Intégration et probabilités

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1 Itégratio et probabilités Pierro Théo ENS Ker La

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3 Table des matières 1 Théorie de la mesure Tribus Tribus boréliees Tribu boréliee de R Tribu boréliee sur u espace topologique Tribus complètes, complétio de mesures Mesure positive sur (E, A) Espaces égligeables Théorème de Carathéodory Mesures extérieures Mesure de Lebesgue Cas gééral Cas E = R Cotre-exemple au théorème si m est pas cotiue à droite Itégratio Foctios mesurables Limites de foctios Itégrale d ue foctio étagée positive Extesios Extesio aux foctios mesurables positives Extesio aux foctios mesurables Itégratio d ue foctio à valeurs complexes Complémets Lemme de Fatou et covergece domiée Itégrale de Riema Lie avec l itégrale de Lebesgue Itégrale impropre gééralisée Itégrales paramétrées i

4 ii TABLE DES MATIÈRES 3 Mesures images Tribu produit Défiitios Associativité du produit de tribus Foctios mesurables Produit de mesures Défiitios Théorème de Fubii Coséqueces Formule de chagemet de variables Mesures de probabilité Foctios de répartitio Mesure de Rado

5 Chapitre 1 Théorie de la mesure 1.1 Tribus Défiitio 1.1 U espace E est dit déombrable ssi il est e bijectio avec N. Défiitio 1.2 Ue classe A P(P(E)) est dite algèbre (de Boole) ssi : A a A a c A a 1, a 2 A 2 a 1 a 2 A Remarque 1.1 A est stable par itersectio fiie L itersectio d algèbres est ecore ue algèbre O peut doc parler d algèbre egedrée par ue classe de parties C P(E) : c est la plus petite algèbre coteat C : A. Défiitio 1.3 Ue classe de parties A P(E) est dite ue tribu (σalgèbre de Boole) ssi : A a A a c A (a i ) i A N a i A Remarque 1.2 i 0 A C A est stable par itersectio déombrable. Exemples : {, E} est ue tribu grossière P(E) est la plus grade tribu sur E L itersectio de tribus e est ecore ue (mais pas l uio e gééral) doc o peut parler de tribu egedrée par ue classe C P(E). Si C = {A} où A P(E), o ote σ(a) la tribu egedrée par A : 1

6 CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE σ(a) = {, A, A c, E}. Si C = {A, B}, σ(a, B) = {, A, B, A c, B c, A B, (A B) c, A B, (A B) c, (A c B), (A c B) c, A B c, (A B c ) c, E}. Remarque 1.3 O peut avoir σ(a) = σ(b) sas avoir A = B. Défiitio 1.4 Ue tribu est dite séparable ssi elle est egedrée par ue classe déombrable de parties de E. Exo : Soit E, F deux espaces, A ue tribu sur E et f : F E. 1. Motrer que f 1 (A) = {f 1 (A), A A} est ue tribu sur F. f 1 ( ) =, f 1 (E) = F, f 1 (A c ) = f 1 (A) c et f 1 (A i ) = f 1 i i 0 i 0A 2. Soit U u sous-espace de P(E). Motrer que f 1 (σ(u)) = σ(f 1 (U)). f 1 (U) f 1 (σ(u)) doc σ(f 1 (U)) f 1 (σ(u)). Posos B = {B, f 1 (B) σ(f 1 (U)). B est ue tribu sur E. Or U B doc σ(u) B. Doc f 1 (σ(u)) f 1 (B) σ(f 1 (U)). 1.2 Tribus boréliees Tribu boréliee de R O défiit et o ote B(R) la tribu egedrée par les i- Défiitio 1.5 tervalles de R. Propositio 1.1 Tout itervalle semi-ouvert ]a, b] est u élémet de B(R). Démostratio. ]a, b] = ]a, b + 1 [ 1 Propositio 1.2 B(R) est egedrée par C 1 = {], x], x R} et par C 2 = {], x], x Q}. Démostratio. C 2 C 1 B(R) doc σ(c 2 ) σ(c 1 ) B(R). Soit (a, b) R 2. Il existe (a ), (b ) (Q N ) 2 tel que (a ) décroît vers a et (b ) croît vers b. ]a, b ] =], b ]\], a ] doc ]a, b [ σ(c 2 ) ]a, b[= ]a, b ] doc ]a, b[ σ(c 2 ). 0 Doc B(R) σ(c 2 ). Pierro Théo Page 2 Tous droits réservés

7 1.3. TRIBUS COMPLÈTES, COMPLÉTION DE MESURES Remarque 1.4 U borélie (élémet de B(R)) e peut pas, e gééral, être décrit d ue faço cocrète. Propositio 1.3 B(R) est egedrée par les ouverts de R et par les fermés de R. Démostratio. Soit A u ouvert de R et x A. Il existe ε > 0 tel que ]x ε, x + ε[ A. Doc il existe a x, b x Q 2 tel que x ]a x, b x [ A. Q est déombrable doc ]a x, b x [ est ue uio déombrable valat A. Doc A B(R). x A Tribu boréliee sur u espace topologique Défiitio 1.6 O appelle tribu boréliee sur E et o ote B(E) la tribu egedrée par les ouverts de E. Défiitio 1.7 O défiit le produit de deux tribus A et B et o ote A B la tribu egedrée par les pavés de la forme a b où a A et b B. A-t-o B(R d ) = B(R) d? Défiitio 1.8 O appelle espace mesurable u couple (E, A) où E est u espace et A ue tribu sur E. Les élémets de A sot appelés mesurables de A. 1.3 Tribus complètes, complétio de mesures Mesure positive sur (E, A) Défiitio 1.9 Ue mesure µ sur (E, A) est ue applicatio A( [0, + ] ) telle que µ( ) = 0 et (A ) série de mesurables disjoits, µ A i = i 0 µ(a i ). i 0 Remarque 1.5 Le deuxième axiome porte le om de σ-additivité. Le secod membre peut valoir +. Le premier membre e déped pas de l ordre de l uio et le secod o plus car la série est à termes positifs. Propositio 1.4 A B µ(a) µ(b). µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). Pierro Théo Page 3 Tous droits réservés

8 CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE ( ) Si (A ) est croissate, µ A i = lim µ(a ). i 0 + Si (A ) est décroissate et µ(a 0 ) +, alors µ i 0A i = lim µ(a ) + ( ) Si (A ) est ue suite de mesurables, µ A i µ(a ). i 0 =0 Démostratio. µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) µ(a) µ(a B) = µ((a \ (A B)) (B \ (A B)) (A B)) = µ(a \ (A B)) + µ(b \ (A B)) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B) O pose B = A +1 \ A. Les B i sot disjoits et leur uio vaut celle des A i. Doc : µ 0A = µ 0B = µ(b ) =0 = µ(a 0 ) + (µ(a +1 ) µ(a )) = lim µ(a ) + =1 ( ) O pose B = A 0 \A. B est croissate doc µ B = lim µ(b ). 0 + Or ( B = A 0 \ A ). 0 0 Doc : µ 0A = µ(a 0 ) µ 0B ( O pose B = A \ A k ). Les B i état disjoits, k=1 µ 0A = µ 0B = = µ(a 0 ) lim + µ(b ) = µ(a 0 ) µ(a 0 ) + lim + µ(a ) µ(b ) µ(a ) =0 =0 Pierro Théo Page 4 Tous droits réservés

9 1.3. TRIBUS COMPLÈTES, COMPLÉTION DE MESURES Espaces égligeables Défiitio 1.10 (E, A, µ) est u espace mesuré ssi E est u esemble, A ue tribu et µ ue mesure positive sur A. Défiitio 1.11 U esemble N E est égligeable pour µ ssi il existe A A tel que N A et µ(a) = 0. Remarque 1.6 µ(n) = 0. N est pas forcémet mesurable doc o e peut pas dire O voudrait agradir A e ajoutat les N égligeables (o dit qu o complète A). Quad A sera complétée e A, o étedra µ à A. La mesure de N µ-égligeable sera ulle. Défiitio 1.12 O dit que f et g : E R sot égales presque partout ssi il existe N E µ-égligeable telle que f = g sur E \ N. E particulier, pour tout (A, B) E, o dit que A = B presque partout ssi les deux idicatrices sot égales presque partout ssi A B est égligeable. Propositio 1.5 A B = A c B c. µ(a B) = 0 µ(a) = µ(b). Démostratio. A B = (A B c ) (A c B) est symétrique e (A, A c ) et (B, B c ). Si µ(a B) = 0, µ(b \ (A B)) + µ(a \ (A B)) = 0. C est la somme de deux termes positifs doc µ(b) = µ(a B) = µ(a). Propositio 1.6 Soit N l esemble des parties égligeables. N B A et A N implique B N. Si (A ) N N, alors A N. 0 Si (A i ) i N I, alors A i N. t I Démostratio. Clair Clair Pour tout i N, il existe C i A tel que A i C i et µ(c i ) = 0. O a : Doc A N. 0 µ 0C µ(c ) = 0 i=0 Pierro Théo Page 5 Tous droits réservés

