1 ère S Relations métriques dans le triangle

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1 ère S Reltions métriques dns le tringle Pln du hpitre I. Théorème de Pythgore générlisé (formule du ôté ou d l-kshi) II. ire d un tringle quelonque III. Formule des sinus IV. Formule de l médine L démonstrtion s ppuie sur l règle suivnte : «On peut psser tout rré de distne en rré slire de veteur.» 3 ) Remrque L formule d l-kshi générlise le théorème de Pythgore vu en 6 e. En effet, lorsque le tringle est retngle en lors et os 0. Don l reltion s érit :. ) onséquene Pr permuttion irulire des lettres,,, Dns e hpitre, toutes les démonstrtions sont à onnître et à svoir refire. I. Théorème de Pythgore générlisé (formule du ôté ou d l-kshi) ) Formule on otient ussi les reltions : Dns un tringle quelonque, on : os. os ette reltion est vlle dns un tringle quelonque. ) Démonstrtion Figure : os II. ire d un tringle quelonque ) Formule est un tringle quelonque. On pose,,. L ire du tringle est donnée pr l formule : S sin. (identité remrqule slire) os S

2 hque lettre minusule désigne l longueur du ôté opposé à l ngle nommé ve l même lettre en mjusule. 3 e s : droit ette formule est vlle dns un tringle quelonque. Il onvient de noter que ette formule générlise l formule de l ire d un tringle retngle vue en 6 e. ) Démonstrtion On pose ( 0 ; ). On note H le pied de l huteur issue de. H On effetue une démonstrtion pr disjontion de s. er s : igu 0 S don sin S sin 3 ) onséquene S H Or : H sin H Don S sin e s : otus S sin S sin S sin H S H H sin e qui donne H sin (formule de trigonométrie : x Or : Don S sin. sin x sin x ) 3

3 III. Formule des sinus ) Démonstrtion On reprend les mêmes nottions qu u II. S sin sin sin S sin sin sin S sin sin sin Don ) Formule des sinus sin sin sin S : () D le point dimétrlement opposé à sur. On suppose que est igu. Le tringle D est retngle en. sin D D sin D R Don R sin D () Or et D sont deux ngles insrits dns le erle qui intereptent le même r. Don d près le orollire du théorème de l ngle insrit, ils ont l même mesure. D () s érit lors : Rsin. Les lettres,, sont préisées sur l figure i-dessous (nottions trditionnelles). 3 ) Lien ve le ryon du erle ironsrit est un tringle quelonque. est le erle ironsrit à. Finlement : R sin sin sin S ) Utilistion L formule des sinus trouve une pplition en tringultion, proédé qui onsiste à luler des distnes entre deux lieux à l ide d une longueur et de deux ngles. IV. Formule de l médine ) Formule de l médine M R O et sont deux points quelonques du pln P. I est le milieu de []. M P M M MI I On note O son entre et R son ryon. 5 6

4 ) Démonstrtion M M M M M M M M I MI I MI I MI MI I I MI MI I MI I M M I MI I I M M MI I I M M MI I (r I est le milieu de [] don I I ) M M MI M M MI M M MI 0 Il s git d un énoné universel (phrse quntifiée ve «M P») ; on peut don prtiulriser le point M selon les esoins du prolème. 3 ) Deux utres formules à svoir (dites ussi prfois ussi «formules de l médine») Dns es formules, on ne se réfère plus à un tringle. L ppelltion de «formules de l médine» pour elles-i est usive. et sont deux points quelonques. I est le milieu de []. M P Démonstrtion : M M MI M M MI I MI I M M MI I MI I M M MI I M M MI I M M MI (identité remrqule slire) et sont deux points quelonques. I est le milieu de []. M P M M IM Démonstrtion : M M M M M M M M M M (identité remrqule slire) M M MI M M M M MI M M IM M M IM M M IM 7 8

5 omplément : formule à onnître pour l ire d un prllélogrmme Dns l même veine que l ire d un tringle quelonque, il est intéressnt de donner une formule pour l ire d un prllélogrmme. D D DsinD Démonstrtions : Elles sont de deux types (elles reviennent en fit u même) : ) On dit qu un prllélogrmme est onstitué de deux tringles symétriques pr rpport à l digonle. es deux tringles sont don isométriques et pr onséquent, ont l même ire. On pplique l formule donnnt l ire d un tringle. On multiplie le résultt pr et l on otient l formule donnée. ) On refit l démonstrtion pour l ire d un tringle. On note H le projeté orthogonl de D sur l droite (). Et. 9