Aspects théoriques de base de la 3D

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1 Inoducion Aspecs héoiques de bse de l 3D P Jce (hp://uses.skne.be/jce3d 3.I Ve. Rev : Ce documen conien l esseniel des bses mhémiques e igonoméiques nécessies à l compéhension des udimens d ffichge de scène en ois dimensions (bse de l infogphie. Même s il es possible de concevoi en 3D sns connîe ces fondemens, une évision des conceps de bse ne peu en ucun cs êe nuisible u leceu. Le pemie e pincipl fondemen de l 3D es l igonoméie plne. C es pouquoi l inoducion commence p un ppel ès simple de cee mièe. Touefois, comme l igonoméie s ppuie esseniellemen su des conceps évidens de géoméie e que, pobblemen, beucoup de gens les uon oubliés, nous les ppeleons ussi : Rudimens de Géoméie plne (l ppo des Gecs L plup des obsevions, n i à l géoméie, ppoée p les difféens philosophes e mhémiciens gecs son consignées dns les difféens lives d Euclide qui ien des Elémens. Euclide éi un mhémicien gec vivn u quième siècle vn Jésus Chis. On lui doi de nombeu vu, els que, nommen, l démonsion du héoème de Thles insi que difféens vu su les popoions. Mis voici ou d bod quelques définiions d élémens eies des lives d Euclide. Angle : êe mhémique epimn l ouveue, l écemen ene deu doies. L ngle es génélemen epimé en degé même si le din s vèe une unié beucoup plus convenble pou epime l mesue des ngles. Angle doi : ngle fomé p deu doies pependiculies. Angle igu : ngle inféieu à l ngle doi. Angle obu : ngle supéieu à l ngle doi. Angle pl : vu le double de l ngle doi. Relions fondmenles des ngles ene eu : c s s s s c Angles coespondns Su une sécne coupn deu doies pllèles, on emque que cc.

2 Angles lenes-inenes Su une sécne coupn deu doies pllèles, on emque que. Angles opposés p le somme Deu sécnes fomen que ngles donc, on peu déduie que ss e s s. Les popoions L éude des popoions fi pie du live V d Euclide su les élémens. Nous n llons ps éudie cel en déils mis simplemen ppele les fondemens de bse. Un ppo es une elion selon l dimension ene deu gndeus de même pe. k. b es un ppo, ecéde b de k, à condiion que le podui kb donne l même unié de mesue que. Des gndeus qui on le même ppo son dies popoionnelles : c es l définiion pe d une popoion. b d Popiéés mhémiques inéessnes :. Le podui des moens es égl u podui des eêmes. d c. b Eviden,voi les ègles de bse de l muliplicion lgébique.. Sommion dns les popoions c c Si, los b d b d b Cee poposiion es ivile e fcilemen véifible. Touefois, s démonsion l es un peu moins : c, los b d c b d p (: d bced bc e doivenvéifiecee églié pououesleusvleus fisn piedel ( d b( c d bc b d bc b ( équionde popoionlié soluion Nous vons une seule équion pou deu inconnues. Ceci es sensé nous donne une infinié de soluions mis nous pouvons en dégge ois én inéessnes. Toues les ues soluions seon sns ucun doue des muliples de celles-là. Discuons donc ce ssème : L soluion ivile : L soluion fcile : (, ( c, d (, (, > d bc bc d ( d bc Il fu noe que oues les pies de muliples, posiives ou négives de ces deu vleus, son ussi soluions de cee équion.

3 L soluion qui nous inéesse : Sid bc b > b essoluion> b d' oùsi(, (, b > b b, b b pou(, (, b Ce couple de vleus fi donc pie des soluions de l équion de popoionlié. Noe poposiion c c Si, los b d b d b es donc mhémiquemen coece! Figue fondmenle de l géoméie: le ingle Le ingle es une figue géoméique simple disposn de ois côés e de ois ngles. Il eise difféens pes de ingles emqubles, le ingle isocèle ( côés égu, équilél (ois côés égu, ecngle (possède un ngle doi pi/ e quelconque (ne fi ps pie des clsses pécédenes. Cs d églié des ingles : Deu ingles son ideniques s ils on :. ois ngles égu OU,. ois côés égu OU bien, 3. un ngle égl compis ene deu côés égu. L vécié d une des ffimions enine l vécié des deu ues. A pi de là, on peu isémen déduie l similiude des ingles : deu ingles semblbes son deu ingles don les côés son égu à une consne muliplicive pès. Cs de similiude des ingles.. Tois ngles égu.. Tous les côés son popoionnels. 3. Un ngle idenique compis ene deu côés popoionnels. Théoème fondmenl : l somme des ngles inéieus d un ingle vu l ngle pl (démonsion. b c b Comme les doies son pllèles deu à deu, ecepé l sécne qui fome le ingle quelconque, nous pouvons déduie que p églié d ngles lene/inene e b b p églié d ngles coespondns. L ngle ol fomé p l somme de c, e b fome bien un ngle pl (soi un ngle deu fois plus gnd que l ngle doi. E ce ngle es bien égl à l somme de,b e c, puisque e bb.

4 Le héoème de Thles (Thles de Mille Thles de Mille éi un philosophe, ingénieu gec ionien qui vivi u sepième siècle vn Jésus Chis. Selon «Hisoie» d Héodoe, il id Césus, los de s enive de conquêe de l Pese, à vese un fleuve à l Hls en ceusn un second cnl fin d bisse le niveu de l eu. Ainsi les mées de Césus puen vese. Thles découvi son héoème u envions de 65 vn Jésus Chis. Touefois, le héoème ne fu démoné p Euclide que pès de 3 ns plus d. Les gecs esèen donc ignons ou ce emps qun à l vécié du héoème. Mesue donc l chnce que vous ve de découvi l éponse en quelques minues o p e c Considéons les ingles ced e pcd. Ces deu ingles ne son bien sû ps égu (cf Cs d églié des ingles suf si le ingle ocd es isocèle, ce qui n es ps le cs. Touefois ces deu ingles on l même sufce : p o e d c h h En effe, Comme pe es pllèle à cd, on peu donc isémen déduie que h, hueu du ingle pcd, possède l même gndeu que h, hueu du ingle ced. De plus, comme pcd e ced on un côé commun, cd, il vien que d Héodoe es considéé comme l un des pemies hisoiens de l Hisoie. Son «enquêe» fu un documen ecepionnel pou les hisoiens. Césus éi un oi Ldien (cuelle Tuquie. Césus éi oi ès iche, il ii s ichesse d un fleuve dénommé Pcole qui chii de l o. Césus inepé ml une pophéie de l Ocle de Delphes e qu les Peses. Mlheueusemen pou lui, l chue du gnd empie pomise p l Ocle signifii l chue de son empie!