10 CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE Pour tout t I, A t C t A avec µ(c t ) = 0. A t A t0 C t0 Doc A t N. t I t I Défiitio 1.13 O appelle tribu complétée de A et o ote à la tribu egedrée par A N. Remarque 1.7 Cotrairemet à A qui est souvet difficile à décrire, à a quatre descriptios. Propositio 1.7 A à ssi (B, C) A2, B A C et µ(c \ B) = 0 ssi ssi B, N A N, A = B N B A, A = B presque partout ( ssi B A, A B N ) Démostratio. 2 3 Il existe (B, C) A 2 tel que B A C et µ(c \ B) = 0. O a A = B (A \ B). Or B A et A \ B C \ B avec µ(c \ B) = Il existe (B, N) A N avec A = B N. A B = (B N) \ B N N doc A = B preque partout. 4 2 Il existe B A tel que A B N. Doc il existe D A tel que A B D et µ(d) = 0. O pose B = B (D c ) }{{} A et C = } B {{ D}. A O a B A C : B A ssi A c (B ) c = B c D. Or B c D (A B) c et A c (A B) c. A C car A B B et A \ (A B) A B D. De plus, µ(c \ B ) = µ(d) = O va motrer que E 2 = {A E, B, N A N, A = B N} est ue tribu, ce qui reviet à motrer que E 3 = {A E, B A, A B N } e est ue. E E 3 car E E =. Si A E 3, il existe B A tel que A B N. (A c ) (B c ) = A B N et B c A doc A c E 3. Si (A ) E3 N, il existe (B ) A N tel que (A B ) N N. ( (A B ) N doc 0 ) ( ) A B N. 0 0 Pierro Théo Page 6 Tous droits réservés

11 1.3. TRIBUS COMPLÈTES, COMPLÉTION DE MESURES De plus, B A doc A E Fialemet, E 2 est ue tribu. Or E 2 à (par défiitio) et à E 2 car A N E 2. Doc à = E 2. Propositio 1.8 Soit (E, A, µ) u espace mesuré et à la tribu complétée de A par rapport à µ. L applicatio : à R µ : + A = B N µ(b) est bie défiie et est l uique extesio de µ à à (das le ses où µ = µ sur A). Démostratio. µ est bie défiie : soit A à tel que A = B N = B N. B B N N doc µ(b B ) = 0 doc µ(b) = µ(b ). µ est ue mesure : µ( ) = µ( ) = 0. Soit (A ) ÃN disjoits. Pour tout i N, A i = B i N i. O a : A = 0B 0N 0 Doc : µ 0A = µ 0B = µ(b ) = µ(a ) =0 =0 Soit ν ue extesio de µ à à différete de µ. Soit A Ã. A = B N avec N C A tel que µ(c) = 0. B A B C doc µ(b) = ν(b) ν(a) ν(b C) ν(b) + ν(c) = µ(b) + µ(c) = µ(b). Doc ν(a) = µ(b) = µ(a). Propositio 1.9 L esemble Ñ des parties µ-égligeables coïcide avec N. Démostratio. O a, par défiitio de µ, N Ñ. Soit N Ñ. Il existe C à tel que N C et µ(c) = 0. Il existe B, N A N tel que C = B N. µ(c) = µ(b) = 0 doc B N. Or N C B N N. Doc N = Ñ. Pierro Théo Page 7 Tous droits réservés

12 CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE 1.4 Costructio de mesures Théorème de Carathéodory Mesures extérieures Défiitio 1.14 (mesure extérieure) U applicatio µ : P(E) [0, + ] est dite ue mesure extérieure ssi : µ ( ) = 0 µ est croissate. Pour tout (A i ) suite de parties de E disjoites deux à deux, µ A i 1 i i=1 µ (A i ) Défiitio 1.15 Ue partie B de E est dite µ -mesurable si A E, µ (A) = µ (A B) + µ (A B c ). O ote M(µ ) l esemble des parties µ -mesurables. Propositio 1.10 M(µ ) est ue tribu sur E. Elle est appelée tribu de Carathéodory. La restrictio µ de µ à cette tribu est ue mesure otée µ. Remarque 1.8 Par le troisième axiome défiissat µ, o a clairemet µ (A) µ (A B) + µ (A B c ) Démostratio. M(µ ) : e effet, pour tout A E, A = et A c = A doc µ ( ) = 0. M(µ ) est stable par complémetatio vu la symétrie de la défiitio de M(µ ). Pour motrer la stabilité par réuio déombrable, o va motrer : la stabilité par réuio fiie (doc par itersectio fiie par passage au complémetaire doc par différece) la stabilité par uio disjoite (Il suffira alors de cosidérer = A B avec B = A \ A k disjoits deux à deux) 0 k 1 Soiet (B 1, B 2 ) M(µ ) 2. Pour tout A E, µ (A) = µ (A B 1 ) + µ (A B1 c) = µ (A B 1 ) + µ (A B1 c B2) c + µ (A B1 c B 2 ). O a µ (A (B 1 B 2 )) + µ (A (B 1 B 2 ) c ) = µ (A (B 1 B 2 )) + µ (A B1 c B2). c Or µ (A (B 1 B 2 )) = µ (A (B 1 B 2 ) B 1 )+µ (A (B 1 B 2 ) B1 c) = µ (A B 1 ) + µ (A B1 c B 2). Pierro Théo Page 8 Tous droits réservés

13 1.4. THÉORÈME DE CARATHÉODORY Doc µ (A (B 1 B 2 )) + µ (A (B 1 B 2 ) c ) = µ (A B 1 ) + µ (A B1 c B 2) + µ (A B1 c Bc 2 ) = µ (A). Soit (B ) M(µ ) N disjoits. Par récurrece, o a µ (A) = µ (A B k ) + µ A. E effet, µ A = µ A = µ k=1 Bk c 1 k Bk c 1 k +1 A Bk c 1 k +1 + µ A 1 k + µ (A B +1 ) Bk c 1 k Bk c B +1 Doc µ(a) = µ (A B k ) + µ A Bk c + µ (A k=1 1 k B +1 ) = µ (A B k ) + µ A Bk c. k=1 1 k +1 ( )) ( )) O va motrer que µ (A) µ (A B + µ (A B c. ( ) ( ) O a A B k A B k doc µ (A) µ (A B k ) + 0 k k=0 µ A B c k. k 0 Doc µ (A) µ (A B ) + µ A c. =0 ( ) ( ( 0B ) c µ (A) µ (A B ) + µ A B ). 0 0 ( )) ( ) c ) Doc µ (A) µ (A B + µ (A B 0 0 Doc M(µ ) est u tribu sur E. Motros que µ est ue mesure : µ( ) = 0. Soit (B ) ue suite d élémets disjoits. µ (A) µ (A B ) + µ A c =0 0B Pierro Théo Page 9 Tous droits réservés

14 CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE doc, pour A = B, o a ( ) 0 ( ) µ B = µ B µ (B ) = µ(b ). 0 0 =0 =0 Remarque 1.9 Si B E est telle que µ (B) = 0, alors B M(µ ). E effet, µ (A) µ (A B c ) + µ (A B) car µ est croissate et µ (A B) µ (B) = 0. Doc B M(µ ). Il e découle que si N est µ-égligeable (ie N B), B M(µ ) et µ(b) = 0 = µ (B) doc µ (N) = 0 doc N M(µ ) doc M(µ ) est complète Mesure de Lebesgue Défiitio 1.16 Das le cas E = R, o défiit la mesure de Lebesgue λ par λ (A) = if a ), =0(b ]a, b [ A. 0 Propositio 1.11 λ est ue mesure extérieure sur P(R). Démostratio. λ ( ) = 0 Si A B, tout recouvremet de B est u recouvremet de A, doc, e passat à l if, λ (A) λ (B). Soit (A ) ue suite de parties de R. S il existe 0 tel que λ (A 0 ) = +, l iégalité est vérifiée. Das le cas cotraire, soit ε > 0. Il existe u recouvremet ]a () k, b() k [ tel que (b () k k=1 k 1 a () k ) λ (A ) + ε 2 Alors, A [a () k, b() k ]. 1 ( 1 ) k 1 Doc λ A (b () k a () k ) + ε. 1 =0 λ est doc sous-additive. La restrictio de λ à M(λ ) est appelée mesure de Le- Défiitio 1.17 besgue. Propositio 1.12 B(R) M(λ ) et λ(]a, b[) = λ([a, b]) = b a. Démostratio. Pierro Théo Page 10 Tous droits réservés

