FICHE 3.5 : COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION?

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Marie-Madeleine Bonin
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FICHE 3.5 : COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION? Mise à jour : 1/03/1 Voici une fiche qui, à elle seule, justifierit l existence de ce référentiel. L fctoristion est un outil mthémtique très importnt.

1 FICHE 3.5 : COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION? Mise à jour : 1/03/1 Voici une fiche qui, à elle seule, justifierit l existence de ce référentiel. L fctoristion est un outil mthémtique très importnt. Si tu ne mîtrises ps les techniques de fctoristion, tu risques de rencontrer eucoup d ennuis pr l suite Comme toujours, commençons pr le déut! 1. C EST QUOI, FACTORISER? En fit, fctoriser revient à trnsformer une somme (ou une différence de termes en un produit de fcteurs. C est en fit l opértion «inverse» de l distriutivité. Voyons cel sur un exemple concret : Distriuer Somme c = +.( + c Produit Fctoriser Ainsi, distriuer consiste à fire «disprître» des prenthèses tndis que fctoriser pour ojectif d en fire «pprître».. TECHNIQUES ET DÉMARCHE À SUIVRE 1 ère étpe : Mets en évidence D ord, tu dois impértivement commencer pr mettre en évidence les fcteurs qui sont communs à tous les termes. Ces fcteurs peuvent être un nomre, une lettre (élevée éventuellement à une certine puissnce voire même une pire de prenthèse (il fut l considérer comme un «loc» indissocile qui doit être mis entièrement ou ps du tout en évidence. Il est interdit de venir puiser une prtie du contenu entre prenthèses. Toutes ces fiches sont téléchrgeles grtuitement sur Fiche 3.5 : Comment fctoriser une expression? Pge 1

2 Voici quelques exemples : 3x+ 3y = 3. ( x + y x 3x = x. ( = 5 5. ( (x (x 1 = (x 1.( + 4.( x 3 + ( x 3 = ( x 3.( + 1 Ce dernier exemple est source d une erreur très fréquente cr pour eucoup d étudints, l réponse est (x 3 (. Et le «+ 1» psse à l trppe! Or, lorsqu une expression contenue entre prenthèses est mise en évidence, il convient toujours de fire pprître le fcteur 1. En effet : (x 3 + (x 3 = (x (x -3 = (x 3 ( + 1 Si l mise en évidence te pose prolème, lors, il fut d ord que tu téléchrges l fiche conscrée à ce sujet. e étpe : Compte le nomre de termes Après voir éventuellement effectué l mise en évidence (il est possile qu il n y it rien à fire, tu vs mintennt compter le nomre de termes que comporte l expression littérle que tu souhites fctoriser. Ceci fin de t éclirer sur l onne technique de fctoristion. Toutes ces fiches sont téléchrgeles grtuitement sur Fiche 3.5 : Comment fctoriser une expression? Pge

3 Si l expression à fctoriser contient termes : Dns ce cs, pose-toi les 4 questions suivntes : Est-ce une différence de crrés? = (.( + de cues? 3 3 = (.( + + ( Est-ce une somme de crrés? Infctorisle dns IR!!! de cues? = ( +.( + (3 (4 Si tu réponds «non» à chcune des 4 questions, lors on est ien emêtés! Il te reste cependnt un dernier espoir C est que l étpe 3 intitulée «En dernier recours» puisse te venir en ide. Vs-y vite lors. Voici une illustrtion de chcun des cs (le chiffre entre les prenthèses t indique si c est l sitution, l (, l (3 ou l (4 de l encdré ci-dessus 9x 4 = (3 x ( = (3x.(3x + ( x = x ( ( ( x. ( x ( x 1.( x 7 = = + ( 1 x 16 y = ( x (4 y ( x 4 y3 3.( x 4y = + Toutes ces fiches sont téléchrgeles grtuitement sur Fiche 3.5 : Comment fctoriser une expression? Pge 3

4 8x 7 y = ( x (3 y ( x 3 y.( 4x 6xy 9y = + + ( x + 9 (3 est impossile à fctoriser! On doit impértivement le lisser comme ç. x + 8 y = ( x + ( y ( x y 4.( x x y 4y = + + (4 Deux remrques importntes! De nouveu, une erreur fréquente est l confusion entre une somme et une différence de deux crrés. Cel peut se ressemler mis l fctoristion est tout à fit différente. Ainsi (x² - 4 est ssez symp et ccepte de se fctoriser en (x (x + tndis que (x² + 4 est csse-pieds et refuse de se fctoriser! L deuxième remrque est plus une réflexion. Créer ce référentiel nous mène à nous poser eucoup de questions. Fut-il fire de grndes synthèses très complètes ou les disséquer en plusieurs petites synthèses? Fut-il être très complet ou ne triter que des cs générux? Et pour chcune de ces questions, il fut trncher. Pour cette fiche conscrée à l fctoristion, nous vons décidé de tendre vers une fiche tritnt tous les cs que tu pourris rencontrer. Mis nous tenons à te dire qu en principe les situtions ( et (4 ne se voient qu à prtir de l 4 e secondire. Il est donc plus que prole que tu ne doives jmis les utiliser (cette nnée en tous cs dns les exercices proposés. Toutes ces fiches sont téléchrgeles grtuitement sur Fiche 3.5 : Comment fctoriser une expression? Pge 4