5 cd h S( pcd cd h' S( ced o, h h' S( pcd S( ced Eude du ppo ene les sufces de ceins ingles : Considéons les sufces du ingle pcd e du ingle ocd. p o e c h d Je peu écie les équions suivnes : pch S( pcd oc h S( ocd Considéons les sufces du ingle ced e du ingle ocd o p e c h 3 d S( ced S( ocd ed h od h 3 3

6 S( ced S( pcd Comme S(cedS(pcd, il es éviden que S( ocd S( ocd En choisissn judicieusemen les epessions de S(ocd, en foncion des équions pécédenes, il vien : ed h 3 od h 3 pc h oc h en simplifin l epession il vien : de plus, comme : ed od e pc oc oe od oe od ed od od oe od oc op oc op oc pc oc op > oc Ceci es l demi epession du héoème de Thles. Il nous ese à démone l denièe pie oe od op oc o p F e c Tçons l hueu og qui fome deu ingles ecngles ogc e ogd En veu de l pemièe pie démonée du héoème, nous svons que op oe of oc od og G d Considéons ici les ingles (Fed e (FGe

7 Ils on ous deu un côé commun Fe e deu hueus ideniques puisque Fe es pllèle à Gd S ( FGe S( Fed De plus, si on joue à ces deu ies l ie du ingle ofe, on conseve l églié des ies. S ( FGe S( ofe S( Fed S( ofe Ces sommes epésenen les ies especives de deu nouveu ingles, les ingles oge e ofd, vec : S ( oge S( ofd O, il vien que : og. Fe S( oge e S( ofd d' où og Fe of Gd ou encoe of og Fe Gd of Gd P un isonnemen nlogue, on peu démone fcilemen que of Fp og Gc Donc, il vien p nsiivié que : Fe Gd En ppliqun l ègle élémenie de l somme dns le cde des popoions, on obien que Fe Fe Fp pe of Gd Gd Gc cd og Il vien donc: op oc op oc Voici donc démoné dns oue s splendeu, le fmeu héoème de Thles, p Euclide. oe od oe od of og pe cd Fp Gc pe cd >

8 Le héoèmes de Phgoe de Smos (démonsion Considéons un ecngle de lgeu e de longueu b. On ce l digonle : b fig.i.4 L digonle fome deu ingles ecngles e, sns êe devin, on voi qu il eise une elion évidene ene e,b. Le ou es de l ouve, ce que Phgoe fi pou nous. Uilisons que ecngles similies à celui que nous vons défini u-dessus e disposons-les judicieusemen :

9 b b fig.i.5 L sufce du gnd cé l sufce des 4 peis ingles sufce du pei losnge. L sufce du gnd cé vu ( b L sufce du pei losnge vu b L sufce d un des ingles vu P pplicion de l fomule ciée en hu on obien : ( b b 4 b b b b (el.i.4 fu nommé p les gecs «l hpohénuse du ingle ecngle» e,b les deu côés de l ngle doi fuen ppelés les chèdes. Cee fomule ne s pplique bien sû qu u cs du ingle ecngle. Voilà pès les ppels élémenies, qui concluen l ppo des gecs concenn ces quelques bêises nous llons pouvoi psse à des choses un ou pei peu plus séieuses, puisque dns le chpie suivn, nous llons qunifie e éudie les ngles un peu plus en déil, dns une pie nommée «Tigonoméie».

10 I. Rppels de bse de l igonoméie Cecle igonoméique e nombes igonoméiques Y sens α o α α b n(α sens - fig.i. Le cecle igonoméique es insci dns le epèe ohonomé Y. Il possède p définiion un on vln. L ngle α es l ngle qui inecepe l code b e s epime en din. α vu donc l longueu b epimée en «din». P eension, si α vu, los c es le péimèe du cecle enie qui es inecepé p l ngle α. Il fu noe qu une ue unié de mesue ese encoe souven emploée, il s gi du «degé». Le pincipl défu de lu uilision du degé es qu il n es ps diecemen epésenif de l longueu de l code inecepée p l ngle epimé dns cee unié. Si l ngle α effecue une oion de 36, il evien à son poin de dép, il élisé le ou comple du cecle. Su bse de cel on peu écie l équion suivne : 36 d 36 d 57,3 Nous vons ppoimé l vleu à l deuième décimle. Les ngles peuven êen compés posiivemen ou négivemen suivn leu sens de oion, comme indiqué su l figue. Il fu noe que le sens de oion ni-hologé es compé comme sens posiif de mesue de l ngle, ndis que le sens de oion hologique es compé comme sens négif de mesue de l ngle.

11 Repésenion de α dns le cecle igonoméique : fig.i. Repésenion de α dns le cecle igonoméique : fig.i.3 Les qudns son numéoés de I à IV e epésenen chcun 4 du cecle. L loclision dns les qudns dépend de l vleu de l ngle α. Remques concenn les vleus de e en foncion de leu posiion dns les qudns. < > < < > < > >, 3 : 3, :, :, : e QudnIV e QudnIII e QudnII e QudnI α α α α α α I II III IV α α I II III IV Y Y α α

12 Les nombes igonoméiques Le cosinus es l longueu coespondne à l pojecion du on, déphsé de l ngle α su l e des. Cee gndeu pojeée es bien su vible en foncion de l vleu de l ngle α. Cee gndeu es epésenée p l vible e s éci : α (el.i. Le sinus es l longueu coespondne à l pojecion du on, déphsé de l ngle α su l e des Y. Cee gndeu pojeée es bien su vible en foncion de l vleu de l ngle α. Cee gndeu es epésenée p l vible e s éci : α (el.i. L ngene igonoméique es l longueu définie ene le poin d ineesecion de l doie ngene u cecle e l bscisse e ene le poin d inesecion de l polongion du on fomé p l ngle e l doie ngene u cecle. Une pide pplicion du héoème de Thles nous donne l inepeion géoméique de l ngene e l célèbe fomule bien connue : n( d où n( (el.i.3 II α α I n( Y III IV

13 Tbleu des pinciples vleus des nombes igonoméiques pou des ngles clssiques d sin cos n Relions ene sinus e cosinus. Relions vlbles dns ous les qudns du cecle igonoméique : α α α α α α α α α α α α α α α α Ces fomules peuven êe fcilemen déduies à pi des fig.i. e des fig.i.3. Pou ouve ces elions il suffi de egde le cecle igonoméique e l posiion des ngles pès jou ou ei de, (en enn compe du sens posiif ou du sens négif. Pemièe idenié igonoméique Cee idenié découle du héoème de Phgoe.

14 Si nous éppliquons cee fomule à l fig.i., nous emquons que les deu chèdes epésenen especivemen α e α., L hpohénuse, qun à elle, n es ue que le on du cecle igonoméique de longueu. Nous déduisons donc, p le héoème de Phgoe, l églié suivne : sin ( α cos ( α (el.i.5 Aues ideniés Les fomule d ddiion d cs dns le cs de l foncion sinus e de l foncion cosinus. Considéons les deu ingles semblbles suivns : T(p,e,o e T(c,d,o. c p α o d e (fig.6 Ces deu ingles son semblbles, si l on se éfèe u cs de similiude cié pécédemen. Cee similiude implique qu il eise une elion de popoionlié ene ces deu ingles, définie p l ngle α. Compge des ngles en géoméie clssique : l ngle α peu êe epésené sous l fome d une ue noion, u moen des segmens ene lesquels il es compis : α poe ˆ ou, α cod ˆ L popoionlié de ces ingles es diecemen epimée p le héoème de Thles, vu pécédemmen. Epession du sinus de l somme de deu ngles : Cee fomule généle du sinus de l somme de deu ngles es sns doue l une des plus impone de l igonoméie, elle peme de eouve ou un ensemble de fomules coolies. Elle sevi églemen de bse à l noion complee qui peme, elle ussi, de déduie une bonne qunié d ues ideniés igonoméiques. Bien que cee nlse soi inéessne, elle ne se ps eploée dns ce eposé. De plus cee idenié se ès souven uilisée en clcul inégl, pou ésoude des inégles igonoméiques.