15 1.4. THÉORÈME DE CARATHÉODORY Il suffit de motrer que B x =], x] M(λ ) pour tout x R. Soit A ue partie de R et (]a, b [) u recouvremet de A. Soit ε > 0. A B ] a x, b ( )[ x + ε De plus, A B c ]a x, b x[ 2. 0 ( O a doc λ (A B) λ (]a x, b x + ε )[) et λ (A =1 2 B c ) λ (]a x, b x[). =1 Doc, e examiat différets cas, o obtiet λ (A B)+λ (A B c ) (b a ) + 2ε. =1 Doc λ (A B) + λ (A B c ) λ (A). [a, b] ]a 1, b + 1[ doc λ ([a, b]) b a. 1 Soit (]a, b [) u recouvremet de [a, b]. [a, b] est u compact de R qui est de dimesio fiie doc il existe N tel que [a, b] ]a k, b k [. 1 k N N Doc b a (b k a k ) (b k a k ). Doc λ ([a, b]) b a. k=1 k=1 De plus, λ ({a}) = 0 car {a} ]a 1, a + 1[. 1 Doc λ ([a, b]) = λ (]a, b[) = λ (]a, b[). Remarque 1.10 λ({a}) = 0 et la σ-additivité de λ motret que λ(e) = 0 pour tout E déombrable. Doc les esembles déombrables sot λ-égligeables et ce e sot pas les seuls (esemble de Cator) Propositio 1.13 Lebesgue. M(λ ) = B(R) Soit B(R) la complétée de B(R) pour la mesure de Démostratio. O sait que B(R) M(λ ) (M(λ ) cotiet les borélies et les esembles λ-égligeables) Pour l iclusio réciproque, o utilise la caractérisatio de B(R) : A B(R) ssi C, B B(R) tel que C A B et λ(b \ C) = 0. Soit A M(λ ). O pose A = A ], [ pour 1. Il est clair que A = A et que l uio est croissate. E vertu de la 1 cotiuité par limite croissate, il suffit de costruire (B ), (C ) B(R) N 1. a b = mi(a, b) 2. a b = max(a, b) Pierro Théo Page 11 Tous droits réservés

16 CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE croissates telles que C A B et λ(b \ C ) = 0. Soit 1. Comme λ (A ) <, pour tout p 1, il existe (]a (p) k, b(p) k [) k recouvremet de A tel que b (p) k a (p) k λ(a ) + 1 p. O pose B = O a λ(b ) k=1 ]a (p) k p 1k 1 (b (p) k k=1, b(p) k [. O a alors clairemet A B. a (p) k ) λ (A ) + 1 p. Doc λ (B ) = λ(b ) = λ (A ) et B B(R). O applique ce procédé à A c, ce qui doe u U B(R) tel que A c U avec λ (U ) = λ (A c ). O pose C = U c. O a alors C B(R) et C A [, ] doc λ (C ) = λ (A ) = λ (B ). Doc λ(b \ C ) = 0 et C A B Cas gééral Défiitio 1.18 l algèbre C) ssi O dit que m : C R + ue prémesure (ou mesure sur m( ) = 0 Pour tout A, B C 2 disjoites, m(a B) = m(a) + m(b) (cotiuité à droite) Si (A ) est ue suite décroissate de C telle que A =, lim m(a ) = (σ-fiitude) Il existe (E ) tels que E = E, m(e ) < +, E C 0 et la limite croissate de m(a E ) vaut m(a). Remarque 1.11 Ue mesure fiie est σ-fiie. Ue mesure µ est dite de probabilité ssi µ(e) = 1. La σ-fiitude assure l uicité de la prémesure. O démotre grâce à la propriété de cotiuité à droite que m est σ- additive pour les suites (A ) dot l uio reste das C. O motre aussi la cotiuité à gauche et la sous-additivité. Théorème 1.1 (Carathéodory) Ue prémesure admet ue uique extesio à la tribu σ(c). Pierro Théo Page 12 Tous droits réservés

17 1.5. CAS E = R 1.5 Cas E = R O pose S l esemble des itervalles de R. S est ue semi-algèbre 3. O ote A l algèbre egedrée par S. A = I j, I j itervalles disjoits deux à deux j=1 O pose m l applicatio qui à u itervalle associe sa logueur. m est additive et cotiue à droite (car R = ], [ avec m(], [) = 2). 0 E gééral, µ (A) = if i ), A i C, A i=0m(a A i i 0 Le reste de la preuve du théorème se fait comme précédemmet Cotre-exemple au théorème si m est pas cotiue à droite E = N, C = {A P(N), A ou A c est fii}. C est ue algèbre. O défiit m : C R + par m(a) = 0 si A fii et m(a) = 1 si A c est fii. m vérifie m( ) = 0 mais pas m(a B) = m(a) + m(b) si A B =. E revache, m est pas cotiue à droite : A = {, + 1, } vérifie m(a ) = 1 et A =. 0 Supposos que m a ue extesio µ à P(N). µ(n) = Doc µ est pas croissate. Doc m a pas d extesio. lim + µ(ac ) = ie o vide, stable par itersectio fiie, coteat R et tel que A \ B s écrit comme uio fiie d élémets de S Pierro Théo Page 13 Tous droits réservés

18 CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE Pierro Théo Page 14 Tous droits réservés

19 Chapitre 2 Itégratio par rapport à ue mesure positive Le fait de cosidérer des mesures positives est pas ue perte de gééralité. E effet, pour tout mesure à valeurs das R, il existe ue uique déompositio µ = µ + µ (décompositio de Ha-Jorda) avec µ + et µ des mesures positives (µ + (A) = µ(a P ) et µ (A) = µ(a N) avec P et N deux parties de A disjoites telles que µ(p ) 0 µ(n)). Itroductio Soit (E, A, µ) u espace mesuré complet. O va défiir f dµ où f : E F est dite mesurable. O commece par la défiir pour des f simples (foctios e escalier pour l itégrale de Riema) : les foctios étagées et o utilise u théorème de desité pour utiliser les limites des itégrales des foctios étagées. Das le cas (R, B(R), λ), o retrouve l itégrale de Riema. Das le cas ue série. Z, P(Z), µ = Zδ. (δ mesure de Dirac) L itégrale est 2.1 Foctios mesurables Défiitio 2.1 Soiet (E, E) et (F, F) deux espaces mesurables. O dit que f : E F est mesurable ssi f 1 (F) E. Exemples : 15

20 CHAPITRE 2. INTÉGRATION O pose : f : E R x 1 A (x) avec A E. f est (E, B(R)) mesurable ssi A E. Soit (R d, B(R d )) et (R p, B(R p )). Toute foctio ( B(R d )), B(R p )))-mesurable est dite boréliee. E particulier, toute foctio cotiue est boréliee. Ceci se motre e utilisat le fait que la tribu boréliee est egedrée par les ouverts et se gééralise aux espaces topologiques muis de leur tribu boréliee (c est la défiitio de la cotiuité). Remarque 2.1 Si F = σ(c) où C est ue classe de parties de F, f 1 (F) = f 1 (σ(c)) = σ(f 1 (C)) et il suffit de vérifier que f 1 (C) E. Si F = R p, o peut cosidérer les boules ouvertes B(x, r), x Q p ou ], x], x Q. O peut vérifier la mesurabilité sur les cylidres q ]a i, b i [. i=1 Soit f : E F. La tribu σ(f 1 (A), A F) est la plus petite tribu redat f mesurable. Plus gééralemet, si (f i ) i I est ue famille de foctios de E F, σ(fi 1 (A), A F, i I) est la plus petite tribu redat les f i mesurables. O ote cette tribu σ(f i, i I). Propositio 2.1 La composée de foctios mesurables est mesurable. Démostratio. O utilise la remarque précédete avec pour tout esemble A, (f g) 1 (A) = g 1 (f 1 (A)). Coséqueces : La combiaiso liéaire fiie de foctios mesurables le reste. Si f 1,, f : E R et g : R R p sot boréliees, alors la composée g(f 1,, f ) est mesurable. Pour cela, il suffit de prouver que (f 1,, f ) : E R est mesurable, doc de cosidérer les cylidres : ( ) (f 1,, f ) 1 ]a i, b i [ = i=1 fi 1 1 i (]a i, b i [) E f g et f g sot mesurables si f et g le sot. {x, f(x) = g(x)} = (f g) 1 ({0}), {x, f(x) < g(x)} sot mesurables. Pierro Théo Page 16 Tous droits réservés

