Synthèse 3 : Les matrices

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1 Syhèse 3 : Les mrices Sdrie CHRLES : schrles@biomserv.uiv-lyo1.fr 1 Défiiios Opérios sur les mrices ddiio de deux mrices Muliplicio d ue mrice pr u sclire Muliplicio de mrices Trsposiio de mrice Mrices crrées, mrices élémeires Mrices crrées Mrices digoles Mrice Ideié Mrices Iversibles Mrices symériques Mrices rigulires Mrices orhogoles Mrices ormles Déermi d ue mrice crrée Formes muliliéires lerées Déermi d u sysème de veceurs Déermi d ue mrice crrée Déermi e volume Iversio de mrices Mrice djoie Théorèmes Cs d ue mrice d ordre Cs d ue mrice d ordre Cs priculier : iverse d ue mrice digole...11

2 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) 1 Défiiios Défiiios 1 U bleu recgulire de l forme ci-dessous es ppelé mrice p p = 1 2 p liges p coloes L éléme de l mrice se rouve à l iersecio de l i L mrice s écri égleme sous l forme = ème lige e de l j ème coloe. vec i = 1, e j = 1, p. Ue mrice y liges e p coloes es ppelée mrice (, p ou p. Le couple (, p) es ppelé dimesio de l mrice. Ue mrice de dimesio (,1) es ue mrice coloe. Ue mrice de dimesio ( 1, p ) es ue mrice lige. ) Défiiios 2 Soie B = { e 1, e 2,, e } l bse coique de e B = e1, e2,, ep l bse coique de = { } p. Soi ue mrice de dimesio (,. lors : p) cj = kje k es le j-ième veceur coloe exri de ; c es u veceur de do les k = 1 coordoées so (,,, ). 1j 2 j j p p i = e ih h es le i-ième veceur lige exri de ; c es u veceur de do les h= 1 coordoées so (,,, ). i1 i2 ip Syhèse 3 : Les mrices - pge 2/11 -

3 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) 2 Opérios sur les mrices 2.1 ddiio de deux mrices Défiiio Soie deux mrices = e B oues deux de dimesio, p ; = b O ddiioe erme à erme pour obeir : + B = + b de dimesio, p. Propriéés Soie, B e C rois mrices de dimesio (, p) e 0 l mrice (, p) do les élémes so ous égux à 0. (i) ( + B) + C= + ( B+ C) (ssociivié) (ii) (iii) (iv) + 0= + ( ) = 0 + B= B+ (opposé) (éléme eure) (commuivié) 2.2 Muliplicio d ue mrice pr u sclire Défiiio Soie = ue mrice de dimesio (, e p) λ. O défii l mrice λ comme mrice do ous les coefficies so mulipliés pr λ : λ = λ. λ es ussi de dimesio, p. Propriéés Soie e B deux mrices de dimesio (, p ) e λ, µ deux réels. (i) λ + B = λ+ λb (ii) λ + µ = λ + µ (iii) ( λµ ) = λ ( µ ) (iv) 1 = e 0 = 0 (e ps cofodre 0 sclire e 0 mrice) Syhèse 3 : Les mrices - pge 3/11 -

4 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) 2.3 Muliplicio de mrices Défiiio Soie = [ ] ue mrice (, ) ik p e B = b kj ue mrice ( p, q ) le produi des deux mrices C= B pour dimesio ( q), e s écri : C vec c = b, pour i = 1, e j = 1, q = c p ik kj k = 1 Moye mémoechique Propriéés ( p, q) C( q s ) ( p, q) Soie, p, B,,, D e E q, : ( B) C ( BC) (i) = ssociivié [mrice de dimesio s, ] (ii) B+ D = B+ D disribuivié à guche [mrice de dimesio ( q, )] (iii) ( B+ D) E= BE+ DE disribuivié à droie [mrice de dimesio (, ) p ] Syhèse 3 : Les mrices - pge 4/11 -

5 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) 2.4 Trsposiio de mrice Défiiio p Soi p =, l mrice rsposée de oée ou es l mrice 1 2 p obeue e écriv les liges de e coloes : = 1p 2p p Si pour dimesio (, lors pour dimesio p) (, ) p. Propriéés Soie, p, B, p, (, rois mrices e soi (i) (ii) + B = + B ( ) (iii) ( λ) (iv) ( C) = = λ = C C p q) λ : 3 Mrices crrées, mrices élémeires 3.1 Mrices crrées Défiiio Ue mrice do le ombre de liges es égl u ombre de coloes es ppelée mrice crrée. Si elle pour dimesio (,, o di lors qu elle es d ordre. ) Syhèse 3 : Les mrices - pge 5/11 -

6 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) 3.2 Mrices digoles Défiiio 1 O ppelle digole (ou digole priciple) d ue mrice crrée d ordre, les élémes 11, 22,, de l mrice. Défiiio 2 Ue mrice crrée D = d es die digole si ous ses élémes o digoux so uls. Ue elle mrice es fréquemme oée D = dig ( d 11, d 22,, d ) où ceris ou ous les sclires d ii peuve êre égux à zéro. 3.3 Mrice Ideié Défiiio Ue mrice crrée d ordre e compor que des 1 sur l digole priciple e des 0 prou illeurs, es oée I e es ppelée mrice uié ou mrice ideié. Propriéé 1 Quelle que soi (, p) I = I = p Propriéé 2 L mrice λi, pour ou λ, es ppelée mrice sclire. C es l mrice digole do les élémes digoux so ous égux à λ. 3.4 Mrices Iversibles Défiiio Ue mrice crrée, d ordre, es die iversible ou o sigulière, s il exise ue mrice crrée B d ordre elle que B = B = I 1 l ppelle mrice iverse de e o l oe., Ue elle mrice B es uique, d ordre ; o Syhèse 3 : Les mrices - pge 6/11 -