15 Evlue α β o b α m αβ β α f c p e d le bu de l mnœuve es d évlue α β fm e mb el.i. fm mb Anlse des ngles L lee du milieu epésene l endoi où se ouve l ngle. Eemple oˆ pm α (ngles lenes/inenes opb ˆ opm ˆ mpb ˆ α mpb ˆ mpb ˆ α Comme l somme inéieue des ngles d un ingle vu l ngle pl. pmb ˆ mpb ˆ mbp ˆ α mbp ˆ mbp ˆ α cˆ od α Evluion de mb mb bp mbp ˆ o, bp β bp α mb β α

16 Rel.I. 3 Evluion de fm En ppliqun le héoème de Thles, on peu déemine le ppo ene les disnces cd e pe O gphiquemen, on voi que pe fm. Ecivons l équivllence de Thles : oc cd op pe Rel.I.3 op fm fm op oc. cd vec, op β oc cd α fm β. α Rel.I.4 Finlemen l Rel.s epimé p les Rel.3 e Rel.4: α β α. β β. α Rel.I.5 Epession du sinus de l souscion de deu ngles : Dns α β, posons β γ α β α γ α. γ γ α O, si on se éfèe u fomules fondmenles du débu on conse de mnièe généle que es une foncion impie e une foncion pie d où, Rel.I.6 On peu véifie fcilemen dns le cecle igonoméique ces deu égliés. d où α. γ γ. α α γ γ α e de mnièe généle α β α. β β. α Rel.I.7

17 Epession du cosinus de l somme de deu ngles Soi B α β B B α β α β SoiC β α C α β α. C C. α α. β β α α β α β D où de mnièe généle : α β α β α β Rel.I.8 Epession du sinus de l souscion de deu ngles : α β α β α β α β D une mnièe généle on obien, α β α β α β Rel.I.9 Nous voici donc, à l fin des ppels de igonoméies, d ues ideniés igonoméiques pouien êe déggées mis beucoup d ene elles fon ppel à l noion de nombes complees (cf les fomules j d Eule don l plus belle : e pou leu démonsion. E comme ces ideniés supplémenies ne pésenen ucun inéê pou l suie de l eposé, elles seon donc, pou le plus gnd plisi du leceu, pssées sous silence.

18 Veceus e sclies Willim Rown Hmilon (85-865: billn mhémicien e linguise ilndis ; il fu à l oigine du eme officiel : veceu. Les découvees su les nombes se fien sse lenemen. Les nombes, comme nous le svons ous, seven à qunifie des gndeus phsiques (ou, du moins, celles fisn pie de noe quoidien. Touefois, l plup des gndeus que l on qunifie dns les domines simples n on qu une seule dimension. Si vous mesue un poids, un âge, une somme d gen, le nombe se un indiceu qui epime l qunié qui pou êe plus peie ou plus gnde, cumulble ou ps. Apès l définiion de nombe neue, le éo, qui fu invené p les indiens puis nsmis u bes e qui iv en Espgne vec les chiffes que nous uilisons à l heue cuelle (dis chiffes bes, puis en Euope sse divemen (Vème siècle. Le éo n én ien d ue que le ésul de l somme d un nombe p son négif, on peu défini l noion de nombes négifs. Les indiens hindouises vien d illeus découve l division p éo qui donni une gndeu infinie. L infini à d illeus mhémiquemen une smbolique ésoéique sse piculièe. Qun u opéions su les nombes e quniés, elles fuen consignées p les bes dns une discipline nomée l-jb 3 ce qui signifie l éunion e qui se décline en fnçis p lgèbe. Mlheueusemen, ou n es ps pfi dns le meilleu des mondes e c es le cs en géoméie, mécnique, élecicié, On es pfois mené à ville dns des espces à plusieus dimensions. E, dns un espce de dimension supéieue à, les nombes n on plus du ou le même sens : une ue clssificion doi êe opéée. On ple dès los de gndeus sclies e gndeus vecoielles. Les gndeus sclies se ppochen le plus des nombes hbiuels que nous uilisons dns un espce à une dimension. Touefois, leu epésenion dns un espce peu pîe déoune. Espce à une dimension: Repésenion du nombe e de son sméique (fig - Toues les gndeus usuelles que nous uilisons dns l vie coune, elles que le poids, l âge, l ille, le slie, peuven êe isémen epésenées gphiquemen su l e de, à condiion d uilise l échelle déque. Espce à deu dimensions: Qu dvien-il de noe gphique si nous lui jouons une dimension? L ligne diecice ne se plus qu une pie de l envionnemen dns lequel nous nous ouvons. 3 Pou les meus de Dune, ceci fi un peu pense u gom jbb. Fnk Hebe vi peu-êe considéé l lgèbe comme une oue menle, mis ceci n es que supposiion de voe hôe.

19 Y Repésenion de l gndeu ous les poins siués à une disnce du cene epésenen. P définiion, le lieu géoméique couvn cee noion donne un cecle cené su l oiginie de on. On ple d illeus du chmp du sclie. Cee epésenion de gndeu die sclie peu pîe sse floue. Qu dvien-il si je ne m inéesse qu à un seul poin piculie siué à l disnce? Il fu que je limie le degé de libeé su mon sclie en inoduisn une infomion complémenie. Cee infomion es l diecion su lquelle se ouve mon poin. Les nombes qui inégeon cee infomion de diecion seon des nombes plus évolués (enion je n i ps di complees que les nombes sclies clssiques que nous connissons. Pou les disingue, on les sumone d une flèche e on leu donne le joli nom de veceu. Gphiquemen, le segmen epésenn l gndeu se plcé su s diecion e une flèche indique son sens. L epésenion lgébique du veceu se fi en dessinn une peie flèche u-dessus de l gndeu, pou indique que cee gndeu es oienée. Commen duie quniivemen les infomions de diecion du veceu? Y f L figue ci-dessus nous mone que le veceu e l e du epèe fomen un ngle f. L gndeu e l ngle f nous donnen déjà une infomion suffisne pou epésene le veceu. L gndeu se ppelée l nome (ou encoe le module du veceu. Cee nome es oujous posiive e es epésenée lgébiquemen p. L gndeu f se ppelée l phse du veceu. C es elle qui donne l diecion du veceu. L phse donne ussi le sens du veceu en foncion que l phse es posiive ou négive. P eemple : - n es ue que pi. Deu gndeus sclies son donc uiles pou epésene un veceu dns un espce à deu dimensions. Vous devinee donc pidemen, p nlogie, que n gndeus sclies seon nécessies pou epésene un veceu dns un espce à n dimensions. Ceci es démoné p l lgèbe supéieu. Touefois, je ne vis ps me lnce dns une elle démonsion ici. Si ce gene de chose vous inéesse, consule un bon live de mh.