21 2.2. LIMITES DE FONCTIONS 2.2 Limites de foctios Défiitio 2.2 Soit (A ) E N. O défiit : Remarque 2.2 lim sup A = A k 0k lim if A = A k 0k Si o ote f = 1 A, les f sot mesurables et lim sup f = if sup lim if f = sup k f k = lim sup + k if f k = lim k + if f k = 1 lim sup A k f k = 1 lim if A Défiitio 2.3 O dit que (f ) coverge simplemet das R ssi x E, lim sup f (x) = lim if f (x) = lim f (x) Propositio 2.2 Soit (f ) des foctios E R mesurables. sup f, if f, lim if f et lim sup f sot mesurables. Si f coverge simplemet vers f, f est mesurable. Démostratio. {sup f < x} = ( {f < x}, {if f < x} = la compositio des foctios mesurables. {lim sup f lim if f = 0} E. ) c {f x} et o utilise 2.3 Itégrale d ue foctio étagée positive Défiitio 2.4 Ue foctio f : E R est dite étagée ssi elle pred u ombre fii de valeurs. Exemple : f = a i 1 Ai où A i E, a i R est ue foctio étagée. i=1 Réciproquemet, toute foctio étagée se décompose aisi (A i = {x, f(x) = a i }). Propositio 2.3 U foctio étagée est mesurable ssi A i E. Ue foctio étagée mesurable admet ue décompositio caoique f = a i 1 Ai où les A i formet ue partitio de l esemble {f(x) 0}. i=1 Pierro Théo Page 17 Tous droits réservés

22 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Défiitio 2.5 L itégrale d ue foctio f étagée positive (mesurable) est doée par : f dµ = a i µ(a i ) où f = a i 1 Ai est la décompositio caoique de f. i=1 Exemple : 1 A dµ = µ(a) pour A E. Propositio 2.4 est liéaire. Si f g, f dµ g dµ. Démostratio. O a clairemet af dµ = a f dµ. q Soit f = a i 1 Ai et g = b i 1 Bi. i=1 i=1 La décompositio caoique de f + g est (a + b)1 Ai B j i=0j=0a A i b B j avec A 0 = {x, f(x) = 0} et B 0 = {x, g(x) = 0}. Si f g, f = g + h avec h étagée positive doc f dµ = g dµ + h dµ g dµ. i=1 Corollaire 2.1 Si (f ) est ue suite croissate de foctios étagées positives et si lim f est étagée alors : + lim + f dµ = lim f dµ + Démostratio. Comme l itégrale est positive, elle est croissate doc la suite (α ) = f dµ est croissate et Il reste à motrer que lim f dµ lim + + lim f dµ lim + + f dµ f dµ. O pose f = lim + f. Si f = 0, il y a rie à prouver. Sio, soit ε ]0, 1[ et g = fε. Pour u x tel que f(x) > 0, il existe x tel que > x, g(x) < f (x). Pierro Théo Page 18 Tous droits réservés

23 2.4. EXTENSIONS Si a = g(x), {y, g(y) = a < f (y)} ted vers {y, g(y) = a}. Fialemet, g dµ = = = a valeur de g a valeur de g a valeur de g = lim aµ({g = a}) + a valeur de g = lim aµ( lim {g = a < f }) + a lim µ({g = a < f }) + aµ({g = a < f }) a 1 {g=a<f} dµ + a valeur de g f 1 {g=a} a valeur de g < lim + < lim + Comme ε est arbitraire et coclut. f dµ g dµ = ε dµ f dµ, o fait tedre ε vers 1 et o Remarque 2.3 et h étagée. La même preuve peut être écrite pour toute foctio h f 2.4 Extesios Extesio aux foctios mesurables positives Lemme Toute foctio mesurable positive f est limite croissate (simple) d ue suite de foctios étagées positives. Démostratio. O pose pour tout et k 0, 2 1. (f ) coviet. f : x k k si f(x) < k x si f(x) > Pierro Théo Page 19 Tous droits réservés

24 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Défiitio 2.6 Si f est mesurable positive, o défiit f dµ par : { f dµ = sup } g dµ, g étagée positive, g f Lemme Si (f ) est ue suite croissate de foctios étagées positives et lim + f = f (mesurable positive), alors : f dµ = lim + lim + f dµ Démostratio. O a toujours l iégalité : f dµ f dµ Iversemet, pour toute g f avec g étagée positive, o a g dµ lim f dµ. + Théorème 2.1 L itégrale d ue foctio mesurable positive est liéaire croissate. (Beppo-Levi)Si (f ) est ue suite croissate de foctios mesurables positives qui coverge vers f alors lim f dµ = lim f dµ + + (Lemme de Fatou) Si (f ) est ue suite croissate de foctios mesurables positives qui coverge vers f alors lim if f dµ lim if f dµ + + Remarque 2.4 Si o pose : f : E F x 1 (f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle et si µ(e) = +, f dµ = 0 = 0 dµ. lim + O a : if f dµ if f dµ sup f dµ sup f dµ Pierro Théo Page 20 Tous droits réservés

25 2.4. EXTENSIONS Le troisième poit a pas d aalogue avec les lim sup. Démostratio. Clair par défiitio de l itégrale. D après le premier poit f dµ lim + f dµ. Comme (f ) est mesurable positive pour tout, alors il existe (f,k ),k suite croissate de foctios étagées positives telle que lim f,k = f. k + O pose h k = sup f,k. 1 k (h k ) k est ue suite croissate de foctios étagées positives doc admet ue limite h. Motros que h = f. O a h f car h k = f 0,k pour u 0 k doc h k f 0 f. Doc h f. De plus, h k f,k pour tout k. Doc, pour tout k, h k f doc h f et h f. Doc h = f. Fialemet, lim h k dµ = f dµ. k + Mais h k = sup f,k f k doc h k dµ f k dµ. 1 k Doc f dµ lim f k dµ f dµ. k + Doc o a lim f dµ = f dµ = lim f dµ. + + Comme (if f k) est ue suite croissate de foctios mesurables posi- k tives, lim if f dµ = lim + + Or if k f k dµ f k pour tout k doc : lim + if f k dµ lim if k + if f k dµ k f dµ Corollaire 2.2 alors : Si (f ) est ue suite de foctios mesurables positives, f dµ = f dµ 0 0 Démostratio. Appliquer le deuxième poit du théorème précédet à la suite des sommes partielles. Défiitio 2.7 Sur (N, P(N)), o défiit la mesure de Dirac par δ x (y) = 1 si x = y et 0 sio. Pour A P(N), δ x (A) = 1 si x A et 0 sio. Pierro Théo Page 21 Tous droits réservés

26 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Applicatio : δ x (A) = 1 A (x) = 1 A (x)δ x (dy). Par liéarité, pour f mesurable positive étagée, f(x) = f(y)δ x (dy) et cela reste vrai pour ue foctio mesurable positive (par limite mootoe). O pred µ = δ (mesure de comptage) et o a : =0 ( ) f k () = f k (x) µ(dx) = f k (x)µ(dx) = =0k=0 k=0 k= Extesio aux foctios mesurables f k () k=0=0 Théorème 2.2 Si f est mesurable alors f = f + + f avec f + = x max{f(x), 0} et f = x max{ f(x), 0} et cette décompositio est miimale das le ses où si f = g h avec g et h mesurables positives alors g f + et h f. Si f + dµ est fiie ou f dµ est fiie alors f dµ existe das R et vaut f + dµ f dµ. Défiitio 2.8 f est itégrable ssi f est mesurable et f dµ fiie. ( f = f + + f ) Das ce cas, f + dµ, f dµ et f dµ sot fiies. Exemple : (N, P(N), µ) avec µ la mesure de comptage. f est itégrable ssi f() est fiie. =0 Propositio 2.5 f f dµ est ue forme liéaire cotiue positive sur l espace vectoriel des foctios itégrables L 1 (E, A, µ). O parle de cotiuité pour la semi-orme f f dµ. Pour tout f L 1 (E, A, µ), f dµ f dµ. Lemme Si f = g h avec g et h mesurables positives telles qu au mois ue des itégrales soit fiie, f dµ = g dµ h dµ. Pierro Théo Page 22 Tous droits réservés

