Chapitre 9 Lois de Probabilité à Densité

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1 Cours e Mthémtiques Terminle STI Chpitre 9 : Lois e Proilité à ensité Chpitre 9 Lois e Proilité à Densité A) Introution ) Lois e proilités à ensité On ppelle lois e proilités à ensité les lois e proilités ns un univers e tille infinie, utrement it pour une expériene ont le nomre issues possiles est infini. Exemple : Imginons pour prenre un exemple simple que l on tire u hsr es nomres entre 0 et, 0 non ompris. Si l on prle e nomres réels (ou même éimux), il y une infinité issues possiles un tirge. Dns le s un univers fini, on se limiterit pr exemple à 0, ; 0, ; 0, ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 et. ) Comprison entre un univers fini et un univers infini ) Inpttion u moèle fini Reprenons l exemple i-essus, et supposons une loi équiprole, el onner une proilité e /0 pour hque nomre. Si je psse à tous les nomres à éimles ompris entre 0 et, l proilité e hun evienr /00! Prenons mintennt 9 éimles : on otient / !!! On ompren ès lors que si l on pren tous les nomres éimux ( fortiori tous les nomres réels), hque nomre ur une proilité nulle pprître. ) Solution équiproilité pour un moèle infini sur [0 ; ] Il fut on trouver un utre moyen pour éfinir l loi e proilité que ns le s fini... Dns le s équiproilité, on v ire que l proilité un intervlle ]0 ; ] ser égle à l vleur e ( est entre 0 et ), e qui prît risonnle. On peut remrquer que puisque l proilité un nomre est nulle, p(]0 ; ]) = p([0 ; ]) = p([0 ; [) : les rohets ouverts ou fermés ne hngent rien à l proilité! De même, les onitions "X < " ou "X " sont équivlentes insi que les onitions "X > " et "X ", ou plus préisément, on p(x > ) = p(x ) et p(x > ) = p(x ). On pourr ésormis noter, pour simplifier l ériture, p(]0 ; ]) = p(x < ). On on p(x < ) =. Pr exemple : p(x < 0,5) = 0,5 : el prît nturel! Il fut ussi vérifier que ette loi respete les ontrintes une loi e proilité : Pge /7

2 Cours e Mthémtiques Terminle STI Chpitre 9 : Lois e Proilité à ensité - L univers étnt l intervlle ]0 ; ], on ien p(ω) = p(]0 ; ]) =. - Prenons eux nomres istints et ve 0 < < <.. I = ]0 ; ] et J = ] ; ] : il fur voir p(i) + p(j) = p(i U J), or ii l réunion e es eux intervlles est ]0 ; ] = Ω, on p(i) + p(j) =. On en éuit que p(] ; ]) = p(]0 ; ]) = ou enore p(x > ) =.. De même, on ur ; p(x < ) + p( < X < ) + p(x > ) = où p( < X < ) = - - ( ) =. L proilité un intervlle est s longueur, el prît nturel puisque est le quotient e s longueur pr l longueur totle e l intervlle-univers qui est e. - Pr rpport à l proilité en univers fini, on ne peut plus prler e proilité un événement élémentire, puisque ii elle serit nulle... Cluler les proilités suivntes : p([0,5 ; 0,47]) = p([0,00 ; 0,6]) = p([/ ; /]) = ) Moélistion mthémtique e ette proilité Dns le s fini, on urit p(< X <)= i = p( X i ). Pour psser à l infini, on v utiliser l intégrle u lieu e l somme : fontion f(x) s ppeller l fontion e ensité e l proilité. p(< X <)= f ( x) x, où l On remrquer que l fit employer insi une intégrle permet ssurer l reltion inispensle es lois e proilité qui est p(a U B) = p(a) + p(b) p(a B). Il rester à s ssurer ns hque s que l proilité e l univers est ien égle à. Ii, f(x) = onvient r x=[ x ] =. B) Loi uniforme sur [ ; ] ) Définition On ppelle loi uniforme sur un intervlle l loi e proilité à ensité qui orrespon à l équiproilité en univers fini, est à ire que l proilité e tout sous-intervlle ser proportionnelle à s longueur. Elle orrespon à l expériene qui onsiste à hoisir un nomre u hsr entre eux vleurs. S fontion e ensité est l fontion onstnte f ( x )= On on pour tout intervlle [ ; ] inlus ns [ ; ] : Pge /7. p([ ; ])= x.