20 Même si elle le méie d êe simple, cee epésenion mélngen des nombes sns dimension (nome e s epimn din pou l phse es pfois délissée u pofi d une epésenion olemen césienne. On évlue l nome e l phse en foncion de deu composnes e qui son les gndeus epésenn les pojecions de su l e Y e su l e. Gce à Phgoe, on peu fcilemen déemine que : cn Le veceu à deu dimensions peu êe complèemen epimé p deu gndeus sclies (, ou (,f. Dns un espce à ois dimensions, il nous fu inége une composne supplémenie : (,, ou (,,f. Ceci se eposé en déils u chpie IV. Il fu emque que ces veceus son définis p ppo à l oigine du epèe. Si le veceu se ouve ncé à un endoi piculie du epèe, il nous fu en plus pécise ce poin. Ce poin es ppelé poin d pplicion du veceu. Nous veons p l suie commen inepée l vleu de. Le veceu uniie : Le veceu uniie es un veceu piculie de nome qui es uilisé comme éféence (bse dns un epèe ohonomé. P ppo à un veceu quelconque, il donne l diecion de ce veceu. Opéions su les veceus : Il deu mnièes d effecue des opéions su les veceus : soi de mnièe géoméique, soi de mnièe lgébique. Les deu méhodes seon ssémiquemen eposées. Les opéions vecoielles son indépendnes du poin d pplicion. Elles peuven s effecue su l oigine du epèe. Le ésul peu ensuie êe nslé sns difficulé su le poin d pplicion. Aucune de ces opéions ne peu donc influence le poin d pplicion du veceu mis seulemen s nome e s phse. Addiion vecoielle D un poin de vue lgébique, l ddiion de deu veceus se dui p l somme ene elles des coodonnées césiennes du veceu. b (, ( b, b ( b, b b b b ( ( b cn b Repésenée gphiquemen, cee nouvelle nome e cee nouvelle phse nous donnen le ésul suivn :

21 L consucion géoméique de ce veceu se élise u moen de l ègle du pllélogmme. On ce un pllélogmme en ejoignn les pllèle u veceus. On ce ensuie l gnde digonle. Celle-ci coespond à l somme des deu veceus. Ceci es un uc de consucion. Touefois, on peu ce ce veceu ésuln en epon l ngle mesué su le gphique. Pou obeni l diecion, une fois ceci fi, il ne ese plus qu à cé su cee diecice à pi de l oigine un segmen d une longueu égle à l nome. Souscion vecoielle L souscion vecoielle es ès nlogue à l ddiion vecoielle puisqu il suffi de emplce les composnes sclies d un veceu p leus sméiques : ( ( b b b b b b b b b b cn, (, (, ( Gphiquemen, ç nous donne : P ppo u gphe pécéden elif à l ddiion, il s gi en fi de l seconde digonle nslée su l oigine. Le clcul vecoiel suppoe les popiéés fondmenles suivnes : L ssociivié : De l ddiion : ( ( c b c b c b De l muliplicion d un veceu p des sclies mn m n mn ( ( Y b b Y b b

22 L commuivié De l ddiion : b b De l muliplicion p un sclie m m Disibuivié ( m n m n m b m m ( b Veceus linéiemen dépendns : Un veceu linéiemen dépendn d ues veceus peu êe epimé comme une somme de poduis des ues veceus : p... Le veceu p peu êe epimé en foncion des 3 veceus,, e. Nous dions que p es une combinison linéie de, e puisqu il peu êe epimé p l somme des poduis de ces ois veceus. Dns le cs pésen, le veceu p epésene l posiion d un poin dns un espce à ois dimensions. Veceus linéiemen indépendns : Se di d un veceu qui ne peu ps êe epimé comme une somme de poduis d ues veceus. Podui sclie Nome de l pojecion pllèle d un veceu su un ue veceu : b p L pojecion du veceu su le veceu b nous donne un veceu p. L nome du veceu p epésene le podui sclie. Le ésul d un podui sclie es bien évidemmen oujous une gndeu sclie. L définiion du podui sclie es :. b. Repèe ohonomé à deu dimensions Lien ene les veceus e l géoméie nlique : Y P(, Les veceus e son deu veceus de nomes. Ils son ou deu linéiemen indépendns e son sépés p un ngle de pi/. Ils fomen les veceus dieceus de bse d un epèe ohonomé à deu dimensions. Le poin p(, se ouve à l eémié d un veceu p, le veceu én epimé p l combinison linéie : p.. Le veceu p es un veceu linéiemen dépendn des veceus e.

23 Podui vecoiel Le ésul d un podui vecoiel, comme son nom l indique, es une gndeu vecoielle. En élié, c es un veceu pependiculie u pln des deu veceus picipns u podui don l nome vu le podui des nomes muliplié p le sinus de l ngle. c. b..n Le veceu n én un veceu pependiculie u pln conenn les veceus e b. Le sens du veceu c es donné p l ègle du ie-bouchon. Si le ie bouchon s enfonce, le sens es négif, sinon le sens es posiif. Repèe ohonomé à ois dimensions se vu dns le chpie IV conscé à l géoméie dns l espce. On joue un e supplémenie e un nouveu veceu dieceu, le veceu. S diecion es donnée p le podui vecoiel des veceus e. E le sens du veceu es donné p l ègle du ie bouchon. c b Y Cs d uilision des veceus Mécnique Une foce en mécnique es une gndeu piculièe qui s pplique à une picule e qui comme popiéé de modifie s viesse. L foce s pplique su l picule dns une diecion bien pécise e l viesse se modifiée en enn compe de cee diecion. Elecicié Le chmp élecique es epésené p un veceu. Géoméie Géoméie du poin Nous veons dns les chpies suivns qu un poin dns l espce peu êe epésené p un veceu disposn de ois coodonnées (,,.

24 II Rppels de bse su le clcul miciel Une mice es un bleu conenn des vleus sclies ngées en lignes e en colonnes. Il n ps à se demnde pouquoi ni commen, conene vous de l dmee pou l insn. A l fin du chpie, nous consceons un pgphe concenn l uilié pique des mices e vous vee dns quelle mesue ce fomlisme peu simplifie l vie A fig.ii. Nous ssocieons à ces bleu de vleus des opéions élémenies elles que l ddiion, l muliplicion, l invesion. Ce cs piculie epésene une mice cée, bien évidemmen de mnièe généle les mices peuven êe ecngulies, coneni plus de lignes que de colonnes e vice e ves. Noion, on noe génélemen les mices u moen d une lee mjuscule eemple A, ou encoe ij pou i {.. n } On ppelle dimension de l mice le nombe d élémens colonnes muliplié p le nombe d élémens lignes. Pou des soucis de clé e de simplificion évidens, nous ne villeons qu vec des mices cées don l dimension ne dépsse jmis (44, puisque seul ce pe de mice se uilisé en 3D. Dns le cs de noe mice cée l dimension es (44, on ple de mice que-que. Pou idenifie l dimension de l mice, nous emploeons l noion suivne: A(4,4. De mnièe convenionnelle, on epésene les nombes conenus dns l mice sous une fome généle lc (l indice l epésenn l ligne où se ouve l élémen e c epésenn l colonne où se ouve celui-ci. L loclision, «ligne-colonne», peme de déemine de mnièe univoque l élémen considéé u sein de l mice. Une mice ne possédn qu une seule colonne e plusieus lignes es un cs piculie nommé veceu (on eombe su l héoie vue u pgphe pécéden. P Ce veceu P conien ois élémens (,,. (Ce choi n es ps du u hsd. Nous veons pouquoi dns le chpie suivn. Les veceus son ès souven uilisés en phsique pou ccéise des gndeus n une cion en foncion d un diecion donnée, p eemple les foces, l viesse, l inducion mgnéique, Coniemen u gndeus sclies qui peuven s pplique dns oues les diecions: pession, empéue, Je ne vis bsolumen ps ene dns ces considéions qui dépssen de loin l objecif de ce documen. Touefois, nous veons plus loin qu en géoméie les veceus son ès piques pou epésene les coodonnées d un poin, p ppo à un epèe ohonomé choisi. L uilié pemièe des mices es vn ou de popose un fomlisme élégn pou simplifie l éciue des équions ou des ssèmes d équions sous fome simplifiées. Elles son ussi d une gnde uilié dns l simplificion d éciue pemen de élise des nsfomions dns l espce en géoméie ffine. C es bien évidemmen su ce spec que nous llons nous ppue, dns le chpie suivn.

