilisnt l propriété d'ssoitivité des ryentres, on M 1 = (( 1; + )(; )) et M 1 pprtient à l issetrie issue de. On montre de même que M 1 pprtient ux issetries de et. insi, M 1 est le point de onours des issetries et M 1 = I. Finlement, omme I = ((; )(; )(; )), on otient ien 5.) I + I + I = 0. H Dns le tringle retngle en, os β =. Dns le tringle retngle en, os γ =. insi, os γ = os β. De plus, les points, et sont lignés dns et ordre puisque les ngles du tringle sont igus, ) On montre de mnière nlogue que Notons os γ + os β = 0 os α os γ + os α os β = 0. os β os γ + os α os β = 0 os β os γ + os α os γ = 0. M = ((; os β os γ)(; os α os γ)(; os α os β)). En utilisnt l'ssoitivité des ryentres, on montre que M ( ) ( ) ( ). Prouvons le diretement pour l première droite, 'est à dire montrons que M ( ), en redémontrnt dns e s prtiulier l'ssoitivité du ryentre. 0 = os β os γ M + os α os γ M + os α os β M 0 = os β os γ M + os α os γ( M + ) + os α os β( M + ) 0 = os β os γ M + ( os α os γ + os α os β) M. 4

5 insi, M est le point de onours des huteurs du tringle et M = H. Don, H = ((; os β os γ)(; os α os γ)(; os α os β)) et on ien os β os γ H + os α os γ H + os α os β H = 0. 6.) En utilisnt le théorème de Thlès, on 3 3 = 1, 3 3 = 1, 3 3 = 1. insi, le tringle est semlle u tringle. ) ommençons pr fire un dessin omme les méditries du tringle sont les huteurs du tringle 3 3 3, es droites sont onourrntes en un point O et, en utilisnt l question préédente, os β os γ O 3 + os α os γ O 3 + os α os β O 3 = 0. omme 3 est le milieu de [], on églement en utilisnt deux fois l reltion de hsles puis en dditionnnt les résultts otenus, De mnière nlogue, O 3 = O + 3 = O 3, O 3 = O + 3 O 3 = 1 ( O + O). O 3 = 1 ( O + O). O 3 = 1 ( O + O). Finlement, en remplçnt dns l reltion initile, on otient os α( os γ + os β) O + os β( os γ + os α) O + os γ( os β + os α) O = O Enn, en utilisnt l formule d'l-kshi, on os γ + os β =. Finlement, on otient omme suggéré pr l'énoné = + os γ = + os β os α O + os β O + os γ O = O 5

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