7 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) 3.5 Mrices symériques Défiiio Ue mrice crrée es die symérique si e seuleme si =. ureme di si i j, =. ji 3.6 Mrices rigulires Défiiio Ue mrice rigulire es ue mrice crrée do les élémes u-dessous (ou u-dessus) de l digole priciple so ous uls. 3.7 Mrices orhogoles Défiiio Ue mrice crrée d ordre es die orhogole si = = I Propriéé 1 Si es ue mrice orhogole, lors elle es iversibles e =. 3.8 Mrices ormles Défiiio Ue mrice crrée d ordre es die ormle si rsposée commue. =, ureme di si e s 4 Déermi d ue mrice crrée 4.1 Formes muliliéires lerées 4.2 Déermi d u sysème de veceurs 4.3 Déermi d ue mrice crrée Soi ue mrice crrée d ordre. Soi =. Chque coloe de peu lors êre cosidérée comme u veceur de : Syhèse 3 : Les mrices - pge 7/11 -

8 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) = v1 v2 vp vec vj = ( 1j, 2 j,, j) pour j = 1, isi, l défiiio de l oio de déermi d ue mrice crrée es éroieme liée à l défiiio du déermi d u sysème de veceurs : de ( ) = de ( v1, v2,, v ) O oe lors de ( ) = , e o prle de déermi d ordre Déermi d ue mrice crrée d ordre 2 Défiiio Soi c =. lors b d de c = d b c b d =. Moye mémoechique Déermi d ue mrice crrée d ordre Géérlisio : Déermi d ordre Méhode des cofceurs L suce cosise à se rmeer à des déermis d ordre iférieur jusqu à obeir des déermis d ordre 2. Pour cel, o développe le déermi pr rppor à ue lige ou ue coloe Soi = = X j= 1 u déermi d ordre., développeme pr rppor à l lige i Syhèse 3 : Les mrices - pge 8/11 -

9 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) où = X i= 1 X es le cofceur de l éléme :, développeme pr rppor à l coloe j X 1 i j = + es le mieur de c es-à-dire le déermi d ordre ( 1) exri de e elev l i ème lige e l j ème coloe. pplicio : = X + X + + X p 1p (lige 1) = X + X + + X (coloe 1) p1 p1 X =+ = p p2 p p X = = p p1 p p Remrque : L répriio des siges à predre dev les mieurs ( ) 1 i+ j, es lerée à prir du sige + pour l éléme. Pr exemple, pour u déermi d ordre 5 : pplicio u déermi d ordre 3 = b c b c b c = X X X 3 31 (coloe 1) = b c b c b c = b3 c3 b3 c3 b2 c2 = ( b c bc ) ( bc bc ) + ( bc b c ) Syhèse 3 : Les mrices - pge 9/11 -

10 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) Proposiios ) Si ue lige (ou ue coloe) de zéros lors ( ) de = 0 Si deux liges (ou deux coloes) ideiques lors ( ) de = 0 b) Si o échge deux liges (deux coloes) d u déermi lors o obie de ( ) c) O e modifie ps u déermi si o joue à ue lige (resp. ue coloe) ue combiiso liéire des ures liges (resp. des ures coloes) : d) Si o muliplie ue lige (resp. ue coloe) d u déermi pr u sclire λ, lors le déermi es lui-même muliplié pr λ. e) Si = es ue mrice rigulire d ordre lors de = ii (produi des ermes 1 1 digoux). Il e résule que de I =. ( f) de B = de de B) de( ) = de. Le déermi es ue focio muliplicive. g) de ( ) = de ( ) h) de ( ) = de 1 1 ( ) i) de ( λ) = λ de ( ) i= 4.4 Déermi e volume 5 Iversio de mrices 5.1 Mrice djoie Défiiio Cosidéros ue mrice crrée d ordre, l mrice des cofceurs X des élémes de oée dj es ppelée mrice djoie de ou co-mrice de. dj= com = X 1 i+ j = Syhèse 3 : Les mrices - pge 10/11 -

11 Mhémiques : Ouils pour l Biologie Deug SV2 UCBL S. Chrles (14/02/03) 5.2 Théorèmes Théorème 1 Soi ue mrice crrée d ordre. lors es ue mrice iversible si e seuleme si de 0. Théorème 2 Soi ue mrice crrée quelcoque d ordre. lors : dj = dj = de I où I es l mrice ideié d ordre. Théorème 3 Soi ue mrice crrée quelcoque d ordre. Si de 0, lors es iversible e : 1 1 = de ( ) ( dj) 5.3 Cs d ue mrice d ordre 2 Soi = d b. O si que = de() = (c-bd). c L mrice djoie de es dj = c d b : 1 1 c b = ( c bd) d. 5.4 Cs d ue mrice d ordre Cs priculier : iverse d ue mrice digole Défiiio Si = dig [ ii ] es ue mrice digole iversible d ordre : (i) ( ) de = 0 i = 1, 0 i= 1 ii ii (ii) = dig ii 1 1 Syhèse 3 : Les mrices - pge 11/11 -