25 Opéions élémenies su les mices Somme de mices: On ne peu somme que des mices n des dimensions compibles. Il es donc impossible de somme une mice de dimension n vec un éel (dimension * Soi A e B én deu mices du même ode : CAB nous donne: c c b b b b c c b b b b Popiéés ineessnes: ABBA (commuif (ABCA(BC (ssociif Ces popiéés évidenes peuven êe monées ès fcilemen, vous pouve le fie à ie d eecice. Noion de sméique: Il eise une mice piculièe ppelée, qui ne conien que des élémens nuls. O Popiéés: AOOAA Si AB los B-A e A-AO en effe, b b b b on voi donc isémen que cee églié es vie si e seulemen si b ij - ij i {.. n} e j {.. n} Podui miciel Podui p un nombe sclie: (enion ne ps confonde vec le podui sclie. Coniemen à l ddiion, il es possible de muliplie une mice p un nombe sclie: k. k. k. k. k. Il es à noé que si k vu, on obien l mice O. P une ue mice : Condiion pélble : Vlble uniquemen dns le cs des mices non cées: Soi A de dimension (n*m e B de dimension (k*l Pou que le podui puisse s effecue, il fu obligoiemen que km. Le ésul donne une mice C de dimension A(n,mB(m,lC(n,l. Ceci peu êe fcilemen moné mis nous n llons ps nous de plus là dessus én donné que nous nous limions à l éude des mices cées. P définiion le podui de deu mices se élise en effecun l somme des élémens des lignes, de l pemièe mice muliplié p les élémens des colonnes de l secondes.

26 b b c c. b * b b c c. b En obsevn les vleus de cij, on peu conse pou i e j c. b b i i i. pou j e i. b cij i j i. b j. b. b. b. b D une mnièe généle, pou le cs de deu mices de dimensions n on poui écie : c b. b. b.... b ij i. j i j i 3 3 j En écivn cee fomule sous fome simplifiée, on dédui l fomule généle du podui d une mice cée pou i {.. n} e j {.. n} c ij n k. b ik ki in ni. b. b

27 Popiéés du podui miciel A*(B*C(A*B*C : ssociivié A * B B* A (ps oujous commuif (k.a*(k.bk.k.a*b A*(BCA*BA*C (BC*AB*AC*A A*OO*AO (disibuivié à guche (disibuivié à doie Cs piculie eêmemen inéessn : l muliplicion d une mice p un veceu ou d un veceu p une mice: L muliplicion d un mice p un veceu: A(n,m*(n (n L muliplicion d un veceu p une mice: (n*a(n,m (n 3 3 ( Ce n es évidemmen ps du ou l même chose L mice nsposée : L mice nsposée : A ~ d une mice A es l mice B où les lignes de A on éé emplcées p les colonnes de A B es l nsposée de A, si b ij ji ( i {.. n} e j {.. n} b b b L Mice unié : On echeche une mice E elle que A*EA e e. e e Effecuons le podui miciel e obsevons quelles devon êe les vleus des élémens de E pou véifie cee églié. Le ésul mis sous fome de ssème d équions nous donne. e e e e e e e e L pemiè équion nous indique déjà que e doi êe nul e que e doi vloi. Si nous voulons conceve l églié vec 3 b b b 3 b b b

28 L seconde équion nous mone que e doi êe nul e que e doi vloi pou que l églié vec soi consevée. Les deu ues équions ne seven d illeus à ien. Si nous écivons l mice E vec les vleus déduies, nous obenons: E bien sû, nous pouvons génélise isémen pou une mice (4,4 E Avec A*EA, E joun le ôle du dns l muliplicion. L mice invese (mice cée uniquemen Le fi d voi un élémen neue dns l muliplicion peu nous mene à l quesion suivne :eise--il pou les mices cée, une mice A - elle que A - *AE?. Ceci nous donne le ssème d équions suivns : Evluons ( : Evluons (3 : Remplçons dns ( l vleu de Il vien : ( ( Remplçons dns (4 l vleu de ( ( (3 (4

29 Il vien : ( ( A pésen emplçons dns ( e obenons : ( ( e en emplçn dns (3 obenons ( ( L mice A - devien donc : ( ( A. ( ( Rel.II. Nombes ssociés à une mice cée (e mice cée uniquemen: ( ( es ppelé le déeminn de l mice cée d ode deu. Le déeminn es un nombe ssocié à une mice cée il es noé : A Dns le cs d une mice A d ode (, il se clcule en fisn le podui su l digonle ouge uquel on sousi le podui su le digonle vee. (Dns le cs de mice conenn des nombes sclies, le sens des digonles n es que peu impon. Touefois en nlse vecoielle, losque l on uilise des mices conenn des opéeus de déivion, ce ode es impon. Pou clcule le déeminn d une mice cée quelconque d ode (n,n il fu fie ppel à d ues nombes ssociés u mices, il s gi du mineu e du cofceu. Le mineu noé M ij es le déeminn de l mice A de lquelle on ei l ligne i e l colonne j. Eemple pou une mice d ode (3,3 : 3 A Le mineu M Le co-fceu es sensiblemen lié u mineu :il se noe comme le nom de l mice mis vec les indices ij i j A (. M ij ij

30 Le clcul du déeminn d une mice d ode (n,n se fi de l mnièe suivne : A n j j. A ij Cee fomule es écusive, puisque le co-fceu A ij es lui même un déeminn de l mice A éduie. Il fu le eclcule à nouveu vec l fomule du déeminn ppliquée à l mice A e cel, jusqu à ce que l ode de l mice ssociée u co-fceu soi un ode (,. Ode pou lequel on peu évlue l vleu du déeminn. Le déeminn d une mice possède un bon nombe de popiéés. Touefois, ces popiéés ne seon ps énnoncées ni démonées dns le cde de ce eposé: elles soen olemen du cde d un eposé su l infogphie. Les nombes ssociés u mices vus pécédemmen von nous pemee de déemine une ue mice piculièe ppelée l mice djoine e noée A*. Définiion de l mice djoine A * : Cee mice es l mice A *, où les élémens * ij son les cofceus de l mice A. * ij A ij Evluion de l mice A * d une mice d ode A (3,3 : (. (. ( * A ( ( ( ( ( ( 3 3 A * Si nous nous éféons à noe clcul de l mice invese d ode (, : Rel.II. nous pouvons emque que l mice djoine offe des popiéés inéessnes. En effe, l mice djoine de l mice A vu * A Les signes des élémens conenus dns l mice djoine A* son ideniques u signes des élémens conenus dns l mice d invesion, pésenée dns l elion : Rel.II.. Seule leu posiion chnge p ppo à l mice d invesion. Touefois, si nous clculons l mice nsposée de A*, nous obenons : ~ * A Rel.II. 3 3