27 2.4. EXTENSIONS Démostratio. Supposos g dµ fiie. O sait que f + g doc f + dµ est fiie et f dµ existe (car f f + ). Or f + + h = f + g. f + dµ + h dµ = f dµ + g dµ doc h dµ = g dµ f dµ car f + dµ est fiie. Lemme (de Fatou deuxième versio) Soit (f ) ue suite de foctios mesurables telles que pour tout, f g avec g itégrable, alors : lim if f dµ lim if f dµ + + Démostratio. Comme (f ) est miorée par g, alors f dµ existe das ], + ]. O pose f = f g = f g + + g. f = f + g+ g. O a f dµ = (f + g+ ) dµ g dµ qui existe doc. De même, lim if f dµ existe car g dµ est fiie. + Le lemme de Fatou appliqué à f coclut. Remarque 2.5 g itégrable, E cosidérat f, o a le résultat : si f est majorée par lim sup f lim sup f dµ Théorème 2.3 (Covergece domiée) Si (f ) est ue suite de foctios mesurables telles que f g avec g itégrable et si (f ) coverge simplemet vers f, alors : lim + f dµ = f dµ Démostratio. f g doc f g. Or f est mesurable doc f dµ et f dµ existet. Par le lemme de Fatou, f dµ = lim if f lim if f dµ. De même, lim sup f g et f dµ lim sup f dµ. Doc : f dµ lim if f dµ lim sup f dµ f dµ Pierro Théo Page 23 Tous droits réservés

28 CHAPITRE 2. INTÉGRATION ce qui coclut. Cotre-exemple : La domiatio est écessaire : il suffit de cosidérer f : x 1 avec µ(e) = Itégratio d ue foctio à valeurs complexes O dit que f coverge vers f ssi R(f ) et I(f ) coverget. O a alors B(C) = B(R 2 ) B(R) B(R). Défiitio 2.9 O dit que f : E C est itégrable ssi f est B(R 2 )- mesurable et f dµ est fiie. Das ce cas, R(f) et I(f) sot mesurables et itégrables. De plus, l applicatio f f dµ est C-liéaire et f dµ f dµ. Démostratio. Soit z u complexe tel que z f dµ R et z = 1. Par C-liéarité, z f dµ = zf dµ doc f dµ = zf dµ. Or zf dµ R doc : zf dµ = R(zf) dµ R(zf) dµ zf dµ f dµ Doc f dµ f dµ Complémets Soit (E, A, µ) u espace mesuré (o écessairemet complet) et (E, Ã, µ) sa complétée pour µ. Théorème A est Ã-mesurable ssi il existe g, h A-mesurables tel que g 1 A h et g = h µ-presque partout ssi il existe f A-mesurable tel que f = 1 A µ-presque partout. Démostratio. A A ssi D A tel que A D N ssi B, C A, B A C et µ(c \ B) = 0. E termes d idicatrices, o pose g = 1 B, h = 1 C et f = 1 D et ça marche. Propositio 2.6 Soit f : E R. Les assertios suivates sot équivaletes : Pierro Théo Page 24 Tous droits réservés

29 2.4. EXTENSIONS f est Ã-mesurable. Il existe g, h A-mesurables tel que g f h et g = h µ-presque partout. Il existe f A-mesurable tel que f = f µ-presque partout. Démostratio. 3 2 Predre f = g est vraie pour les foctios idicatrices doc reste vrai pour les foctios étagées positives doc pour les mesurables positives (par limite croissate) doc pour les foctios mesurables quelcoques avec la décompositio de Ha-Jorda : f = f + f avec g + f + h + et g f f avec g + = h + et g = h presque partout. Doc g + h f h + g avec h + g = g + h presque partout. 2 1 O motre que {f < x} Ã pour tout x. Comme f = f µ-presque partout, {f < x} {f < x} {f f } N. Or, par hypothèse, {f < x} A. Doc {f < x} Ã. Lemme Si f et g sot A-mesurables avec f = g µ presque partout, g dµ existe et das ce cas, f dµ = g dµ. f dµ existe ssi Démostratio. Si f = g µ presque partout (sur A), alors il e est de même pour (f +, g + ) et (f, g ).Il suffit doc de motrer le lemme pour f et g mesurables positives. (1 A ) coverge vers + 1 A doc par limite mootoe, Doc f dµ = 0 = lim + A 1 A dµ = + 1 A dµ f dµ + f dµ = f dµ = g dµ = g dµ. A c A c A c Iterprétatio : Si f : E R est Ã-mesurable, alors il existe f A-mesurable tel que f = f µ presque partout. Si les itégrales existet, o a : f d µ = f d µ = f dµ O supposera doc par la suite que (E, A, µ) est complet. Pierro Théo Page 25 Tous droits réservés

30 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Théorème 2.5 (Iégalité de Bieaymé-Tchebychev) Soit f : E R mesurable et a ]0, + [. µ({ f a}) 1 a f dµ Démostratio. f dµ f 1 {f a} dµ a 1 {f a} dµ = aµ({f a}) Corollaire 2.3 Si f est itégrale alors { f = + } est égligeable. Démostratio. µ({f = }) µ({ f }) 1 +, o a le résultat. f dµ < doc avec Corollaire 2.4 Si dµ est fiie, 0f f est fiie presque partout. 0 Remarque 2.6 Ue foctio itégrable peut predre des valeurs ifiies sur u esemble égligeable. O peut chager u valeur fiie de la foctio sur u esemble égligeable sas altérer l itégrabilité. Propositio 2.7 Si f est itégrable, f dµ = 0 ssi f = 0 µ presque partout. Remarque 2.7 f f dµ est pas ue orme sur L 1 (E, A, µ), c est ue semi-orme. E quotietat cet espace par la relatio défiie par f g ssi f = g µ presque partout, o obtiet u espace vectoriel ormé. Démostratio. Clair. Si f dµ = 0 alors, par Bieaymé-Tchebychev, µ({ f 1 }) f dµ = 0. Comme µ({ f 1 }) croît vers µ({ f > 0}) et par cotiuité à gauche, µ({ f > 0}) = 0. Doc f = 0 µ-presque partout. Pierro Théo Page 26 Tous droits réservés

31 2.5. LEMME DE FATOU ET CONVERGENCE DOMINÉE 2.5 Lemme de Fatou et covergece domiée Théorème 2.6 Soit (f ) ue suite de foctios itégrables. Si (f ) est miorée par g itégrable presque partout alors lim if f dµ lim if f dµ Si (f ) est majorée par g itégrable presque partout alors lim sup f dµ lim sup f dµ Si ( f ) est majorée presque partout par g itégrable positive et si f coverge simplemet presque partout vers f, alors f dµ = lim f dµ Démostratio. Soit N 1 = 0{f < g}. N 1 N. Soit f = f sur N1 c et f = g sur N 1. f g partout et le lemme de Fatou (première versio) assure : lim if f dµ = lim if f dµ lim if f dµ = lim if f dµ Pareil avec N 2 = 0{f > g} N 3 = {lim if f < lim sup f } 0{ f > g}. µ(n 3 ) = 0. O pose f = f, f = f et g = g sur N3 c et f = g = f = 0 sur N 3. f g partout et f coverge simplemet vers f partout. La covergece domiée (versio 1) s applique et : lim f dµ = lim f dµ = f dµ = f dµ 2.6 Itégrale de Riema Lie avec l itégrale de Lebesgue O cosidère u itervalle fermé boré de R (pour simplifier o pred [0, 1]). Pierro Théo Page 27 Tous droits réservés