5 Si l expression à fctoriser contient 3 termes : Dns ce cs, pose-toi les 3 questions suivntes : + + = + Est-ce un crré prfit de type somme? ( + = Est-ce un crré prfit de type différence? ( ( Est-ce un polynôme du second degré? x + x + c (3 Si tu es dns l sitution (3, le mieux est de téléchrger l fiche «Comment fctoriser un second degré?» cr il existe plusieurs méthodes suivnt ton nnée scolire. Si tu réponds «non» à chcune des 3 questions, lors nous sommes de nouveu dns l emrrs! Il te reste cependnt un dernier espoir C est que l étpe 3 intitulée «En dernier recours» puisse te venir en ide. Vs-y vite lors. Voici de nouveu une illustrtion de chcun des cs 9x + 1xy + 4y = 3x + y ( C est effectivement un crré prfit de type somme. Pour le repérer, tu dois trouver deux termes qui sont des crrés puis vérifier que le troisième correspond ien u doule produit. 9x² est ien le crré de 3x et 4y² est ien le crré de y. Il ne reste plus qu à espérer que le doule produit coïncide. Or.(3x.(y = 1 x y. Nickel. Il reste juste à recopier le même signe que celui du doule produit à l intérieur de tes prenthèses. 4x 0xy + 5y = x 5y ( 4 ( Même risonnement : 4x² est ien le crré de x et 5y 4 est ien le crré de 5y. Et le doule produit coïncide de nouveu puisque.(x.(3y² = 1xy². Cette fois-ci, le signe du doule produit est négtif, rison pour lquelle c est ien un crré prfit de type différence. Toutes ces fiches sont téléchrgeles grtuitement sur Fiche 3.5 : Comment fctoriser une expression? Pge 5

6 Si l expression à fctoriser contient 4 termes : Dns ce cs, pose-toi les 3 questions suivntes : = + Est-ce un cue prfit de type somme? 3 3 ( = Est-ce un cue prfit de type différence? 3 3 ( 3 Est-ce que l technique des groupements peut fonctionner? ( (3 Dns ce cs l idée est de grouper les termes (en générl pr en «espérnt» otenir une fctoristion. Ce n est ps toujours évident de trouver quels termes grouper mis prfois, le mircle ttendu se produit! Si tu réponds «non» à chcune des 3 questions, lors, tu l urs sns doute compris, fonce à l étpe 3 intitulée «En dernier recours» (et prie pour que ç mrche ;- Voici de nouveu une illustrtion de chcun des cs 8x + 36x + 54x + 7 = x ( 3 C est effectivement un cue prfit de type somme. Pour le repérer, tu dois trouver deux termes qui sont des cues puis vérifier que les deux utres correspondent ien ux triples produits de l un pr le crré de l utre. 8x 3 est ien le cue de x et 7 est ien le cue de 3. Il ne reste plus qu à espérer que les triples produits coïncident. Or 3.(x.(3 = 36x et 3.(x.(3 = 54x. Nickel. C est ggné! ( 64x3 48xy + 1xy y = ( 4x y 4 6 Même risonnement : 64x 3 est ien le cue de 4x et y 6 est ien le cue de y. Et les triples produits coïncident de nouveu puisque 3.(4x.(y² = 48x y et 3.(4x.(y = 1xy 4 Toutes ces fiches sont téléchrgeles grtuitement sur Fiche 3.5 : Comment fctoriser une expression? Pge 6

7 (3 3x 3 x + 9x 6 = ( 3x 3 x + ( 9x 6 = (3 + (3 = + x x 3. x (3x.( x 3 «Coup de ol» de retrouver l même prenthèse (3x- que l on peut mettre en évidence et insi fctoriser complètement notre polynôme de déprt Si l expression à fctoriser contient 5 termes ou plus : L seule méthode possile (dns le cdre d un cours de secondire est l méthode des groupements. Si cel ne donne rien, il te reste l fmeuse 3 e étpe! 3 e étpe : Tente le dernier recours Si tu te retrouves ici, c est qu u des méthodes précédentes n fonctionné. Il te reste lors une dernière chnce, c est de tenter l méthode de Hörner. Si cette méthode n est ps pplicle ou ne donne ps de résultts, sois rssuré, c est que le polynôme n est ps fctorisle ou que celle-ci dépsse le cdre des cours du secondire. Cette méthode n est ps très compliquée, elle est très «recette de cuisine». Pour plus de clrté, nous vons préféré créer églement une fiche qui tritit uniquement de ce sujet (fiche 3.1 : Méthode de Hornër. Tu n s ps compris quelque chose? Aide-nous à méliorer ces fiches! Tu cherches des sujets que tu n s ps trouvés? Dis-le nous! Découvre ussi notre forum sur lequel tu peux venir poser tes questions. Commentires, souhits, remrques On t ttend sur notre groupe Fceook! «Centre de remédition scolire Entr ide» Scnne directement ce code vec ton smrtphone pour nous rejoindre! Toutes ces fiches sont téléchrgeles grtuitement sur Fiche 3.5 : Comment fctoriser une expression? Pge 7

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