Exercices de cours du chapitre V

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1 Eercces de curs du chaptre V Eercce V-3: Méthdes des résdus pndérés hème : Mse en équatns et méthdes d apprmatn applquées à une putre, cmparasn à la slutn analytque. Nus nus ntéressns au scllatns vertcales de la putre représentée par la fgure c cntre. g Mse en équatns - Slutn analytque. Écrvez le système d équatns dfférentelles régssant ce prblème. Détermnez les 3 premers mdes de vbratns de cette structure. Cette slutn analytque servra de cmparasn pur les mdèles numérques (apprmatns). Apprmatn plynmale. Nus cherchns deu fnctns de cmparasn, c'est-à-dre deu fnctns de frme, satsfasants tutes les cndtns au lmtes du prblème. Mntrer que ( ) est une fnctn cnématquement admssble. Détermner deu fnctns satsfasant tutes les cndtns au lmtes du prblème. On cherchera des fnctns de la frme : ( P ) avec P plynôme de degré pus Méthde de Galerkn. Cette méthde cnsste à utlser les fnctns de frme cmme fnctns tests dans la méthde des résdus pndérés. Cmparez les résultats btenus avec la premère fréquence prpre pur chacun des plynômes précédents, (apprmatn à un paramètre). Cnstrusez le système matrcel crrespndant à l apprmatn à deu paramètres sur les deu plynômes précédents. Cmparer l apprmatn des deu premères fréquences prpres à la slutn analytque. Répnse statque. Détermner la répnse statque, dans le cadre de l apprmatn à deu paramètres, de la structure placée dans le champ de pesanteur. Crrgé de l eercce V-3 : Méthdes des résdus pndérés Mse en équatns slutn analytque On cherche v (, t) slutn de :, : S v + EI v = gs L équatn lcale sur ] [ v Cndtns au lmtes en : v, (, t) (, t), et en v(, t) = : EI v (,) t Le prblème n ayant pas de mde rgde ( ) les slutns snt de la frme : V = Acs λ+ Bsn λ+ Cch λ+ Dsh λ avec λ = S EI Les cndtns au lmtes : en A+ C B + D nus cnservns A et B en = A(cs λ ch λ) + B(sn λ sh λ) A(cs λ+ ch λ) + B(sn λ+ sh λ) Équatn caractérstque : tan λ t h λ Slutn nn banale s det 3

2 Eercces de curs du chaptre V λ λ π / 3 π / 5 π / λ3 7 π / thλ λ tan λ π λ = 3,966 λ = 7,686 Pus > λ + π EI S et = λ Les 3 premères pulsatns prpres de la slutn analytque snt : = 37,7 EI = 96,5 EI 3 = 876,6 S S EI S Les mdes de vbratn crrespndant sernt dnnés par : cs ch V cs ch λ λ = λ λ snλ shλ sn λ shλ Apprmatn plynmale. La fnctn de frme ϕ = ( ) satsfat les CL. Cnématques du prblème. ϕ ( ) et ϕ ( = ) ϕ ϕ () est dte cnématquement admssble Cherchns W = P( ) ϕ( ) avec P plynôme Pur satsfare la cndtn de mment en = l faut que : w ( = ) Or W ) = P + P P( ) ϕ ϕ + (,, = P, P( P = a + a w a + 3a Ch a a = 3 W ) Pur = D'ù w = ( )(3 ) Pur P = a + a + a w a + 3a + a a Ch a = a = 3 3 D'ù w = ( )( 3 ) ϕ Remarque : La cnstructn d une apprmatn qu vérfe tutes les cndtns au lmtes d un prblème n est jamas smple. Elle est même mpssble dans la plus part des prblèmes réels de l ngéneur c est purqu l faut puvr prendre en cmpte les cndtns au lmtes dans la frmulatn ntégrale du prblème. Méthde de Galerkn. Les fnctns de frme satsfasant tutes les cndtns au lmtes du prblème, le résdu est défn par l équatn lcale.