32 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Défiitio 2.10 Soit f : [0, 1] R. O défiit les itégrales supérieures et iférieures d ue subdivisio 0 = t 0 < t 1 < < t = 1 par : 1 I (f) = (t i+1 t i ) if f(x) x [t i,t i+1 ] i=0 1 I + (f) = (t i+1 t i ) sup f(x) x [t i,t i+1 ] i=0 Défiitio 2.11 f est dite Riema-itégrable ssi les suites I (f) et I + (f) coverget vers le même réel quad + pour toute subdivisio dot le pas (sup(t i+1 t i )) ted vers 0. i O ote alors 1 0 f(x) dx la limite commue. Propositio 2.8 Ue foctio f : [0, 1] R Riema-itégrable est Lebesgue-itégrable et so itégrale de Riema coïcide avec f(x)1 [0,1] (x)λ(dx) R Démostratio. O va motrer qu il existe g et h boréliees telles que g f h et h = g λ-presque partout. Preos la subdivisio de pas costat égal à 1. O pose vers u i () = if{f(x), x [t i, t i+1 ]} et v i () = sup{f(x), x [t i, t i+1 ]} 1 Comme f est Riema-itégrables, u i () et 1 v i (). coverget 1 0 f(x) dx. O peut défiir les foctios g (x) = u 0 () si x [t 0, t 1 ] et u i () si x ]t i, t i+1 ] et h la même avec les v i (). O a g f h doc, comme (h ) est décroissate et (g ) est croissate, avec g = lim g et h = lim h, o a g f h. + + De plus, (g ) et (h ) sot deux suites de foctios boréliees doc g et h sot aussi boréliees. Il reste à motrer que (h g) dλ = 0 ce qui assurera g = h λ-presque partout car h g 0. f est borée sur [0, 1] doc f ( sup f )1 [0,1] doc par covergece x [0,1] domiée, lim g dλ = g dλ + Pierro Théo Page 28 Tous droits réservés 1 i=0 1 i=0

33 2.6. INTÉGRALE DE RIEMANN lim + h dλ = h dλ 1 O a I (f) = 1 u i () = g dλ (g e escalier). i=0 1 Par covergece domiée, g dλ = f(x) dx. 0 1 De même, h dλ = f(x) dx. 0 D où (g h) dλ = 0. Propositio 2.9 (Lebesgue, 1903) Soit f borée sur [0, 1]. f est Riema-itégrable ssi f est cotiue λ-presque partout. Démostratio. Soit f ue foctio Riema-itégrable. O appelle oscillatio de f e x le réel oté ω f (x) défiie par : ω f (x) = lim sup r 0 u,v ]x r,x+r[ f(u) f(v) Si A est l esemble des poits de discotiuité de f alors { A = x [0, 1], ω f (x) 1 } =1 }{{} =A A est-il Lebesgue mesurable? Das le cas affirmatif, il suffit de motrer que λ(a ) = 0. Cosidéros la subdivisio de pas costat égal à 1. Il y a m itervalles N das cette subdivisio qui itersectet chaque A. Sur chacu de ces itervalles, I + (f) I (f) est au mois 1. Doc I +(f) I (f) m. N Les A sot doc coteus das ue réuio d itervalles dot la logueur est majorée par (I + (f) I (f)) doc la mesure extérieure de A est ulle car f est Riema-itégrable. admis Itégrale impropre gééralisée Propositio 2.10 Soit I u itervalle o boré de R et f ue foctio localemet Riema-itégrable. Si l itégrale gééralisée de f sur I (au ses de Riema) coverge absolumet, alors f est Lebesgue-itégrable sur I et f(x) dx = f1 I dλ. Pierro Théo Page 29 Tous droits réservés I

34 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Remarque 2.8 Quad les itégrales de Riema et Lebesgue coïcidet, o b ote f1 [a,b] dλ = f(x) dx pour tout itervalle de R. a Itégrales paramétrées O cosidère u itervalle I R et f : I E R tel que pour tout t I,x f(t, x) est mesurable. Cotiuité Propositio 2.11 Si t f(t, x) est cotiue sur I µ-presque partout et que pour tout t, f(t, x) g(x) µ-presque partout pour g 0 itégrable, alors t f(t, x)µ(dx) est bie défiie et cotiue sur I. Démostratio. Par covergece domiée, f(t, x)µ(dx) existe et est fiie. Soit (t ) ue suite de I coverget vers t I fixé. Pour tout, f(t, x) g(x) µ-presque partout et le théorème de covergece domiée assure f(t, x)µ(dx) = f(t, x)µ(dx). Dérivabilité lim + Propositio 2.12 Si t f(t, x) est dérivable sur I µ-presque partout et que pour tout t, f (t, x) g(x) µ-presque partout pour g 0 itégrable, t f alors t t (t, x)µ(dx) est bie défiie et vaut f(t, x)µ(dx). t Démostratio. Le théorème des accroissemets fiie implique que f(t, x) f(t, x) g(x) t t µ-presque partout, ce qui coclut avec la même preuve que précédemmet. Pierro Théo Page 30 Tous droits réservés

35 Chapitre 3 Produit de mesures, chagemet de variables et mesures images 3.1 Tribu produit Défiitios O cosidère ue famille fiie d espaces mesurables (E i, A i ) i et l espace produit F = E i. O va muir F de la tribu produit des A. Pour cela, o i=1 défiit les foctios coordoées : F E i v i : (x 1,, x ) x i Défiitio 3.1 O appelle tribu produit A des (A i ) i et o ote A = A i 1 i la tribu egedrée par l algèbre vi 1 (A i ). i=1 Remarque 3.1 C est la plus petite tribu redat les (v i ) i mesurables. O va cosidérer le cas de E i = R, mais o aura besoi de la défiitio suivate (qui est valable das le cas gééral). Défiitio 3.2 O appelle pavé mesurable tout élémet de la forme A i i=1 avec A i A i pour tout i. La base du pavé est doée par le produit des A i qui sot différets de E. est la dimesio du pavé. 31

36 CHAPITRE 3. MESURES IMAGES Propositio 3.1 A est egedrée par les pavés mesurables. Ceci reste vrai pour les pavés mesurables de dimesio 1. Démostratio. Soit F l esemble des pavés mesurables de H celui des pavés mesurables de dimesio 1. Si A = A i F, A = vi 1 (A i ) doc A A doc F A. i=1 i=1 Doc σ(f) A. De plus σ(h) σ(f) A. Motros que A σ(h). Il suffit de motrer que vi 1 (A i ) σ(h). Or vi 1 (A i ) = E 1 E i 1 A i E i+1 E doc vi 1 (A i ) σ(h). Corollaire 3.1 La tribu boréliee de R est égale à (B(R)). Démostratio. B(R ) est egedrée par A i avec A i ouverts. i=1 Il suffit de motrer que les v i sot (B(R ), B(R))-mesurables. Or elles sot cotiues doc boréliees. Remarque 3.2 Le résultat est vrai das le cas d espaces topologiques séparables. (Kalleberg Foudatios of moder probability) Associativité du produit de tribus Propositio 3.2 B(R d+ ) = B(R d ) B(R ) Démostratio. +d d Si A = A i, alors A = A 1 A 2 avec A 1 = A i B(R d ) et A 2 = d+ i=d+1 i=1 A i B(R ). Doc A est u pavé mesurable de B(R d ) B(R ). Iversemet, soit C D B(R d ) B(R ) mesurable. O a C D = (C R ) (R d D) et il suffit de prouver que C R d et R D sot des borélies de B(R +d ). Posos H = {C B(R d ), C R B(R d+ )} et i=1 G = {D B(R ),R d D B(R d+ ) Ce sot des tribus (sous-tribus de B(R d ) et de B(R )). Pierro Théo Page 32 Tous droits réservés

37 3.1. TRIBU PRODUIT d De plus, ces tribus cotieet les pavés mesurables : si C = C i est i=1 u pavé mesurable de B(R d ), alors C R B(R d+ ) est u pavé de dimesio au plus d (de même pour G et B(R )). O coclut que H = B(R d ) et G = B(R ). O a doc C R d B(R d+ ) et R D B(R d+ ) doc C D B(R d+ ) Foctios mesurables Soit (F, F) u espace mesurable et (E i, A ) i d mesurables. O pose E = d E i et A = i = 1dA i. i=1 Cas d ue foctio F E O pose : Propositio 3.3 f : F E x (f 1 (x),, f d (x)) f est mesurable ssi toutes les f i : F E i le sot. Démostratio. Pour tout i, f i = p i f doc o a clairemet le résultat. O doit motrer que f 1 (A) F pour tout A A. Il suffit de cosidérer les pavés mesurables de dimasio 1. u tel pavé s écrit B E j = p 1 i (B) avec u B A i. j i D où f 1 (B) = fi 1 (B) F car f i est mesurable. Doc f est mesurable. Cas d ue foctio f : E F O pose : f : E F (x 1,, x d ) f(x 1,, x d ) O cosidère les restrictios : E i F g i : x f(x 1,, x i 1, x, x i+1,, x d ) avec (x k ) k i fixés. Pierro Théo Page 33 Tous droits réservés