31 A l division p le déeminn pès, il s gi bien de l mice A -. Le moen ès simple de clcule l mice invese es donc d effecue l opéion suivne : ~ A A * vec A A Rel.II. Il fu svoi que cee fomule foncionne ussi dns le cs génél pou des mice de dimensions (n,n. Touefois, nous ne le démoneons ps ici, c ce n es ps l objecif de l eposé. Le podui sclie de veceus à ois dimensions Le podui vecoiel de veceus à ois dimensions Cs piques d uilision des mices (fomlisme miciel. Résoluion de ssème d équion : On considèe le ssème d équions suivn b c d b c d 3 b3 c3 d3 Il es possible d écie ce ssème sous l fome d une églié micielle : b c d b c. d 3 b3 c3 d3 Nommons T l mice epésenn les coefficiens,b,c e le veceu conenn les élemens, e D le veceu conenn les emes indépendns d,d,d 3. On peu donc écie T. D En muliplin p l guche les deu emes de l églié (le podui miciel n es ps oujous commuif, nous obenons : T. T. T D il vien que T. D e le ssème es soluionné p l simple muliplicion de l mice invese à T e le veceu des emes indépendns. Pou un odineu ce gene d opéion ese sse simple à effecue, bien que beucoup d lgoihmes eisen. Ces lgoihmes seon clssés p le nombe de condiionnemen. Ce nombe peme d évlue l pidié de l lgoihme pou ésoude le ssème..l géoméie dns l espce Nous moneons dns le chpie suivn que l on peu epésene un poin de l espce p un veceu e que l on isémen ssocie une mice u nsfomions élémenies (oion, nslion, homoéie, pplicbles à des poins d un espce euclidien à ois dimensions. 3.Les gphes Tou ensemble d eniés n des elions ene elles peu êe epésené u moen d un gphe. A ie d eemple, penons les cicuis éleciques, hdulique (Ingénieie, l odonnncemen des âches dns un digmme de PERT (mngemen,... A ce gphe, on peu ssocie une mice d djcence. Cee mice sevi à epésene le gphe (l ensemble des elions ene les eniés. Nous ne développeons bsolumen ces noions de gphes ici, c cel so olemen du cde de l eposé. (Fin des ppels du clcul miciel

32 IV Rppels de bse de l géoméie ffine du poin dns un espce 3D. Rppelons ou d bod, René Desces ( : pèe du ionlisme césien e de l géoméie modene, il fu l inveneu de l géoméie nlique : bnche qui ébli le lien ene l lgèbe e l géoméie. Dns ce chpie, nous llons ppele l epésenion des poins dns un espce euclidien, p ppo à un epèe ohonomé. Nous éudieons ussi les difféenes nsfomions spiles que l on peu pplique à ces poins. Ces nsfomions son l oion, uous de,, ; l nslion ; le chngemen d échelle (homoéie. Le eme «ffine» fi éféence u fi que nous llons uilise le fomlisme miciel fin de simplifie l epession de ces nsfomions. Définiion du epèe,, Le epèe uilisé se dns un pemie emps le epèe (,, ohonomé clssique.

33 P(,, ou P(,, Coodonnées césiennes de l espce Le epèe es défini de l mnièe suivne : c es un epèe ohonomé, le sens de l e des es donné p le sens de oion de l e des su les (sens de oion hologique, s enfonce, ni-hologique, esso, cf bouchon de boueille de vin. Coodonées césienne de P... P Coodonnées polies Les coodonnées polies dépenden églemen de ois pmèes : le on de P p ppo à l oigine qui es ppelé. L ngle de l coliude, défini en pn de l e des Z ves P qui es ppelé, e l ngle d imuh, ngle fomé p l pojecion du veceu P su le pln OY e l e des, noé (. es compé posiivemen en pn de l e des ves l pojecion du veceu P su le pln OY. Les coodonnées peuven donc s epime de l mnièe suivne :

34 Pssge des coodonnées césiennes u coodonnées polies ' ' e ' d où Pssge des coodonnées polies u coodonnées césiennes : Il s gi ici d évlue,, en foncion des coodonnées,, : Evluion de : ( cos (sin ( sin sin cos. ( sin ( cos sin ( sin cos ( sin III.3 Evluion de : cos c cos cos Evluion de sin sin cos sin cos? f?? P(,,P(,,

35 Evluion de ( cos sin sin sin sin cos sin sin sin ( sin sin sin sin ( sin sin Evluion de cos cos cos Finlemen : csin ccos Roion uou des es Minenn que nous vons éudié l posiion du poin P en coodonnées polies, nous llons pouvoi nous inéesse à l oion d un poin uous des es : L oion uous d un e piculie (p e concene l oion de l pojecion du veceu P su le pln fomé p les deu ues es (OZY. L coodonnée du poin siué su l e de oion (e de oion, ne se évidemmen ffecée p l oion. Cee fomulion povien simplemen d une consion évidene.

36 Z P P p P P p Y Roion uous de : Pou obeni l oion uous de, on pojee P su le pln OYZ e on effecue l oion dns ce pln. Comme ne se ps modifié p cee oion, on mène l espce u pln OYZ, puisque l e de ne se ps modifié. D où Z L ngle es compé posiivemen de P ves Z, suivn l convenion igonoméique. se donc compé en négif. pès oion comme es consn los de l oion on considèe que Y ou sous fome micielle :. Cee epésenion simple e inéessne ne s pplique ps à l nslion, cs que nous llons éudie ou de suie. Bien évidemmen, l uilision de ces mices es ès uile pou simplifie les clculs élisés p un odineu. Touefois, il eise une nsfomion ffine difficilemen élisble à pi d une mice de nsfomion 33, il s gi de l nslion.

37 L nslion En effe à un iple de coodonnée (,, on ene de fie coesponde (,,. Miciellemen, en consevn une dimension de 3, c es olemen impossible, on v donc uilise une dimension supplémenie à noe mice de nsfomion fin de couvi l nslion. Le iple (,, dev deveni un quduple (,,,, fin de conseve l muliplicion micielle.. Le ésul du ssème nous donne bien une nslion en,,. Evidemmen, on poui coie que l seule uilié des mices 4*4 ne concene que l nslion. Touefois qu ive--il si nous voulons compose des nslions e des oions? L ode des mices se incompible. Pou évie cee poblémique, nous uiliseons ssémiquemen des mices 44 fin de décie les nsfomions sous fome micielle. L Roion uous de deviend donc :. Roion Auous de Y L ngle? es compé posiivemen de l e de Z ves le poin P. l ngle dns l même sens que?. Z P(,, P (,, Z

38 Apès oion : Comme es une consne on considèe que : ou sous fome micielle généle:. Roion Auous de Z L ngle? es compé posiivemen de l e du poin P ves l e Y. l ngle dns le sens opposé à l ngle?. sin cos Apès oion Comme es consne on considèe que : Ou sous fome micielle généle. Y

39 Evidemmen, les puises de l géoméie ffine me epocheon sns doue de ne ps épilogue plus longuemen su l nue du inodui e su l philosophie géoméique que ou ceci implique mis je épondis à ces ollhs,qu il s gi ici que d une simple iniiion à l géoméie ffine.