3 Cours e Mthémtiques Terminle STI Chpitre 9 : Lois e Proilité à ensité On peut ussi érire : p( < X < )= ) Propriétés ) Proilité un sous-intervlle x. On peut érire, puisque - est une onstnte : On vérifie isément que p(ω) =. x p(< X <)=[ = ] ) Espérne une vrile létoire suivnt l loi uniforme Pr nlogie ve le moèle fini, on éfinir l espérne pr : Ce qui onne ii : E ( X )= x [ x= x ( )] D où le résultt : ) Vrine et ért-type = E ( X )= De même on éfinir vrine et ért-type pr : Ce qui onne ii : ( V ( X )= x + ) V ( X )= soit : V ( X )= [ ( ) ( x f ( x)x ( ) =( )(+) ( ) E ( X )= + = +. ( x E ( X )) x et σ ( X )= V ( X ) [ ( x= x + ) ]= ) ] [ ( [ = ( + ) ) ] + ( ) ]= ( ) 8 =( ) Don : ( ) V ( X )= et σ ( X )= Pge /7

4 Cours e Mthémtiques Terminle STI Chpitre 9 : Lois e Proilité à ensité C) Loi exponentielle sur [0;+ [ ) Définition Cette loi se renontre ns l riotivité et ns les mouvements mortis. Une vrile létoire X prennt ses vleurs ns [0;+ [ suit l loi e proilité exponentielle e prmètre λ > 0 lorsqu elle suit une loi ont l fontion e ensité est f ( x )= λe λx. On lors : p(< X <)= λ e λ x x On onnît les primitives e ette fontion e ensité, on peut on luler : p(< X <)= En prtiulier, λ e λ x x=[ e λ x ] =e λ e λ p( X <)= λ e λ x x =[ e λ x λ ] 0= e 0 On voit ii que lorsque ten vers l infini, p(x ) ten vers, on on ien p(ω) = p([0;+ [) =. ) Propriétés ) Autre éfinition On peut ussi éfinir l loi exponentielle pr l ernière formule i-essus, à svoir : Exemples : Cluler p(x < 5) pour λ =, puis λ = 5 et λ = 0. ) Espérne e X en loi exponentielle [ 0 ;+ [, p( X )= e λ + E ( X )= x λ e λ x x= λ 0 (l émonstrtion e ette églité n est ps u progrmme) ) Vrine et ért-type + V ( X )= ( x 0 λ ) λ e λ x x= où σ ( X )= λ λ (l émonstrtion e es églités n est ps u progrmme non plus) ) Exemple L urée e vie une ioe est une vrile létoire qui suit l loi exponentielle e prmètre 0,0008. Cluler l proilité qu une ioe tome en pnne : - vnt heures - ps vnt heures Pge 4/7

5 Cours e Mthémtiques Terminle STI Chpitre 9 : Lois e Proilité à ensité D) L loi normle sur ]- ;+ [ ) Définition Une vrile létoire X à vleurs ns R suit l loi normle N(μ, σ) lorsque s fontion e ensité est f ( x)= σ π e ( x μ On lors : ) Propriétés ) Espérne et ért-type p(< X <)= σ π e ( x μ x E ( X )= μ et σ ( X )=σ On prle on e loi normle espérne μ et ért-type σ. (émonstrtions non u progrmme) ) Clul e l intégrle Il n existe ps expression mthémtique expliite pour l intégrle i-essus. On mettr que p(ω) =, est à ire que proilité. + σ π e ( x μ x=, e qui en fit ien une loi e Pr ontre, les lultries et les tleurs peuvent luler s vleur pprohée pour,, μ et σ onnés. ) Prtiulrités e l fontion f(x) L oure e ette fontion est une oure en lohe, son mximum est tteint lorsque x = μ, et elle est symétrique pr rpport à l roite vertile éqution x = μ. Pr onséquent, on p(x < μ) = p(x > μ) = 0,5. ) Intervlles ",, sigms" Théorème (mis) : Si une vrile X suit l loi normle N(μ, σ), on ur : p( μ σ< X < μ+σ) 68 % p( μ σ < X < μ+ σ) 95 % p( μ σ< X < μ+ σ) 99,7 % Cei permet, lorsqu on suppose qu une vrile suit une loi normle, e éterminer ve une préision risonnle l vleur e σ à l ie e sttistiques. Pge 5/7