38 CHAPITRE 3. MESURES IMAGES Propositio 3.4 (x k ) k i. Si f est mesurable, les g i le sot aussi pour tous les Remarque 3.3 La réciproque est fausse. Preos d = 2, E 1 = E 2 = R muis de la tribu egedrée par les sigletos. Posos = {(x, x), x R} et f = 1. f est pas mesurable pour la tribu produit car e est pas u. Cepedat, les restrictios sot mesurables : o a g 1 (x) = 1 (x, y) avec y fixé. Doc g 1 = 1 {y} est bie mesurable (de même pour g 2 ) Démostratio. Soit B F et motros que gi 1 (B) A i pour tout i. O a gi 1 (B) = {x E i, f(x 1,, x i 1, x, x i+1,, x d ) B} = {x E i, (x 1,, x i 1, x, x i+1,, x d ) f 1 (B)}. Notos U i = {B F, gi 1 (B) A i }. Comme f est mesurable, f 1 (B) A. Or U est ue tribu qui cotiet les d pavés mesurables car si A = A i avec A i A i, o a : i=1 d x E i, (x 1,, x i 1, x, x i+1,, x d ) A j = A i A j=1 Doc U = A et o a la mesurabilité de g i. Corollaire 3.2 Si f : E F alors toute restrictio à u sous-produit de E est mesurable. 3.2 Produit de mesures Défiitios Soit (E 1, A 1, µ 1 ) et (E 2, A 2, µ 2 ) deux espaces mesurés. Posos E = E 1 E 2 et A = A 1 A 2. Propositio 3.5 Si µ 1 et µ 2 sot σ-fiies 1 sur E 1 et E 2 alors il existe ue uique mesure µ sur A otée µ 1 µ 2 telle que µ(a B) = µ 1 (A) µ 2 (B) pour tout A A 1 et B A 2. Démostratio. E 1 1. Il existe ue suite croissate de mesurables de mesure fiie dot l uio (ifiie) vaut Pierro Théo Page 34 Tous droits réservés

39 3.2. PRODUIT DE MESURES! Supposos que ν est ue mesure σ-fiie sur E vérifiat ν(a B) = µ 1 (A)µ 2 (B) pour tout A A 1 et B A 2. µ et ν coïcidet alors sur l esemble des pavés qui est u π-système qui egedre A. Doc µ = ν sur A par le : Théorème 3.1 (argumet de classe mootoe) Le λ-système egedré par u π-système est la tribu egedrée par le π-système. appliqué au λ-système {C A, µ(a) = ν(a)} et au π-système { pavés où µ et ν coïcidet}. O prouve d abord : Théorème 3.2 sot mesurables. Soit f : E R + mesurable. x f(x, y)µ 2 (dy) et y f(x, y)µ 1 (dx) Démostratio. Ces itégrales ot bie u ses car y f(x, y) et x f(x, y) sot { mesurables positives. } Notos Q = A A, x 1 A (x, y), µ 2 (dy) mesurable. C est u λ-système car 1 A\B = 1 A 1 A B et si (A ) est croissate, 1 = lim 1 A +. A =0 De plus Q cotiet les pavés car 1 A1 A 2 (x, y)µ 2 (dx) = 1 A1 (x)µ 2 (A 2 ) doc Q = A. La mesurabilité est vrie pour les foctios idicatrices doc pour les foctios étagées par liéarité et pour les mesurables positives par limite croissate. O obtiet de même la mesurabilité de la deuxième foctio. O pose µ(a) = 1 A (x, y)µ 2 (dy)µ 1 (dx) pour tout A A. Cette écriture a bie u ses et µ est bie ue mesure Théorème de Fubii Théorème 3.3 (Torelli) Si f : E R + et mesurable alors : f dµ = f(x, y)µ 1 (dx)µ 2 (dy) = f(x, y)µ 2 (dy)µ 1 (dx) Démostratio. Soit Z la foctio A 1 A (x, y)µ 1 (dx)µ 2 (dy). Pierro Théo Page 35 Tous droits réservés

40 CHAPITRE 3. MESURES IMAGES Z est ue mesure σ-fiie et vérifie Z(A B) = µ 1 (A)µ 2 (B) pour tout pavé doc Z = µ. O a doc 1 A (x, y)µ 1 (dx)µ 2 (dy) = 1 A (x, y)µ 2 (dy)µ 1 (dx) pour tout A. C est doc vrai pour les foctio étagées et doc pour les mesurables. Remarque 3.4 O redémotre aisi Beppo-Levi e preat pour µ 2 la mesure de comptage. Et ça marche même si les itégrales e coverget pas! Corollaire 3.3 (Fubii) Soitf : E R mesurable. f est µ-itégrable ssi x f(x, y) µ 2 (dy) est µ 1 -itégable ssi y f(x, y) µ 2 (dx) est µ 2 -itégrable. E particulier, ces deux foctios sot fiies µ 1 et µ 2 presque partout (par Bieaymé-Tchebychev) et o a : f dµ = f(x, y)µ 1 (dx)µ 2 (dy) = f(x, y)µ 2 (dy)µ 1 (dx) Démostratio. O applique Torelli à f et o obtiet (sas hypothèse d itégrabilité) : f dµ = f(x, y) µ 1 (dx)µ 2 (dy) = f(x, y) µ 2 (dy)µ 1 (dx) D où les équivaleces. La fiitude s e déduit. O a de plus f dµ = f + dµ f dµ avec f + et f itégrables. O applique Torelli à f + et f et e recombiat les résultats, o obtiet ce qu o veut Coséqueces Das le cas où µ 2 est la mesure de comptage, alors pour toute foctio mesurable positive f et pour toute mesure σ-fiie µ 1, f(x, )µ 1 (dx) = f(x, )µ 1 (dx) =0 Si f est de sige quelcoque et itégrable par rapport à µ 1 µ 2, o a le même résultat. Si, de plus, µ 1 est aussi la mesure de comptage, o a f(, k) = =0k=0 f(, k) et o a le théorème de Fubii pour les séries doubles. k=0=0 Pierro Théo Page 36 Tous droits réservés =0

41 3.3. FORMULE DE CHANGEMENT DE VARIABLES Si f(x, y) = g(x)h(y) alors si g et h sot de même sige, mesurables et itégrables par rapport à µ 1 et µ 2 (respectivemet), alors le théorème de Fubii permet d écrire : ( f(x, y)µ 1 (dx)µ 2 (dy) = ) ( g(x)µ 1 (dx) ) h(y)µ 2 (dy) 3.3 Formule de chagemet de variables O se place das le cas (R d, B(R d ), λ d ), avec D et deux ouverts de R d et h u C 1 -difféomorphisme de D das. Défiitio 3.3 La matrice Jacobiee de h e u poit x D est la matrice J h (x) = ( ) h i si h = (h x j 1,, h d ) et x = (x 1,, x d ). i,j Dire que h est u difféomorphisme est équivalet à det(j(x)) 0 pour tout x D. Théorème 3.4 Pour toute foctio f mesurable positive, f(x)λ d (dx) = D f(h(x)) det(j h (x)) λ d (dx) Remarque 3.5 C est aussi vrai si f est de sige quelcoque telle que fλ d existe. Si d = 1, D =]a, b[, =]c, d[ et h u C 1 -difféomorphisme de D. h est cotiue et h (x) 0 pour tout x ]a, b[ doc h garde u sige costat sur D. Das le cas h > 0, o a Das le cas h < 0, o a d c f(x) dx = a b d c f(x) dx = b f(h(x)) h (x) dx = a f(h(x))h (x) dx. b a f(h(x))h (x) dx O peut cosidérer la traslatio h : D y + D à y R d fixé. h est u C 1 -difféomorphisme car J h (x) = I d. Si de plus D = R d, o a f(x + y) dx = f(x) dx. O dit que la mesure de Lebesgue est ivariate par traslatio. Si h est ue trasformatio orthogoale, c est u C 1 -difféomorphisme (car liéaire). O a alors f(x) dx = f(h(x)) dx car la jacobiee de h est sa matrice doc de détermiat ±1. O dit que la mesure de Lebesgue est ivariate sous l actio de O d. Pierro Théo Page 37 Tous droits réservés