40 V Pojecion d un espce 3D su un pln D. L pojecion 3D-D es une nsfomion piculièe qui consise à pojee l scène (espce 3D, conenn dives élémens gphiques idimensionnels su un espce de pojecion. Dns noe cs, un 3 pln de pojecion. Globlemen, il s gi de nsfome les coodonnées (,, d un espce R en coodonnées ( p, p d un pln R en gdn en êe que l pofondeu, donnée p, influence les vleus du couple ( p, p. Il eise difféenes méhodes de pojecion : Pojecion à poins de fuie (,,3 : ppéciée des depes du dessin e ues ises gphises. Pojecion pllèle (cvlièe, cbine : elle ne pésene ps de poin de fuie mis elle peu défini une éducion d échelle (nommen pou l pojecion cbine. Pojecion en pespecive. pojecion de l scène 3D su un pln p ppo à un poin de fuie, plcé dns une diecion donnée. L pojecion en pespecive : L seule qui nous inéesse es l pojecion en pespecive. Il fu noe que cee pojecion fi ppel à l pojecion à un poin de fuie 4 pou modélise le éécissemen des objes p ppo à l œil de l obseveu. Dns l pojecion, il fu considée deu choses : l pemièe es l noion de disnce focle. En effe, les objes én plus éloignés ppissen plus peis, pou ensuie dispîe (ligne d hoion. Cee disnce focle, qui se noée Z ee, n es ue que l disnce ene l œil e le pln de pojecion. L seconde es l posiion de l œil p ppo à l scène, qui peu vie dns l espce 3D conenn celleci. Il fu noe que dns le cs des nimions dns lesquelles l ngle de l cmé (l œil de l obseveu peu vie, il fu obligoiemen eclcule l pojecion pou chque déplcemen. Touefois, pou conseve une ceine fluidié de l cion (fluidié liée à l pesisnce éinienne, il fu einde un u d ffichge de 5 imges eclculée p seconde (fme-e de 5, cee vleu éé déeminée de mnièe empiique, vi les ègles empiiques de l pesisnce éinienne. On compend dès los que les logiciels bsés su des moeus 3D, demnden pfois des puissnces de clcul sse élevées. Il nous fu donc concevoi un modèle (une méhode de pojecion penn en compe ces deu conceps impons. Noion de poin de fuie e de éécissemen : Afin de modélise ce concep, il nous fu eni compe des élémens suivns : Le epèe ohonomé de l scène (noé YZ. Le pln de pojecion : le pln de pojecion es génélemen ssocié à l écn de l odineu. (L disnce à lquelle se siue l uiliseu p ppo à l écn de son PC n bsolumen ucune influence su noe méhode de clcul. Le epèe ohonomé du pln de pojecion noé p Y p. Y p es oiené de bs en hu (odonnée e p es pependiculie à Y p es oiené de guche à doie (bscisse. L posiion de l œil de l obseveu qui egde l scène. P convenion, fin de simplifie les clculs, nous considéeons que l œil de l obseveu egde oujous le cene de l scène. De plus, nous considéeons que l diecion du egd de l œil es oujous pependiculie (nomle u pln de pojecion. Finlemen, le sens posiif du egd es considéé comme le sens lln de l œil de l obseveu u cene de l scène. Ces simplificions ne peuben en ien l qulié du modèle, mis évien de se complique l vie inuilemen. 4 Ce pe de pojecion es ussi ppelé : Pojecion cônique.

41 Cs piculie : Pou nous fie les idées, nous llons considée le cs le plus simple : nous llons fie bscion de l œil de l obseveu.

42 Z Y p p fig.iv. Le pln de pojecion es pependiculie à l e des, le cene du epèe p Y p coïncide vec l e des. L pojecion consise à ce les pependiculies u pln Y. Le ésul de l pojecion se leu inesecion vec le pln de pojecion p Y p. Cee pojecion ne pésene que peu d inéê puisque, quelque soi l posiion en des objes, ils ppîon oujous vec l même ille su le pln de pojecion, ce qui isque de nous donne une imge peu élise. Cee pojecion es une pojecion pllèle sns poin de fuie. On peu considée qu un obseveu quelconque sei plcé à une disnce infinie du pln de pojecion. Il fu donc inoduie un poin de fuie pou obeni un effe plus élise. Ce poin de fuie se lié à l posiion de l œil de l obseveu p ppo u pln de pojecion. En foncion de l disnce ene l œil de l obseveu (noée Z ee e du pln de pojecion p Y p, les élémens de l scène plus éloignés ppîon plus peis ou plus gnds en foncion de leu éloignemen en (pofondeu p ppo à l œil de l obseveu. Nous pouions pesque considée qu en élié, le pln de pojecion v un peu joue le ôle d une lenille éécissne don l disnce focle se définie p l posiion de l œil de l obseveu. Afin de ese dns un cs simplifié, nous llons considée que l œil de l obseveu es plcé su l e des Z. Il fu eni compe d un poin impon, les uniés de mesue uilisée dns l scène, son olemen difféenes de celles uilisées dns le pln de pojecion. Les uniés uilisées dns le pln de pojecion son les piels. Dns l scène on uilise pluô le mèe. Considéion su le Z ee : Nous considéons que l œil de l obseveu es pependiculie (noml u pln de pojecion p Y p (cf cidessus. De plus, l œil egde oujous dns l diecion du cene du epèe YZ de l scène. Le sens posiif de l dieion du egd se pis de l œil de l obseveu ves le cene. L déeminion du Z ee, qui s epime dns l unié de l scène se fi u choi de l uiliseu mis il eise des gndeus empiiques :.p eemple : si l scène idimensionnelle es epimée en piels (ce qui peu dns ceins cs êe une bonne idée puisque le pln de pojecion u les même uniés que l espce éudié, pou un pln de pojecion de 64 * 48 piels e uniquemen dns ces condiions on pou défini un Zee d envion 4 piels. 5 Y 5 Pou les uiliseus de 3D-Cde, sche que le logiciel, uilise une vible Zee, ouefois, elle es epimée en mèe, ps en piel (Evie donc un Zee de 4 mèes, ç poui se évéle csophique pou le ésul.

43 Z Yp Y Z Zee p Y fig.iv. Inepeion du fceu de ééssissemen lié u Zee (posiion de l œil p ppo u pln de pojecion. Fomules de pojecion de Thles : Pou ce fie, nous llons considée un nouveu epèe ppelé Y Z possédn les popiéés suivnes : Y Z es cené su l œil de l obseveu qui es pependiculie u pln de pojecion e qui egde le cene de l scène. Le sens posiif de Z es le sens lln du egd ves le cene du epèe YZ de l scène. Soi : P(,, es un poin quelconque de l scène, obsevé su le epèe YZ. P(,, es le même poin P mis vu du nouveu epèe Y Z. Donc, les coodonnées (,, son déemineés à pi du epèe de l œil de l obseveu. Nous llons considée dns un pemie emps le fceu de éécissemen de. Qund il es pojeé su l écn (vleu p, ce fceu de éécissemen dev êe lié à (l pofondeu. Nous llons egde le poin P à pi du epèe de l œil. Ses coodonnées seon donc P(,,. Zee Z p Ecn Z Oeil fig.iv.3 P le héoème de Thles (cf chpie I:Rppels de bse de l igonoméie, nous pouvons ès fcilemen déduie le ppo ene l vleu de pojeée ( p en foncion de, e Z ee. En effe : ' Zee Zee p. ' ' ' p Cee fomule n es vlble qui si les condiions énnoncées pécédemmen son especées e que l coodonnée de l obje es supéieue à Z ee, ce qui es ès souven le cs. P nlogie vec l pojecion p ppo à Y, on peu déduie les deu fomules de pojecions suivnes :

44 Y Zee Y Z p Ecn fig.iv.4 Oeil Zee p. ' ' Zee p. ' ' Rel.IV. Ce son les fomules de pojecion de Thles. Evidemmen ces fomules ne foncionnen que losque l on obseve l obje p ppo à l œil de l obseveu, u ves du pln de pojecion, l œil egdn le cene du epèe. Pou pplique ces fomules de pojecion, il suffi de mene le poin de l scène à obseve dns les condiions d pplicion de ces fomules. Pou cel, on défini le nouveu epèe Y Z, cené su l œil de l obseveu, qui épond à ces condiions. Ce epèe possède son e Z dns l diecion du egd. Les es Y seon disposés en suivn l ègle du ie bouchon mis comme Z es pependiculie u pln de pojecion pyp, se plelle à p e Y se d office pllèle à Yp, comme l indique le schém suivn.