6 Cours e Mthémtiques Terminle STI Chpitre 9 : Lois e Proilité à ensité Exemple : Une entreprise frique es lous e 60 mm. On suppose que leur longueur suit l loi N(μ, σ). On mesure une entine e lous prouits, hoisis u hsr et on en fit l moyenne. Logiquement, on trouve 60 mm (sinon, il y peut-être un réglge à revoir) où μ = 60 mm. On lule lors le nomre e lous e longueur omprise entre 58 et 6 mm. Si on en trouve 95, quelle vleur pprohée oit voir σ? Comien e lous y ur-t-il en ehors e l intervlle [59 ; 6]? (on ur σ mm et on evrit trouver environ lous à plus e mm e 60 mm) 4) Approximtion une loi inomile pr une loi normle ) Rppel : loi inomile L loi inomile e prmètres (n, p) est elle qui régit l vrile létoire X = "nomre e suès otenus" ns l répétition n fois une épreuve e Bernoulli (expériene létoire à eux issues, suès ou éhe, où le suès pour proilité p et on l éhe - p) e mnière inépennte (hque épreuve n ps iniene sur les utres). X pren lors ses vleurs ns l ensemle {0 ; ; ; ; n} et on : p( X =k)=( n) = n! k k!(n k)! ) Propriété (mise) Si une vrile X suit l loi inomile e prmètres (n, p) ve n > 0, n p > 5 et n ( p) > 5, Alors l loi e X peut être pprohée pr l loi normle e même espérne et e même ért-type, soit N(μ, σ) ve μ = n p et σ= n p ( p). L vntge e rempler l loi inomile pr l loi normle est que l on peut lors utiliser les résultts vus i-essus. Exemple : Une entreprise frique es ronelles ier. L proilité qu une ronelle soit onforme u hier es hrges est e 0,08. Ces ronelles sont onitionnées en lots e 500. Le nomre e lots prouits est suffisnt pour qu on onsière le hoix e 500 ronelles omme un tirge sns remise. On ppeller X le nomre e ronelles non onformes pr lot e 500. ) Justifier que X suit une loi inomile, et en préiser les prmètres. ) On v pproher ette loi inomile pr une loi normle. En préiser les prmètres μ et σ à 0,0 près. ) En utilisnt ette loi normle onner l proilité qu un lot e 500 ronelles ontiennent moins e 50 ronelles non onformes. Pge 6/7

7 Cours e Mthémtiques Terminle STI Chpitre 9 : Lois e Proilité à ensité Lois à ensité Fihe e révision Loi e proilité e ensité f(x) sur ] ; [ E ( X )= f ( x)x= x f ( x) x p(< X < )= f ( x) x V ( X )= ( x E ( X )) f ( x)x Loi uniforme sur [ ; ] p(< X < )= x p(< X < )= E ( X )= + σ ( X )= Loi exponentielle sur [0 ; + [ p(< X <)= λ e λ x x p(< X <)=e λ e λ E ( X )= λ σ ( X )= λ Loi normle N(μ, σ) sur ]- ; + [ p(< X <)= σ π e ( x μ x E ( X )=μ σ ( X )=σ p( μ σ< X < μ+σ) 68 % p( μ σ < X < μ+ σ) 95 % p( μ σ< X < μ+ σ) 99,7 % Si une vrile X suit une loi inomile e prmètres (n, p) ve n > 0, n p > 5 et n ( p) > 5, Alors l loi e X peut être pprohée pr l loi normle e même espérne et e même ért-type, soit N(μ, σ) ve : μ = n p et σ = n p( p). Pge 7/7