42 CHAPITRE 3. MESURES IMAGES Défiitio 3.4 O dit qu ue mesure µ sur B(R d ) est absolumet cotiue ou à desité par rapport à λ d ssi il existe ue foctio mesurable positive telle que µ = fλ d ie µ(a) = f1 A λ d. R d E fait, g = J h est positive boréliee doc (f h)(x)g(x)λ d (dx) = (f h)(x)µ(dx) avec µ la mesure de desité g par rapport à λ d. O a (f h)(x)µ(dx) = f(x)λ d (dx). O dit qu o fait le trasport D de λ d par h. Plus gééralemet, si µ = ν h 1, µ est appellée mesure image par h de ν. Théorème 3.5 Si µ est la mesure image d ue mesure ν par ue fotio h mesurable, o a (f h)(x)ν(dx) = f(x)µ(dx). E Démostratio. C est clairemet vrai pour les idicatrices, doc pour les foctios étagées. Par limite mootoe, c est vrai pour f mesurable positive. Théorème 3.6 L image de λ d par h 1 est ue mesure à desité par rapport à λ d et cette desité est doée par J h, ce qui est équivalet à : f(x) dx = f(h(x)) J h (x) dx h( ) Démostratio. Il suffit de le prouver das le cas où est ue boule ouverte. E effet, supposos que c est vrai pour les B(y, r). O sait que peut être recouvert par u ombre déombrable de boules ouvertes (ou fermées) (B ) N. k 1 O pose A 1 = B 1, A 2 = B 2 A c 1, et pour tout k, A k = B k. F A c j j=1 Les A formet ue partitio déombrable de costituée de borés. Par hypothèse, h(b j ) f(x)1 h(aj )x) dx = f(h(x))1 h(aj )(h(x)) J h (x) dx Or 1 h(aj )(h(x)) = 1 Aj (x) doc f(x) dx = (f h)(x) J h (x) dx. h(a j ) A j De plus, les (h(a i )) i formet ue partitio de D doc e sommat sur j, o a le résultat. Par récurrece sur d. Pierro Théo Page 38 Tous droits réservés

43 3.3. FORMULE DE CHANGEMENT DE VARIABLES Cas d = 1. est u ouvert doc pour tout x, o peut trouver r tel que T = [x r, x + r]. L image de I par h est u compact J = [c, b]. Il suffit de motrer le résultat pour f = 1 A. A est borélie et comme {], a], a R} egedre B(R), il suffit de predre A =], a] car o va motrer que les mesures défiies par : µ(a) = 1 A (y) dy ν(a) = 1 A (h(y)) h (y) dy E effet, µ(r) = λ(j) < + et ν(r) = cotuiité de h. De plus, µ(], a]) = 1 ],a] J (y) dy et R ν(], a]) = 1 ],a] (h(y)) h (y) dy = R I J R I h (y) dy < + par 1 ],a] J (h(y)) h (y) dy Si ], a] capj = alors µ(], a]) = ν(], a]) = 0. Sio, ], a] [c, b] = [c, a] (ou [c, b] mais o s e fiche). O a : a µ(a) = dy = a c ν(a) = h 1 (a) h 1 (c) c h (y) dy = h(h 1 (a)) h(h 1 (c)) = a c Doc c est vrai. Supposos que c est vrai au rag d 1. h est u difféomorphisme de D doc det(j h (x)) 0 pour tout x. E particulier, pour tout j, il existe i tel que h i x j (x) 0. O va utiliser le théorème : Théorème 3.7 (des foctios implicites) Soit f u difféomorphisme de E F avec E et F des espaces de Baach. Si la différetielle de h est u homéomorphisme e x E, alors il existe V voisiage dex tel que f soit iversible de V (x) das f(v (x)). Posos θ = x (h(x), x 2,, x d ). det(j θ (x)) = h 1 x 1 0 pour tout x. Par le théorème précédet, il existe m réciproque de θ sur. Soit x D et B(x, r). Posos ϕ = h m et C et G les images de B(x, r) par θ et h. Pierro Théo Page 39 Tous droits réservés

44 CHAPITRE 3. MESURES IMAGES Posos K 1 = {y 1, y B(x, r)} à (y 2,, y d ) fixés et O a : K 2 = {(y 2,, y d ), K 1 } (f h)(x 1,, x d ) J h (x) dx 1 dx 2 dx d K 2 K 1 = (f ϕ θ)(x 1,, x d ) J ϕ (θ(x)) J θ (x) dx 1 dx 2 dx K 2 K 1 = (f ϕ)(x) J ϕ (x) dx 1 dx 2 dx K 2 K 1 Or (f h)(x 1,, x d ) J h (x) dx 1 dx 2 dx d = (f K 2 K 1 K 1 K 2 h)(x 1,, x d ) J h (x) dx 2 dx d dx 1. Par hypothèse de récurrece, l itégrale sur K 2 est égale à ce qu il faut pour avoir le résultat. Pierro Théo Page 40 Tous droits réservés

45 Chapitre 4 Mesures de probabilité 4.1 Foctios de répartitio Défiitio 4.1 Ue mesure µ sur (E, A) est dite de probabilité ssi µ(e) = 1. Propositio 4.1 Toute mesure fiie o ulle peut être ormalisée par sa masse totale. O obtiet aisi ue mesure de probabilité. Défiitio 4.2 répartitio : À toute mesure de probabilité, o associe sa foctio de F µ : R [0, 1] x µ(], x]) Propositio 4.2 Si deux mesures fiies ot le même foctio de répartitio, alors elles coïcidet sur B(R). État doé F, à quelles coditios existe-t-il µ de probabilité tel que F = F µ. Propositio 4.3 F µ est croissate. F µ est cotiue à droite et a ue limite à gauche e tout poit. F µ a u saut e x d amplitude µ({x}). F µ est cotiue ssi µ({x}) = 0 pour tout x. lim x lim x + F(x) = 0. F(x) = µ(e) = 1. Démostratio. Clair car µ est croissate. Si (x ) est décroissate et coverge vers x, comme µ(], x 0 ]) est fii, F µ (x ) ted vers µ(], x]) = F µ (x). 41

46 CHAPITRE 4. MESURES DE PROBABILITÉ Si (x ) est croissate et coverge vers x, ], x ] ted vers ], x[, F µ (x ) a ue limite (µ(], x[)). Coséquece du poit précédet puisque µ(], x[) = F µ (x) µ({x}). Le reste est clair. Théorème 4.1 Soit F ; R R + croissate, borée, cotiue à droite et telle que F(x) = 0. Il existe ue uique mesure fiie µ sur (R, B(R)) lim x telle que F = F µ. Démostratio.! O a déjà vu. O itroduit sur (R, P(R)) : µ (A) = if (F(b i ) F(a i )), A ]a i, b i ] i N µ est ue mesure extérieure et sa restrictio à M(µ ) (tribu de Carathéodory) est ue mesure. O vérifie que ], x] avec x R sot das M(µ ) doc B(R) M(µ ). Il faut prouver que F(x) = µ(], x]) pour tout x. O a clairemet µ(]a, b])leqslatf(b) F(a). Il reste à prouver que µ(]a, b]) F(b) F(a). Soit (]x, y ]) u recouvremet déombrable de ]a, b] et ε ]0, b a[. Pour tout, o peut trouver z > y tel que F(z ) F(y ) + ε 2 (par cotiuité à droite de F). Comme [a + ε, b] est compact iclus das [a, b], o peut extraire u recouvremet fii de (]x, z [) qui recouvre [a + ε, b]. O a F(b) F(a + ε) (F(z i ) F(x i )). fiie Doc F(v) F(a+ε) (F(z i ) F(x i )) i ) F(x i ))+2ε. i N i 0(F(y E faisat tedre ε vers 0, comme F est cotiue à droite, F(b) F(a) i N(F(y i ) F(x i )) pour tout recouvremet (]x i, y i [) i. Doc F(b) F(a) µ(]a, b]). Doc F(b) F(a) = µ(]a, b]). E faisat tedre a vers, comme µ est croissate et F ted vers 0 e, o a F(b) = µ(], b]). i N Pierro Théo Page 42 Tous droits réservés