3 Eercces de curs du chaptre V Apprmatn à paramètre : v(, t) = w q( t) avec =, Le résdu est défn par : R() v = S w q + EI w q Annuler le résdu pndéré revent à écrre : S P( ) w () d + q, P( ) EI w Nus utlserns la méthde de Galerkn en prenant : = P, w () d q = m = S w w () d L équatn matrcelle est dnc : m q + k q avec : k = EI w w () d, Nus btenns un mdèle «masse ressrt» à degré de lberté pur représenter le mleu cntnu. Applcatn numérque : Apprmatn masse et radeur équvalente Apprmatn de la premère pulsatn prpre W = ( )(3 ) 3 W = ( )( 3 ) 9 m = 63 S 5 k = 36 5 EI 5 m = 365 S 7 k = 9 35 EI 9 L'équatn lcale est une équatn dfférentelle d'rdre, l faut dnc des fnctns plynmales d'rdre pur que le résdu (erreur pndérée) st défn. Écart / slutn analytque EI = 38,7, % S EI = 365,5 5 % S Analyse : Pur eplquer ces résultats l faut cmparer l allure des deu fnctns de frme et la slutn analytque dnnées par la fgure suvante. Slutn analytque : curbe + Apprmatn W () Apprmatn W () 5

4 Eercces de curs du chaptre V Apprmatn à paramètres : v(, t) = w q ( t) + w q ( t) Nus utlsns c la ntatn matrcelle, qu permet de cnstrure drectement l équatn matrcelle cherchée. =< > avec < w >= < w w > L apprmatn sera ntée : v(, t) w { q( t) } Le résdu est alrs : R() v = S < w> { q } + EI < w > { q} Annuler le résdu pndéré revent à écrre : S P < w > d {} q EI P < w + > d {} q Nus btenns une équatn à paramètres ( q, q ). Pur écrre un système de équatns à ncnnues nus nus lmterns au ch de fnctns de pndératn ( P, P ) : < > {} < SP w d q + EIP w > {} d q = SP < w > d {} q EI P < w + > {} d q = La méthde de Galerkn cnsste à prendre : [ P ] = [ w w ] Annuler les deu résdus revent à écrre : S < w > < w > d {} q EI < w > < w + > d {} q = {} [ M ] = < > < S w w > d St : [ M] { q } + [ K] { q} = { } avec : [ K] = EI < w > < w > d Nus btenns un mdèle «masse ressrt» à degrés de lberté pur représenter le mleu cntnu. Applcatn numérque : La frme ntégrale de la matrce radeur n est pas 5 [ K ] = EI et [ ] = symétrque, cependant nus btenns une M S 3 5 matrce symétrque défne pstve car le prblème est aut-adjnt. Résultat lé au fnctns utlsées qu satsfnt tutes les cndtns au lmtes du prblème hmgène. EI = 38,5,6 % / sl. analytque S EI = % / sl. analytque S Analyse : La cnvergence de l apprmatn des premères fréquences de la structure vers la slutn analytque est très rapde. Pur cmprendre la qualté de ces résultats traçns l'apprmatn des premers mdes de vbratn de la putre que nus cmparns à la slutn analytque. St [Z] la matrce des vecteurs prpres de l'équatn [ M] { q } + [ K] { q} = { } 6

5 Eercces de curs du chaptre V Z( ) = zw + zw Les mdes apprchés snt dnnés par : Z = zw + zw Slutn analytque : curbes + Apprmatn er mde Apprmatn ème mde Les mdes représentés c snt nrmés à la valeur mamale. Ces calculs prgrammés dans le fcher Maple "VIB-MMC-3" Prse en cmpte du pds prpre : slutn statque. Le pds prpre mdfe l epressn du résdu : () < > { } < > { } Annuler le résdu pndéré revent à écrre : R v = S w q + EI w q + gs S P < w > d {} q EI P < w > d {} q gs P + + d Applquns la méthde de Galerkn nus btenns l équatn matrcelle : [ M] { q } + [ K] { q} = { ϕ} w 5 3/ avec: { ϕ} = gs < w > d= gs d= gs w / gs La répnse statque est dnnée par [ K] { q} = { ϕ} {} q = 8EI St l apprmatn de la flèche statque : gs v = ( )(3 ) 8EI C est la slutn analytque car l apprmatn w ( ) est un plynôme d rdre qu crrespnd à la slutn de l équatn dfférentelle : EI v = gs 7