45 Y o Z Z ee Z P(,, ou P(,, o Y fig.iv.5 On évlue ensuie les coodonnées du poin P(,, p ppo à ce nouveu epèe. Nous obenons les nouvelles coodonnées P(,,. Enfin, on pplique, à ces nouvelles coodonnées les fomules de pojecion de Thles pou obeni les coodonnées pojeées ( p, p. E le ou es joué Obenion du epèe Y Z Pou obeni ce nouveu epèe Y Z nous pocédons en ois épes : Effecue une nslion du epèe YZ, su le poin de l œil de l obseveu. On ne nsle que le epèe, ps l scène complèe. On obien un nouveu epèe : Y Z. Le poin P(,, se vu comme P(,, p ppo u epèe nslé. Comme l indique l figue suivne :

46 Y Z Z o p Y Y p Z P(,, o A pi de ce gphique, on peu isémen déduie le lien génél ene les coodonnées du poin P en (,, e ces mêmes coodonnées en (,,. ( én l disnce ene l œil de l obseveu e le cene du epèe YZ ouefois, es une gndeu négive p ppo u epèe Y Z. D où vec > Rel.IV. D une mnièe généle, on peu donc écie le ssème suivn : Rel.IV.3 Les coodonnées (,, epésenen le poin P(,, vu du epèe Y Z. O, si l on se éfèe à l géoméie ffine (Chp III, on conse que ce ssème d équions essemble foemen à une nslion piculièe donnée p l mice : dns noe cs piculie, cee mice es : A pésen, il fu oiene l e des Z dns le sens opposé à celui de Z fin d obeni l diecion du egd oienée ves le cene de YZ, dns le sens œil de l obseveu, cene de YZ. Ceci peu se fie u moen d une oion de uous de l e des. (Cf chpie pécéden, concenn les mices de oion, de plus e.

47 Nous sommes à pésen dns un nouveu epèe : Y Z. Touefois on conse que nous ne sommes ps encoe dns les condiions d pplicion des fomules de pojecion de Thles puisque l e des es opposé à l e p de pojecion (voie figue du dessus. Il fu donc invese le sens de l e e lisse les Y e Z inchngés, pou un obeni le epèe Y Z qui épond u condiions des fomules de pojecion de Thles. Pou se fie, on uilise l mice de chngemen d échelle pou lquelle on ne modifie que le signe de. ' ' ' Comme dns noe cs simplise,, il vien que : ' ' ' A pésen, nous n vons plus qu à emplce les vleus de (,, dns les fomules de pojecion de Thles. D où ( ( ( Z Z ee p ee p.. ( Remque : les coodonnées du poin P vue p le epèe Y Z son (,,-. P se ouvn en-dessous de Y Z. Il es noml que l coodonnée soi négive. Eecice : Soi un poin P de l espce de l scène, on demnde d évlue de mnièe enièe, les coodonnées ( p, p pojeées su l écn. Dns le cs où l œil de l obseveu es plcé su l e des Z à une disnce. (On ville en piel, dns l espce e dns le pln de pojecion 7 4, 3, ( ee Z P il vien que

48 ' 3 ' ' 7 6 P pplicion diece des fomules de pojecions de Thles, on obien : 4 3 p In( 6 4 In( 33 p 6 Considéion concenn le Z ee : Evie de pende un inféieu à Z ee, el que des objes puissen dépsse l écn e se eouve ene l écn e l œil de l obseveu. Ceci poui donne des effes bsudes, gene effe de loupe ou dispiion ole de l obje. Si ouefois, cee siuion devi ppîe, il fud los econsidée les fomules de pojecion de Thles. Heueusemen des lgoihmes eisen pou ie cee poblémique. (Cf Cohen-Suhelnd Ce cs piculie mnque cees de fleibilié, puisque l obseveu es oujous fce à l scène, ouefois, il l vnge de limie séieusemen l chge de clcul, ce qui dns l pogmmion de jeu n es nullemen négligeble.

49 Cs génél Le cs de pojecion génél, es le cs où l œil de l obseveu es plcé n impoe où p ppo u epèe YZ de l scène. Dns le cs pécéden, nous considéions que l œil de l obseveu egdi le cene du epèe YZ dns une diecion spécifique, confondue vec l e des Z. Ceci simplifii sensiblemen les choses e nous pemis d éudie en gnde pie l spec de éducion de l scène pojeée en foncion du poin de fuie, l œil de l obseveu. Ici, nous llons considée que : L œil de l obseveu es plcé n impoe où dns l espce de l scène. Les coodonnées de l œil son données en polies (,, pou simplifie nos clculs. L œil de l obseveu egde oujous dns l diecion du cene du epèe YZ. L diecion du egd de l œil es oujous pependiculie u pln de pojecion e plcé à l disnce Z ee de celui-ci. Le bu es oujous ussi simple que pécédemmen : obseve le cene de l scène à ves un pln de pojecion e évlue le fceu de éécissemen en foncion du Z ee,u moen des fomules de pojecion de Thles. Pou uilise ces fomules, nous devons à nouveu évlue les coodonnées (,, du poin P dns le nouveu epèe Y Z qui épond u condiions d pplicion des fomules de pojecion de Thles. Nous llons épplique ecemen l même méhode que dns le cs piculie. Touefois, à pésen, nous llons eni compe des coodonnées de l posiion de l œil de l obseveu. Nous llons pocéde comme dns le cs piculie : défini le epèe Y Z confome u condiions des fomules de pojecion de Thles comme le mone le schém suivn :

50 Obenion du epèe Y Z Effecue une nslion du epèe YZ, su le poin de l œil de l obseveu. On ne nsle que le epèe, ps l scène complèe. On obien un nouveu epèe : Y Z. Le poin P(,, se vu comme P(,, p ppo u epèe nslé. Pou ive, on pplique l même nslion piculièe que dns le cs piculie. Touefois ici, comme le epèe de l œil es plcé à un endoi quelconque de l espce, les vleus, ne seon plus nulles, comme dns le cs piculie. Evluion des coodonnées de nslion en uilisn les fomules de pssge de coodonnées polies en coodonnées césiennes (voie Chpie III. Convenionnellemen, l mice de nslion se ppelée T. Suie à l nslion nous obenons le epèe Y Z comme le mone l figue suivne : Idélemen, il fu que les es e Y soien pllèles vec le pln de pojecion p Y p, fin d obeni une pojecion coece. Pou ce fie, nous llons visulise l posiion des es e Y p ppo à l doie de diecion du egd. E nous obenons un nouveu epèe : Y Z. Afin de donne une vue plus nee à l obseveu, nous llons considée que. E visulise le pln de pojecion p ppo u convenion du epèe de l scène. Ceci v nous conduie à l figue suivne : P(,, Z Y Y Z Y p p